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模块三 统计与概率基础
第 09 讲 统计与概率
（思维导图+2考点+16种题型+命题预测）
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03核心精讲·题型突破
考点一 统计图表
►题型01 频数分布表+条形图
►题型02 频数分布表+扇形图
►题型03 条形图+扇形图
►题型04 条形图+折线图
►题型05 直方图+扇形图
考点二 统计与概率
►题型01 概率选填题-摸球情景
►题型02 概率选填题-选人情景
►题型03 概率选填题-选项目情景
►题型04 概率选填题-数字情景
►题型05 概率选填题-跨学科情景
►题型06 概率选填题-匹配情景
►题型07 概率选填题-其它情景
►题型08 列举法求概率-放回类
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►题型09 列举法求概率-不放回类
►题型10 列举法求概率-游戏与方案问题
►题型11 统计与概率
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01考情透视·目标导航
中考考点 命题预测
【统计热考内容】
1. 数据信息的获取与运用：借助统计图表，考生需要能够读取、分析和综合运用数据
信息。这类题目通常结合条形图、扇形图、折线图等多种图表形式，要求考生根据图表
信息解决具体问题，如推测数据趋势、计算百分比等。
2. 决策推断能力的考查：统计部分越来越注重考查考生的决策推断能力。题目往往要
求考生根据统计结果作出合理判断和推测，例如根据销售数据提出进货建议，或根据调
查结果评估某种政策的实施效果。
【概率热考内容】
1. 概率与实验的结合：考生需要通过大量重复试验理解频率与概率的关系，并能利用
频率来估计概率。这类题目通常涉及实际情境，如掷硬币、抽奖等，要求考生计算事件
发生的概率。
统计与概率
2. 概率计算方法的运用：中考还会考查考生运用树状图、列表法等工具来计算复杂事
件的概率。此外，游戏的公平性问题也是常见的考查点，要求考生判断游戏规则是否公
平，并说明理由。
【趋势与备考建议】
1. 贴近生活实际：中考统计与概率的题目越来越贴近生活实际，考生应注重培养在实
际情境中应用统计与概率知识的能力。
2. 综合能力的考查：除了基础知识和技能，中考越来越注重考查考生的数据分析能
力、决策推断能力和综合运用能力。因此，考生在备考过程中应多做综合性题目，提高
自己的分析问题和解决问题的能力。
3. 重视实践操作：概率部分的学习应注重实践操作，通过亲身实验来理解概率的概念
和计算方法，加深对知识的掌握。
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02知识导图·思维引航
03 核心精讲 · 题型突破
考点一 统计图表
►题型01 频数分布表+条形图
1．（2024·安徽·中考真题）综合与实践
【项目背景】
无核柑橘是我省西南山区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园．在柑橘收获季节，班级同学前
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往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对
两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考．
【数据收集与整理】
从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．
柑橘直径用x（单位：cm）表示．
将所收集的样本数据进行如下分组：
组别 A B C D E
x 3.5≤x<4.5 4.5≤x<5.5 5.5≤x<6.5 6.5≤x<7.5 7.5≤x≤8.5
整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数直方图，部分信息如下：
任务1 求图1中a的值．
【数据分析与运用】
任务2 A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数．
任务3 下列结论一定正确的是______（填正确结论的序号）．
①两园样本数据的中位数均在C组；
②两园样本数据的众数均在C组；
③两园样本数据的最大数与最小数的差相等．
任务4 结合市场情况，将C，D两组的柑橘认定为一级，B组的柑橘认定为二级，其它组的柑橘认定为三
级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由．
根据所给信息，请完成以上所有任务．
【答案】任务1：40；任务2：6；任务3：①；任务4：乙园的柑橘品质更优，理由见解析
【分析】题目主要考查统计表及频数分布直方图，平均数、中位数及众数的求法，根据图标获取相关信息
是解题关键．
任务1：直接根据总数减去各部分的数据即可；
任务2：根据加权平均数的计算方法求解即可；
任务3：根据中位数、众数的定义及样本中的数据求解即可；
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任务4：分别计算甲和乙的一级率，比较即可．
【详解】解：任务1：a=200−15−70−50−25=40；
15×4+50×5+70×6+50×7+15×8
任务2： =6，
200
乙园样本数据的平均数为6；
任务3：①∵15+70<100,15+70+50>101，
∴甲园样本数据的中位数在C组，
∵15+50<100,15+50+70>101，
∴乙园样本数据的中位数在C组，故①正确；
②由样本数据频数直方图得，甲园样本数据的众数均在B组，乙园样本数据的众数均在C组，故②错误；
③无法判断两园样本数据的最大数与最小数的差是否相等，故③错误；
故答案为：①；
50+40
任务4：甲园样本数据的一级率为： ×100%=45%，
200
70+50
乙园样本数据的一级率为： ×100%=60%，
200
∵乙园样本数据的一级率高于甲园样本数据的一级率，
∴乙园的柑橘品质更优．
2．（2023·江西·中考真题）为了解中学生的视力情况，某区卫健部门决定随机抽取本区部分初、高中学生
进行调查，并对他们的视力数据进行整理，得到如下统计表和统计图．
整理描述
初中学生视力情况统计表
人
视力 百分比
数
0.6及以下 8 4%
0.7 16 8%
0.8 28 14%
0.9 34 17%
1.0 m 34%
1.1及以上 46 n
合计 200 100%
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高中学生视力情况统计图
(1)m=_______，n=_______；
(2)被调查的高中学生视力情况的样本容量为_______；
(3)分析处理：①小胡说：“初中学生的视力水平比高中学生的好．”请你对小胡的说法进行判断，并选择
一个能反映总体的统计量说明理由：
②约定：视力未达到1.0为视力不良．若该区有26000名中学生，估计该区有多少名中学生视力不良？并对
