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2025 年秋季九年级开学摸底考试模拟卷（南京专用）
数学•全解全析
一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题
目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上）
1．2025年4月24日，我国神舟二十号载人飞船成功升空．中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平
贡献了中国智慧和中国力量．下面有关我国航天领域的图标中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的识别，根据中心对称图形与轴对称图形的定义进行
逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个
图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分
能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
【详解】解：A．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B．是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
2．下列调查中，适合采用普查的是（ ）
A．了解长江中现有鱼的种类
B．了解夏季冷饮市场上冰淇淋的质量
C．了解一批灯泡的使用寿命
D．了解全班每位同学所穿鞋子的尺码
【答案】D
【分析】本题考查抽样调查和全面调查，理解抽样调查和全面调查的意义是正确判断的前提．根据抽样调
查和全面调查的意义，结合具体的问题情境进行判断即可．
【详解】解：A．了解长江中现有鱼的种类，适合使用抽样调查，故选项A不符合题意；
B．了解夏季冷饮市场上冰淇淋的质量，适合抽样调查，故选项B不符合题意；
C．了解一批灯泡的使用寿命，由于实验具有破坏性，不适合采用普查，应采取抽查，故选项C不符合题
意；
D．了解全班每位同学所穿鞋子的尺码，由于全班每位同学的学生人数较少，适合使用普查，故选项D符
合题意；
故选：D．3．无锡惠山泥人厂接到一批定制“熊有成竹”泥塑订单，需制作1000件．若原计划每天制作 件，实际
每天多制作50件，结果提前5天完成任务．下列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是分式方程的应用，根据题意，原计划每天制作 件，总天数为 天；实际每天制
作 件，总天数为 天，因实际提前5天完成，故原计划天数减去实际天数等于5，据此列方程.
【详解】解：原计划天数：总任务量1000件除以每天制作量 ，即 天，
实际天数：每天多制作50件，即每天制作 件，总天数为 天，
时间差：原计划天数比实际天数多5天，
故方程为： ，
故选：A
4．若关于 的一元二次方程 没有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程没有实数根，得到判别式小于 ，即可求解，掌
握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 没有实数根，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
5．反比例函数 的图象与一次函数 的图象的一个交点横坐标是 ．根据反比例函数图
象，当 且 时，y的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点及反比例函数的性质，难度不大，关键是掌握用待定系数法求解函数的解析式．
先求出反比例函数解析式，再分区间讨论y的取值范围．
【详解】解：两函数交点横坐标为 ，代入一次函数得 ，故交点为 ．
代入反比例函数得 ，解得 ，
故反比例函数为 ．
时， ，
当 时：y随x的增大而减小，故此时y的取值范围为 ．
当 时：y随x的增大而增大， 恒为正数，且当x趋近于0时y趋近于正无穷，x趋近于正无穷时y
趋近于0．因此，此时y的取值范围为 ．
故当 且 时，y的取值范围为 或 ，
故选：D．
6．如图，矩形 中， ，以A为圆心，1为半径作 ．若动点 在 上，动点 在
上，则 的最大值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，勾股定理的应用及圆的最值问题等，作出对称图形是本题的
关键．以 为轴作矩形 的对称图形 以及对称圆 ，连接 交 于P，并延长，交
于一点G，则 就是 最小值；根据勾股定理求得 的长，即可求得 最大值．
【详解】解：如图，以 为轴作矩形 的对称图形 以及对称圆 ，连接 交 于P，并
延长，交 于一点G，则 就是 最大值；∵矩形 中， ，圆A的半径为1，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 的最大值为6，
故选C．
二、填空题（本题共10小题，每题2分，共20分）
7．计算： ．
【答案】4
【分析】根据 解答即可．
本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握运算是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得 ．
故答案为：4．
8．某种油菜籽在相同条件下进行发芽试验，结果如下表所示：
每批粒数n 100 150 200 500 800 1000
发芽粒数m 65 111 136 345 568 700
发芽的频率
0.65 0.74 0.68 0.69 0.71 0.70
据此，可以估计该种油菜籽发芽的概率为 （精确到0.1）．
【答案】0.7
【分析】本题主要考查了用频率估计概率，
根据多次重复试验的频率稳定在概率附近，即可得出答案．
【详解】解：观察表格可知多次重复试验的频率稳定在概率附近，可以估计该种油菜籽发芽的概率为
0.7．
故答案为：0.7．9．如果关于x的一元二次方程 有一个根为2000；那么方程 必有一个根
为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，正确计算是解题的关键．对于一元二次方程 ，
