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模块三 统计与概率基础
第 09 讲 统计与概率
（思维导图+2考点+16种题型+命题预测）
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03核心精讲·题型突破
考点一 统计图表
►题型01 频数分布表+条形图
►题型02 频数分布表+扇形图
►题型03 条形图+扇形图
►题型04 条形图+折线图
►题型05 直方图+扇形图
考点二 统计与概率
►题型01 概率选填题-摸球情景
►题型02 概率选填题-选人情景
►题型03 概率选填题-选项目情景
►题型04 概率选填题-数字情景
►题型05 概率选填题-跨学科情景
►题型06 概率选填题-匹配情景
►题型07 概率选填题-其它情景
►题型08 列举法求概率-放回类
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►题型09 列举法求概率-不放回类
►题型10 列举法求概率-游戏与方案问题
►题型11 统计与概率
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01考情透视·目标导航
中考考点 命题预测
【统计热考内容】
1. 数据信息的获取与运用：借助统计图表，考生需要能够读取、分析和综合运用数据
信息。这类题目通常结合条形图、扇形图、折线图等多种图表形式，要求考生根据图表
信息解决具体问题，如推测数据趋势、计算百分比等。
2. 决策推断能力的考查：统计部分越来越注重考查考生的决策推断能力。题目往往要
求考生根据统计结果作出合理判断和推测，例如根据销售数据提出进货建议，或根据调
查结果评估某种政策的实施效果。
【概率热考内容】
1. 概率与实验的结合：考生需要通过大量重复试验理解频率与概率的关系，并能利用
频率来估计概率。这类题目通常涉及实际情境，如掷硬币、抽奖等，要求考生计算事件
发生的概率。
统计与概率
2. 概率计算方法的运用：中考还会考查考生运用树状图、列表法等工具来计算复杂事
件的概率。此外，游戏的公平性问题也是常见的考查点，要求考生判断游戏规则是否公
平，并说明理由。
【趋势与备考建议】
1. 贴近生活实际：中考统计与概率的题目越来越贴近生活实际，考生应注重培养在实
际情境中应用统计与概率知识的能力。
2. 综合能力的考查：除了基础知识和技能，中考越来越注重考查考生的数据分析能
力、决策推断能力和综合运用能力。因此，考生在备考过程中应多做综合性题目，提高
自己的分析问题和解决问题的能力。
3. 重视实践操作：概率部分的学习应注重实践操作，通过亲身实验来理解概率的概念
和计算方法，加深对知识的掌握。
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02知识导图·思维引航
03 核心精讲 · 题型突破
考点一 统计图表
►题型01 频数分布表+条形图
1．（2024·安徽·中考真题）综合与实践
【项目背景】
无核柑橘是我省西南山区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园．在柑橘收获季节，班级同学前
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往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对
两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考．
【数据收集与整理】
从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．
柑橘直径用x（单位：cm）表示．
将所收集的样本数据进行如下分组：
组别 A B C D E
x 3.5≤x<4.5 4.5≤x<5.5 5.5≤x<6.5 6.5≤x<7.5 7.5≤x≤8.5
整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数直方图，部分信息如下：
任务1 求图1中a的值．
【数据分析与运用】
任务2 A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数．
任务3 下列结论一定正确的是______（填正确结论的序号）．
①两园样本数据的中位数均在C组；
②两园样本数据的众数均在C组；
③两园样本数据的最大数与最小数的差相等．
任务4 结合市场情况，将C，D两组的柑橘认定为一级，B组的柑橘认定为二级，其它组的柑橘认定为三
级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由．
根据所给信息，请完成以上所有任务．
【答案】任务1：40；任务2：6；任务3：①；任务4：乙园的柑橘品质更优，理由见解析
【分析】题目主要考查统计表及频数分布直方图，平均数、中位数及众数的求法，根据图标获取相关信息
是解题关键．
任务1：直接根据总数减去各部分的数据即可；
任务2：根据加权平均数的计算方法求解即可；
任务3：根据中位数、众数的定义及样本中的数据求解即可；
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任务4：分别计算甲和乙的一级率，比较即可．
【详解】解：任务1：a=200−15−70−50−25=40；
15×4+50×5+70×6+50×7+15×8
任务2： =6，
200
乙园样本数据的平均数为6；
任务3：①∵15+70<100,15+70+50>101，
∴甲园样本数据的中位数在C组，
∵15+50<100,15+50+70>101，
∴乙园样本数据的中位数在C组，故①正确；
②由样本数据频数直方图得，甲园样本数据的众数均在B组，乙园样本数据的众数均在C组，故②错误；
③无法判断两园样本数据的最大数与最小数的差是否相等，故③错误；
故答案为：①；
50+40
任务4：甲园样本数据的一级率为： ×100%=45%，
200
70+50
乙园样本数据的一级率为： ×100%=60%，
200
∵乙园样本数据的一级率高于甲园样本数据的一级率，
∴乙园的柑橘品质更优．
2．（2023·江西·中考真题）为了解中学生的视力情况，某区卫健部门决定随机抽取本区部分初、高中学生
进行调查，并对他们的视力数据进行整理，得到如下统计表和统计图．
整理描述
初中学生视力情况统计表
人
视力 百分比
数
0.6及以下 8 4%
0.7 16 8%
0.8 28 14%
0.9 34 17%
1.0 m 34%
1.1及以上 46 n
合计 200 100%
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高中学生视力情况统计图
(1)m=_______，n=_______；
(2)被调查的高中学生视力情况的样本容量为_______；
(3)分析处理：①小胡说：“初中学生的视力水平比高中学生的好．”请你对小胡的说法进行判断，并选择
一个能反映总体的统计量说明理由：
②约定：视力未达到1.0为视力不良．若该区有26000名中学生，估计该区有多少名中学生视力不良？并对
视力保护提出一条合理化建议．
【答案】(1)68；23%；
(2)320；
(3)①小胡的说法合理，选择中位数，理由见解析；②14300人，合理化建议见解析，合理即可．
【分析】（1）由总人数乘以视力为1.0的百分比可得m的值，再由视力1．1及以上的人数除以总人数可得
n的值；
（2）由条形统计图中各数据之和可得答案；
（3）①选择视力的中位数进行比较即可得到小胡说法合理；②由中学生总人数乘以样本中视力不良的百
分比即可，根据自身体会提出合理化建议即可．
【详解】（1）解：由题意可得：初中样本总人数为：200人，
∴m=34%×200=68（人），n=46÷200=23%；
（2）由题意可得：14+44+60+82+65+55=320，
∴被调查的高中学生视力情况的样本容量为320；
（3）①小胡说：“初中学生的视力水平比高中学生的好．”
小胡的说法合理；
初中学生视力的中位数为第100个与第101个数据的平均数，落在视力为1.0这一组，
而高中学生视力的中位数为第160个与第161个数据的平均数，落在视力为0.9的这一组，
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而1.0>0.9，
∴小胡的说法合理．
8+16+28+34+14+44+60+82
②由题意可得：26000× =14300（人），
200+320
∴该区有26000名中学生，估计该区有14300名中学生视力不良；
合理化建议为：学校可以多开展用眼知识的普及，规定时刻做眼保健操．
【点睛】本题考查的是从频数分布表与频数分布直方图中获取信息，中位数的含义，利用样本估计总体，
理解题意，确定合适的统计量解决问题是解本题的关键．
►题型02 频数分布表+扇形图
3．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各一小
时体育活动时间”的要求，某学校要求学生每天坚持体育锻炼．学校从全体男生中随机抽取了部分学生，
调查他们的立定跳远成绩，整理如下不完整的频数分布表和统计图，结合下图解答下列问题：
组 频
分组（cm）
别 数
A 50<x≤100 3
B 100<x≤150 m
C 150<x≤200 20
D 200<x≤250 14
E 250<x≤300 5
(1)频数分布表中m= ，扇形统计图中n= ．
(2)本次调查立定跳远成绩的中位数落在 组别．
(3)该校有600名男生，若立定跳远成绩大于200cm为合格，请估计该校立定跳远成绩合格的男生有多少人？
【答案】(1)8，40
(2)C
(3)估计该校立定跳远成绩合格的男生有228人
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【分析】本题主要考查了扇形统计图和频数表、中位数，用样本估计总体，
（1）用A组的频数除以所占的百分比，即可求出调查的总人数；用总人数减去其它组的人数，即可求得B
组的人数，用C组的人数除以总人数即可求解；
（2）根据中位数的求法，即可求解；
（3）用总人数乘以样本中立定跳远成绩合格的男生人数所占，即可求解．
【详解】（1）解：被抽取的学生数为：3÷6%=50(人)
故m=50−3−20−14−5=8（人），
n%=20÷50=40%，即n=40，
故答案为：8，40；
（2）解：把这组数据从小到大排列，第25和第26个数据的平均数为这组数据的中位数，
∵3+8<25<26，5+14<25<26，
∴把这组数据从小到大排列，第25和第26个数据都在C组，
故本次调查立定跳远成绩的中位数落在C组，
答案为：C；
14+5
（3）解：600× =228（人）
50
答：该校立定跳远成绩合格的男生有228人．
4．（2024·江西·中考真题）近年来，我国肥胖人群的规模快速增长，目前，国际上常用身体质量指数
体重(单位：kg)
（Body Mass Index，缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是BMI= ．中国
身高2 (单位：m2
)
人的BMI数值标准为：BMI<18.5为偏瘦；18.5≤BMI<24为正常；24≤BMI<28为偏胖；BMI≥28为
肥胖．某数学兴趣小组对本校七年级学生的胖瘦程度进行统计调查，从该校所有七年级学生中随机抽出10
名男生、10名女生，测得他们的身高和体重值，并计算出相应的BMI数值，再参照BMI数值标准分成四
组：A．16≤BMI<20；B．20≤BMI<24；C．24≤BMI<28；D．28≤BMI<32．将所得数据进行收
集、整理、描述．
收集数据
七年级10名男生数据统计表
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高
1.5 1.5 1.6 1.5 1.5 1.7 1.5 1.4 1.5 1.7
（m
6 0 6 8 0 0 1 2 9 2
）
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体重
52. 49. 45. 40. 55. 56. 48. 42. 67. 90.
（kg
5 5 6 3 2 1 5 8 2 5
）
21. 16. 16. 24. 19. 21. 21. 26. 30.
BMI s
6 5 1 5 4 3 2 6 6
七年级10名女生数据统计表
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高
1.4 1.6 1.5 1.6 1.5 1.6 1.5 1.4 1.5 1.6
（m
6 2 5 5 8 7 5 6 3 2
）
体重
46. 49. 61. 56. 52. 75. 50. 47. 52. 46.
（kg
4 0 5 5 9 5 3 6 4 8
）
21. 18. 25. 20. 21. 27. 20. 22. 22. 17.
