文档内容
3.2解一元一次方程
考点一：移项
移项：方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。
移项的依据：
（1）移项实际上就是对方程两边进行同时加减，根据是等式的性质1；
（2）系数化为1实际上就是对方程两边同时乘除，根据是等式的性质2。
移项的作用：移项时一般把含未知数的项向左移，常数项往右移，使左边对含未知数的项合并，右边对常数
项合并。
注意：移项时要跨越“=”号，移过的项一定要变号。
考点二：去分母
①去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的项；分子是一个整体，去分母
后应加上括号；去分母与分母化整是两个概念，不能混淆；
②去括号：遵从先去小括号，再去中括号，最后去大括号；不要漏乘括号的项；不要弄错符号；
③移项：把含有未知数的项移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边（移项要变符号） 移项要变
号；
④合并同类项：不要丢项，解方程是同解变形，每一步都是一个方程，不能像计算或化简题那样写能连
等的形式；
⑤系数化为1：:字母及其指数不变系数化成1，在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解。不
要分子、分母搞颠倒。
技巧： 化简方程
去 分母----------同乘（不漏乘）最简公分母 （等式性质2）
去 括号----------注意符号变化 （去括号法则）
移 项----------变号（留下靠前） （等式性质1）
合并同类项--------合并后符号 （合并同类项法则）
系数化为1---------除前面 （等式性质2）
题型一：合并同类项和移项1．（2022·山东·宁津县大曹镇大赵中学七年级）多项式 与多项式 的和不含二次项，
则m为（ ）
A．2 B． C．4 D．
2．（2022·广东·广州四十七中七年级期中）已知： ， ．
(1)计算： ；
(2)若 的值与y的取值无关，求x的值．
3．（2022·北京市京源学校七年级期中）解方程：
(1) ；
(2) ．
题型二：去括号问题
4．（2022·海南·儋州川绵中学七年级阶段练习）将方程 去括号正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·河南许昌·七年级期末）解方程 时，去括号正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·北京丰台二中七年级期中）解方程：
(1) (2) (3) (4)
题型三：去分母问题
7．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级）把方程 去分母后，正确的结果是（ ）
A． B．C． D．
8．（2022·全国·七年级专题）解方程 ，以下去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022·全国）解方程：
(1) ；(2) ；(3) ；(4) ．
题型四：解新定义方程问题
10．（2022·安徽·定远县程桥学校七年级阶段练习）阅读理解题：
请你仔细阅读下列材料：让我们规定一种运算： ，例如 ，请你按照这
种规定，解下列各题：
(1)求 的值；
(2)求 的值，使得 ．
11．（2022·全国·七年级课时练习）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，
那么这个方程叫做“立信方程”．
(1)若“立信方程” 的解也是关于x的方程 的解，则m=_____；
(2)若关于x的方程 的解也是“立信方程” 的解，则n=_______；
(3)若关于x的方程 的解也是关于x的方程 的解，且这两个方程都是“立信方
程”，求符合要求的正整数a和正整数k的值．12．（2022·浙江·义乌市绣湖中学教育集团七年级期中）我们知道，若点A、B在数轴上分别表示数x，y，则A、B
两点间距离可表示为 ．下面给出如下定义：对于实数a，b，n，d，若 ，则称a和b关于n的
“相对关系值”为d，例如： 则2和3关于1的“相对关系值”为3．
(1)−3和5关于1的“相对关系值”为_________：
(2)若a和2关于1的“相对关系值”为4，求a的值．
(3)若2和4关于x的“相对关系值”为10，求x的值．
题型五：一元一次方程的解
13．（2022·北京市第三十五中学七年级期中）解方程：
(1) ；(2) ；(3) ．
14．（2022·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校七年级）解方程
(1) (2) (3) (4)
15．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级阶段练习）我们规定，若关于x的一元一次方程 的解为