设 得到 ，利用 有一个根为 得到 ，从而可判断一元二
次方程 必有一根为 ．
【详解】解∶对于一元二次方程 ，设 ，
∴ ，
而关于 的一元二次方程 有一根为 ，
∴ 有一个根为 ，
则 ，
解得 ，
∴一元二次方程 有一根为 ．
故答案为∶
10．若 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得到 ，进行求出 的
值，再进行计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
11．如图，在 中， 平分 ，交 于点 ， 平分 ，交 于点 ， ，
，则 的长为 ．
【答案】【分析】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，角平分线的定义等知识，掌握平行四边形的性质是
关键．
根据平行四边形的性质，角平分线的定义，等角对等边的判定得到 ，
，根据 ，即可求解．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
12．若关于 的方程 的解是正数，则 的取值范围是 ．
【答案】 且
【分析】本题考查分式方程的解，解题的关键是先确定方程的解，再建立关于a的不等式是求解即可．
【详解】解：∵ ，
在方程两边乘以 ，得： ，
∴ ，
∵方程的解是正数．
∴ ，
解得： 且 ，
∴ 的取值范围是 且 ．
故答案为： 且 ．
13．如图，圆O是 的外接圆， ，过点C作圆O的切线，交 的延长线于
点D，则 的度数是 ．【答案】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，90度的圆周角所对的弦是直径，根据 可
得 是 的直径，则由圆周角定理可得 ，由切线的性质推出 ，据此根据
直角三角形两锐角互余可得答案．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵ ，圆O是 的外接圆，
∴ 是 的直径，
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为： ．
14．如图，在平面直角坐标系中，函数 与 的图象交于点 ，则代数式 的值
为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据两函数相交可得： ，代入
代数式，根据完全平方公式变形，即可求解；【详解】 函数 与 的图象交于点
故答案为： ．
15．若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程 的两个实数根，且其面积为
4，则该菱形的边长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了根与系数的关系及菱形的性质，掌握菱形对角线与菱形的面积、边长间的关系，
根与系数的关系及等式的变形是解决本题的关键．
设菱形的两条对角线长分别为a、b，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再根据菱形
的边长与对角线的关系求出菱形的边长．
【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为a、b，
由题意得： ，
∵菱形面积为4，
∴ ，解得： ，
∴菱形的边长为
，
故答案为： ．
16．传统的七巧板是从我国宋代的“燕几图”演变而来的，嘉琪同学用边长为 的正方形纸板做出如图
1所示的七巧板，拼接成小鱼图案（外轮廓是轴对称图形）并把图案放到圆中，如图2所示， 三点
在圆上，圆的半径是 ．【答案】
【分析】本题考查利用轴对称设计图案，七巧板，正方形的性质，确定圆的条件，勾股定理，垂径定理等
知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．如图，延长 交 于 ，设圆心 ，连接
，先求出七巧板各个图形的边长，进而可求出 的长，由小鱼图案外轮廓是轴对称图形，得到 垂
直平分 ，得到圆心 在 上， ，再在 中利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：如图，延长 交 于 ，设圆心 ，连接 ，
∵边长为 的正方形纸板做出如图1所示的七巧板，
∴大等腰直角三角形的直角边长为 ，中等腰直角三角形的直角边长为 ，小等腰直角三角形的直角边
长为 ，小正方形的边长为 ，平行四边形的边长为 和 ，
∴ 是平行四边形的短边和中等腰直角三角形的斜边组成，即 ，
∵小鱼图案外轮廓是轴对称图形，
∴ 垂直平分 ，
∴圆心 在 上， ，
由题意可得 ，
设 ，则 ，
∵ 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，
∴圆的半径是 ，故答案为： ．
三、解答题（本题共11小题 ，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤）
17．（6分）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
（1）先化简各数，然后根据二次根式的加减运算法则进行计算即可求解；
（2）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．（6分）解方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先把分式方程化为整式方程，再解得 ，最后验根，即可作答．
（2）先把分式方程化为整式方程，再解得 ，最后验根，即可作答．【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
经检验：当 时，则 ，
∴ 是原分式方程的解．
（2）解：∵
∴
∴
∴
∴
∴ ，
经检验：当 时，则 ，
∴ 是原分式方程的解．
19．（6分）解方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解一元二次方程．根据方程形式选择合适的求解方法正确计算是解题的关键
（1）利用配方法即可求解；
（2）利用因式分解法求解．
【详解】（1）解： ，
，
.