BMI
8 7 6 8 2 1 9 3 4 8
整理、描述数据
七年级20名学生BMI频数分布表
组
BMI 男生频数 女生频数
别
A 16≤BMI<20 3 2
B 20≤BMI<24 4 6
C 24≤BMI<28 t 2
D 28≤BMI<32 1 0
应用数据
(1)s=______，t=______α=______；
(2)已知该校七年级有男生260人，女生240人．
①估计该校七年级男生偏胖的人数；
②估计该校七年级学生BMI≥24的人数
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(3)根据以上统计数据，针对该校七年级学生的胖瘦程度，请你提出一条合理化建议．
【答案】(1) ； ；72°；
(2)①52人；2②21226人
(3)见解析
【分析】题目主要考查统计调查表及扇形统计图，结合图形，熟练掌握用样本估计总体是解题关键．
（1）根据题中公式直接计算即可得s；结合统计表确定t；结合扇形统计图用360度乘以男女生所占比例
即可；
（2）①用男生总人数乘以相应比例即可；②分别用男女生总人数乘以各自所占比例即可；
（3）合理即可．
49.5
【详解】（1）解：根据题意：s= =22，
1.52
由统计表得：24≤BMI<28内，t=2；
2+2
∴α=360°× =72°，
20
故答案为：22；2；72°；
2
（2）①男生偏胖的人数为：260× =52（人）；
10
2+1 2
②七年级学生BMI≥24的人数为：260× +240× =126（人）；
10 10
（3）对学校学生进行合理、健康的饮食习惯的培养，加强体育锻炼．
►题型03 条形图+扇形图
5．（2024·山东青岛·中考真题）某校准备开展“行走的课堂，生动的教育”研学活动，并计划从博物馆、
动物园、植物园、海洋馆（依次用字母A，B，C，D表示）中选择一处作为研学地点．为了解学生的选择
意向，学校随机抽取部分学生进行调查，整理绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
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根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全条形统计图；扇形统计图中A所对应的圆心角的度数为______°；
(2)该校共有1600名学生，请你估计该校有多少名学生想去海洋馆；
(3)根据以上数据，学校最终将海洋馆作为研学地点，研学后，学校从八年级各班分别随机抽取10名学生
开展海洋知识竞赛．甲班10名学生的成绩（单位：分）分别是：75，80，80，82，83，85，90，90，90，
95；乙班10名学生的成绩．（单位：分）的平均数、中位数、众数分别是：84，83，88．根据以上数据判
断______班的竞赛成绩更好．（填“甲”或“乙”）
【答案】(1)补全条形统计图见解析，54
(2)640人
(3)甲
【分析】（1）用B的人数除以26%求得本次调查的学生总数，进而得出D组的人数，画出统计图，用
360°乘“A”所占比例可以求得“A”部分所占圆心角的度数；
（2）用1600乘样本中D所占比例即可；
（3）求出甲班的平均数，众数，中位数，再对比，即可解答．
【详解】（1）解：总人数：52÷26%=200（人），
D组人数：200−30−52−38=80；如图：
30
360°× =54°
200
A所对应的圆心角的度数为： ，
故答案为：54；
80
（2）解：去海洋馆：1600× =640（人）
200
答：该校约有640名学生想去海洋馆；
（3）解：∵甲班10名学生的成绩：75，80，80，82，83，85，90，90，90，95，
75+80×2+82+83+85+90×3+95
∴甲班10名学生的成绩的平均数： =85，
10
甲班10名学生的成绩的众数：90；
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83+85
甲班10名学生的成绩的中位数： =84，
2
∵乙班10名学生的成绩的平均数、中位数、众数分别是：84，83，88．
∴甲班的平均数，中位数，众数都高于乙班，
∴甲班的竞赛成绩更好．
故答案为：甲．
【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图，中位数，众数，平均数，解题的关键是明确题意，找出所求
问题需要的条件、利用数形结合的思想解答问题．
6．（2024·湖北·中考真题）某校为增强学生身体素质，以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练，
并对学生进行专项体能测试，以下是某次八年级男生引体向上测试成绩的抽样与数据分析过程．
【收集数据】随机抽取若干名男生的测试成绩．
【整理数据】将抽取的成绩进行整理，用x(引体向上个数)表示成绩，分成四组：
A组(0≤x<5)，B组(5≤x<10)，C组(10≤x<14)，D组(x≥14)．
【描述数据】根据抽取的男生成绩，绘制出如下不完整的统计图．
【分析数据】抽取的八年级男生测试成绩的平均数为8，中位数为8，众数为11．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)求A组人数，并补全条形统计图；
(2)估计该校八年级参加测试的400名男生中成绩不低于10个的人数；
(3)从平均数、中位数和众数这三个统计量中任选一个，解释其在本题中的意义．
【答案】(1)12人，见解析
(2)180人
(3)见解析
【分析】本题考查频数分布直方图，中位数、众数、方差和加权平均数，理解中位数、众数、方差的意义
以及和加权平均数的计算方法是解决问题的关键．
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（1）用C组的频数除以C组的频率，可得样本容量，再用样本容量分别减去其它三组的频数，即可得出A
组的频数，进而补全条形统计图；
（2）用400乘样本中成绩不低于10个的人数所占比例即可；
（3）根据平均数、中位数和众数解答即可．
【详解】（1）解：样本容量为：14÷35%=40，
故A组人数为：40−10−14−4=12(人)，
补全条形统计图如下：
14+4
（2）400× =180(人)，
40
答：估计该校八年级参加测试的400名男生中成绩不低于10个的人数大约有180人；
（3）从平均数看，估计该校八年级男生引体向上测试成绩的平均个数为8个．
从中位数看，估计该校八年级男生引体向上测试成绩至少有一半不低于8个．
从众数看，估计该校八年级男生引体向上测试成绩为11个的最多．(答案不唯一，任选其中一个说明即可)．
7．（2024·四川资阳·中考真题）我国古诗词源远流长．某校以“赏诗词之美、寻文化之根、铸民族之魂”
为主题，组织学生开展了古诗词知识竞赛活动．为了解学生对古诗词的掌握情况，该校随机抽取了部分学
生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：
(1)本次共抽取了________名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图；
(2)若该校共有2000人参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数；
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(3)学校在竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名学生里，随机选取2人参加经典诵读活动，用画树
状图或列表法求出甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率．
【答案】(1)400，见解析
(2)800名
2
(3)见解析，
3
【分析】（1）利用C等级的人数除以其所占的百分比求得样本总数，再利用样本总人数减去其他等级的
人数求得D等级的人数，再补全条形统计图即可；
（2）利用B等级的人数除以样本总数求得其所占的百分比，再乘除全校人数即可求解；
（3）画树状图可得共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人中恰好有1人被选中有8种等可能的结果，
再利用概率公式求解即可．
【详解】（1）解：由图可得，80÷20%=400（名），
∴D等级的人数为：400−120−160−80=40（名），
补全条形统计图如下所示：
故答案为：400；
160
（2）解：2000× =800（名），
400
答：估计竞赛成绩为B等级的学生人数为800名；
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人中恰好有1人被选中有8种等可能的结果，
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8 2
∴甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率为 = ．
12 3
【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图、用样本估计总体、用树状图或列表法求概率、概率公式，根
据统计图中的信息求得样本总数是解题的关键．
►题型04 条形图/扇形图+折线图
8．（2023·江苏泰州·中考真题）如图是我国2019~2022年汽车销售情况统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
(1)2022年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的_____________%（精确到1%）；
这4年中，我国新能源汽车销售量在各类汽车销售总量占比最高的年份是___________年；
(2)小明说：新能源汽车2022年的销售量超过前3年的总和，所以2022年新能源汽车销售量的增长率比
2021年高．你同意他的说法吗？请结合统计图说明你的理由．
【答案】(1)26，2022年
(2)不同意．理由见详解
【分析】（1）将图中数据分别计算2019~2022年我国新能源汽车销售量在各类汽车销售总量占比即可求
解；
（2）求出2021、2022年新能源汽车销售量的增长率即可求解．
【详解】（1）2022年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的占比为：
688.7
×100%≈26%，
2686.4
352
2021年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的占比为： ×100%≈13%，
2627.5
136.7
2020年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的占比为： ×100%≈5%，
2531
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120.6
2019年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的占比为： ×100%≈5%，
2577
∴这4年中，我国新能源汽车销售量在各类汽车销售总量占比最高的年份是2022年．
故答案为：26，2022年；
（2）不同意．理由如下：
688.7−352
2022年新能源汽车销售量的增长率为： ×100%≈96%，
352
352−136.7
2021年新能源汽车销售量的增长率为： ×100%≈157%，
136.7
∴2022年新能源汽车销售量的增长率比2021年低．
【点睛】本题主要考查了条形统计图，折线统计图，准确从统计图获取信息是解题的关键．
9．（2023·四川绵阳·中考真题）随着科技的进步，购物支付方式日益增多．为了解某社区居民支付的常用
方式（A微信，B支付宝，C现金，D其他），某学习小组对红星社区部分居民进行问卷调查，根据调查结
果，绘制成如下统计图．
根据统计图表中的信息，解答下列问题：
(1)a=______，b=______，在扇形统计图中C种支付方式所对应的圆心角为______度；
(2)本次调查中用现金支付方式的居民里有2名男性，其余都是女性，现从该种支付方式中随机选2名居民
参加线上支付方式培训，求恰好都是女性的概率．
【答案】(1)20；18；36
3
(2)恰好都是女性的概率为 ．
10
【分析】本题考查了统计图、列表法或树状图求概率，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据统计图中的信息，列式计算即可；
（2）由题意得，用现金支付方式的居民里有3名女性，根据题意列出表格，结合表格再利用概率公式即可
求得答案．
【详解】（1）解：由统计图可得，本次调查的总人数为：7÷14%=50，
∴a=50×40%=20，
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∴b=50−20−7−5=28，
5
在扇形统计图中C种支付方式所对应的圆心角为360°× =36°．
50
故答案为：20；18；36．
（2）由题意得，用现金支付方式的居民共有5人，
∵用现金支付方式的居民里有2名男性，其余都是女性，
∴用现金支付方式的居民里有5−2=3名女性，
设男性为A 、A ，女性为B 、B 、B ，列表得：
1 2 1 2 3
由列表可知，共有20种等可能的结果，恰好选到都是女性的情况有6种，
6 3
∴恰好都是女性的概率P= = ．
20 10
3
答：恰好都是女性的概率为 ．
10
10．（2023·江苏盐城·中考真题）盐城市大丰国家级麋鹿自然保护区在过去的37年间，将濒临灭绝的39
头世界珍稀野生动物麋鹿发展到如今的7033头．
某校生物兴趣小组去实地调查，绘制出如下统计图．
（注：麋鹿总头数=人工驯养头数+野生头数）
解答下列问题：
(1)①在扇形统计图中，哺乳类所在扇形的圆心角度数为_________°；
②在折线统计图中，近6年野生麋鹿头数的中位数为_________头．
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(2)填表：
201
年份 2017 2018 2020 2021 2022
9
人工驯养麋 366
3473 3531 3861 _________ 3917
鹿头数 6
(3)结合以上的统计和计算，谈谈你对该保护区的建议或想法．
【答案】(1)14.4°，1585
(2)3980
(3)见解析
【分析】（1）先计算哺乳类所占百分比，再计算该部分扇形圆心角的度数；
（2）先排序，再计算中间的两个数的平均数；
（3）从人工驯养和野生保护两个方面表述即可．
【详解】（1）解：①在扇形统计图中，哺乳类所占的百分比为：1−54%−32%−10%=4%，
∴哺乳类所在扇形的圆心角度数为：360°×4%=14.4°；
②在折线统计图中，近6年野生麋鹿头数按从小到大顺序排序为：
765,1025,1350,1820,2503,3116，
1350+1820
近6年野生麋鹿头数的中位数为 =1585，
2
故答案为：14.4°，1585；
（2）解：6483−2503=3980，
故答案为：3980；
（3）加强对野生麋鹿的保护的同时，提高人工驯养的技术．
【点睛】本题考查了扇形统计图和拆线统计图，中位数，掌握从图形中获取信息的方法是解题的关键．
►题型05 直方图+扇形图
11．（2024·山东济南·中考真题）2024年3月25日是第29个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全
防范意识和自我防护能力，某校开展了校园安全知识竞赛（百分制），八年级学生参加了本次活动．为了
解该年级的答题情况，该校随机抽取了八年级部分学生的竞赛成绩（成绩用x表示，单位：分）
并对数据（成绩）进行统计整理．数据分为五组：
A：50≤x<60；B：60≤x<70；C：70≤x<80；D：80≤x<90；E：90≤x≤100．
下面给出了部分信息：
a：C组的数据：
70，71，71，72，72，72，74，74，75，76，76，76，78，78，79，79．
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b：不完整的学生竞赛成绩频数直方图和扇形统计图如下：
请根据以上信息完成下列问题：
(1)求随机抽取的八年级学生人数；
(2)扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为______度；
(3)请补全频数直方图；
(4)抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是______分；
(5)该校八年级共900人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以
上的学生人数．
【答案】(1)60人
(2)90
(3)图见解析
(4)77
(5)390人
【分析】本题考查统计图的综合应用，求中位数，利用样本估计总体：
（1）A组人数除以所占的比例求出八年级学生人数即可；
（2）360度乘以B组所占的比例，进行求解即可；
（3）求出D组人数，补全直方图即可；
（4）根据中位数的确定方法进行求解即可；
（5）利用样本估计总体的思想进行求解即可．
【详解】（1）解：3÷5%=60（人）；
15
（2）360°× =90°；
60
故答案为：90；
（3）D组人数为：60−3−15−16−6=20；补全直方图如图：
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（4）将数据排序后第30个和第31个数据分别为76，78，
1
∴中位数为： (76+78)=77；
2
20+6
（5）900× =390（人）．
60
12．（2024·山东·中考真题）某学校开展了“校园科技节”活动，活动包含模型设计、科技小论文两个项
目．为了解学生的模型设计水平，从全校学生的模型设计成绩中随机抽取部分学生的模型设计成绩（成绩
为百分制，用x表示），并将其分成如下四组：60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100．
下面给出了部分信息：
80≤x<90的成绩为：81，81，82，82，83，83，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，
89，89．
根据以上信息解决下列问题：
(1)请补全频数分布直方图；
(2)所抽取学生的模型设计成绩的中位数是________分；
(3)请估计全校1000名学生的模型设计成绩不低于80分的人数；
(4)根据活动要求，学校将模型设计成绩、科技小论文成绩按3:2的比例确定这次活动各人的综合成绩．
某班甲、乙两位学生的模型设计成绩与科技小论文成绩（单位：分）如下：
模型设 科技小论
计 文
甲的成
94 90
绩
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乙的成
90 95
绩
通过计算，甲、乙哪位学生的综合成绩更高？
【答案】(1)画图见解析
(2)83
(3)600人
(4)甲的综合成绩比乙高.