，则称该方程为“德强方程”．例如： 的解为 ，而 ，则该方程 就是“德强方
程”．请根据上述规定解答下列问题：
(1)若关于x的一元一次方程 是“德强方程”，则 __________．
(2)若关于x的一元一次方程 是“德强方程”，且它的解为 ，求a、b的值．
(3)若关于x的一元一次方程 和关于y的一元一次方程 都是“德强方程”，求代数式
的值．一、单选题
16．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级阶段练习）已知 是方程 的解，则k的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．5
17．（2022·全国·七年级专题练习）小云在解关于x的方程 时，误将 看作 ，得到方程的解为 ，
则原方程的解为（ ）
A． B． C． D．
18．（2022·全国·九年级专题练习）研究下面解方程 的过程：
去括号，得 ，（1）
移项，得 ，（2）
合并同类项，得 ，（3）
系数化1，得 ．
对于上面的解法，你认为（ ）
A．完全正确 B．变形错误的是（1）
C．变形错误的是（2） D．变形错误的是（3）
19．（2022·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校七年级阶段练习）下列变形正确的是（ ）
A．由 ，移项得
B．由 ，去分母得
C．由 ，去括号得
D．把 中的分母化为整数得
20．（2022·民大附中海南陵水分校七年级期中）若关于x的方程 与关于x的方程 的解互
为相反数，则m的值为（）
A．0 B．4 C．5 D．6
21．（2022·全国·七年级课时练习）在解关于y的方程 时，小明在去分母的过程中，右边的“ ”
漏乘了公分母6，因而求得方程的解为 ，则方程正确的解是（ ）
A． B． C． D．22．（2022·江苏·宿迁市洋河新区初级中学七年级期中）解方程
(1)
(2)
23．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校七年级阶段练习）已知代数式 与代数式 ，当 为何值时，代
数式 与代数式 的值相等．
一：选择题
24．（2022·全国·七年级课时练习）如图是方程 的求解过程，其中依据等式的基本性质的步骤有
（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．①④⑤
25．（2022·河南·上蔡县第一初级中学七年级阶段练习）将方程 =1去分母，得到3x+3-2x-3=6，错在
（ ）
A．最简公分母找错 B．去分母时，漏掉乘不含分母的项
C．去分母时，分子部分没有加括号 D．去分母时，各项所乘的数不同
26．（2022·湖南·七年级单元测试）已知关于x的一元一次方程 x+3＝2x+b的解为x＝﹣3，那么关于y的一元一次方程 （y+1）+3＝2（y+1）+b的解为（ ）
A．y＝1 B．y＝﹣1 C．y＝﹣3 D．y＝﹣4
27．（2022·全国·七年级）在解关于x的方程 时，小颖在去分母的过程中，右边的“ ”漏乘了公
分母15，因而求得方程的解为 ，则方程正确的解是（ ）
A． B． C． D．
28．（2022·全国·九年级专题练习）下列解方程变形：
①由3x＋4＝4x－5，得3x＋4x＝4－5；
②由 ，去分母得2x－3x＋3＝6；
③由 ，去括号得4x－2－3x＋9＝1；
④由 ，得x＝3．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
29．（2022·全国·七年级专题练习）我们把 称为二阶行列式，且 = ，如 = － =
－10．若 =6，则 的值为（ ）
A．8 B．－2 C．2 D．－5
二、填空题
30．（2022·全国·七年级单元测试）当m＝____时，单项式 与 是同类项．
31．（2022·陕西·西安市雁塔区第二中学七年级阶段练习）若代数式 与 的值相等，则
___________．
32．（2022·全国·七年级专题练习）已知a，b为定值，关于x的方程 ，无论k为何值，它的解
总是x＝2，则a＋b＝________．
33．（2022·河南·方城县广阳镇第一初级中学七年级期末）在解方程 的过程中，有如下步骤：①去分母，得 ②去括号，得 ③移项，得
④合并同类项，得 ⑤系数化为 ，得 ．
其中错误的步骤有__________．
34．（2022·全国·七年级）已知关于 的一元一次方程 的解是 ，那么关于 的一元一次方
程 的解是_________．
35．（2022·河北沧州·七年级期末）规定符号 表示 ， 两个数中较小的一个，规定符号 表示 ， 两个
数中较大的一个，例如： ， .则 ______；若 ，则
的值为______.
