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2025 年秋季九年级开学摸底考试模拟卷（辽宁专用）
数学•全解全析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．中国“二十四节气”已被列入联合国教育、科学及文化组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四
幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形
沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个
点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称
和轴对称的定义，进行判断即可．
【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
故选D．
2．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．根据因式分解的定义把一个多项
式分解为几个多项式的乘积即可求解．
【详解】解：A．右边为多项式，不是因式分解，故A错误；
B． ，是因式分解，故B正确；
C．右边为多项式，不是因式分解，故C错误；
D． ，因式分解错误，故D错误．
故选：B．3． 是关于 的一元二次方程 的解，则 等于（ ）
A．1 B． C．5 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的
值，据此把 代入原方程中计算求解即可．
【详解】解：∵ 是关于 的一元二次方程 的解，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
4．若分式方程 无解，则a的值是（ ）
A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2
【答案】D
【分析】本题考查了分式方程无解．熟练掌握：分式方程无解情况①分式方程化为整式方程后，整式方程
无解，即分式方程无解；②分式方程化为整式方程后，整式方程有解，但这个解会使分式方程的最简公分
母为0，即解为分式方程的增根；是解题的关键．
先解分式方程得到 ，再进行讨论，①当 时，整式方程无解，则分式方程无解；②把增根
代入 求解．
【详解】解： ，
，
，
①当 时，整式方程无解，则分式方程无解；
②把增根 代入 得， ，
解得： ，
综上： 或 时，分式方程 无解，
故选：D．
5．如图，在 中， ， ， 平分 ， 于 ， ，则 的面积为
（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，熟练掌握该知识点是解
答本题的关键．
过 点作 于 ，如图，根据角平分线的性质得到 ，然后利用三角形面积公式，利用
进行计算即可．
【详解】解：如图，过 点作 于 ，
平分 ， ， ，
，
，
，
．
故选：A．
6．若关于x，y的方程组的 解满足 ，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，把方程组中两个方程相加可得
，再根据 ，可得 ，解不等式即可得到答案．
【详解】解：
得： ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
故选：A．
7．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的
城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是
慢马的 倍，求规定时间．设规定时间为 天，则下列分式方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．根据题意
可知慢马的速度为 ，快马的速度为 ，再根据快马的速度是慢马的 倍，即可列出相应的方程，
本题得以解决．
【详解】解：由题意可得，
，
故选：C．
8．如图，在平行四边形 中，E为边 上的一个点，将 沿 折叠至 处， 与
交于点F，若 ， ， （ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握翻折变
换得性质和平行四边形的性质，求出 的度数是解题的关键．
由平行四边形的性质得 ，再由三角形的外角性质得 ，则
，然后由折叠的性质得 ，即可求解．【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
∵将 沿 折叠至 处，
，
，
故选：A．
9．如图，菱形 的对角线 与 交于点 ，过点 作 于点 ，连接 ，若
，则 的面积等于（ ）
A．24 B．18 C．14 D．12
【答案】D
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，由菱形的性质得到
， ，则由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到
，利用勾股定理求出 的长，进而得到 的长，再根据菱形面积等于其对
角线乘积的一半求出菱形的面积即可得到答案．
【详解】解；∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
10．已知一次函数 与 的图象如图所示，有下列结论：① ； ② ； ③关于x
的方程 的解为 ； ④当 时 ，其中正确的结论有（ ）A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】利用一次函数的性质对①②进行判断；利用两直线的交点的横坐标为3可对③进行判断；利用两
直线的位置关系对④进行判断．
本题考查了一次函数图象的性质以及一次函数与与一元一次不等式组的关系，熟练掌握一次函数图象的性
质及数形结合思想是解题的关键．
【详解】解：∵直线 经过第一、二、四象限，
∴ ， ，
所以①正确；
∵直线 与y轴的交点在x轴下方，
∴ ，
所以②错误；
∵当 时， ，
∴关于x的方程 的解为 ，
所以③正确；
∵当 ，直线 在直线 的下方，
∴ 时， ．
所以④错误．
故答案为：C．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．代数式 有意义的条件为 ．
【答案】 且
【分析】本题考查了二次根式与分式有意义的条件，理解条件是解题的关键．根据被开发数为非负数以及
分母不为 进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵代数式 有意义
∴ ，
解得： 且 ．
故答案： 且 ．12．若二次三项式 可分解为 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解的应用，以及多项式乘多项式，先展开 ，再根据对应项系数相等
建立等式求解，即可解题．
【详解】解： ，
∵二次三项式 可分解为 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
故答案为： ．
13．已知 为方程 的根，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，熟练运用整体思想是解题的关键．
根据一元二次方程的解的定义得到 ，然后整体代入求解即可．
【详解】解：由题意可知： ，
∴
∴ ．
故答案为： ．
14．如图，在 中， ， ，点D为AC边上一点，连接 ，过点D作 于
点E，且 ，则 的度数为 °．
【答案】
【分析】本题主要考查了角平分线的判定，熟悉掌握判定方法是解题的关键．利用角平分线的判定方法判
定出 平分 ，即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 平分 ，
∴ ．故答案为： ．
15．如图，菱形 中， ， ， 交 于点 ， 于点 ，连接 ，则 的
长为 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半成为解题的关键．
由菱形的性质可得 ， ，再运用勾股定理可得 长，然后根据直角三角形斜边上
的中线等于斜边的一半即可解答．
【详解】解：∵ 是菱形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）解分式方程：
（2）解不等式组 并把解集在数轴上表示出来．
【详解】（1）解：两边同时乘以 ，得： ，
解得 ；
经检验， 是方程的增根，
所以原分式方程无解；
（2）解：解不等式①得 ；解不等式②得综上所述，-2≤x<1．．
．
17．（8分）直播带货是指通过一些互联网平台，使用直播技术进行商品线上展示、咨询答疑、导购销售
的新型服务方式．某企业为开启网络直播带货的新篇章，购买 ， 两种型号的直播设备．已知 型号设
备的单价是 型号设备单价的 倍，且用 元购买 型号设备的数量比用 元购买 型号设备的数
量少 台．
(1)求 ， 两型号设备的单价．
(2)若该企业计划购买两种设备共 台，且要求 型号设备的数量不少于 型号设备的数量的一半．设购买
型号设备 台，总费用为 ，问总费用最少是多少元?