【分析】（1）先求解总人数，再求解70≤x<80的人数，再补全图形即可；
（2）根据中位数的含义确定第25个，第26个数据的平均数即可得到中位数；
（3）由总人数乘以80分含80以上的人数百分比即可得到答案；
（4）根据加权平均数公式分别计算甲，乙二人成绩，再比较即可
【详解】（1）解：∵5÷10%=50，而80≤x<90有20人，
∴70≤x<80有50−20−5−10=15，
补全图形如下：
。
（2）解：∵5+15=20，
而80≤x<90的成绩为：81，81，82，82，83，83，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，
89，89，89．
∴50个成绩按照从小到大排列后，排在第25个，第26个数据分别是：83,83；
1
中位数为： ×(83+83)=83；
2
（3）解：全校1000名学生的模型设计成绩不低于80分的人数为：
20+10
1000× =600（人）；
50
3 2
（4）解：甲的成绩为：94× +90× =92.4（分）；
5 5
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3 2
乙的成绩为：90× +95× =92（分）；
5 5
∴甲的综合成绩比乙高.
【点睛】本题考查的是频数分布直方图，中位数的含义，利用样本估计总体，加权平均数的含义，掌握基
础的统计知识是解本题的感觉.
13．（2023·湖南·中考真题）为增强学生安全意识，某校举行了一次全校3000名学生参加的安全知识竞赛．
从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩分成四个等级（D：60≤x＜70；C：70≤x＜80
；B：80≤x＜90；A：90≤x≤100），并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
请根据以上信息，解答下列
问题：
(1)填空：n= ，m= ；
(2)请补全频数分布直方图；
(3)扇形统计图中B等级所在扇形的圆心角度数为 度；
(4)若把A等级定为“优秀”等级，请你估计该校参加竞赛的3000名学生中达到“优秀”等级的学生人数．
【答案】(1)150，36；
(2)见解析
(3)144
(4)估计该校参加竞赛的3000名学生中达到“优秀”等级的学生人数有480人
【分析】（1）根据B等级的频数和所占的百分比，可以求得n的值，根据C等级的频数和n的值，可以求
得m的值；
（2）根据（1）中n的值和频数分布直方图中的数据，可以计算出D等级的频数，从而可以将频数分布直
方图补充完整；
（3）利用360°乘以B等级的百分比即可；
（4）利用3000乘以A等级的百分比即可．
【详解】（1）n=60÷40%=150，
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54
∵m%= ×100%=36%，
150
∴m=36；
故答案为：150，36；
（2）D等级学生有：150−54−60−24=12（人），
补全的频数分布直方图，如图所示：
（3）扇形统计图中B等级所在扇形的圆心角度数为360°×40%=144°；
故答案为：144；
（4）3000×16%=480（人），
答：估计该校参加竞赛的3000名学生中达到“优秀”等级的学生人数有480人．
【点睛】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确统计图的特点，
利用数形结合的思想解答．
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【易错易混】
1. 条形统计图中每个小长方形的高即为该组对象数据的个数（频数），各小长方形的高之比等于相应的
个数（频数）之比.
2. 扇形统计图中，用圆代表总体，扇形的大小代表各部分数量占总体数量的百分数，但是没有给出具体
数值，因此不能通过两个扇形统计图来比较两个统计量的多少.
3. 在利用折线统计图比较两个统计量的变化趋势时，要保证两个图中横、纵坐标的一致性，即坐标轴上
同一单位长度所表示的意义应该一致.
4. 画频数分布直方图时，分组要遵循三个原则：不空，即该组必须有数据；不重，即一个数据只能在一
个组；不漏，即不能漏掉某一个数据.
1．（2025·陕西西安·二模）为激励青少年学生爱读书、读好书、善读书，切实增强历史自觉和文化自信，
着力培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人．某校开展主题为“乐学悦读，打造未来之星”
读书月活动，要求每人读2至5本名著，活动结束后随机抽查了若干名学生每人的读书量，并分为四种类
型：A：2本，B：3本，C：4本，D：5本，将各类的人数绘制成如下的扇形统计图和条形统计图（不完
整）．
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根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次抽查学生________人，a=________．将条形统计图补全；
(2)本次抽取学生的读书量的众数是________本，中位数是________本；
(3)学校拟将读书量不低于4本的学生评为“最佳悦读之星”予以表扬，已知该校有2000名学生，请估计
该校此次受表扬的学生人数．
【答案】(1)100，40，补全图形见解析
(2)3，4
(3)该校有2000名学生中此次受表扬的学生人数大约有1100人．
【分析】本题主要考查条形统计图、扇形统计图和数据分析：
（1）综合分析条形统计图和扇形统计图的信息即可求得答案；
（2）根据众数和中位数定义即可求得答案；
（3）先求得读书量不低于4本的学生比例，结合该校学生总数即可求得答案．
【详解】（1）解：本次抽查学生人数：35÷35%=100(人) ．
40
因为a%= ×100%=40%，所以a=40．
100
D组的学生人数：100−5−40−35=20(人)，
补全条形统计图如下：
；
（2）解：这组数据中出现次数最多的数据是3，所以众数是3本；
将这组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的两个数据是4，所以中位数是4本．
故答案为：3，4；
20+35
（3）解：2000× =1100(人)，
100
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答：该校有2000名学生中此次受表扬的学生人数大约有1100人．
2．（2025·陕西西安·一模）为了了解某校初中学生的安全教育普及情况，从该校初中学生中随机抽取若干
名学生对安全知识进行测试，考查后发现所有参试学生的成绩均不低于60分．为了更好地了解本次成分布
情况，对参试学生的成绩（成绩为整数，总分120分）进行整理，得到下列不完整的统计图表：
组别 分数/分 频数
A 60≤x<70 10
B 70≤x<80 20
C 80≤x<90 30
D 90≤x<100 m
E 100≤x<110 50
F 110≤x≤120 30
请根据所给信息，解答下列问题：
(1)m=______，组别C所对应的圆心角为___°；
(2)这次测试成绩的中位数会落在_____分数段：（填组别：A、B、C、D、E、F）
(3)若成绩在100分以上（包括100分）的为“优”，则该校2100名初中学生中成绩为“优”的大约有多少
人？
【答案】(1)60；54；
(2)90≤x<100
(3)840
【分析】此题考查的是频数分布表和扇形统计图，结合频数分布表和扇形统计图得出有用信息是解决此题
的关键．
（1）先求出调查总人数，从而求出m和C所对应的圆心角；
（2）根据中位数的定义即可得出结论；
（3）利用2100乘成绩为“优”的频率即可得出结论．
【详解】（1）解：调查总人数为 10÷5%=200（人）
m=200−10−20−30−50−30=60，
C所对应的圆心角为30÷200×100%×360°=54°
故答案为：60；54；
（2）根据中位数的定义：这次则试成绩的中位数会落在 90≤x<100 分数段
故答案为： 90≤x<100 ；
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50+30
（3）2100× =840 ，
200
答：该校 2100 名初中学生中成绩“优”等的大约有 840 人．
3．（2025·湖南郴州·模拟预测）某中学组织了一次面向七八年级的党团知识竞赛，有2000名学生参加了
书面测试，阅卷后，校团委随机抽取了100份答卷进行分析统计，发现测试结果（x分）的最低分为51分，
最高分为满分100分，且分数都为整数，并绘制了尚不完整的统计图表，请根据图表提供的信息，解答下
列问题：
分数段
频数 频率
（分）
51≤x<61 a 0.1
61≤x<71 18 0.18
71≤x<81 b c
81≤x<91 35 0.35
91≤x<101 12 0.12
(1)求a、b、c的值，并将频数分布直方图补充完整；
(2)校团委打算让全校位于51≤x<61分数段的同学，统一时间进行的补测，若每个考室需安排30个座位，
则估计需安排多少个补测的考室？（列式说明）
(3)校团委计划对成绩为91≤x<101的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二、三等奖，并且一、二、
三等奖的人数比例为1:3:6，请你估算全校获得二等奖的学生人数．
【答案】(1)a=10；b=25，c=0.25，见解析
(2)7个
(3)72人
【分析】（1）根据频数、频率、样本容量之间的关系，求出样本容量，进而求出a、b、c的值；
（2）先求出全校位于51≤x<61分数段的同学人数，进一步即可求出答案；
（3）先求出位于91≤x<101的分数段人数，再乘以二等奖所占百分比求解即可；
【详解】（1）解：（1）a=100×0.1=10；b=100−10−18−35−12=25，c=25÷100=0.25；
如图所示，即为补充完整的频数分布直方图；
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（2）解：全校位于51≤x<61分数段的同学有：2000×0.1=200（个），
200÷30≈7（个），
答：需安排7个补测的考室．
（3）全校位于51≤x<61分数段的同学有：2000×0.12=240（个），
3
240× =72（人）
1+3+6
∴全校获得二等奖的学生人数为72人．
【点睛】本题主要考查频数分布表以及利用样本估计总体，解决本题的关键是要熟练掌握样本容量、频数、
频率之间的关系.
