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2022-2023 学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练
（人教版）
25.2 用列举法求概率
题型导航
题型1
列举法求概率
用
列
举
题型2
列表法或树状图法求概率
法
求
概
率
题型3
游戏的公平性
题型变式
【题型1】列举法求概率
1．（2022·全国·九年级课时练习）假定按同一种方式掷两枚均匀硬币，如果第一枚出现正面朝上，第二枚
出现反面朝上，就记为（正，反），如此类推，出现（反，反）的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由列举法可得：掷两枚硬币，所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反，其中出现（反，
反）的情况有1种，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：∵掷两枚硬币，所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反，其中出现（反，反）的情
况有1种，∴（反，反）的概率 ．
故选：D
【点睛】本题考查了列举法求概率，解本题的关键在熟练掌握概率公式．概率=所求情况数与总情况数之
比．
【变式1-1】
2．（2021·四川·平昌县中小学教学研究室九年级期末）如图所示的电路中，当随机闭合开关 中的
两个时，能够让灯泡发光的概率为_________．
【答案】
【分析】根据题意可得：随机闭合开关S，S，S 中的两个，有3种方法，其中有两种能够让灯泡发光，
1 2 3
故其概率为 ．
【详解】解：因为随机闭合开关S，S，S 中的两个，有3种方法，
1 2 3
分别为： ； ； ；
其中有2种能够让灯泡发光，分别是 ； ；
所以P（灯泡发光）= ．
故本题答案为： ．
【点睛】本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A
出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．【题型2】列表法或树状图法求概率
1．（2022·山西吕梁·九年级期末）第十四届全国运动会会徽吉祥物发布，吉祥物朱朱、熊熊、羚羚、金金
的设计方案是以陕西秦岭独有的四种国宝级动物“鹮朱、大熊猫、羚牛、金丝猴”为创意原型．小明和小
彬各从四个吉祥物中选择一个制作成绘画作品，参与学校举办的绘画展，则他们选中“朱朱”和“金金”
的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，小明和小彬选中“朱朱”和“金金”的结果有2种，再由概
率公式求解即可．
【详解】解：把吉祥物朱朱、熊熊、羚羚、金金分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，小明和小彬选中“朱朱”和“金金”的结果有2种，
∴小明和小彬选中“朱朱”和“金金”的概率为 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两
步以上完成的事件．
【变式2-1】
2．（2022·全国·九年级单元测试）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，那么两辆汽车经过这个十字路口时，第一辆车向左转，第二辆车向右转的概率是__．
【答案】
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中第一辆车向左转，第二辆车向右转的结果有1种，再由
概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中第一辆车向左转，第二辆车向右转的结果有1种，
∴第一辆车向左转，第二辆车向右转的概率为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两
步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率 所求情况数
与总情况数之比．
【题型3】游戏的公平性
1．（2022·全国·九年级单元测试）甲、乙两人玩“石头，剪刀，布”的游戏，约定只玩一局，描述错误的
是（ ）
A．甲，乙获胜的概率均低于0.5 B．甲，乙获胜的概率相同
C．甲，乙获胜的概率均高于0.5 D．游戏公平
【答案】C
【分析】根据游戏结局共有三种情形，其中甲、乙获胜的概率都为 ，即可求解．
【详解】解：甲、乙两人玩“石头，剪刀，布”的游戏，约定只玩一局，结局有甲获胜（乙输）、平局、
乙获胜（甲输），三种结局，其中，甲、乙获胜的概率都为 ，则A，B，D，选项正确，C选项错误．
故选C【点睛】本题考查了概率公式求概率，游戏的公平性，求得概率是解题的关键．
【变式3-1】