【详解】（1）解：设 型号设备的单价为 元，则 型号设备的单价为 元，
由题意得， ，解得 ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
∴ ，
答： 型号设备的单价为 元， 型号设备的单价为 元；
（2）解：∵ 型号设备的数量不少于 型号设备的数量的一半，
∴ ，解得 ，
又由题意得， ，
∵ ，∴ 随 的增大而增大，
∵ ，∴当 时， 取最小值， 元，
答：总费用最少是 元．
18．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点的坐标分别为 ， ，
．
(1)画出 经过平移后得到的 ，已知点 的坐标为 ，写出顶点 的坐标；(2)若 和 关于原点 成中心对称，不画图直接写出顶点 的坐标；
(3)画出 绕点 按顺时针方向旋转90°得到的 ．
【详解】（1）如图， 为所作，
因为点 平移后的对应点 的坐标为 ，
所以 先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到 ，
所以点 的坐标为 ；
（2）因为 和 关于原点 成中心对称图形，
所以 ；
（3）如图， 为所作．19．（8分）某洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、
排水时洗衣机中的水量 （升）与时间 （分钟）之间的关系如折线图所示，根据图象解答下列问题：
(1)洗衣机的进水时间是______分钟，清洗时洗衣机中的水量是______升．
(2)已知洗衣机的排水速度为每分钟 升，
①求排水时 与 之间的关系式并写出自变量的取值范围；
②如果排水时间为 分钟，求排水结束时洗衣机中剩下的水量为多少升？
【详解】（1）解：由函数图像可知，洗衣机的进水时间是 分钟，清洗时洗衣机中的水量是 升，
故答案为： ； ；
（2）① 洗衣机的排水速度为每分钟 升，从第 分钟开始排水，排水量为 升，
，
当 时，可得： ，
故排水时： ；
② 排水时间为3分钟，即当 ，
（升），
排水结束时洗衣机中剩下的水量为4升．
20．（8分）如图，在 中， ， 垂直平分 ，交 于点F，交 于点E，且
，连接 ．(1)求证： ；
(2)若 的周长为 ， ，求 的长．
【详解】（1）证明：∵ 垂直平分 ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ．
（2）解：由题意可得： ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ．
21．（8分）如图1， 的对角线 与 交于点 ，点 在边 上，连接 并延长交边 于
点 ．
(1)求证： ；
(2)如图2，连接 ，与 分别交于点 ．求证： ．
【详解】（1）证明：∵ 的对角线 与 交于点 ，
∴ ， ，∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ．（2）证明：由（1）可知 ，
∴ ，
∵ ，∴四边形 是平行四边形，
∴ ，∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，∴ ，
∵四边形 是平行四边形，∴ ，
∴ ，
∴ ．
22．（12分）阅读材料，解决下列问题：
如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第 行有
个点，…．
(1)探索：三角点阵中前6行的点数之和为______，前9行的点数之和为______；
(2)总结：前 行的点数之和为______（用含 的式子表示， 为正整数）；
(3)运用：某商场举办促销活动，计划用气球装饰中庭，其中一种装饰方案需要悬挂650个气球．按照第一
串挂2个，第二串挂4个，第三串挂6个，…，第 串挂2n个的规律排列，求这种装饰方案一共需要悬挂
多少串气球？
【详解】（1）解：前6行点数和为： ；
前9行点数和为： ；
故答案为：21；45；
（2）解：前n行点数和为： ；
故答案为： ；
（3）解：由题意得： ，
即
∴ ，
整理得： ，解得： （舍去），
答：这种装饰方案一共需要悬挂25串气球．
23．（12分）【模型建立】
（1）我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图1，在正方形 中，点E，F分别在
边 ， 上，连接 ， ， ，并延长 到点G，使 ，连接 ．若 ，则 ，
， 之间的数量关系为________；
【模型应用】
（2）如图2，当点E在线段 的延长线上，且 时，试探究 ， ， 之间的数量关系，
并说明理由；
【模型迁移】
（3）如图3，在 中， ， ，点D，E在B，C上， ，试探究 ，
， 之间的数量关系，并说明理由．
【详解】证明：（1）∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ；
（2） ，理由如下：
如图，在 上截取 ，连接 ，
∵四边形 为正方形，∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3） ，理由如下：
如图，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，此时 与 重合，
∵在 中， ， ，
∴ ，
由旋转的性质可得： ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