36．（2022·全国·七年级课时练习）已知关于 的一元一次方程 的解为 ，则关于 的一
元一次方程 的解为______．
三、解答题
37．（2022·全国·七年级专题）解方程： ．
38．（2022·全国·七年级）解下列方程：
(1) ；(2) ；(3)
39．（2022·北京市第十三中学分校七年级期中）已知 是关于x的多项式，记为 ．我们规定：
的导出多项式为 ，记为 ．例如：若 ，则 的导出多项式
．根据以上信息，解答下列问题：(1)若 ，则 ___________；
(2)若 ，求关于x的方程 的解；
(3)已知 是关于x的二次多项式， 为 的导出多项式，若关于x的方程
的解为整数，求正整数a的值．
40．（2022·北京·北师大实验中学七年级期中）我们规定一种运算 ，如 ，再
如 ．按照这种运算规定，解答下列各题：
(1)计算 ___________；
(2)若 ，求x的值；
(3)若 与 的值始终相等，求m，n的值．
41．（2022·全国·七年级）解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．42．（2022·全国·七年级）若关于x的一元一次方程： 的解是 ，其中a，m，k为常数．
(1)当 时，则k=______；
(2)当 时，且m是整数，求正整数k的值；
(3)是否存在m的值会使关于y的方程 无解，若存在请求m的值，若不存在请说明理由．1．C
【分析】由题意可以得到关于m的方程，解方程即可得到问题答案．
【详解】解：由题意可得： ，
，
∵它们的和不含二次项
∴ ，
解之可得： ，
故选：C．
【点睛】本题考查多项式的应用，熟练掌握多项式的相关概念是解题关键．
2．(1)
(2)
【分析】（1）根据整式的加减运算可进行求解；
（2）把A、B两个代数式代入进行求解，然后根据与y的取值无关可求解x的值．
【详解】（1）解：
=
= ；
（2）解： ，
∴由（1）可知： ，
∵ 的值与y的取值无关，
∴ ，
解得： ．
【点睛】本题主要考查整式的加减运算及一元一次方程的解法，熟练掌握整式的加减运算及一元一次方程的解法
是解题的关键．3．(1)
(2)
【分析】（1）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程；
（1）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程；
【详解】（1）解： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
化系数为1： ；
（2）解： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
化系数为1： ．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
4．B
【分析】根据去括号法则即可得．
【详解】解： ，
去括号，得 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次方程中的去括号，熟练掌握去括号法则是解题关键．
5．C
【分析】根据去括号法则解答即可．
【详解】解：方程
去括号得：
故选：C．
【点睛】本题考查去括号法则，即括号前是“＋”，去掉括号和括号前的“＋”，括号里面各项都不变号；括号
前是“－”，去掉括号和括号前的“－”，括号里面各项都要改变正负号；熟练掌握法则是解题的关键．
6．(1) ；
(2) ；
(3)42；
(4)3．
【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤解答即可；（2）根据解一元一次方程的步骤解答即可；
（3）根据解一元一次方程的步骤解答即可；
（4）根据解一元一次方程的步骤解答即可．
【详解】（1）解：
移项得： ，
系数化为1： ．
（2）解：
去括号得：
移项：
合并同类项：
系数化为1： ．
（3）解：
合并同类项：
系数化为1： ．
（4）解：
去括号得：
移项得：
合并同类项：
系数化为1： ．
【点睛】本题考查解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解方程的步骤：去分母，去括号，移项合并同类项，
系数化为1．
7．D
【分析】方程两边同乘以8去分母即可得．
【详解】解： ，
方程两边同乘以8去分母，得： ，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握去分母的方法是解题关键．
8．C
【分析】根据等式的基本性质求解即可．【详解】解：解方程 ，
方程两边同乘以6得： ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，利用了等式的基本性质，等式两边同时乘或除同一个数或整式，等式
两边依然相等．
9．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤依次进行计算；
（2）按照去分母，去括号，移项的步骤依次进行计算；
（3）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤依次进行计算；
（4）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤依次进行计算．
【详解】（1）解：去括号得， ，
移项得， ，
合并同类项得， ，
系数化为1得， ．
（2）解： ，
去分母得， ，
去括号得， ，
移项得， ，
合并同类项得， ．
（3）解： ，
去分母得， ，
去括号得， ，，
移项得， ，
合并同类项得， ，
系数化为1得， ．
（4）解： ，
去分母得， ，
去括号得， ，
移项得， ，
合并同类项得， ，
系数化为1得， ．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，正确的解相关方程是解题的关键．
10．(1)1
(2)
【分析】（1）根据题干定义的新运算的法则进行运算即可；
（2）先根据题干定义的新运算的法则对 和 进行化简，再联立起来解方程即可．
【详解】（1）解： ．
（2）解：
解得： ．
【点睛】本题考查有理数的混合运算和解一元一次方程，弄清题目新定义的运算规则是解题的关键．11．(1)1
(2)5
(3) ，
【分析】（1）根据“立信方程”的定义解答即可；
（2）根据 ，可得 ，再代入 ，即可求解；