4．（2025·辽宁抚顺·一模）某校利用“阳光体育大课间”对学校足球队全员进行定点射门训练，每人踢五
次，训练结束后，把结果制成了如图所示不完整的折线统计图和扇形统计图．
(1)求此次定点射门训练中进球5次的人数；
(2)在此次定点射门训练中进球5次的队员中有1名女生，学校想从进球5次的队员中选2人参加比赛，请
通过列表或画树形图的方法求参加比赛的队员是一男一女的概率．
【答案】(1)进球5次的人数有3人
2
(2)
3
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【分析】本题考查折线统计图，扇形统计图，用列表法求等可能事件的概率，能从统计图中获取有用信息，
掌握用列表法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
（1）由进球4次的人数除以其所占百分比30%求出总人数，将总人数减去其他进球数的人数即可求得进球
5次的人数；
（2）利用列表法解答即可．
【详解】（1）解：进球4次的人数：12÷30%=40（人）
进球5次的人数：40−1−9−15−12=3（人）
答：进球5次的人数有3人．
（2）解：进球5次的人数有3人，其中女队员1人，所以男队员有2人．
列表如下：
男 男 女
（男， （女，
男
男） 男）
（男， （女，
男
男） 男）
（男， （男，
女
女） 女）
由表可知，选2人参加比赛的所有结果一共有6种，并且每种结果出现的可能性相等，其中参加比赛的队
员是一男一女的的结果有：（女，男），（女，男），（男，女），（男，女）共4种．
4 2
∴P（参加比赛的队员是一男一女的）= = ．
6 3
5.（2025·广东·模拟预测）四月是全国安全月，某校以“安全伴我行”为主题开展了一系列活动，并在活动
后期对七、八年级学生进行了安全知识测试，测试结果显示所有学生成绩都不低于75分（满分100分），
【收集数据】随机从七，八年级各抽取40名学生的测试成绩，进行整理和分析（成绩得分都是整数）．
【整理数据】将抽取的两个年级的成绩进行整理（用x表示成绩，分成五组：A．75≤x<80，B．
80≤x<85，C．85≤x<90，D．90≤x<95，E．95≤x≤100）．
①八年级学生成绩在D组的具体数据是：91，93，93，93，94，94，94，94．
②将八年级的样本数据整理并绘制成不完整的频数分布直方图（如图）：
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【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
平均 中位 众 方
年级
数 数 数 差
七年
92 92 100 57.4
级
八年 92.6 m 100 49.2
根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次抽取八年级学生的样本容量是______；
(2)本次抽取八年级学生成绩的中位数m=______；
(3)分析两个年级样本数据的对比表，你认为______年级的学生测试成绩较整齐（填“七”或“八”）；
(4)若八年级有200名学生参加了此次测试，估计此次参加测试的学生中，该年级成绩不低于95分的学生
有______人．
【答案】(1)40
(2)93
(3)八年级的学生测试成绩较整齐
(4)70人
【分析】本题考查频数分布直方图，样本容量，中位数，众数，方差以及样本估计总体，掌握中位数的计
算方法，理解方差的定义以及样本估计总体的方法是解决问题的前提．
（1）由样本容量的定义即可得出答案；
（2）根据中位数的定义和计算方法进行计算即可；
（3）由七、八年级学生成绩的方差的大小即可得出结论；
（4）求出样本中，八年级学生成绩不低于95分的学生所占的百分比，估计总体中所占的百分比，再进行
计算即可．
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【详解】（1）解：∵随机从七、八年级各抽取40名学生的测试成绩，进行整理和分析，
∴本次抽取八年级学生的样本容量是40，
故答案为：40；
（2）解：∵2+6+10=18<20，2+6+10+8=26>20，
∴中位数落在D组，
∴20，21两个数是：93，93，
93+93
∴中位数m= =93；
2
故答案为：93；
（3）解：∵57.4>49.2，
∴八年级的学生测试成绩较整齐；
14
（4）解：由题意可得，200× =70（人），
40
所以，该年级成绩不低于95分的学生约有70人；
故答案为：70．
6．（2024·辽宁·中考真题）某校为了解七年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校七年级部分
学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩x均为不
小于60的整数，分为四个等级：D：60≤x<70，C：70≤x<80，B：80≤x<90，A：90≤x≤100），部
分信息如下：
信息一：
信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下：
80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89
请根据以上信息，解答下列问题：
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(1)求所抽取的学生成组为C等级的人数；
(2)求所抽取的学生成绩的中位数；
(3)该校七年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数．
【答案】(1)7人
(2)85
(3)120人
【分析】本题考查了扇形统计图和频数分布直方图，中位数，用样本估计总体，正确理解题意是解题的关
键．
（1）先根据B的人数以及所占百分比求得总人数，再拿总人数减去A、B、D的人数即可；
（2）总人数为30人，因此中位数是第15和第16名同学的成绩的平均数，由于C中7人，D中1人，B中
12人，故中位数是B中第7和第8名同学的成绩的平均数，因此中位数为：(84+86)÷2=85；
（3）拿360乘以A等级的人数所占百分比即可．
【详解】（1）解：总人数为：12÷40%=30（人），
∴抽取的学生成组为C等级的人数为：30−1−12−10=7（人）；
（2）解：总人数为30人，因此中位数是第15和第16名同学的成绩的平均数，
∵C中7人，D中1人，B中12人，故中位数是B中第7和第8名同学的成绩的平均数，
∴中位数为：(84+86)÷2=85；
10
（3）解：成绩为A等级的人数为：360× =120（人），
30
答：成绩为A等级的人数为120．
7．（2024·山西大同·三模）为营造健康向上的校园足球文化氛围，丰富学生课余体育文化生活、激发学生
对足球的兴趣，增强学生体质，某校举行足球运动员选拔赛，报名参加选拔赛的学生需要参加5×25米折
返跑、传准、运射、比赛四项指标的考核，每项满分为100分，确定各项得分后再按照下面表格的比例计
算出每人的总成绩．
类别 专项素质 专项技术 实战能力
5×25米折返
考核指标 传准 运射 比赛
跑
比例 20% 20% 20% 40%
全校共有300名学生参加这次选拔赛．校学生会从中随机抽取n名学生的最终比赛成绩进行了分析，把总
成绩（满分100分，所有成绩均不低于60分）分成四个等级（D：60≤x<70；C：70≤x<80；B：
80≤x<90；A：90≤x≤100），并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
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请根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：n=______，m=______；
(2)请补全频数分布直方图；
(3)参赛同学小祺四项考核指标5×25米折返跑、传准、运射、比赛成绩分别为90分，85分，95分，80分，
请你计算出他的总成绩；
(4)该校计划从报名的300名同学中按比赛成绩从高到低选拔48名足球运动员，请你通过计算估计小祺能
否入选．
【答案】(1)150；36
(2)见解析
(3)小祺同学的总成绩是86分；
(4)小祺同学不能入选．
【分析】本题考查了频数分布直方图、扇形统计图、用样本评估总体：
（1）根据B等级的人数和占比，可求得样本容量，再根据C等级的人数即可求得m的值；
（2）求得A等级的人数，可补全频数分布直方图；
（3）利用加权平均数的计算方法即可求解；
（3）利用样本估计总体即可求解．
【详解】（1）解：n=60÷40%=150（人），
54
m%= ×100%=36%，
150
∴m=36，
故答案为：150；36；
（2）解：A等级的人数有150−54−60−24=12（人），
补全频数分布直方图如图所示；
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（3）解：小祺同学的总成绩是90×20%+85×20%+95×20%+80×40%=86（分）；
24
（4）解：在90≤x≤100分的人数有：300× =48（人），
150
答：小祺同学86分的总成绩不能入选．
8．（2024·江苏淮安·一模）某同学家准备购买一辆新能源汽车．在预算范围内，收集了A，B两款汽车在
2022年9月至2023年3月期间的国内销售量和网友对车辆的外观造型、舒适程度、操控性能、售后服务等
四项评分数据，统计如下：
(1)数据分析：
①B款新能源汽车在2022年9月至2023年3月期间月销售量的中位数为 ；
②若将车辆的外观造型、舒适程度、操控性能，售后服务四项评分数据按1∶3∶3∶3的比例统计，求A款新能
源汽车四项评分数据的平均数．
(2)合理建议：
请你按照第（1）问中四项评分数据的比例，并结合销售量，在A、B两款汽车中给出你的推荐，并说明理
由．
【答案】(1)①4667；②67.5
(2)B车平均分69.7分，高于A车的平均分，且A车销量一直下滑，所以我推荐B车
【分析】本题考查中位数，平均数，根据统计数据作决策．
（1）①根据中位数的定义求解；
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②根据加权平均数的计算方法求解即可；
（2）计算B车的平均分，比较两车的平均分与近期销量，即可解答．
【详解】（1）①将B款新能源汽车在2022年9月至2023年3月期间月销售量排序为：
1563，2248，3279，4667，4922，8153，8840，
处于中间位置的是4667，故中位数为4667．
故答案为：4667
72×1+70×3+67×3+64×3
②x= =67.5
1+3+3+3
∴A款新能源汽车四项评分数据的平均数为67.5分．
70×1+71×3+70×3+68×3
（2）∵B款新能源汽车四项评分数据的平均分为x= =69.7（分），
1+3+3+3
∴B车平均分高于A车的平均分，
又A车销量一直下滑，
∴我推荐B车．
9．（2024·山西朔州·一模）为了鼓励同学们多读书、读好书，某校开展了主题为“走进图书馆·悦享书世
界”的读书活动.“综合实践”小组的同学想要了解本校学生在这次活动中借阅图书的情况，于是从全校
1200名学生中随机抽取200名学生，并对200名学生的图书借阅记录进行统计，形成了如下的调查报告
（不完整）：
××中学学生借阅图书情况调查报告
调查主题 ××中学学生借阅图书情况
调查方式 抽样调查 调查对象 ××中学学生
第一项各
类图书借
阅量统计
数据的收
集、整理 说明：A表示科普
与描述
类；B表示文学类；C表示艺术类；D表示其他
图书借阅量/本 0 1 2 3 …
第二项学
生个人借
人数/名 11 20 72 30 …
阅量统计
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调查结论 ……
请根据以上调查报告，解答下列问题：
(1)求被调查的200名学生在本次活动中借阅图书的总数量，并将条形统计图补充完整．
(2)估计该校所有学生中，图书借阅数量为3本及以上的学生有多少名．
(3)在制定方案时，小亮给出的初步方案是随机抽取200名九年级学生，并对他们的图书借阅记录进行统计.
但经过小组讨论，方案被否决了．请指出该方案被否决的原因．
【答案】(1)720本，见解析
(2)582名
(3)见解析
【分析】本题考查数据的整理与分析，解题的关键是掌握扇形统计图，样本估计总体以及样本的选择，即
可．
（1）根据扇形统计图和条形统计图得，B类书籍占总体书籍的40%，即可求出总体书籍；并补全条形统计
图；
（2）根据学生个人借阅量统计，求出图书借阅数量为3本及以上的学生人数，再根据样本估计总体，即可；
（3）根据抽样调查选择样本，即可．
【详解】（1）借阅图书的总数量为：288÷40%=720（本）；
∴A类书籍的借阅量为：720×35%=252（本），
C类书籍的借阅量为：720×15%=108（本），
D类书籍的借阅量为：720×(1−35%−40%−15%)=72（本），
补全统计图如下：
答：被调查的200名学生在本次活动中借阅图书的总数量为720本．
200−11−20−72
（2） ×1200=582（名）
200
答：估计该校图书借阅数量为3本及以上的学生有582名．
（3）小亮在选择样本时出现问题，小组想了解全校学生在读书活动中不同种类图书的借阅情况，他只是
在九年级中选择调查对象，因此样本的选择不具备代表性．（写出一条，言之有理即可）
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考点二 统计与概率
►题型01 概率选填题-摸球情景
1．（2024·内蒙古通辽·中考真题）不透明的袋子中装有1个红球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别，
从中随机摸出一个球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个球，那么两次都摸出白球的概率是（ ）
1 1 4 2
A． B． C． D．
9 3 9 3
【答案】C
【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率．根据题意，列出表格，可得一共有9种等可能结果，
其中两次都摸出白球的有4种，再由概率公式计算，即可求解．
【详解】解：根据题意，列出表格如下：
红 白1 白2
红 （红，红） （白1，红） （白2，红）
白1 （红，白1） （白1，白1） （白2，白1）
白2 （红，白2） （白1，白2） （白2，白2）
一共有9种等可能结果，其中两次都摸出白球的有4种，
4
所以两次都摸出白球的概率是 ．
9
故选：C
2．（2024·上海·中考真题）一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同随机从中摸一个球，
3
恰好摸到绿球的概率是 ，则袋子中至少有 个绿球．
5
【答案】3
【分析】本题主要考查了已知概率求数量，一元一次不等式的应用，设袋子中绿球有3x个，则根据概率计
算公式得到球的总数为5x个，则白球的数量为2x个，再由每种球的个数为正整数，列出不等式求解即可．
【详解】解：设袋子中绿球有3x个，
3
∵摸到绿球的概率是 ，
5
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3
∴球的总数为3x÷ =5x个，
5
∴白球的数量为5x−3x=2x个，
∵每种球的个数为正整数，
∴2x>0，且x为正整数，
∴x>0，且x为正整数，
∴x的最小值为1，
∴绿球的个数的最小值为3，
∴袋子中至少有3个绿球，
故答案为：3．
3．（2023·辽宁锦州·中考真题）一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同．
经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25左右，则盒子中红球的个数约为 ．
【答案】15
【分析】设袋子中红球有x个，根据摸到黑球的频率稳定在0.25左右，可列出关于x的方程，求出x的值，
从而得出结果．
【详解】解：设袋子中红球有x个，
5
根据题意，得 =0.25,
x+5
∴x=15,
∴盒子中红球的个数约为15，
故答案为：15.