2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，有8张标记数字1-8的卡片．甲、乙两人玩一个游戏，规则是：
甲、乙两人轮流从中取走卡片；每次可以取1张，也可以取2张，还可以取3张卡片（取2张或3张卡片
时，卡片上标记的数字必须连续）；最后一个将卡片取完的人获胜．
若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，则________（填“甲”
或“乙”）一定获胜；若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方
案是________．（只填一种方案即可）
【答案】 甲 取走标记5，6，7的卡片（答案不唯一）
【分析】由游戏规则分析判断即可作出结论．
【详解】解：若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，为4，5或
5，6，则剩余的卡片为1，6或1，4，然后乙只能取走一张卡片，最后甲将一张卡片取完，则甲一定获胜；
若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案5，6，7，理由如下：
乙取走5，6，7，则甲再取走4和8中的一个，最后乙取走剩下的一个，则乙一定获胜，
故答案为：甲；5，6，7（答案不唯一）．
【点睛】本题考查游戏公平性，理解游戏规则是解答的关键．
专项训练
一．选择题
1．（2022·全国·九年级单元测试）掷一枚质地均匀的骰子，前3次都是6点朝上，掷第4次时6点朝上的
概率是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D【分析】根据概率的意义进行解答即可．
【详解】解：掷一枚质地均匀的骰子，前3次都是6点朝上，
掷第4次时，不会受前3次的影响，
掷第4次时仍有6种等可能出现的结果，其中6点朝上的有1种，
所以掷第4次时6点朝上的概率是 ，
故选：D．
【点睛】本题考查简单随机事件的概率，理解概率的意义是正确解答的前提，列举出所有等可能出现的结
果情况是解决问题的关键．
2．（2021·辽宁大连·一模）把标号为1，2，3的三个小球放入一个不透明的口袋中，随机摸取一个小球然
后放回，再随机摸出一个小球，两次取出的小球的标号的和大于3的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号和大于3
的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：根据题意，画树状图如下：
共有9种等可能结果，其中两次摸出的小球标号的和大于3的有6种，
∴两次摸出的小球标号的和大于3的概率是 ，
故选：D
【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
3．（2021·辽宁阜新·中考真题）小颖有两顶帽子，分别为红色和黑色，有三条围巾，分别为红色、黑色和
白色，她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】利用列表法或树状图即可解决．
【详解】分别用r、b代表红色帽子、黑色帽子，用R、B、W分别代表红色围巾、黑色围巾、白色围巾，
列表如下：
R B W
r rR rB rW
b bR bB bW
则所有可能的结果数为6种，其中恰好为红色帽子和红色围巾的结果数为1种，根据概率公式，恰好为红
色帽子和红色围巾的概率是 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了简单事件的概率，常用列表法或画树状图来求解．
4．（2022·全国·九年级单元测试）甲、乙两人玩“石头，剪刀，布”的游戏，约定只玩一局，描述错误的
是（ ）
A．甲，乙获胜的概率均低于0.5 B．甲，乙获胜的概率相同
C．甲，乙获胜的概率均高于0.5 D．游戏公平
【答案】C
【分析】根据游戏结局共有三种情形，其中甲、乙获胜的概率都为 ，即可求解．
【详解】解：甲、乙两人玩“石头，剪刀，布”的游戏，约定只玩一局，结局有甲获胜（乙输）、平局、乙获胜（甲输），
三种结局，其中，甲、乙获胜的概率都为 ，则A，B，D，选项正确，C选项错误．
故选C
【点睛】本题考查了概率公式求概率，游戏的公平性，求得概率是解题的关键．
5．（2022·广东广州·中考真题）为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁 4名志愿者中随机抽取2名
负责该小区入口处的测温工作，则甲被抽中的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意画出树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】解：画树状图得：
∴一共有12种情况，抽取到甲的有6种，
∴P（抽到甲）= ．