（3）先求出方程 的解，可得 ，再由x的值为整数，可得 为整数，从而得
到a的值，进而得到x的值，同理求出方程 的解，再利用“立信方程”以及a和k为正整数，即可
求解．
（1）
解：2x+1=1，解得x=0；
把x=0代入 ，得：
，即1+2m=3，
解得：m=1．
故答案为：1．
（2）
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵关于x的方程 的解也是“立信方程” 的解，
∴ ，解得：n=5．
故答案为：5．
（3）
解：∵a为正整数，则a≠0，
∵ ，
∴ ，
∵该方程为“立信方程”，
∴x的值为整数，∴ 为整数，
∴a可取1，4，2， ， ， ，
∴x= ，16， ， ，38，7，
同理 ，
∴ ，根据题意得： ，
∴ ，
∴ 可取8， ，10，26，
∴此时x=17，1， ， ，
∴两方程相同的解为 ，
此时对应的a=2，k=26，
∴符合要求的正整数a的值为2，k的值为26．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解的应用，能理解立信方程的意义是解此题的关键．
12．(1)8；
(2) 或 ；
(3) 或 ．
【分析】（1）根据a和b关于n的“相对关系值”的定义，呆代入求值即可；
（2）由题意得 ，进而即可求解；
（3）由题意得 ，再分类讨论即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴−3和5关于1的“相对关系值”为：8，
故答案为8；
（2）解：∵a和2关于1的“相对关系值”为4，
∴ ，即： ，
∴ 或 ；
（3）解：∵2和4关于x的“相对关系值”为10，
∴ ，
当 时， ，解得： ；
当 时， ，解得： ，
∴ 或 ．【点睛】本题主要考查绝对值的意义，绝对值化简，解一元一次方程，关键是掌握绝对值的性质，分类讨论．
13．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）移项，解方程即可．
（2）先去括号，后依次求解即可．
（3）先去分母，再去括号，后依次求解即可．
【详解】（1）解： ，
移项，得
，
合并同类项，得
，
系数化为1，得
．
（2）解：
去括号，得
移项，得
，
合并同类项，得
，
系数化为1，得
．
（3）解： ，
去分母，得
去括号，得
移项，得
，
合并同类项，得
．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键．14．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；
（2）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；
（3）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；
（4）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可．
【详解】（1）解：
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ；
（2）解：
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ；
（3）解：
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ；
（4）解：
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，系数化为1得： ．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键．
15．(1)4
(2) ， ；
(3)10
【分析】（1）由 得， ，由关于x的一元一次方程 是“德强方程”得到 ，即可
求得答案；
（2）先求得 ，由 得， ，关于x的一元一次方程 是“德强方
程”，得到 把 代入 即可求得a的值；
（3）由题意可得 ①， ②，①＋②得， ，再利用整体代入即可求解．
【详解】（1）解：由 得， ，
∵关于x的一元一次方程 是“德强方程”，
∴ ，
∴ ；
故答案为：4
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由 得， ，
∵关于x的一元一次方程 是“德强方程”，
∴ ，
把 代入 得到，
，得到 ，
∴ ， ；
（3）∵关于x的一元一次方程 和关于y的一元一次方程 都是“德强方程”，
∴ ， ，
∴ ①， ②，
①＋②得， ，
∴
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，代数式的值，读懂题意，整体代入是求值的关键．
16．B
【分析】把 代入 ，解方程即可求得k的值．
【详解】解：把 代入 ，
得 ，
解得： ．
故选：B．
【点睛】此题考查了一元一次方程，熟练掌握方程的解的定义和一元一次方程的解法是解题的关键．
17．B
【分析】将错就错，把 代入 中，计算求出a的值，进而求出方程的解．【详解】解：把 代入方程 得： ，
移项合并得： ，
解得： ，
代入方程得： ，
解得： ．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值，解题的关键是掌握一
元一次方程的解的定义．
18．B
【分析】根据解一元一次方程的步骤判断求解即可．
【详解】解： ，
去括号，得 ，①变形错误，
正确应为： ，
移项，得 ，（2）变形正确，
合并同类项，得 ，（3）变形正确，
系数化1，得 ．（4）变形正确，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、
合并同类项、系数化为1．
19．D
【分析】运用解一元一次方程的步骤逐项判断即可．
【详解】解：A、由 ，移项得 ，原选项不符合题意；
B、由 ，去分母得 ，原选项不符合题意；
C、由 ，去括号得： ，原选项不符合题意；
D、由 ，则 ，原选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的去分母和去括号是解本题的关键．
20．D
【分析】分别求出两个方程的解，根据解互为相反数，则可求得m的值．
【详解】解方程 ，
∴解得：
解方程 ，得
由题意得：
∴
∴
∴