视力保护提出一条合理化建议．
【答案】(1)68；23%；
(2)320；
(3)①小胡的说法合理，选择中位数，理由见解析；②14300人，合理化建议见解析，合理即可．
【分析】（1）由总人数乘以视力为1.0的百分比可得m的值，再由视力1．1及以上的人数除以总人数可得
n的值；
（2）由条形统计图中各数据之和可得答案；
（3）①选择视力的中位数进行比较即可得到小胡说法合理；②由中学生总人数乘以样本中视力不良的百
分比即可，根据自身体会提出合理化建议即可．
【详解】（1）解：由题意可得：初中样本总人数为：200人，
∴m=34%×200=68（人），n=46÷200=23%；
（2）由题意可得：14+44+60+82+65+55=320，
∴被调查的高中学生视力情况的样本容量为320；
（3）①小胡说：“初中学生的视力水平比高中学生的好．”
小胡的说法合理；
初中学生视力的中位数为第100个与第101个数据的平均数，落在视力为1.0这一组，
而高中学生视力的中位数为第160个与第161个数据的平均数，落在视力为0.9的这一组，
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而1.0>0.9，
∴小胡的说法合理．
8+16+28+34+14+44+60+82
②由题意可得：26000× =14300（人），
200+320
∴该区有26000名中学生，估计该区有14300名中学生视力不良；
合理化建议为：学校可以多开展用眼知识的普及，规定时刻做眼保健操．
【点睛】本题考查的是从频数分布表与频数分布直方图中获取信息，中位数的含义，利用样本估计总体，
理解题意，确定合适的统计量解决问题是解本题的关键．
►题型02 频数分布表+扇形图
3．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各一小
时体育活动时间”的要求，某学校要求学生每天坚持体育锻炼．学校从全体男生中随机抽取了部分学生，
调查他们的立定跳远成绩，整理如下不完整的频数分布表和统计图，结合下图解答下列问题：
组 频
分组（cm）
别 数
A 50
20，
∴中位数落在D组，
∴20，21两个数是：93，93，
93+93
∴中位数m= =93；
2
故答案为：93；
（3）解：∵57.4>49.2，
∴八年级的学生测试成绩较整齐；
14
（4）解：由题意可得，200× =70（人），
40
所以，该年级成绩不低于95分的学生约有70人；
故答案为：70．
6．（2024·辽宁·中考真题）某校为了解七年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校七年级部分
学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩x均为不
小于60的整数，分为四个等级：D：60≤x<70，C：70≤x<80，B：80≤x<90，A：90≤x≤100），部
分信息如下：
信息一：
信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下：
80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89
请根据以上信息，解答下列问题：
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(1)求所抽取的学生成组为C等级的人数；
(2)求所抽取的学生成绩的中位数；
(3)该校七年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数．
【答案】(1)7人
(2)85
(3)120人
【分析】本题考查了扇形统计图和频数分布直方图，中位数，用样本估计总体，正确理解题意是解题的关
键．
（1）先根据B的人数以及所占百分比求得总人数，再拿总人数减去A、B、D的人数即可；
（2）总人数为30人，因此中位数是第15和第16名同学的成绩的平均数，由于C中7人，D中1人，B中
12人，故中位数是B中第7和第8名同学的成绩的平均数，因此中位数为：(84+86)÷2=85；
（3）拿360乘以A等级的人数所占百分比即可．
【详解】（1）解：总人数为：12÷40%=30（人），
∴抽取的学生成组为C等级的人数为：30−1−12−10=7（人）；
（2）解：总人数为30人，因此中位数是第15和第16名同学的成绩的平均数，
∵C中7人，D中1人，B中12人，故中位数是B中第7和第8名同学的成绩的平均数，
∴中位数为：(84+86)÷2=85；
10
（3）解：成绩为A等级的人数为：360× =120（人），
30
答：成绩为A等级的人数为120．
7．（2024·山西大同·三模）为营造健康向上的校园足球文化氛围，丰富学生课余体育文化生活、激发学生
对足球的兴趣，增强学生体质，某校举行足球运动员选拔赛，报名参加选拔赛的学生需要参加5×25米折
返跑、传准、运射、比赛四项指标的考核，每项满分为100分，确定各项得分后再按照下面表格的比例计
算出每人的总成绩．
类别 专项素质 专项技术 实战能力
5×25米折返
考核指标 传准 运射 比赛
跑
比例 20% 20% 20% 40%
全校共有300名学生参加这次选拔赛．校学生会从中随机抽取n名学生的最终比赛成绩进行了分析，把总
成绩（满分100分，所有成绩均不低于60分）分成四个等级（D：60≤x<70；C：70≤x<80；B：
80≤x<90；A：90≤x≤100），并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
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请根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：n=______，m=______；
(2)请补全频数分布直方图；
(3)参赛同学小祺四项考核指标5×25米折返跑、传准、运射、比赛成绩分别为90分，85分，95分，80分，
请你计算出他的总成绩；
(4)该校计划从报名的300名同学中按比赛成绩从高到低选拔48名足球运动员，请你通过计算估计小祺能
否入选．
【答案】(1)150；36
(2)见解析
(3)小祺同学的总成绩是86分；
(4)小祺同学不能入选．
【分析】本题考查了频数分布直方图、扇形统计图、用样本评估总体：
（1）根据B等级的人数和占比，可求得样本容量，再根据C等级的人数即可求得m的值；
（2）求得A等级的人数，可补全频数分布直方图；
（3）利用加权平均数的计算方法即可求解；
（3）利用样本估计总体即可求解．
【详解】（1）解：n=60÷40%=150（人），
54
m%= ×100%=36%，
150
∴m=36，
故答案为：150；36；
（2）解：A等级的人数有150−54−60−24=12（人），
补全频数分布直方图如图所示；
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（3）解：小祺同学的总成绩是90×20%+85×20%+95×20%+80×40%=86（分）；
24
（4）解：在90≤x≤100分的人数有：300× =48（人），