．
；
（2）解：，
．
20．（6分）如图，已知平行四边形 ，根据所学知识，利用直尺和圆规在平行四边形内作一个菱形．
（要求：菱形的顶点都在平行四边形上）
(1)小明的作图中，用到的作图依据有_______（填序号）
①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
③有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
④对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
(2)请再用一种不同的方法作图．（保留作图痕迹，并写出简要的文字说明）
【答案】(1)①③
(2)作图见详解
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，菱形的判定，掌握菱形的判定方法是解题的关键．
（1）根据平行四边形的判定和性质，菱形的判定方法，结合作图分析即可；
（2）运用对角线互相垂直的平行四边形是菱形的方法作图即可．
【详解】（1）解：根据作图， ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，且 ，
∴平行四边形 是菱形，∴用到的作图依据有①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，③有一组邻边相等的平行四边形是菱
形，
故答案为：①③；
（2）解：如图所示，连接 ，
分别以点 为圆心，以大于 为半径画弧，交于点 ，
连接 交 于点 ，交 于点 ，
连接 ，
∴ 是 的垂直平分线，
∴ ， ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，且 ，
∴平行四边形 是菱形．
21．（8分）为了购买一台洗衣机，某市场研究小组收集了甲、乙两种功能类似的洗衣机近5周的销售量
和用户评分情况，统计结果如下：
根据以上信息，回答下列问题：
(1) 种洗衣机销售量比较稳定， 种洗衣机用户评分中位数较高（填“甲”或“乙”）；
(2)你推荐选择哪种洗衣机？请说明理由．
【答案】(1)甲；乙
(2)选择甲，理由见解析【分析】本题主要考查了条形统计图和折线统计图，中位数，
对于（1），分别观察两个统计图比较数据，再根据中位数的定义解答即可；
对于（2），根据（1）的结论判断即可．
【详解】（1）解：根据条形统计图可知
甲的销售量第1周为10台，第2周为10台，第3周为15台，第4周20台，第5周为15台；
乙的销售量第1周为5台，第2周为20台，第3周为15台，第4周15台，第5周为15台；
所以甲种洗衣液销售量比较稳定；
根据折线统计图可知甲的用户评分为6分，7分，7分，8分，9分，中位数是7分；
乙的用户评分为5分，6分，8分，8分，8分，中位数是8分，
所以乙种洗衣机用户评分中位数较高．
故答案为：甲，乙；
（2）解：甲种，理由：
因为甲种洗衣机的销售量比较稳定，且用户评分逐渐升高，说明用户比较认可，所以选择甲种．
22．（8分）在一个不透明的箱子里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，
将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，重复该操作．下表是活动进行中的一组统
计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 59 93 b 295 480 601
摸到白球的频率 0.59 a 0.61 0.59 0.60 0.601
(1)表中的 ______， ______；
(2)“摸到白球”的概率的估计值是______；（精确到0.1）
(3)如果箱子中一共有30个球，除了白球外，估计还有多少个其他颜色的球？
【答案】(1) ；
(2)
(3)除白球外，还有大约 个其它颜色的小球
【分析】本题考查利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且
摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值
就是这个事件的概率．解题的关键是掌握利用频率估计概率的意义．
（1）利用频率＝频数÷样本容量直接求解即可；
（2）根据统计数据，当 很大时，摸到白球的频率接近 ；
（3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为 ，然后利用概率公式计算出白球的个数，即可
得到其它颜色的球的个数．
【详解】（1）解： ，
，故答案为： ； ；
（2）“摸到白球”的概率的估计值是 ，
故答案为： ；
（3） （个），
∴除白球外，还有大约 个其它颜色的小球．
23．（8分）已知：关于 的方程 ．
(1)求证：无论 取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若这个方程的一个根为3，求另一个根及 的值．
【答案】(1)见解析
(2)另外一根为 ；
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据根的判别式 的符号来判定该方程的根的情况；
（2）设方程的另外一个根为3，带入可求出 的值；再利用 的值可知原方程，解之即可得到答案．
【详解】（1）证明：方程化简为： ，
根据判别式：
∴无论 取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵这个方程的一个根为3，
∴ ；解得： ，则
把 带入方程得： ；
∴ ；解得： 或 ；
∴方程得另外一根为： .