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次方程、相反数的应用等知识，根据相反数列出方程是解题的关键．
21．A
【分析】把y=4代入方程 得出 ，求出方程的解是a=1，把a=1代入方程
得出 ，再去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．
【详解】解：∵在解关于y的方程 时，小明在去分母的过程中，右边的“ ”漏乘了公分母6，因
而求得方程的解为y=4，
∴把y=4代入方程 ，得 ，解得：a=1，
即方程为 ，
去分母得 ，
去括号得 ，
移项得 ，
解得 ，
故选：A．
【点睛】本题考查一元一次方程的解和解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
22．(1)
(2)
【分析】（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可
【详解】（1）解：去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ；
（2）解：
分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得，系数化为1得： ．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键．
23．
【分析】根据代数式的值相等，列出关于x的方程，解方程即可．
【详解】解：由题意得： ，
解得 ，
即：当 时，代数式 与代数式 相等．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，根据题意列出关于x的方程，是解题的关键．
24．C
【分析】等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得
等式，依据性质进行判断即可．
【详解】解：
方程两边同时乘以4，去分母得： ①，
去括号得： ②，
移项得： ③，
合并同类项得： ④，
方程的两边同时除以-5得： ⑤．
∴依据等式的基本性质的步骤有①③⑤．
故选：C【点睛】本题主要考查了等式的基本性质．解题的关键是掌握等式的基本性质，等式两边加同一个数（或式子）
结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
25．C
【分析】去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，分子如果是多项式，需要将这个多项式作为整体加括
号．
【详解】解：方程 去分母得： ，
去括号得： ，
故选：C．
【点睛】本题考查解带分母的方程，先找出分母的最小公倍数，然后去分母求解.需要特别注意：分子如果是多项
式，需要将这个多项式作为整体加括号.
26．D
【分析】根据换元法得出 ，进而解答即可．
【详解】解：∵关于x的一元一次方程 x+3＝2x+b的解为x＝﹣3，
∴关于 的方程 （y+1）+3＝2（y+1）+b的解为 ，
解得： ，
故选D．
【点睛】此题考查一元一次方程的解，熟练掌握换元法是解题的关键．
27．A
【分析】先根据小颖解方程的过程求出a的值，然后正确求出原方程的解即可．
【详解】解：由题意得 的解为 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并得： ，
解得： ，故选A．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，正确理解题意是解题的关键．
28．B
【分析】根据解一元一次方程的步骤进行逐一求解判断即可．
【详解】解：①由3x+4=4x-5，得3x-4x=-5-4；方程变形错误，不符合题意；
②由 ，去分母得2x-3x-3=6；方程变形错误，不符合题意；
③由 ，去括号得4x-2-3x+9=1；正确，符合题意；
④由 ，得x= ．方程变形错误，不符合题意；
综上，正确的是③，只1个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次方程的方法．
29．D
【分析】根据二阶行列式的定义列式得一个关于m的一元一次方程，求出m的值即可．
【详解】根据题意得 =-4m-2×7，
∵ =6，
∴-4m-2×7=6，
解得m=-5．
故选：D
【点睛】本题主要考查了利用定义新运算解一元一次方程，解题的关键是读懂题意，正确的列方程．
30．4
【分析】根据同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，列方程，可得出m、n的值．
【详解】解：∵单项式 与 是同类项，
∴ ，
∴ ，
故答案为：4．
【点睛】本题考查同类项的知识，关键是掌握同类项的特点，（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同，
这两点是易混点，还要注意同类项与字母的顺序无关，与系数无关．
31．
【分析】根据题意，建立一元一次方程求解即可．【详解】因为代数式 与 的值相等，
所以 ，
解方程，得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
32．
【分析】把x＝2代入方程 ，得 ，可得 ，再根据题意可得
， ，进而可得a、b的值，从而可得答案．
【详解】解：把x＝2代入方程 ，得：
，
，
，
，
，
∵无论k为何值，它的解总是1，
∴ ， ，
解得： ， ．
则 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查方程解的定义，由k可以取任何值得到a和b的值是解题的关键．
33．①⑤##⑤①
【分析】先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，再把系数化为1，即可求解．
【详解】解：①去分母 ，
②去括号，得 ，
③移项，得 ，
④合并同类项，得 ，
⑤系数化为 ，得 ．
其中错误的步骤有①⑤．
故答案为：①⑤【点睛】本题考查解一元一次方程有关知识，根据等式的性质方程两边同时乘以各个分母的最小公倍数即可去分
母，然后依据去括号法则，移项、合并同类项求解，从而判断．
34．
【分析】根据两个方程的特点，第二个方程中的y+1相当于第一个方程中的x，据此即可求解．
【详解】∵ ，
∴ ．
∵关于x的一元一次方程 的解是x=71，