150
答：小祺同学86分的总成绩不能入选．
8．（2024·江苏淮安·一模）某同学家准备购买一辆新能源汽车．在预算范围内，收集了A，B两款汽车在
2022年9月至2023年3月期间的国内销售量和网友对车辆的外观造型、舒适程度、操控性能、售后服务等
四项评分数据，统计如下：
(1)数据分析：
①B款新能源汽车在2022年9月至2023年3月期间月销售量的中位数为 ；
②若将车辆的外观造型、舒适程度、操控性能，售后服务四项评分数据按1∶3∶3∶3的比例统计，求A款新能
源汽车四项评分数据的平均数．
(2)合理建议：
请你按照第（1）问中四项评分数据的比例，并结合销售量，在A、B两款汽车中给出你的推荐，并说明理
由．
【答案】(1)①4667；②67.5
(2)B车平均分69.7分，高于A车的平均分，且A车销量一直下滑，所以我推荐B车
【分析】本题考查中位数，平均数，根据统计数据作决策．
（1）①根据中位数的定义求解；
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②根据加权平均数的计算方法求解即可；
（2）计算B车的平均分，比较两车的平均分与近期销量，即可解答．
【详解】（1）①将B款新能源汽车在2022年9月至2023年3月期间月销售量排序为：
1563，2248，3279，4667，4922，8153，8840，
处于中间位置的是4667，故中位数为4667．
故答案为：4667
72×1+70×3+67×3+64×3
②x= =67.5
1+3+3+3
∴A款新能源汽车四项评分数据的平均数为67.5分．
70×1+71×3+70×3+68×3
（2）∵B款新能源汽车四项评分数据的平均分为x= =69.7（分），
1+3+3+3
∴B车平均分高于A车的平均分，
又A车销量一直下滑，
∴我推荐B车．
9．（2024·山西朔州·一模）为了鼓励同学们多读书、读好书，某校开展了主题为“走进图书馆·悦享书世
界”的读书活动.“综合实践”小组的同学想要了解本校学生在这次活动中借阅图书的情况，于是从全校
1200名学生中随机抽取200名学生，并对200名学生的图书借阅记录进行统计，形成了如下的调查报告
（不完整）：
××中学学生借阅图书情况调查报告
调查主题 ××中学学生借阅图书情况
调查方式 抽样调查 调查对象 ××中学学生
第一项各
类图书借
阅量统计
数据的收
集、整理 说明：A表示科普
与描述
类；B表示文学类；C表示艺术类；D表示其他
图书借阅量/本 0 1 2 3 …
第二项学
生个人借
人数/名 11 20 72 30 …
阅量统计
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调查结论 ……
请根据以上调查报告，解答下列问题：
(1)求被调查的200名学生在本次活动中借阅图书的总数量，并将条形统计图补充完整．
(2)估计该校所有学生中，图书借阅数量为3本及以上的学生有多少名．
(3)在制定方案时，小亮给出的初步方案是随机抽取200名九年级学生，并对他们的图书借阅记录进行统计.
但经过小组讨论，方案被否决了．请指出该方案被否决的原因．
【答案】(1)720本，见解析
(2)582名
(3)见解析
【分析】本题考查数据的整理与分析，解题的关键是掌握扇形统计图，样本估计总体以及样本的选择，即
可．
（1）根据扇形统计图和条形统计图得，B类书籍占总体书籍的40%，即可求出总体书籍；并补全条形统计
图；
（2）根据学生个人借阅量统计，求出图书借阅数量为3本及以上的学生人数，再根据样本估计总体，即可；
（3）根据抽样调查选择样本，即可．
【详解】（1）借阅图书的总数量为：288÷40%=720（本）；
∴A类书籍的借阅量为：720×35%=252（本），
C类书籍的借阅量为：720×15%=108（本），
D类书籍的借阅量为：720×(1−35%−40%−15%)=72（本），
补全统计图如下：
答：被调查的200名学生在本次活动中借阅图书的总数量为720本．
200−11−20−72
（2） ×1200=582（名）
200
答：估计该校图书借阅数量为3本及以上的学生有582名．
（3）小亮在选择样本时出现问题，小组想了解全校学生在读书活动中不同种类图书的借阅情况，他只是
在九年级中选择调查对象，因此样本的选择不具备代表性．（写出一条，言之有理即可）
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考点二 统计与概率
►题型01 概率选填题-摸球情景
1．（2024·内蒙古通辽·中考真题）不透明的袋子中装有1个红球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别，
从中随机摸出一个球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个球，那么两次都摸出白球的概率是（ ）
1 1 4 2
A． B． C． D．
9 3 9 3
【答案】C
【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率．根据题意，列出表格，可得一共有9种等可能结果，
其中两次都摸出白球的有4种，再由概率公式计算，即可求解．
【详解】解：根据题意，列出表格如下：
红 白1 白2
红 （红，红） （白1，红） （白2，红）
白1 （红，白1） （白1，白1） （白2，白1）
白2 （红，白2） （白1，白2） （白2，白2）
一共有9种等可能结果，其中两次都摸出白球的有4种，
4
所以两次都摸出白球的概率是 ．
9
故选：C
2．（2024·上海·中考真题）一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同随机从中摸一个球，
3
恰好摸到绿球的概率是 ，则袋子中至少有 个绿球．
5
【答案】3
【分析】本题主要考查了已知概率求数量，一元一次不等式的应用，设袋子中绿球有3x个，则根据概率计
算公式得到球的总数为5x个，则白球的数量为2x个，再由每种球的个数为正整数，列出不等式求解即可．
【详解】解：设袋子中绿球有3x个，
3
∵摸到绿球的概率是 ，
5
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3
∴球的总数为3x÷ =5x个，
5
∴白球的数量为5x−3x=2x个，
∵每种球的个数为正整数，
∴2x>0，且x为正整数，
∴x>0，且x为正整数，
∴x的最小值为1，
∴绿球的个数的最小值为3，
∴袋子中至少有3个绿球，
故答案为：3．
3．（2023·辽宁锦州·中考真题）一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同．
经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25左右，则盒子中红球的个数约为 ．
【答案】15
【分析】设袋子中红球有x个，根据摸到黑球的频率稳定在0.25左右，可列出关于x的方程，求出x的值，
从而得出结果．
【详解】解：设袋子中红球有x个，
5
根据题意，得 =0.25,
x+5
∴x=15,
∴盒子中红球的个数约为15，
故答案为：15.