故选：A．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有
可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
6．（2022·全国·九年级专题练习）某市有6名教师志愿到四川地震灾区的甲、乙、丙三个镇去支教，每人
只能去一个镇，则恰好其中一镇去4名，另两镇各去1名的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】因为对于这六个人来说，会被随机分派到3个镇中的任何一个，所以一共有 种情况，而有4个
人的镇可能是3个镇中的任何一个，剩下两个镇各派一个人的派法是 ，根据概率公式求解．
【详解】解：6名教师志愿随机派到3个镇中的任何一个共有 种情况，有4个人的镇可能是3个镇中的
任何一个，另两镇各去1名的结果数为 ，
所以恰好其中一镇去4名，另两镇各去1名的概率 ，
故选：B．
【点评】选出符合事件 或 的结果数目 ，然后根据概率公式求出事件A或 的概率．
二、填空题
7．（2021·天津东丽·九年级期末）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，小球上分别写有数字4、
5、6，随机摸取1个小球然后放回，再随机摸取一个小球
（1）用画树状图或列表的方法表示出可能出现的所有结果；（1）求两次抽出数字之和为奇数的概率．
【答案】
【分析】(1)此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单；使用树状图分析时，一定
要做到不重不漏．
(2)根据概率的求法，找准两点：第一点，全部情况的总数；第二点，符合条件的情况数目；二者的比值就
是其发生的概率．
【详解】(1)根据题意，画树状图如下：
数字之和为 8，9，10，9，10，11，10，11，12
由树状图可知，共有9种可能的结果．
(2) 共有9种可能的结果，其中两次抽出数字之和为奇数(记为事件A)的情况有4种,
P(A)=
故答案为：
【点睛】此题考查用列表法或树状图法求概率，概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的
可能性相同，其中事件A出现m种结果
那么事件A的概率P (A) =
8．（2022·全国·九年级单元测试）不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“ ”、“ ”，除数
字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，
记录其数字，那么两次记录的数字之和为 的概率是______．
【答案】
【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次记录的数字之和为 的情况，
再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：列表如下：由表可知，共有 种等可能结果，其中两次记录的数字之和为 的有 种结果，
所以两次记录的数字之和为 的概率为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出
所有可能的结果，用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比．
9．（2018·山西·九年级专题练习）小明和小亮做游戏，先是各自背着对方在纸上写一个自然数，然后同时
呈现出来．他们约定：若两人所写的数都是奇数或都是偶数，则小明获胜；否则，小亮获胜．这个游戏对
双方_____．（填“公平”或“不公平”）．
【答案】公平
【详解】分析：
根据题意画出符合要求的树状图，列出所有等可能的结果，并由此计算出两人各自获胜的概率进行比较，
即可得到结论.
详解：
根据题意画出树状图如下：
由图可知：共有四种等可能结果出现，其中小明获胜的有两种，小亮获胜的也有两种，
∴P = ，P = ，
（小明获胜） （小亮获胜）
∴P =P ，
（小明获胜） （小亮获胜）
∴该游戏是“公平”的.故答案为公平.
点睛：本题的解题要点有两点：（1）能够画出符合题意的树状图；（2）在一个游戏中，当游戏双方获胜
的概率相等时，游戏是公平的；当游戏双方获胜的概率不等是，游戏是不公平的.
10．（2018·湖南娄底·中考真题）从2018年高中一年级学生开始，湖南省全面启动高考综合改革，学生学
习完必修课程后，可以根据高校相关专业的选课要求和自身兴趣、志向、优势，从思想政治、历史、地理、
物理、化学、生物6个科目中，自主选择3个科目参加等级考试.学生 已选物理，还想从思想政治、历史、
地理3个文科科目中选1科，再从化学、生物2个理科科目中选1科.若他选思想政治、历史、地理的可能
性相等，选化学、生物的可能性相等，则选修地理和生物的概率为___________.
【答案】
【详解】【分析】列表格得出所有等可能的情况，然后再找出符合题意的情况，根据概率公式进行计算即
可得.