【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，熟练掌握求概率公式是解此题的关键．
►题型02 概率选填题-选人情景
4．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）某校八年级3班承担下周学校升旗任务，老师从备选的甲、乙、丙、
丁四名同学中，选择两名担任升旗手，则甲、乙两名同学同时被选中的概率是（ ）
1 1 1 2
A． B． C． D．
6 8 4 3
【答案】A
【分析】本题考查画树状图或列表法求概率，列表适用于两个因素的问题，三个或三个以上因素的问题只
能用树状图．根据列表法或者树状图分析出所有可能的结果，然后根据概率公式求出结果即可．
【详解】解：列表如下：
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甲 乙 丙 丁
（甲，
甲 （甲，丙） （甲，丁）
乙）
乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁）
（丙，
丙 （丙，甲） （丙，丁）
乙）
（丁，
丁 （丁，甲） （丁，丙）
乙）
由列表可知，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两名同学同时被选中的情况有2种，则甲、乙两名同学
2 1
同时被选中的概率是 = ．
12 6
故选：A．
5．（2022·河南·中考真题）为开展“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育宣讲活动，某单位
从甲、乙、丙、丁四名宣讲员中随机选取两名进行宣讲，则恰好选中甲和丙的概率为 ．
1
【答案】
6
【分析】根据题意，画出树状图，可得一共有12种等可能结果，其中恰好选中甲和丙的有2种，再根据概
率公式计算，即可求解．
【详解】解：根据题意，画出树状图，如下∶
一共有12种等可能结果，其中恰好选中甲和丙的有2种，
2 1
所以恰好选中甲和丙的概率为 = ．
12 6
1
故答案为：
6
【点睛】利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键．
6．（2024·山东济南·中考真题）3月14日是国际数学节、某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”
“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们
恰好选到同一个活动的概率是（ ）
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1 1 1 2
A． B． C． D．
9 6 3 3
【答案】C
【分析】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选
出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．正确画出树状图是解题的关
键．画树状图，共有9种等可能的结果，小红和小丽恰好选到同一个活动的结果有3种，再由概率公式求
解即可．
【详解】解：把“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个活动分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，小红和小丽恰好选到同一个活动的结果有3种，
3 1
∴小红和小丽恰好选到同一个活动的概率为 = ，
9 3
故选：C．
►题型03 概率选填题-选项目情景
7．（2024·内蒙古包头·中考真题）为发展学生的阅读素养，某校开设了《西游记》《三国演义》《水浒
传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目，甲、乙两名同学都通过抽签的方式从这四个阅读项目中随机抽取
一个．则他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
16 12 6 4
【答案】D
【分析】本题考查概率的计算，掌握画树状图法或列表法是关键，事件发生的概率=事件发生的次数÷所有
可能出现的次数，解题的易错点是分清题目中抽签是否放回．先画树状图求出两位同学恰好都抽到同一个
阅读项目的情况，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：设《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目分别为
A、B、C、D，
画树状图如下：
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一共有16种等可能的结果，其中恰好抽到同一个阅读项目的结果有4种可能，
4 1
∴他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是 = ，
16 4
故选：D．
8．（2024·内蒙古·中考真题）如图，有4张分别印有卡通西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟
净．现将这4张卡片（除图案不同外，其余均相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中随机取出1张卡片，
然后放回并搅匀，再从中随机取出1张卡片，则两次取到相同图案的卡片的概率为 ．
1
【答案】
4
【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先画出树状图，从而可得随机两次
取出卡片的所有等可能的结果，再找出两次取到相同图案的卡片的结果，然后利用概率公式求解即可得．
【详解】解：将这4张卡片记为A,B,C,D，画出树状图如下：
由图可知，随机两次取出卡片的所有等可能的结果共有16种，其中，两次取到相同图案的卡片的结果有4
种，
4 1
则两次取到相同图案的卡片的概率为P= = ，
16 4
1
故答案为： ．
4
►题型04 概率选填题-数字情景
8
9．（2024·四川雅安·中考真题）将−2， ，π，0，√2，3.14这6个数分别写在6张同样的卡片上，从中
7
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随机抽取1张，卡片上的数为有理数的概率是 ．
2
【答案】
3
【分析】本题考查概率的求法与运用，有理数与无理数的识别，一般方法：如果一个事件有n种可能，而
m
且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．先根据无理数的定
n
8
义得到取到有理数的有−2， ，0，3.14这4种结果，再根据概率公式即可求解．
7
8
【详解】解：将−2， ，π，0，√2，3.14这6个数分别写在6张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌上，
7
8
任取一张，有6种等可能结果，其中取到有理数的有−2， ，0，3.14这4种结果，
7
4 2
所以取到有理数的概率为 = ，
6 3
2
故答案为： ．
3
10．（2023·四川德阳·中考真题）在6，7，8，9四个数字中任意选取两个数字，则这两个数字之和为奇数
的概率是（ ）
1 1 2 1
A． B． C． D．
3 2 3 4
【答案】C
【分析】先列表得到所有的等可能的结果数，再确定符合条件的结果数，再利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：列表如下：
6 7 8 9
6 13 14 15
7 13 15 16
8 14 15 17
9 15 16 17
所有等可能的结果数为12个，和为奇数的结果数有8个，
∴在6，7，8，9四个数字中任意选取两个数字，则这两个数字之和为奇数的概率是
8 2
= ；
12 3
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故选C
【点睛】本题考查的是利用列表法或画树状图的方法求概率，掌握列表的方法是解本题的关键．
11．（2023·安徽·中考真题）如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为
“平稳数”．用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为
（ ）
5 1 1 2
A． B． C． D．
9 2 3 9
【答案】C
【分析】根据题意列出所有可能，根据新定义，得出2种可能是“平稳数”，根据概率公式即可求解．
【详解】解：依题意，用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，可能结果有，
123,132,213,231,312,321共六种可能，
只有123，321是“平稳数”
2 1
∴恰好是“平稳数”的概率为 =
6 3
故选：C．
【点睛】本题考查了新定义，概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
12．（2023·山东聊城·中考真题）在一个不透明的袋子中，装有五个分别标有数字−√3，√6，0，2，π的
小球，这些小球除数字外其他完全相同．从袋子中随机摸出两个小球，两球上的数字之积恰好是有理数的
概率为 ．
2
【答案】 /0.4
5
【分析】列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【详解】解：根据题意列表如下：
−√3 √6 0 2 π
−√3 −3√20 −2√3−√3π
√6 −3√2 0 2√6 √6π
0 0 0 0 0
2 −2√32√6 0 2π
π −√3π√6π 0 2π
共有20种等可能出现的结果，两球上的数字之积恰好是有理数的有8种，
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8 2
∴两球上的数字之积恰好是有理数的概率为P= = ，
20 5
2
故答案为： ．
5
【点睛】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，
适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况
数与总情况数之比．
►题型05 概率选填题-跨学科情景
13．（2024·河南·模拟预测）有大小与材质完全相同的四张卡片，其正面分别书写化学元素符号“ H，O，
Mg，Na”，将卡片置于暗箱摇匀后随机抽取两张，则上面书写的符号一个是金属元素一个是非金属元素
的概率是 ．
2
【答案】
3
【分析】本题考查了画树状图法或列表法求等可能情形下的概率计算；画树状图法或列表法，利用概率计
n
算公式P= ，即可求解；能理解放回与不放回的区别是解题的关键．
m
【详解】解：树状图如下
其中共12种等可能情况，书写的符号一个是金属元素一个是非金属元素有8种，
8 2
∴P= = ，
12 3
2
故答案： ．
3
14．（2024·福建三明·二模）小亮学习物理《电流和电路》后设计如图所示的一个电路图，其中S ，S ，
1 2
S 3分别表示三个可开闭的开关，“⊗”表示小灯泡，“ ”表示电池．当随机闭合开关 S 1， S 2， S 3中的两
个，小灯泡发光的概率是 ．
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2
【答案】
3
【分析】本题考查了用树形图法求概率，画树状图，共有6种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有4种，
再由概率公式求解即可．
【详解】画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有4种，
4 2
∴小灯泡发光的概率为 = ．
6 3
15．（2023·广西·模拟预测）如图为四张背面完全相同，正面画有常见生活现象的卡片．现将所有卡片背
面朝上放在桌面上洗匀，从中随机抽取两张，则抽到的生活现象均为物理现象的概率是（ ）
1 1 1 5
A． B． C． D．
6 3 2 6
【答案】A
【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率，根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符
合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：“冰雪消融”，“食物发霉”，“火柴燃烧”和“灯泡发光”分别用a、b、c、d表示，画树
状图如下：
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共有12种得可能的结果，抽到的两张卡片恰好是“冰雪消融”和“灯泡发光”的结果有2种，
2 1
则恰好抽到的生活现象均为化学反应的概率是 = ．
12 6
故选：A．
16．（2024·安徽合肥·一模）实验室的试管架上有三个试管，分别装有NaOH，KOH，HCl溶液，某同学将
酚酞试剂随机滴入两个试管内，则试管中溶液同时变红的概率为（ ）
1 1 1 2
A． B． C． D．
3 2 6 3
【答案】A
【分析】本题考查列表法与树状图法，列表可得出所有等可能的结果数以及试管中溶液同时变红的结果数，
再利用概率公式可得出答案．熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
【详解】解：列表如下：
NaOH KOH HCl
NaOH (NaOH,KOH) (NaOH,HCl)
KOH (KOH,NaOH) (KOH,HCl)
HCl (HCl,NaOH) (HCl,KOH)
共有6种等可能的结果，其中试管中溶液同时变红的结果有：(NaOH,KOH)，(KOH,NaOH)，共2种，
2 1
∴试管中溶液同时变红的概率为 = ．
6 3
故选：A．
►题型06 概率选填题-匹配情景.