【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，熟练掌握求概率公式是解此题的关键．
►题型02 概率选填题-选人情景
4．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）某校八年级3班承担下周学校升旗任务，老师从备选的甲、乙、丙、
丁四名同学中，选择两名担任升旗手，则甲、乙两名同学同时被选中的概率是（ ）
1 1 1 2
A． B． C． D．
6 8 4 3
【答案】A
【分析】本题考查画树状图或列表法求概率，列表适用于两个因素的问题，三个或三个以上因素的问题只
能用树状图．根据列表法或者树状图分析出所有可能的结果，然后根据概率公式求出结果即可．
【详解】解：列表如下：
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甲 乙 丙 丁
（甲，
甲 （甲，丙） （甲，丁）
乙）
乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁）
（丙，
丙 （丙，甲） （丙，丁）
乙）
（丁，
丁 （丁，甲） （丁，丙）
乙）
由列表可知，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两名同学同时被选中的情况有2种，则甲、乙两名同学
2 1
同时被选中的概率是 = ．
12 6
故选：A．
5．（2022·河南·中考真题）为开展“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育宣讲活动，某单位
从甲、乙、丙、丁四名宣讲员中随机选取两名进行宣讲，则恰好选中甲和丙的概率为 ．
1
【答案】
6
【分析】根据题意，画出树状图，可得一共有12种等可能结果，其中恰好选中甲和丙的有2种，再根据概
率公式计算，即可求解．
【详解】解：根据题意，画出树状图，如下∶
一共有12种等可能结果，其中恰好选中甲和丙的有2种，
2 1
所以恰好选中甲和丙的概率为 = ．
12 6
1
故答案为：
6
【点睛】利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键．
6．（2024·山东济南·中考真题）3月14日是国际数学节、某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”
“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们
恰好选到同一个活动的概率是（ ）
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1 1 1 2
A． B． C． D．
9 6 3 3
【答案】C
【分析】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选
出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．正确画出树状图是解题的关
键．画树状图，共有9种等可能的结果，小红和小丽恰好选到同一个活动的结果有3种，再由概率公式求
解即可．
【详解】解：把“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个活动分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，小红和小丽恰好选到同一个活动的结果有3种，
3 1
∴小红和小丽恰好选到同一个活动的概率为 = ，
9 3
故选：C．
►题型03 概率选填题-选项目情景
7．（2024·内蒙古包头·中考真题）为发展学生的阅读素养，某校开设了《西游记》《三国演义》《水浒
传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目，甲、乙两名同学都通过抽签的方式从这四个阅读项目中随机抽取
一个．则他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
16 12 6 4
【答案】D
【分析】本题考查概率的计算，掌握画树状图法或列表法是关键，事件发生的概率=事件发生的次数÷所有
可能出现的次数，解题的易错点是分清题目中抽签是否放回．先画树状图求出两位同学恰好都抽到同一个
阅读项目的情况，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：设《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目分别为
A、B、C、D，
画树状图如下：
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一共有16种等可能的结果，其中恰好抽到同一个阅读项目的结果有4种可能，
4 1
∴他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是 = ，
16 4
故选：D．
8．（2024·内蒙古·中考真题）如图，有4张分别印有卡通西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟
净．现将这4张卡片（除图案不同外，其余均相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中随机取出1张卡片，
然后放回并搅匀，再从中随机取出1张卡片，则两次取到相同图案的卡片的概率为 ．
1
【答案】
4
【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先画出树状图，从而可得随机两次
取出卡片的所有等可能的结果，再找出两次取到相同图案的卡片的结果，然后利用概率公式求解即可得．
【详解】解：将这4张卡片记为A,B,C,D，画出树状图如下：
由图可知，随机两次取出卡片的所有等可能的结果共有16种，其中，两次取到相同图案的卡片的结果有4
种，
4 1
则两次取到相同图案的卡片的概率为P= = ，
16 4
1
故答案为： ．
4
►题型04 概率选填题-数字情景
8
9．（2024·四川雅安·中考真题）将−2， ，π，0，√2，3.14这6个数分别写在6张同样的卡片上，从中
7
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随机抽取1张，卡片上的数为有理数的概率是 ．
2
【答案】
3
【分析】本题考查概率的求法与运用，有理数与无理数的识别，一般方法：如果一个事件有n种可能，而
m
且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．先根据无理数的定
n
8
义得到取到有理数的有−2， ，0，3.14这4种结果，再根据概率公式即可求解．
7
8
【详解】解：将−2， ，π，0，√2，3.14这6个数分别写在6张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌上，