【详解】列表格：
政治 历史 地理
化学 化学，政治 化学，历史 化学，地理
生物 生物，政治 生物，历史 生物，地理
从表格中可以看出一共有6种等可能的情况，选择地理和生物的有1种情况，所以选择地理和生物的
概率是 ，
故答案为 .
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
11．（2022·内蒙古兴安盟·模拟预测）疫情期间，进入学校都要进入测温通道，体温正常才可进入学校．
某校有3个测温通道，分别记为 ， ， 通道．学生可随机选取其中的一个通道测温进校园，某日早晨，
小王和小李两位同学在进入校园时，恰好选择不同通道测温进校园的概率是_____________．
【答案】
【分析】画树状图展示所有9种等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式求解即可．
【详解】画树状图为：共有9种等可能的情况，其中小王和小李从不同通道测温进校园的有6种情况，
侧小王和小李两位同学在进入校园时，恰好选择不同通道测温进校园的概率是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符
合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
12．（2022·湖南永州·模拟预测）现有两个不透明的盒子,其中一个装有标号分别为1,2的两张卡片,另一个
装有标号分别为1,2,3的三张卡片,卡片除标号外其他均相同,若从两个盒子中各随机抽取一张卡片,则两张卡
片标号恰好相同的概率是____.
【答案】
【分析】先用列表法求出所有情况，再根据概率公式求出概率.
【详解】情况如表：
1 2 3
1 1,1 1,2 1,3
2 2,1 2,2 2,3
共有6种情况，两张卡片标号恰好相同有2种情况，
所以，两张卡片标号恰好相同的概率是P= .
故答案为
【点睛】本题考核知识点：求概率.解题关键点：列表求出所有情况.
三、解答题
13．（2022·江苏·星港学校八年级期末）2022年冬奥会在北京举办．现有如图所示“2022·北京冬梦之约”
的四枚邮票供小明选择，依次记为 ， ， ， ，背面完全相同．将这四枚邮票背面朝上，洗匀放好(1)小明从中随机抽取一枚，恰好抽到是 （冰墩墩）概率是
(2)小颖从中随机抽取一枚不放回，再从中随机抽取一枚．请用列表或画树状图的方法，求小颖同学抽到的
两枚邮票恰好是 （冰墩墩）和 （雪容融）的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接运用概率的公式求解即可．
（2）用列表法或树状图表示出所有可能的情况，再找出是B和C的情况，用概率公式求解即可．
（1）
解：由题意可知，共有四种等可能的情况，
∴小明从中随机抽取一枚，恰好抽到是 （冰墩墩）概率是 ，
故答案为： ；
（2）
根据题意画树状图，如图所示，
从上图可以看出，共有12种等可能的情况，其中小颖同学抽到的两枚邮票恰好是B（冰墩墩）和C（雪容
融）的情况有2种．∴小颖同学抽到的两枚邮票恰好是B（冰墩墩）和C（雪容融）的概率为： ．
【点睛】本题考查了概率公式以及画树状图法与列表法求概率．解题的关键是把所有等可能的情况都列举
出来．
14．（2022·全国·九年级单元测试）一个箱子里共3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同．
(1)从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是______；
(2)从箱子中任意摸出一个球后，放回箱子，搅匀后再摸出一个球，请画树状图或列表求2次摸出的球都是
白球的概率．
(3)小明向箱中放入n个红球后搅匀，然后从箱子中随机摸出一个球是白球的概率为 ，求n的值．
【答案】(1)
(2)
(3)5
【分析】（1）用白球个数除以球的总个数即可；
（2）用列表法列举即可求解；
（3）用白球个数除以摸出白球的概率进而求出总的求个数，再减去原有的球个数3即可求解．
（1）
2÷3= ，
即摸出白球的概率为 ，
故答案为： ；
（2）
列表如下：根据表格可知：总的可能情况有6种，两次都是白球的情况有2种，
即两次都是摸出白球的概率为：2÷6= ；
（3）
加入红球后球的总个数： ，
则加入红球的个数为：n=8-3=5，
即n值为5．
【点睛】本题考查了用概率公式求解概率、采用树状图法或列表法列举求解概率以及根据概率求数量的知
识，掌握用树状图法或列表法列举求解概率是解答本题的关键．
15．（2021·吉林·中考真题）第一盒中有1个白球、1个黑球，第二盒中有1个白球，2个黑球．这些球除