17．（2023·山西太原·一模）有外形相同的两把锁和两把钥匙，每把钥匙只能打开其中的一把锁，每把锁
只能被其中的一把钥匙打开．现将锁和钥匙随机配对，每把锁和钥匙各一把，则至少有一把锁能被打开的
概率为 ．
1
【答案】 /0.5
2
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【分析】先画出树状图得到所有的等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式
求解即可．
【详解】解：设两把锁分别为锁甲和锁乙，对应的钥匙为钥匙甲，钥匙乙，画树状图如下：
由树状图可知一共有4种等可能性的结果数，其中至少有一把锁能被打开的结果数有2种，
2 1
∴至少有一把锁能被打开的概率为 = ，
4 2
1
故答案为： ．
2
【点睛】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．
18．（2024·黑龙江大庆·三模）为落实“垃圾分类”，环卫部门将某住宅小区的垃圾箱设置为A，B，C三
类．广宇家附近恰好有A，B，C三类垃圾箱各一个，广宇姐姐将家中的垃圾对应分为A，B两包，如果广
宇将两包垃圾随机投放到其中的两个垃圾箱中，能实现对应投放的概率为 。
1
【答案】
6
【分析】通过画树状图得出所有6种等可能的结果数，找出两包垃圾随机投放到其中的两个垃圾箱中，能
实现对应投放的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中将两包垃圾随机投放到其中的两个垃圾箱中，能实现对应投放的结果数为
1，
1
所以将两包垃圾随机投放到其中的两个垃圾箱中，能实现对应投放的概率= ．
6
1
故答案为： ．
6
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►题型07 概率选填题-其它情景
19．（2023·山东烟台·中考真题）如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，
以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正
方形内的某一点上．若小球停在阴影部分的概率为P ，停在空白部分的概率为P ，则P 与P 的大小关系
1 2 1 2
为（ ）
A．P <P B．P =P C．P >P D．无法判断
1 2 1 2 1 2
【答案】B
【分析】根据题意可得阴影部分面积等于正方形面积的一半，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，连接AE，BD交于O，
由题意得，A，B，C，D分别是正方形四条边的中点，
∴点O为正方形的中心，
∴S =S ，
四边形AOBF 四边形AODC
根据题意，可得扇形OAB的面积等于扇形CAD的面积，
∴S −S =S −S ，
四边形AOBF 扇形OAB 四边形AODC 扇形AOC
∴阴影部分面积等于空白部分面积，即阴影部分面积等于正方形面积的一半
∴P =P ，
1 2
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，扇形面积，几何概率，得出阴影部分面积等于正方形面积的一半是解
题的关键．
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20．（2024·北京·模拟预测）一个不透明的袋中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外，没有任何其他
区别．有如下两个活动：活动1：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后从袋中剩余的球中再随机摸
出一个球，摸出的两个球都是红球的概率记为P ；活动2：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后把
1
这个球放回袋中并摇匀，重新从袋中随机摸出一个球，两次摸出的球都是红球的概率记为P ．请你猜想P ，
2 1
P 的大小关系是：P P ，（填“＞”“＝”或“＜”）
2 1 2
【答案】＜
【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合
于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总
情况数之比．分别画出树状图求出P ，P ，进而可判断P ，P 的大小关系．
1 2 1 2
【详解】解：猜想P <P ，理由如下：
1 2
活动1，画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中摸出的两个球都是红球的结果有2种，
2 1
∴ P = = ；
1 6 3
活动2，画树状图如下：
共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的结果有4种，
4
∴ P = ，
2 9
∴P <P ．
1 2
故答案为：<．
21．（2020·山东济宁·中考真题）小明用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案(如
图所示),每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字,寓意“不忘初心”.其中第(1)个图案中有1个正方
体,第(2)个图案中有3个正方体,第(3)个图案中有6个正方体，……按照此规律，从第(100)个图案所需正方
体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是（ ）
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1 1 1 2
A． B． C． D．
100 20 101 101
【答案】D
(1+n)n
【分析】根据图形规律可得第n个图形共有1+2+3+4+...+n= 个正方体，最下面有n个带“心”字正
2
方体，从而得出第100个图形的情况，再利用概率公式计算即可．
【详解】解：由图可知：
第1个图形共有1个正方体，最下面有1个带“心”字正方体；
第2个图形共有1+2=3个正方体，最下面有2个带“心”字正方体；
第3个图形共有1+2+3=6个正方体，最下面有3个带“心”字正方体；
第4个图形共有1+2+3+4=10个正方体，最下面有4个带“心”字正方体；
...
(1+n)n
第n个图形共有1+2+3+4+...+n= 个正方体，最下面有n个带“心”字正方体；
2
(1+100)100
则：第100个图形共有1+2+3+4+...+100= =5050个正方体，最下面有100个带“心”字正方体；
2
100 2
∴从第(100)个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是 = ，
5050 101
故选：D．
【点睛】本题考查了图形变化规律，概率的求法，解题的关键是总结规律，得到第100个图形中总正方体
的个数以及带“心”字正方体个数．
►题型08 列举法求概率-放回类
22．（2024·山东青岛·中考真题）学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年
级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字
分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随
机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明
胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程．
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(1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______；
(2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
1
【答案】(1)
3
(2)树状图见解析，该游戏对双方公平
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率：
（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）画出树状图得到所有符合题意的等可能性的结果数，再分别找到两次数字之和大于4和小于4的结果，
再依据概率计算公式计算出两人获胜的概率即可得到结论．
【详解】（1）解：∵一共有3张牌，其中写有数字1的牌有1张，且每张牌被摸到的概率相同，
1
∴小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是 ，
3
1
故答案为： ；
3
（2）解：画树状图如下所示：
由树状图可知，一共有6种（和为4的不符合题意）等可能性的结果数，其中两次摸到的数字之和大于4
的结果数有3种，两次摸到的数字之和小于4有3种，
3 1 3 1
∴小明获胜的概率为 = ，小红获胜的概率为 = ，
6 2 6 2
∴小明和小红获胜的概率相同，
∴该游戏对双方公平．
23．（2024·陕西·中考真题）一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球，
这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次．
(1)随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是________．
(2)随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率．
【答案】(1)0.3
9
(2)
25
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【分析】本题考查求频率、画树状图或列表法求概率、概率公式，熟练掌握画树状图或列表法求概率的方
法是解题的关键．
（1）根据“频数除以总数等于频率”求解即可；
（2）画出树状图可得，共有25种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有9种结果，再利用概率
公式求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，摸出黄球的频率是3÷10=0.3，
故答案为：0.3；
（2）解：画树状图得，
共有25种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有9种结果，
9
∴两次摸出的小球都是红球的概率为 ．
25
24．（2024·河北·中考真题）甲、乙、丙三张卡片正面分别写有a+b,2a+b,a−b，除正面的代数式不同
外，其余均相同．
a+b 2a+b a−b
a+b 2a+2b 2a
2a+b
a−b 2a
(1)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当a=1,b=−2时，求取出的卡片上代数式的值为负
数的概率；
(2)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张．请在表格中补全
两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率．
1
【答案】(1)
3
4
(2)填表见解析，
9
【分析】（1）先分别求解三个代数式当a=1,b=−2时的值，再利用概率公式计算即可；
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（2）先把表格补充完整，结合所有可能的结果数与符合条件的结果数，利用概率公式计算即可．
【详解】（1）解：当a=1,b=−2时，
a+b=−1，2a+b=0，a−b=1−(−2)=3，
1
∴取出的卡片上代数式的值为负数的概率为： ；
3
（2）解：补全表格如下：
a+b 2a+b a−b
a+b 2a+2b 3a+2b 2a
2a+b 3a+2b 4a+2b 3a
a−b 2a 3a 2a−2b
∴所有等可能的结果数有9种，和为单项式的结果数有4种，
4
∴和为单项式的概率为 ．
9
【点睛】本题考查的是代数式的值，正负数的含义，多项式与单项式的概念，利用列表法求解简单随机事
件的概率，掌握基础知识是解本题的关键．
►题型09 列举法求概率-不放回类
25．（2024·江苏常州·中考真题）在3张相同的小纸条上分别写有“石头”、“剪子”、“布”．将这3
张小纸条做成3支签，放在不透明的盒子中搅匀．
(1)从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是________；
(2)甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”．甲
先从盒子中任意抽出1支签（不放回），乙再从余下的2支签中任意抽出1支签，求甲取胜的概率．
1
【答案】(1)
3
1
(2)
2
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率：
（1）直接根据概率计算公式求解即可；
（2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到甲获胜的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：∵一共有3支签，写有“石头”的签有1支，且每支签被抽到的概率相同，
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1
∴从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是 ，
3
1
故答案为： ；
3
（2）解：设分别用A、B、C表示“石头”、“剪子”、“布”，列表如下：
甲乙 A B C
A (B,A) (C,A)
B (A,B) (C,B)
C (A,C) (B,C)
3 1
∴甲获胜的概率为 = ．
6 2
26．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）从一副普通的扑克牌中取出五张牌，它们的牌面数字分别是4，
4，5，5，6．
(1)将这五张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是4的概率是多少？
(2)将这五张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取第二张．请用列表或
画树状图的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数的概率．
2
【答案】(1)
5
3
(2)
5
【分析】本题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步
或两步以上完成的事件，解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验，用到的知识点为：概率=所求情
况数与总情况数之比．
（1）直接用概率公式求解即可；
（2）画树状图，再利用概率公式进行计算即可．
2
【详解】（1）解：将这五张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，抽取牌面数字是4的概率为： ；
5
（2）解：画树状图，如下，
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共有20种等可能事件，其中抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数有12种，
12 3
所以抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数的概率为 = ．
20 5
27．（2024·江苏苏州·中考真题）一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，
“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀．
(1)若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为______；
(2)若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），求抽取的书