7
8
任取一张，有6种等可能结果，其中取到有理数的有−2， ，0，3.14这4种结果，
7
4 2
所以取到有理数的概率为 = ，
6 3
2
故答案为： ．
3
10．（2023·四川德阳·中考真题）在6，7，8，9四个数字中任意选取两个数字，则这两个数字之和为奇数
的概率是（ ）
1 1 2 1
A． B． C． D．
3 2 3 4
【答案】C
【分析】先列表得到所有的等可能的结果数，再确定符合条件的结果数，再利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：列表如下：
6 7 8 9
6 13 14 15
7 13 15 16
8 14 15 17
9 15 16 17
所有等可能的结果数为12个，和为奇数的结果数有8个，
∴在6，7，8，9四个数字中任意选取两个数字，则这两个数字之和为奇数的概率是
8 2
= ；
12 3
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故选C
【点睛】本题考查的是利用列表法或画树状图的方法求概率，掌握列表的方法是解本题的关键．
11．（2023·安徽·中考真题）如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为
“平稳数”．用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为
（ ）
5 1 1 2
A． B． C． D．
9 2 3 9
【答案】C
【分析】根据题意列出所有可能，根据新定义，得出2种可能是“平稳数”，根据概率公式即可求解．
【详解】解：依题意，用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，可能结果有，
123,132,213,231,312,321共六种可能，
只有123，321是“平稳数”
2 1
∴恰好是“平稳数”的概率为 =
6 3
故选：C．
【点睛】本题考查了新定义，概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
12．（2023·山东聊城·中考真题）在一个不透明的袋子中，装有五个分别标有数字−√3，√6，0，2，π的
小球，这些小球除数字外其他完全相同．从袋子中随机摸出两个小球，两球上的数字之积恰好是有理数的
概率为 ．
2
【答案】 /0.4
5
【分析】列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【详解】解：根据题意列表如下：
−√3 √6 0 2 π
−√3 −3√20 −2√3−√3π
√6 −3√2 0 2√6 √6π
0 0 0 0 0
2 −2√32√6 0 2π
π −√3π√6π 0 2π
共有20种等可能出现的结果，两球上的数字之积恰好是有理数的有8种，
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8 2
∴两球上的数字之积恰好是有理数的概率为P= = ，
20 5
2
故答案为： ．
5
【点睛】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，
适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况
数与总情况数之比．
►题型05 概率选填题-跨学科情景
13．（2024·河南·模拟预测）有大小与材质完全相同的四张卡片，其正面分别书写化学元素符号“ H，O，
Mg，Na”，将卡片置于暗箱摇匀后随机抽取两张，则上面书写的符号一个是金属元素一个是非金属元素
的概率是 ．
2
【答案】
3
【分析】本题考查了画树状图法或列表法求等可能情形下的概率计算；画树状图法或列表法，利用概率计
n
算公式P= ，即可求解；能理解放回与不放回的区别是解题的关键．
m
【详解】解：树状图如下
其中共12种等可能情况，书写的符号一个是金属元素一个是非金属元素有8种，
8 2
∴P= = ，
12 3
2
故答案： ．
3
14．（2024·福建三明·二模）小亮学习物理《电流和电路》后设计如图所示的一个电路图，其中S ，S ，
1 2
S 3分别表示三个可开闭的开关，“⊗”表示小灯泡，“ ”表示电池．当随机闭合开关 S 1， S 2， S 3中的两
个，小灯泡发光的概率是 ．
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2
【答案】
3
【分析】本题考查了用树形图法求概率，画树状图，共有6种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有4种，
再由概率公式求解即可．
【详解】画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有4种，
4 2
∴小灯泡发光的概率为 = ．
6 3
15．（2023·广西·模拟预测）如图为四张背面完全相同，正面画有常见生活现象的卡片．现将所有卡片背
面朝上放在桌面上洗匀，从中随机抽取两张，则抽到的生活现象均为物理现象的概率是（ ）
1 1 1 5
A． B． C． D．
6 3 2 6
【答案】A
【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率，根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符
合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：“冰雪消融”，“食物发霉”，“火柴燃烧”和“灯泡发光”分别用a、b、c、d表示，画树
状图如下：
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共有12种得可能的结果，抽到的两张卡片恰好是“冰雪消融”和“灯泡发光”的结果有2种，
2 1
则恰好抽到的生活现象均为化学反应的概率是 = ．
12 6
故选：A．
16．（2024·安徽合肥·一模）实验室的试管架上有三个试管，分别装有NaOH，KOH，HCl溶液，某同学将
酚酞试剂随机滴入两个试管内，则试管中溶液同时变红的概率为（ ）
1 1 1 2
A． B． C． D．
3 2 6 3
【答案】A
【分析】本题考查列表法与树状图法，列表可得出所有等可能的结果数以及试管中溶液同时变红的结果数，
再利用概率公式可得出答案．熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
【详解】解：列表如下：
NaOH KOH HCl
NaOH (NaOH,KOH) (NaOH,HCl)
KOH (KOH,NaOH) (KOH,HCl)
HCl (HCl,NaOH) (HCl,KOH)
共有6种等可能的结果，其中试管中溶液同时变红的结果有：(NaOH,KOH)，(KOH,NaOH)，共2种，
2 1
∴试管中溶液同时变红的概率为 = ．
6 3
故选：A．
►题型06 概率选填题-匹配情景.