颜色外无其他差别，分别从每个盒中随机取出1个球，用画树状图或列表的方法，求取出的2个球都是白
球的概率．
【答案】
【分析】用列表法表示所有可能出现的结果情况，进而得出两次都是白球的概率即可．
【详解】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
白 黑
白 白、白 黑、白
黑1 白、黑1 黑1、黑
黑2 白、黑2 黑、黑2
共有6种等可能出现的结果情况，其中两球都是白球的有1种，
所以取出的2个球都是白球的概率为 ．答：取出的2个球都是白球的概率为 ．
【点睛】本题考查简单事件的概率，正确列表或者画树状图是解题关键．
16．（2022·江苏·九年级专题练习）某校计划在下个月第三周的星期一至星期四开展社团活动．
(1)若甲同学随机选择其中的一天参加活动，则甲同学选择在星期三的概率为______；
(2)若乙同学随机选择其中的两天参加活动，请用画树状图（或列表）的方法求其中一天是星期二的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据概率公式即可求解；
（2）采用列表法列举即可求解．
（1）
总的可选日期为4个，则甲随机选择其中某一天的概率为1÷4= ，
故答案为： ；
（2）
用A、B、C、D分别表示星期一、星期二、星期三、星期四，
根据题意列表如下：
总的可能情况数为12种，含星期二（B）的情况有6种，
则乙同学选的两天中含星期二的概率为：6÷12= ，
即所求概率为 ．
【点睛】本题考查了基本的概率公式和用树状图或列表法求解概率的知识．明确题意准确的作出列表是解答本题的关键．
17．（2022·辽宁沈阳·中考真题）为了调动同学们学习数学的积极性，班内组织开展了“数学小先生”讲
题比赛，老师将四道备讲题的题号1，2，3，4，分别写在完全相同的4张卡片的正面，将卡片背面朝上洗
匀．
(1)随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是________；
(2)小明随机抽取两张卡片，用画树状图或列表的方法求两张卡片上的数字是“2”和“3”的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的数字是2和3的结果有2种，再由概率公式
求解即可．
（1）
解：随机抽取一张卡片，卡片上的数字是4的概率为 ，
故答案为： ；
（2）
解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的数字是2和3的结果有2种，
∴两张卡片上的数字是2和3的概率为 ．
【点睛】此题考查的是用树状图或列表法求概率．树状图或列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结
果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．熟练掌握树状图或列表法是解决这类题的关键．
18．（2022·江苏宿迁·中考真题）从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛，求
下列事件发生的概率．(1)甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是 ；
(2)任意选取2名学生参加比赛，求一定有乙的概率．（用树状图或列表的方法求解）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用例举法例举所有的等可能的情况数，再利用概率公式进行计算即可；
（2）先列表得到所有的等可能的情况数以及符合条件的情况数，再利用概率公式进行计算即可．
（1）
解：由甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，共有甲、乙，甲、丙，甲、丁三种等可能，
符合条件的情况数有1种，
∴甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是
（2）
列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 甲、乙 甲、丙 甲、丁
乙 乙、甲 乙、丙 乙、丁
丙 丙、甲 丙、乙 丙、丁
丁 丁、甲 丁、乙 丁、丙
所有所有的等可能的情况数有12种，符合条件的情况数有6种，
所以一定有乙的概率为：
【点睛】本题考查的是利用例举法，列表的方法求解简单随机事件的概率，概率公式的应用，掌握“例举
法与列表法求解概率”是解本题的关键．