签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
1
【答案】(1)
4
1
(2)
6
【分析】本题考查了利用画树状图或列表的方法求两次事件的概率，解题的关键是：
（1）用标有“夏”书签的张数除以书签的总张数即得结果；
（2）利用树状图画出所有出现的结果数，再找出1张为“春”，1张为“秋”的结果数，然后利用概率公
式计算即可．
【详解】（1）解：∵有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，
1
∴恰好抽到“夏”的概率为 ，
4
1
故答案为： ；
4
（2）解：用树状图列出所有等可的结果：
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等可能的结果：（春，夏），（春，秋），（春，冬），（夏，春），（夏，秋），（夏，冬），（秋，
春），（秋，夏），（秋，冬），（冬，春），（冬，夏），（冬，秋）．
∵在12个等可能的结果中，抽取的书签1张为“春”，1张为“秋”出现了2次，
1
∴P（抽取的书签价好1张为“春”，1张为“秋”）= ．
6
►题型10 列举法求概率-游戏与方案问题
28．（2024·甘肃·中考真题）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标
有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数
字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜．
(1)请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率．
(2)这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由．
2
【答案】(1)
3
(2)这个游戏规则对甲乙双方不公平，理由见解析
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，游戏的公平性：
（1）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两球上的数字之和为奇数的结果数，最后利用概
率计算公式求解即可；
（2）同（1）求出乙获胜的概率即可得到结论．
【详解】（1）解：画树状图如下：
由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中两球上的数字之和为奇数的结果数有8种，
8 2
∴甲获胜的概率为 = ；
12 3
（2）解：这个游戏规则对甲乙双方不公平，理由如下：
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由（1）中的树状图可知，两球上的数字之和为偶数的结果数有4种，
4 1
∴乙获胜的概率为 = ，
12 3
1 2
∵ < ，
3 3
∴甲获胜的概率大于乙获胜的概率，
∴这个游戏规则对甲乙双方不公平．
29．（2023·福建·中考真题）为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举
办了抽奖促销活动．活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下：
从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，
则中奖，可获得奖品：若摸得黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再
往袋中加入1个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记
下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．现
已知某顾客获得抽奖机会．
(1)求该顾客首次摸球中奖的概率；
(2)假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的
理由
1
【答案】(1)
4
(2)应往袋中加入黄球，见解析
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）根据列表法求分别求得加入黄球和红球的概率即可求解．
【详解】（1）解：顾客首次摸球的所有可能结果为红，黄①，黄②，黄③，共4种等可能的结果．
记“首次摸得红球”为事件A，则事件A发生的结果只有1种，
1 1
所以P(A)= ，所以顾客首次摸球中奖的概率为 ．
4 4
（2）他应往袋中加入黄球．
理由如下：
记往袋中加入的球为“新”，摸得的两球所有可能的结果列表如下：
第二
球
红 黄① 黄② 黄③ 新
第一
球
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红 红，黄① 红，黄② 红，黄③ 红，新
黄①， 黄①，黄 黄①，黄 黄①，
黄①
红 ② ③ 新
黄②， 黄②，黄 黄②，黄 黄②，
黄②
红 ① ③ 新
黄③， 黄③，黄 黄③，黄 黄③，
黄③
红 ① ② 新
新 新，红 新，黄① 新，黄② 新，黄③
共有20种等可能结果．
（ⅰ）若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有8种，此时该顾客获得精美礼品的概率
8 2
P = = ；
1 20 5
（ⅱ）若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有12种，此时该顾客获得精美礼品的概率
12 3
P = = ；
2 20 5
2 3
因为 < ，所以P <P ，所以他应往袋中加入黄球．
5 5 1 2
【点睛】本小题考查简单随机事件的概率等基础知识，考查抽象能力、运算能力、推理能力、应用意识、
创新意识等，考查统计与概率思想、模型观念，熟练掌握概率公式是解题的关键．
30．（2024·江西南昌·模拟预测）“庆元旦，迎新年”，某班组织庆祝元旦活动，活动中有个抽签决定奖
项的环节．抽签箱中有1号，2号，3号3个号签，抽到1号签获得一等奖，抽到2号签获得二等奖，抽到
3号签获得三等奖．（抽到的签不放回）甲、乙、丙三位同学在活动中表现活跃，主持人宣布他们获得抽
签机会．
(1)事件“甲获得一等奖”是 事件．（填“必然”“不可能”或“随机”）
(2)甲同学认为先抽的获得一等奖的机会更大，乙同学认为后抽的获得一等奖的机会更大，丙同学认为先抽
和后抽获得一等奖的机会一样大．你同意谁的观点，请说明理由．
【答案】(1)随机
(2)同意丙同学的观点：先抽和后抽获得一等奖的机会一样大，理由见解析
【分析】本题考查了随机事件，列举法求概率等知识，熟练掌握随机事件的定义，列举法求概率是解题的
关键．
（1）根据随机事件的定义判断作答即可；
（2）先画树状图，然后求概率，然后作答即可．
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【详解】（1）解：由题意可知，事件“甲获得一等奖”是随机事件，
故答案为：随机；
（2）解：同意丙同学的观点：先抽和后抽获得一等奖的机会一样大，理由如下：
画树状图表示甲、乙、丙三人抽奖所有等可能出现的结果如下：
共有6种等可能出现的结果，其中第一人、第二人，第三人获得“一等奖”的都有2种等可能的结果，
2 1
∴第一人、第二人，第三人获得“一等奖”的概率均为 = ，
6 3
∴无论先抽还是后抽，获得“一等奖”的机会一样大，
∴同意丙同学的观点．
►题型11 统计与概率
31．（2024·山东日照·中考真题）为进一步推动阳光体育运动，提高学生身体素质，今年5月学校举行健美
操比赛，最终有甲、乙、丙三个班级进入团体决赛．团体决赛需要分别进行五个单项比赛，计分规则如下
表：
单项比赛计分 五名裁判打分，去掉一个最高分和一个最低分，剩下三个有效分的平
规则 均数即为该项得分
团体决赛计分 各单项比赛得分之和为团体最终成绩，名次按团体最终成绩由高到低
规则 排序
现将参加比赛的甲、乙、丙三个班级的得分数据进行整理、描述和分析，并绘制统计图表，部分信息如下：
a．甲、乙两班五个单项得分折线图：
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b
．丙班五个单项得分表：
项目 一 二 三 四 五
得分 78 m 94 90 92
根据以上信息，回答下列问题：
(1)已知丙班第二个单项比赛中，五名裁判的打分分别为80，84，86，83，82，求丙班第二个单项的得分
m；
(2)若团体最终成绩相同，则整体发挥稳定性最好的班级排名靠前，那么获得团体比赛冠军的是_______班；
（填“甲”“乙”或“丙”）
(3)获得团体决赛前两名的班级可得到一套图书奖励，现有A，B，C三种图书可供选择，请用列表或画树
状图的方法，求两个班级都选择同一套图书的概率
【答案】(1)83；
(2)乙；
1
(3) ．
3
【分析】本题主要考查数据统计与整理的相关知识，掌握平均数，方差的计算方法、概率的计算方法等知
识的运用是解题的关键．
（1）根据平均数的计算方法即可求解；
（2）根据方差的计算即可求解；
（3）列表或或画树状图把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解．
【详解】（1）解：由题意得去掉一个最高分86分，去掉一个最低分80分，
84+83+82
则m= =83；
3
80+83+98+92+93
（2）解：甲班平均分： =89.2，
5
1
则S2 = [(80−89.2) 2+(83−89.2) 2+(98−89.2) 2+(92−89.2) 2+(93−89.2) 2]=44.56，
甲 5
84+88+93+86+95
乙班平均分： =89.2，
5
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1
则S2 = [(84−89.2) 2+(88−89.2) 2+(93−89.2) 2+(86−89.2) 2+(95−89.2) 2]=17.36，
乙 5
78+83+94+90+92
丙班平均分： =87.4，
5
由89.2>87.4
所以，整体发挥较好的是甲班和乙班，
∵S2 <S2
乙 甲
∴乙整体发挥稳定性最好，
故答案为：乙；
（3）列表如下．
第二名
A B C
第一名
A (A,A) (A,B) (A,C)
B (B,A) (B,B) (B,C)
C (C,A) (C,B) (C,C)
由列表可以看出，所有等可能出现的结果共有9种，
3 1
∴P（选择同一套图书）= = ．
9 3
32．（2024·山东东营·中考真题）为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，东营
市某学校举办“我参与，我劳动，我快乐，我光荣”活动．为了解学生周末在家劳动情况，学校随机调查
了八年级部分学生在家劳动时间（单位：小时），并进行整理和分析（劳动时间x分成五档：A档：
0≤x<1；B档：1≤x<2；C档：2≤x<3；D档：3≤x<4；E档：4≤x）．调查的八年级男生、女生劳
动时间的不完整统计图如下：
根据以上信息，回答下列问题：
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(1)本次调查中，共调查了_______名学生，补全条形统计图；
(2)调查的男生劳动时间在C档的数据是：2，2.2，2.4，2.5，2.7，2.8，2.9．则调查的全部男生劳动时间的
中位数为_______小时．
(3)学校为了提高学生的劳动意识，现从E档中选两名学生作劳动经验交流，请用列表法或画树状图的方法
求所选两名学生恰好都是女生的概率．
【答案】(1)50，见详解
(2)2.5
1
(3)
6
【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，中位数的定
义，熟练掌握各知识点是解题的关键．
（1）运用D档人数除以D的百分比，得出调查的学生总数，再运用总数乘上E档的百分比，即可作答．
（2）根据中位数的定义，排序后位于中间位置的数为中位数，据此即可作答．
（3）依题意，得出E档有2名男学生，有2名女学生，运用列表法得共有12种等可能的结果，再运用概率
公式列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，(6+7)÷26%=50（名）
∴本次调查中，共调查了50名学生；
则50×8%=4（名）
∴4−2=2（名）
则E档有2名男学生，有2名女学生,
补全条形统计图如图所示：
（2）解：依题意，
5+3+7+6+2=23（名）
本次调查的男学生的总人数是23名
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∴则调查的全部男生劳动时间的中位数位于第12名，
∵5+3=8，5+3+7=15
∴第12名位于C档
∵调查的男生劳动时间在C档的数据是：2，2.2，2.4，2.5，2.7，2.8，2.9．
则调查的全部男生劳动时间的中位数为2.5小时，
故答案为2.5；
（3）解：用A，B表示2名男生，用C，D表示两名女生，列表如下：
共有12种等可能的结果，其中所选两名学生恰好都是女生的结果有2种，
2 1
∴ P= = ．
12 6
33．（2024·贵州·中考真题）根据《国家体质健康标准》规定，七年级男生、女生50米短跑时间分别不超
过7.7秒、8.3秒为优秀等次．某校在七年级学生中挑选男生、女生各5人进行集训，经多次测试得到10名
学生的平均成绩（单位：秒）记录如下：
男生成绩：7.61，7.38，7.65，7.38，7.38
女生成绩：8.23，8.27，8.16，8.26，8.32
根据以上信息，解答下列问题：
(1)男生成绩的众数为______，女生成绩的中位数为______；
(2)判断下列两位同学的说法是否正确．
(3)教练从成绩最好的3名男生（设为甲，乙，丙）中，随机抽取2名学生代表学校参加比赛，请用画树状
图或列表的方法求甲被抽中的概率．
【答案】(1)7.38，8.26
(2)小星的说法正确，小红的说法错误
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2
(3)
3
【分析】本题考查用树状图或列表法求概率，众数和中位数的定义，掌握列表法或树状图求概率是解题的
关键．
（1）利用中位数和众数的定义解题即可；
（2）根据优秀等次的要求进行比较解题即可；
（3）列表格得到所有可能的结果数n，找出符合要求的数量m，根据概率公式计算即可．
【详解】（1）解：男生成绩7.38出现的次数最多，即众数为7.38，
女生成绩排列为：8.16，8.23，8.26，8.27，8.32，居于中间的数为8.26，故中位数为8.26，
故答案为：7.38，8.26；
（2）解：∵用时越少，成绩越好，
∴7.38是男生中成绩最好的，故小星的说法正确；
∵女生8.3秒为优秀成绩，8.32>8.3，
∴有一人成绩达不到优秀，故小红的说法错误；
（3）列表为：
甲 乙 丙
甲， 甲，
甲
乙 丙
乙， 乙，
乙
甲 丙
丙， 丙，
丙
甲 乙
由表格可知共有6种等可能结果，其中抽中甲的有4种，
4 2
故甲被抽中的概率为 = ．
6 3
1.公式法
概率的计算方法：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件
A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率 ，即 .
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用 求概率时，试验需满足的条件：1）在一次试验中，可能出现的结果只有有限个；
2）在一次试验中，各种结果出现的可能性相等.
2.列举法
定义：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可
通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法.
用列举法求概率的前提：1）所有可能出现的结果是有限个；2）每个结果出现的可能性相等.
3.列表法
定义：当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的结果，
这种方法叫列表法.
4.画树状图法
定义：当事件要经过多个步骤完成时，用树状图的形式不重不漏地列出所有可能的结果的方法叫画树
状图法.
5.用频率估计概率
一般地，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且随着试验次数增多，
摆动的幅度会减小.因此，当试验次数很大时，可以用一个事件发生的频率作为其概率的估计值.