17．（2023·山西太原·一模）有外形相同的两把锁和两把钥匙，每把钥匙只能打开其中的一把锁，每把锁
只能被其中的一把钥匙打开．现将锁和钥匙随机配对，每把锁和钥匙各一把，则至少有一把锁能被打开的
概率为 ．
1
【答案】 /0.5
2
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【分析】先画出树状图得到所有的等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式
求解即可．
【详解】解：设两把锁分别为锁甲和锁乙，对应的钥匙为钥匙甲，钥匙乙，画树状图如下：
由树状图可知一共有4种等可能性的结果数，其中至少有一把锁能被打开的结果数有2种，
2 1
∴至少有一把锁能被打开的概率为 = ，
4 2
1
故答案为： ．
2
【点睛】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．
18．（2024·黑龙江大庆·三模）为落实“垃圾分类”，环卫部门将某住宅小区的垃圾箱设置为A，B，C三
类．广宇家附近恰好有A，B，C三类垃圾箱各一个，广宇姐姐将家中的垃圾对应分为A，B两包，如果广
宇将两包垃圾随机投放到其中的两个垃圾箱中，能实现对应投放的概率为 。
1
【答案】
6
【分析】通过画树状图得出所有6种等可能的结果数，找出两包垃圾随机投放到其中的两个垃圾箱中，能
实现对应投放的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中将两包垃圾随机投放到其中的两个垃圾箱中，能实现对应投放的结果数为
1，
1
所以将两包垃圾随机投放到其中的两个垃圾箱中，能实现对应投放的概率= ．
6
1
故答案为： ．
6
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►题型07 概率选填题-其它情景
19．（2023·山东烟台·中考真题）如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，
以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正
方形内的某一点上．若小球停在阴影部分的概率为P ，停在空白部分的概率为P ，则P 与P 的大小关系
1 2 1 2
为（ ）
A．P P D．无法判断
1 2 1 2 1 2
【答案】B
【分析】根据题意可得阴影部分面积等于正方形面积的一半，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，连接AE，BD交于O，
由题意得，A，B，C，D分别是正方形四条边的中点，
∴点O为正方形的中心，
∴S =S ，
四边形AOBF 四边形AODC
根据题意，可得扇形OAB的面积等于扇形CAD的面积，
∴S −S =S −S ，
四边形AOBF 扇形OAB 四边形AODC 扇形AOC
∴阴影部分面积等于空白部分面积，即阴影部分面积等于正方形面积的一半
∴P =P ，
1 2
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，扇形面积，几何概率，得出阴影部分面积等于正方形面积的一半是解
题的关键．
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20．（2024·北京·模拟预测）一个不透明的袋中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外，没有任何其他
区别．有如下两个活动：活动1：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后从袋中剩余的球中再随机摸
出一个球，摸出的两个球都是红球的概率记为P ；活动2：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后把
1
这个球放回袋中并摇匀，重新从袋中随机摸出一个球，两次摸出的球都是红球的概率记为P ．请你猜想P ，
2 1
P 的大小关系是：P P ，（填“＞”“＝”或“＜”）
2 1 2
【答案】＜
【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合
于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总
情况数之比．分别画出树状图求出P ，P ，进而可判断P ，P 的大小关系．
1 2 1 2
【详解】解：猜想P
87.4
所以，整体发挥较好的是甲班和乙班，
∵S2 8.3，
∴有一人成绩达不到优秀，故小红的说法错误；
（3）列表为：
甲 乙 丙
甲， 甲，
甲
乙 丙
乙， 乙，
乙
甲 丙
丙， 丙，
丙
甲 乙
由表格可知共有6种等可能结果，其中抽中甲的有4种，
4 2
故甲被抽中的概率为 = ．
6 3
1.公式法
概率的计算方法：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件
A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率 ，即 .
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用 求概率时，试验需满足的条件：1）在一次试验中，可能出现的结果只有有限个；
2）在一次试验中，各种结果出现的可能性相等.
2.列举法
定义：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可
通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法.
用列举法求概率的前提：1）所有可能出现的结果是有限个；2）每个结果出现的可能性相等.
3.列表法
定义：当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的结果，
这种方法叫列表法.
4.画树状图法
定义：当事件要经过多个步骤完成时，用树状图的形式不重不漏地列出所有可能的结果的方法叫画树
状图法.
5.用频率估计概率
一般地，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且随着试验次数增多，
摆动的幅度会减小.因此，当试验次数很大时，可以用一个事件发生的频率作为其概率的估计值.
1．（2025·河南周口·一模）现有四张正面印有神舟载人航天飞行任务标识的卡片，它们除内容标识之外其
他完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片中恰有一张正面印有
“神舟十九号载人飞行任务”的概率为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
2 4 6 8
【答案】A
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，抽取的两张卡片中恰有一张正面印有“神舟十九号载人飞行
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任务”的结果有2种，再由概率公式求解即可．此题考查的是树状图法以及概率公式．树状图法可以不重
复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数
与总情况数之比．
【详解】解：把印有神舟十六号载人飞行任务、神舟十七号载人飞行任务，神舟十八号载人飞行任务的卡