∴关于(y+1)的一元一次方程 的解为：y+1=71，
解得：y=70，
故答案为：y=70．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，理解两个方程之间的特点是解题的关键．
35． 1
【分析】根据定义得出（-2，3），[- ，- ]表示的数，再根据有理数的加法法则计算即可；
根据定义可得关于m的一元一次方程，再解方程即可求出m的值．
【详解】解：由题意可知：
(−2，3)+[− ，− ]
=-2+（- ）
=- ；
根据题意得：
m-2+3×（-m）=-4，
解得m=1．
故答案为：- ；1．
【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，根据题中给出的定义理解（a，b）与[a，b]表示的意思是解答此题的关
键．
36．2022
【分析】将 进行变形，再根据换元法得出 ，进而解答即可．【详解】 ，
，即 ，
关于 的一元一次方程 的解为 ，
关于 的一元一次方程程 的解， ，
解得： ，
故答案为：2022．
【点睛】此题考查一元一次方程的解，关键是根据换元法解答．
37．
【分析】首先去括号，继而移项、合并同类项，求解即可．
【详解】解：去括号，得： ，
移项，得：
合并同类项，得： ，
系数化为1，得： ．
【点睛】本题考查一元一次方程的求解，计算时按照运算法则去括号、合并同类项，计算注意仔细即可．
38．(1)
(2)
(3)
【分析】(1)根据解一元一次方程的步骤：去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1，即可解得；
(2)根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1，即可解得；
(3) 根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1，即可解得．
（1）
解：去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
所以，原方程的解为： ；
（2）
解：去分母得： ，去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得：
所以，原方程的解为： ；
（3）
解：去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
所以，原方程的解为 ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握和运用一元一次方程的解法是解决本题的关键．
39．(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）根据导出多项式的定义进行求解即可；
（2）先求出 的导出多项式 ，再结合 得到关于x的方程，解方程即可；
（3）先求出 的导出多项式 ，再结合 得到关于x的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：由题意得 ，
故答案为： ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ；
（3）解：∵ 是关于x的二次多项式， 为 的导出多项式，
∴ ， ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵关于x的方程 的解为整数，
∴ 的值为 或 或 或 ，
∴a的值为2，1，2.5，0.5，0，3，4.5， ，
∵a是正整数，
∴ 或 ．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，多项式的定义等等，正确理解题意求出对应的 是解题的关键．
40．(1)
(2)
(3) ，
【分析】（1）根据题意列出算式 ，计算可得；
（2）根据新定义列出关于x的方程，解方程即可得；
（3）根据新定义列出关于m，n的方程，解之可得．
【详解】（1）解：根据题意 ，
故答案为：
（2）解：根据题意 ，
转化为 ，
解方程，得 ．（3）解： ；
；
根据题意 恒成立，
即 ，
， ，
解得， ， ．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程、有理数的混合运算，解题的关键是根据新定义列出关于x的方程和关于
m，n的方程．
41．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据移项、合并同类项、系数化为1，求解即可；
（2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求解即可；
（3）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求解即可；
（4）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求解即可．
（1）
解：
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ；
（2）
解：
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，系数化为1，得 ；
（3）
解：
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ；
（4）
解：
去括号，得： ，
移项，得： ，
合并同类项，得： ，
系数化为1，得： ．
【点睛】本题考查一元一次方程的解法，正确掌握一元一次方程的解法与步骤是解题关键．
42．(1)
(2) 或2
(3)
【分析】（1）将 代入一元一次方程： 得出关于k的方程，解方程即可；
（2）把 代入 得： ，把 代入 得 ，整理得出
，根据m是整数，k为正整数，求出 或2 即可；
（3）整理方程得： ，根据方程无解，得出 ，把 代入
得 ，整理方程得出 ，把 整体代入得 ，解关
于m的方程即可．
（1）
解：∵关于x的一元一次方程： 的解是 ，∴将 代入一元一次方程： 得：
，解得： ．
故答案为： ．
（2）
解：当 时，代入方程得 ，
整理得： ，
把 代入 得 ， ，
∵m是整数，k为正整数，
∴ 、3，
∴ 或2 ．
（3）
解：整理方程得： ，
∵无解，
∴ ，即 ，
把 代入 得 ，
整理方程得 ，
把 代入得 ，解得 ．