1．（2025·河南周口·一模）现有四张正面印有神舟载人航天飞行任务标识的卡片，它们除内容标识之外其
他完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片中恰有一张正面印有
“神舟十九号载人飞行任务”的概率为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
2 4 6 8
【答案】A
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，抽取的两张卡片中恰有一张正面印有“神舟十九号载人飞行
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任务”的结果有2种，再由概率公式求解即可．此题考查的是树状图法以及概率公式．树状图法可以不重
复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数
与总情况数之比．
【详解】解：把印有神舟十六号载人飞行任务、神舟十七号载人飞行任务，神舟十八号载人飞行任务的卡
片分别记为：A、B、C、D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，则抽取的两张卡片中恰有一张正面印有“神舟十九号载人飞行任务”的有6种，
6 1
∴抽取的两张卡片中恰有一张正面印有“神舟十九号载人飞行任务”的概率为 = ，
12 2
故选：A．
2．（2025·山西·模拟预测）经过一个“T”字型路口的行人，可能右拐，可能左拐．假设这两种可能性相
同.某一定时间内随机有三人经过该路口，则恰好有两人左拐的概率为（ ）
1 3 3 7
A． B． C． D．
4 8 4 8
【答案】B
【分析】本题考查用树状图求事件的概率，概率的计算公式，正确理解题意并列举所有可能的情况是解题
的关键．
用树状图列举出所有等可能的情况，计算恰好有两人左拐的次数，利用概率计算公式求解．
【详解】树状图如下：
共有8种等可能的情况，其中恰好有两人左拐的有3种，
3
∴P（恰好有两人左拐）= ，
8
故选：B．
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3．（2025·广东·模拟预测）某社区开展“垃圾分类、倡文明”志愿服务活动．小刚、小强计划利用寒假从
甲，乙，丙，丁四个志愿服务队中，随机选择一个参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一个服务队的概
率是（ ）
1 1 1 3
A． B． C． D．
2 3 4 16
【答案】C
【分析】本题考查了列表法与树状图法：画出树状图展示所有16种等可能的结果数，找出两人恰好选择同
一个服务队的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：列表如图：
甲 乙 丙 丁
（乙，
甲 （甲，甲） （丙，甲） （丁，甲）
甲）
（乙，
乙 （甲，乙） （丙，乙） （丁，乙）
乙）
（乙，
丙 （甲，丙） （丙，丙） （丁，丙）
丙）
（乙，
丁 （甲，丁） （丙，丁） （丁，丁）
丁）
共有16种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一个服务队的结果数为4种，小刚、小强恰好选到同一队
4 1
的概率是 = ，
16 4
故选C．
4．（2025·河南郑州·一模）酚酞是一种常用的酸碱指示剂．通常情况下酚酞遇酸溶液不变色，遇碱溶液变
红色．实验室有四瓶没有标签的无色溶液，分别是NaOH溶液、Ca(OH) 溶液、稀盐酸、稀硫酸．小刚随
2
机选了两瓶溶液并各滴入一滴酚酞试剂，则这两瓶溶液只有一瓶变红色的概率为 ．
2
【答案】
3
【分析】此题考查了列表法求概率，解题的关键是掌握列表法求解概率的方法．将NaOH溶液、Ca(OH)
2
溶液、稀盐酸、稀硫酸分别记作A、B、C、D，列表得出所有可能结果，从中找到符合条件的结果数，
再根据概率公式求解即可．
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【详解】解：将NaOH溶液、Ca(OH) 溶液、稀盐酸、稀硫酸分别记作A、B、C、D，列表如下：
2
A B C D
A (B、A) (C、A) (D、A)
B (A、B) (C、B) (D、B)
C (A、C) (B、C) (D、C)
D (A、D) (B、D) (C、D)
由表可知，共有12种等可能结果，其中滴入一滴酚酞试剂后只有一瓶呈现红色的有8种结果，
8 2
所以滴入一滴酚酞试剂后只有一瓶呈现红色的概率为 = ；
12 3
2
故答案为： ．
3
5．（2025·江西·模拟预测）小贤同学要测量图中不规则图案（恐龙）的面积，采用的办法是：先用长为
4cm，宽为3cm的矩形将该图案围起来，再向矩形区域内掷点，通过大量的重复式验，发现点落在不规则
图案部分的频率稳定在0.2附近，请你根据小贤同学的试验数据，估算出该不规则图案（恐龙）的面积为
．
【答案】2.4cm2
【分析】本题考查了用频率估计概率，熟练掌握用频率估计概率的方法是解题的关键．用频率和概率之间
的关系解答即可．
【详解】解：∵点落在图案部分的频率稳定在0.2左右，
∴此不规则图案的面积大约为3×4×0.2=2.4cm2，
故答案为：2.4cm2．
4 √5−1
6．（2025·广东深圳·一模）从0， ，√2，−7， 五个数中随机抽取一个数，则抽出的数是无理数
3 2
的概率为 ．
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2
【答案】
5
【分析】此题主要考查了概率公式，正确得出无理数的个数是解题关键．
先找出无理数的个数，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：在0，−7，这五个数中，有理数有0，−7这3个，其余两个为无理数，
2
∴抽出的数是无理数的概率为 ，
5
2
故答案为： ．
5
7．（2025·山西长治·模拟预测）山西的四大旗舰物种是黑鹳、原麝、华北豹，褐马鸡，某校的野生动植物
保护兴趣小组成员小赛和小梅计划从“黑鹳”“原麝”“华北豹”“褐马鸡”四种动物中任意选择一种调
查，他们制作了四张质地大小完全相同的卡片，背面朝上洗匀后，小颖和小梅各自从中随机抽取一张来确
定自己的课外调查研究内容（第一人抽完放回洗匀后另一人再抽取），则两人恰好抽取到同一旗舰物种卡
片的概率为 ．
1
【答案】
4
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适
合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与
总情况数之比．根据题意画出树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，根据概率公式求
解可得．
【详解】解：“黑鹳”“原麝”“华北豹”“褐马鸡”四种动物分别用A、B、C、D表示，
根据题意画图如下：
由图可知，共有16种等可能结果，其中两人恰好抽取到同一旗舰物种卡片的有4种，
4 1
则两人恰好抽取到同一旗舰物种卡片的概率是 = ．
16 4
1
故答案为： ．
4
8．（2025·江苏宿迁·一模）一个不透明的口袋中装有三个完全相同的小球，上面分别标有数字√5，√3和
1
．
2
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(1)从口袋中随机摸出一个小球，摸出小球上的数字是无理数的概率是______；
(2)先从口袋中随机摸出一个小球，将小球上的数字记为x，把小球放回口袋中并搅匀，再从口袋中随机摸
出一个小球，将小球上的数字记为y．请用列表法或画树状图法求出x与y的乘积是有理数的概率．
2
【答案】(1)
3
1
(2)
3
【分析】（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中摸出小球上的数字是无理数的结果有2种，利用概
率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及x与y的乘积是有理数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
【详解】（1）解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中摸出小球上的数字是无理数的结果有2种，
2
∴从口袋中随机摸出一个小球，摸出小球上的数字是无理数的概率是 ．
3
2
故答案为：
3
（2）解：列表如下：
1
√5 √3
2
( 1)
√5 (√5，√5(√)5，√3)√5，
2
( 1)
√3 (√3，√5(√)3，√3)√3，
2
1 (1 ()1 ()1 1)
，√5 ，√3 ，
2 2 2 2 2
(1 1)
共有9种等可能的结果，其中x与y的乘积是有理数的结果有：(√5，√5)，(√3，√3)， ， ，共3
2 2
种，
3 1
∴x与y的乘积是有理数的概率为 = ．
9 3
9．（2025·陕西西安·二模）西安是中国著名的历史文化名城，拥有众多的历史遗迹和文化景点，如兵马俑、
大雁塔、古城墙等．小明是位旅游纪念品收集爱好者，他收集了四张具有西安特色的纪念卡片（这四张卡
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片依次分别用字母A，B，C，D表示，四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），其中A是兵马俑图案，
B是大雁塔图案，C是古城墙图案，D是钟楼图案．现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．
(1)小明从中随机抽取一张卡片是兵马俑图案A的概率是_______；
(2)小明计划从中随机抽取两张卡片送给自己的好朋友，请用列表法或画树状图法计算小明抽取的两张卡片
恰好是大雁塔图案B和钟楼图案D的概率．
1
【答案】(1)
4
1
(2)
6
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出
答案．
【详解】（1）解：∵共有4张卡片，除正面内容不同外，其余均相同，
1
∴小明从中随机抽取一张卡片是兵马俑图案A的概率是 ；
4
1
故答案为： ；
4
（2）解：列表如下，
A B C D
A (A,B) (A,C) (A,D)
B (B,A) (B,C) (B,D)
C (C,A) (C,B) (C,D)
D (D,A) (D,B) (D,C)
共有12种等可能性结果，其中抽到恰好是大雁塔图案B和钟楼图案D的有2种，
2 1
则恰好是大雁塔图案B和钟楼图案D的概率是 = ．
12 6
10．（2025·湖北·一模）某单位组织员工分批参观湖北省内的四个景点：A．武当山、B．三峡、C．神农
架旅游区、D．黄鹤楼．该单位对员工最感兴趣的景点人数进行了问卷调查，并根据收集到的数据，绘制
成如图所示两幅不完整的统计图．
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(1)这次该单位组织旅游的人数是____；
(2)扇形统计图中“C”所对应的扇形圆心角度数是____；
(3)甲、乙两人分别从这四个景点中随机选择一个景点游览，请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中
至少有一人选择A景点的概率．
【答案】(1)40；
(2)90°；
7
(3)树状图见详解， ．
16
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，求扇形统计图的圆心角，画树状图或列表求概率，
掌握数据处理与应用、画树状图求概率是解题的关键。
（1）综合两幅统计图，可知A组有 12 人，占总人数的 30% ，则总人数 =12÷30% ，计算得出答案即
可；
（2）根据C组人数的占比求扇形圆心角度数即可；
（3）根据“甲、乙两人分别从四个景点中随机选择一个景点游览”，画出树状图，根据树状图，得出甲、
乙两人中至少有一人选择A景点的概率即可．
【详解】（1）解： 12÷30%=40（人），
故答案为：40 ；
40−12−14−4 10
（2）360°× =360°× =90° ，
40 40
故答案为：90°；
（3）画树状图如下，
∴ 16
共有 种等可能的结果，其中甲、乙两人中至少有一人选
择A景点的结果有 7 种，
7
∴ 甲、乙两人中至少有一人选择 A 景点的概率为 ．
16
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11．（2025·辽宁抚顺·一模）某校利用“阳光体育大课间”对学校足球队全员进行定点射门训练，每人踢
五次，训练结束后，把结果制成了如图所示不完整的折线统计图和扇形统计图．
(1)求此次定点射门训练中进球5次的人数；
(2)在此次定点射门训练中进球5次的队员中有1名女生，学校想从进球5次的队员中选2人参加比赛，请
通过列表或画树形图的方法求参加比赛的队员是一男一女的概率．
【答案】(1)进球5次的人数有3人
2
(2)
3
【分析】本题考查折线统计图，扇形统计图，用列表法求等可能事件的概率，能从统计图中获取有用信息，
掌握用列表法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
（1）由进球4次的人数除以其所占百分比30%求出总人数，将总人数减去其他进球数的人数即可求得进球
5次的人数；
（2）利用列表法解答即可．
【详解】（1）解：进球4次的人数：12÷30%=40（人）
进球5次的人数：40−1−9−15−12=3（人）
答：进球5次的人数有3人．
（2）解：进球5次的人数有3人，其中女队员1人，所以男队员有2人．
列表如下：
男 男 女
（男， （女，
男
男） 男）
（男， （女，
男
男） 男）
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（男， （男，
女
女） 女）
由表可知，选2人参加比赛的所有结果一共有6种，并且每种结果出现的可能性相等，其中参加比赛的队
员是一男一女的的结果有：（女，男），（女，男），（男，女），（男，女）共4种．
4 2
∴P（参加比赛的队员是一男一女的）= = ．
6 3
12．（2025·湖南娄底·模拟预测）某中心学校九（1）班为了了解学生对消防知识的掌握情况，为此九
（1）班全体同学进行了一次测试，测试满分为5分，将所得的分数（单位：分）进行分类，统计绘制了如
下不完整的统计图． 请根据图中信息，解答下列问题：
(1)a= ，并补全条形统计图；
(2)请计算九（1）班本次测试成绩的中位数和平均数；
(3)由于学校开展消防演练的需要，现从成绩前四名（1名男生和3名女生）中随机抽取2人进行对灭火器
的实践操作，请用画树状图或列表的方法求出恰好选中1男1女的概率．
【答案】(1)8，图见解析
(2)3分，2.98分
1
(3)
2
【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，利用列表法求概率：
（1）求出3分的人数所占的比例，用3分的人数除以所占的比例求出总人数，再用5分的人数除以总人数
求出a的值，求出2分和4分的人数，补全条形图即可；
（2）根据中位数和平均数的计算方法，进行计算即可；
（3）用A表示男生，B,C,D表示女生，列出表格，利用概率公式进行计算即可．
72
【详解】（1）解：九（1）班的人数为：10÷ =50，
360
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4
∴a%= ×100%=8%，
50
∴a=8；
成绩为2分的学生人数为：50×36%=18，
∴成绩为4分的学生人数为：50−3−18−10−4=15；
补全条形图如图：
（2）将成绩从小到大排列，第25个数据和第26个数据均为3分，
∴中位数为：3分；
3×1+18×2+10×3+15×4+5×4
平均数为： =2.98（分）；
50
（3）用A表示男生，B,C,D表示女生，列表如下：
A B C D
A A，B A，C A，D
B B，A B，C B，D
C C，A C，B C，D
D D，A D，B D，C
共12种等可能的结果，其中一男一女的结果有6种，
6 1
∴P= = ．
12 2
76