片分别记为：A、B、C、D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，则抽取的两张卡片中恰有一张正面印有“神舟十九号载人飞行任务”的有6种，
6 1
∴抽取的两张卡片中恰有一张正面印有“神舟十九号载人飞行任务”的概率为 = ，
12 2
故选：A．
2．（2025·山西·模拟预测）经过一个“T”字型路口的行人，可能右拐，可能左拐．假设这两种可能性相
同.某一定时间内随机有三人经过该路口，则恰好有两人左拐的概率为（ ）
1 3 3 7
A． B． C． D．
4 8 4 8
【答案】B
【分析】本题考查用树状图求事件的概率，概率的计算公式，正确理解题意并列举所有可能的情况是解题
的关键．
用树状图列举出所有等可能的情况，计算恰好有两人左拐的次数，利用概率计算公式求解．
【详解】树状图如下：
共有8种等可能的情况，其中恰好有两人左拐的有3种，
3
∴P（恰好有两人左拐）= ，
8
故选：B．
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3．（2025·广东·模拟预测）某社区开展“垃圾分类、倡文明”志愿服务活动．小刚、小强计划利用寒假从
甲，乙，丙，丁四个志愿服务队中，随机选择一个参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一个服务队的概
率是（ ）
1 1 1 3
A． B． C． D．
2 3 4 16
【答案】C
【分析】本题考查了列表法与树状图法：画出树状图展示所有16种等可能的结果数，找出两人恰好选择同
一个服务队的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：列表如图：
甲 乙 丙 丁
（乙，
甲 （甲，甲） （丙，甲） （丁，甲）
甲）
（乙，
乙 （甲，乙） （丙，乙） （丁，乙）
乙）
（乙，
丙 （甲，丙） （丙，丙） （丁，丙）
丙）
（乙，
丁 （甲，丁） （丙，丁） （丁，丁）
丁）
共有16种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一个服务队的结果数为4种，小刚、小强恰好选到同一队
4 1
的概率是 = ，
16 4
故选C．
4．（2025·河南郑州·一模）酚酞是一种常用的酸碱指示剂．通常情况下酚酞遇酸溶液不变色，遇碱溶液变
红色．实验室有四瓶没有标签的无色溶液，分别是NaOH溶液、Ca(OH) 溶液、稀盐酸、稀硫酸．小刚随
2
机选了两瓶溶液并各滴入一滴酚酞试剂，则这两瓶溶液只有一瓶变红色的概率为 ．
2
【答案】
3
【分析】此题考查了列表法求概率，解题的关键是掌握列表法求解概率的方法．将NaOH溶液、Ca(OH)
2
溶液、稀盐酸、稀硫酸分别记作A、B、C、D，列表得出所有可能结果，从中找到符合条件的结果数，
再根据概率公式求解即可．
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【详解】解：将NaOH溶液、Ca(OH) 溶液、稀盐酸、稀硫酸分别记作A、B、C、D，列表如下：
2
A B C D
A (B、A) (C、A) (D、A)
B (A、B) (C、B) (D、B)
C (A、C) (B、C) (D、C)
D (A、D) (B、D) (C、D)
由表可知，共有12种等可能结果，其中滴入一滴酚酞试剂后只有一瓶呈现红色的有8种结果，
8 2
所以滴入一滴酚酞试剂后只有一瓶呈现红色的概率为 = ；
12 3
2
故答案为： ．
3
5．（2025·江西·模拟预测）小贤同学要测量图中不规则图案（恐龙）的面积，采用的办法是：先用长为
4cm，宽为3cm的矩形将该图案围起来，再向矩形区域内掷点，通过大量的重复式验，发现点落在不规则
图案部分的频率稳定在0.2附近，请你根据小贤同学的试验数据，估算出该不规则图案（恐龙）的面积为
．
【答案】2.4cm2
【分析】本题考查了用频率估计概率，熟练掌握用频率估计概率的方法是解题的关键．用频率和概率之间
的关系解答即可．
【详解】解：∵点落在图案部分的频率稳定在0.2左右，
∴此不规则图案的面积大约为3×4×0.2=2.4cm2，
故答案为：2.4cm2．
4 √5−1
6．（2025·广东深圳·一模）从0， ，√2，−7， 五个数中随机抽取一个数，则抽出的数是无理数
3 2
的概率为 ．
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2
【答案】
5
【分析】此题主要考查了概率公式，正确得出无理数的个数是解题关键．
先找出无理数的个数，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：在0，−7，这五个数中，有理数有0，−7这3个，其余两个为无理数，
2
∴抽出的数是无理数的概率为 ，
5
2
故答案为： ．
5
7．（2025·山西长治·模拟预测）山西的四大旗舰物种是黑鹳、原麝、华北豹，褐马鸡，某校的野生动植物
保护兴趣小组成员小赛和小梅计划从“黑鹳”“原麝”“华北豹”“褐马鸡”四种动物中任意选择一种调
查，他们制作了四张质地大小完全相同的卡片，背面朝上洗匀后，小颖和小梅各自从中随机抽取一张来确
定自己的课外调查研究内容（第一人抽完放回洗匀后另一人再抽取），则两人恰好抽取到同一旗舰物种卡
片的概率为 ．
1
【答案】
4
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适
合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与
总情况数之比．根据题意画出树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，根据概率公式求
解可得．
【详解】解：“黑鹳”“原麝”“华北豹”“褐马鸡”四种动物分别用A、B、C、D表示，
根据题意画图如下：
由图可知，共有16种等可能结果，其中两人恰好抽取到同一旗舰物种卡片的有4种，
4 1
则两人恰好抽取到同一旗舰物种卡片的概率是 = ．
16 4
1
故答案为： ．
4
8．（2025·江苏宿迁·一模）一个不透明的口袋中装有三个完全相同的小球，上面分别标有数字√5，√3和
1
．
2
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(1)从口袋中随机摸出一个小球，摸出小球上的数字是无理数的概率是______；
(2)先从口袋中随机摸出一个小球，将小球上的数字记为x，把小球放回口袋中并搅匀，再从口袋中随机摸
出一个小球，将小球上的数字记为y．请用列表法或画树状图法求出x与y的乘积是有理数的概率．
2
【答案】(1)
3
1
(2)
3
【分析】（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中摸出小球上的数字是无理数的结果有2种，利用概
率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及x与y的乘积是有理数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
【详解】（1）解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中摸出小球上的数字是无理数的结果有2种，
2
∴从口袋中随机摸出一个小球，摸出小球上的数字是无理数的概率是 ．
3
2
故答案为：
3
（2）解：列表如下：
1
√5 √3
2
( 1)
√5 (√5，√5(√)5，√3)√5，
2
( 1)
√3 (√3，√5(√)3，√3)√3，
2