24．（8分）如图，四边形 是 的外切四边形，切点分别为 ， ， ， ．连接
．
(1)若 ，则 的长为___________；
(2)求证 ．
【答案】(1)3
(2)见解析
【分析】本题考查了内切圆的定义和性质，全等三角形的判定和性质．（1）连接 ， ， ， ，根据内切圆的定义得 ， ， ，
， ，进而得 ， ， ， ， ，
，则 ， ，再由
得 ，即可得出结论；
（2）由 证明 得 ，同理可得 ， ，
，进而可推出 ，再由
可得结论．
【详解】（1）解：如图，连接 ， ， ， ，
∵四边形 是 的外切四边形，切点分别为 ， ， ， ，
∴ ， ， ， ， ，
∴ ， ， ， ，
设 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
故答案为：3；
（2）证明：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
同理可得 ， ， ，
∴
，
又∵ ，
∴ ．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点 ，点 ，反比例函数 ；(1)求直线 的函数关系式；
(2)一条与 平行的直线 与反比例函数 图象只有一个公共点，求公共点的坐标；
(3)将线段 平移，使点 的对应点 在反比例函数图像上，则点 的对应点 能否在反比例函数图象上？
若能，请求出点 的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查反比例函数与直线的交点问题以及待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法
求函数解析式是解题的关键．
（1）用待定系数法求出直线 的函数关系式；
（2）根据直线平行的性质设出直线 的函数关系式，根据只有一个公共点即可求出答案；
（3）设 ， ，根据平移的性质和反比例函数的几何意义求出 即可得到
答案．
【详解】（1）解：设直线 的函数关系式为 ，
代入点 ，点 ，
得 ，解得 ，所以 ；
（2）解：设直线 的函数关系式为
则有 ，化简得 ，
只有一个公共点，
，
由题得 ，所以 ，则 ，故公共点坐标为 ；（3）解：设 ， ，
则有 ，
解得 ，
所以 ．
26．（10分）关于 的一元二次方程 如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另
一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”，
(1)方程① ，② 中，是“倍根方程”的序号______；
(2)若一元二次方程 是“倍根方程”，求出 的值；
(3)若 是“倍根方程”，求代数式 的值．
【答案】(1)①
(2) 的值为18
(3)代数式 的值为 或
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，涉及新定义，解题的关键是读懂“倍根方程”的定义和
分类讨论思想的应用．
（1）求出 的根为 ， ，可知 是“倍根方程”；求出 的根
为 ， ，知 不是“倍根方程”；
（2）设 的两个根为 和 ，可得 ，即可解得 的值为18；
（3）求出 ， ，可得 或 ，即 或 ，分别代入求值即可．
【详解】（1） 的根为 ， ，
，
是“倍根方程”；
的根为 ， ，
，
不是“倍根方程”；
故答案为：①；（2）由一元二次方程 是“倍根方程”，设 的两个根为 和 ，
，
解得 ；
经检验， 符合题意，
的值为18；
（3）由 得 ， ，
是“倍根方程”，
或 ，即 或 ，
当 时， ；
当 时， ；
代数式 的值为 或 ．
27．（12分）如图， 内接于 ，
(1)判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
(2)若 ， ，求弦 所对的弧长；
(3)在（2）的条件下，点C在优弧 上运动，是否存在点C，使点O到弦 的距离为 ？若有，请直接
写出 的长；若没有，请说明理由．
【答案】(1)直线 与 相切，见解析
(2) 或
(3)存在， 或
【分析】本题考查了圆的综合题：直径所对的圆周角是直角；同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半；
三角形中位线定理；垂径定理等知识点是综合运用．
（1）如图1，延长 交 于点M，连接 欲证直线 与 相切，只需证明 即可；
（2）如图2，连接 、 利用圆周角定理证得 为等边三角形；分类讨论：①当求劣弧 的弧
长时，该弧所对的圆心角的度数为 ；②当求优弧 的弧长时，该弧所对的圆心角的度数为 ；（3）①如图3，过点O作 为 的直径时，根据圆周角定理、三角形中位线定理可知
；
②如图3，过点O作 当 时，利用切线的性质、垂径定理可知
【详解】（1）解：直线 与 相切．理由如下：
如图1，延长 交 于点M，连接
是 直径，
，
，
在 中， ，且 ，
，即 ；
又 直线 经过半径 的外端点A，
直线 与 相切．
（2）解：连接 、 ，如图，
在 中， ，
，
，
为等边三角形，
，
∴ ，或者 ；
（3）解：2或
作直径 ，则 ，又 ，
∴
，
则当 是直径时满足条件，此时 ；
过点O作 当 时，垂径定理可知 则 是等边三角形．
则