1 (1 ()1 ()1 1)
，√5 ，√3 ，
2 2 2 2 2
(1 1)
共有9种等可能的结果，其中x与y的乘积是有理数的结果有：(√5，√5)，(√3，√3)， ， ，共3
2 2
种，
3 1
∴x与y的乘积是有理数的概率为 = ．
9 3
9．（2025·陕西西安·二模）西安是中国著名的历史文化名城，拥有众多的历史遗迹和文化景点，如兵马俑、
大雁塔、古城墙等．小明是位旅游纪念品收集爱好者，他收集了四张具有西安特色的纪念卡片（这四张卡
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片依次分别用字母A，B，C，D表示，四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），其中A是兵马俑图案，
B是大雁塔图案，C是古城墙图案，D是钟楼图案．现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．
(1)小明从中随机抽取一张卡片是兵马俑图案A的概率是_______；
(2)小明计划从中随机抽取两张卡片送给自己的好朋友，请用列表法或画树状图法计算小明抽取的两张卡片
恰好是大雁塔图案B和钟楼图案D的概率．
1
【答案】(1)
4
1
(2)
6
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出
答案．
【详解】（1）解：∵共有4张卡片，除正面内容不同外，其余均相同，
1
∴小明从中随机抽取一张卡片是兵马俑图案A的概率是 ；
4
1
故答案为： ；
4
（2）解：列表如下，
A B C D
A (A,B) (A,C) (A,D)
B (B,A) (B,C) (B,D)
C (C,A) (C,B) (C,D)
D (D,A) (D,B) (D,C)
共有12种等可能性结果，其中抽到恰好是大雁塔图案B和钟楼图案D的有2种，
2 1
则恰好是大雁塔图案B和钟楼图案D的概率是 = ．
12 6
10．（2025·湖北·一模）某单位组织员工分批参观湖北省内的四个景点：A．武当山、B．三峡、C．神农
架旅游区、D．黄鹤楼．该单位对员工最感兴趣的景点人数进行了问卷调查，并根据收集到的数据，绘制
成如图所示两幅不完整的统计图．
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(1)这次该单位组织旅游的人数是____；
(2)扇形统计图中“C”所对应的扇形圆心角度数是____；
(3)甲、乙两人分别从这四个景点中随机选择一个景点游览，请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中
至少有一人选择A景点的概率．
【答案】(1)40；
(2)90°；
7
(3)树状图见详解， ．
16
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，求扇形统计图的圆心角，画树状图或列表求概率，
掌握数据处理与应用、画树状图求概率是解题的关键。
（1）综合两幅统计图，可知A组有 12 人，占总人数的 30% ，则总人数 =12÷30% ，计算得出答案即
可；
（2）根据C组人数的占比求扇形圆心角度数即可；
（3）根据“甲、乙两人分别从四个景点中随机选择一个景点游览”，画出树状图，根据树状图，得出甲、
乙两人中至少有一人选择A景点的概率即可．
【详解】（1）解： 12÷30%=40（人），
故答案为：40 ；
40−12−14−4 10
（2）360°× =360°× =90° ，
40 40
故答案为：90°；
（3）画树状图如下，
∴ 16
共有 种等可能的结果，其中甲、乙两人中至少有一人选
择A景点的结果有 7 种，
7
∴ 甲、乙两人中至少有一人选择 A 景点的概率为 ．
16
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11．（2025·辽宁抚顺·一模）某校利用“阳光体育大课间”对学校足球队全员进行定点射门训练，每人踢
五次，训练结束后，把结果制成了如图所示不完整的折线统计图和扇形统计图．
(1)求此次定点射门训练中进球5次的人数；
(2)在此次定点射门训练中进球5次的队员中有1名女生，学校想从进球5次的队员中选2人参加比赛，请
通过列表或画树形图的方法求参加比赛的队员是一男一女的概率．
【答案】(1)进球5次的人数有3人
2
(2)
3
【分析】本题考查折线统计图，扇形统计图，用列表法求等可能事件的概率，能从统计图中获取有用信息，
掌握用列表法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
（1）由进球4次的人数除以其所占百分比30%求出总人数，将总人数减去其他进球数的人数即可求得进球
5次的人数；
（2）利用列表法解答即可．
【详解】（1）解：进球4次的人数：12÷30%=40（人）
进球5次的人数：40−1−9−15−12=3（人）
答：进球5次的人数有3人．
（2）解：进球5次的人数有3人，其中女队员1人，所以男队员有2人．
列表如下：
男 男 女
（男， （女，
男
男） 男）
（男， （女，
男
男） 男）
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（男， （男，
女
女） 女）
由表可知，选2人参加比赛的所有结果一共有6种，并且每种结果出现的可能性相等，其中参加比赛的队
员是一男一女的的结果有：（女，男），（女，男），（男，女），（男，女）共4种．
4 2
∴P（参加比赛的队员是一男一女的）= = ．
6 3
12．（2025·湖南娄底·模拟预测）某中心学校九（1）班为了了解学生对消防知识的掌握情况，为此九
（1）班全体同学进行了一次测试，测试满分为5分，将所得的分数（单位：分）进行分类，统计绘制了如
下不完整的统计图． 请根据图中信息，解答下列问题：
(1)a= ，并补全条形统计图；
(2)请计算九（1）班本次测试成绩的中位数和平均数；
(3)由于学校开展消防演练的需要，现从成绩前四名（1名男生和3名女生）中随机抽取2人进行对灭火器
的实践操作，请用画树状图或列表的方法求出恰好选中1男1女的概率．
【答案】(1)8，图见解析
(2)3分，2.98分
1
(3)
2
【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，利用列表法求概率：
（1）求出3分的人数所占的比例，用3分的人数除以所占的比例求出总人数，再用5分的人数除以总人数
求出a的值，求出2分和4分的人数，补全条形图即可；
（2）根据中位数和平均数的计算方法，进行计算即可；
（3）用A表示男生，B,C,D表示女生，列出表格，利用概率公式进行计算即可．
72
【详解】（1）解：九（1）班的人数为：10÷ =50，
360
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4
∴a%= ×100%=8%，
50
∴a=8；
成绩为2分的学生人数为：50×36%=18，
∴成绩为4分的学生人数为：50−3−18−10−4=15；
补全条形图如图：
（2）将成绩从小到大排列，第25个数据和第26个数据均为3分，
∴中位数为：3分；
3×1+18×2+10×3+15×4+5×4
平均数为： =2.98（分）；
50
（3）用A表示男生，B,C,D表示女生，列表如下：
A B C D
A A，B A，C A，D
B B，A B，C B，D
C C，A C，B C，D
D D，A D，B D，C
共12种等可能的结果，其中一男一女的结果有6种，
6 1
∴P= = ．
12 2
76
