文档内容
专题 02 不等式与复数
目 录
01 基本不等式二元式...........................................................................................................................1
02 和式与积式......................................................................................................................................3
03 柯西不等式二元式...........................................................................................................................7
04 齐次化与不等式最值.....................................................................................................................10
05 复数的四则运算.............................................................................................................................13
06 复数的几何意义...............................................................................................................................15
01 基本不等式二元式
1．（2023·山东青岛·高一青岛大学附属中学校考阶段练习）若 且 ，则 的最小值为
（ ）
A．7 B．8 C．9 D．16
【答案】C
【解析】由题设， ，当且仅当 ，即 时等号成立．
故选：C
2．（2023·江苏盐城·高三统考期中）若 ， ，则 的最小值为（ ）
A．1 B．4 C．8 D．12
【答案】C
【解析】设 ，则 ，
由 ，得 ，即 ，
则 ， ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
故选：C．
3．（2023·江苏镇江·高三统考期中）已知正实数 、 满足 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为正实数 、 满足 ，则 ，可得 ，
所以， ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，此时， ，
故 的最小值为 ．
故选：B．
4．（2023·浙江金华·校联考模拟预测）已知 ，则 的最小值为
（ ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】D【解析】由 ， ，即 ，易知 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立，此时 ，
所以 的最小值为 ．
故选：D
5．（2023·广东广州·统考模拟预测）已知正实数x，y满足 ，则 的最小值为
（ ）
A．2 B．4 C．8 D．9
【答案】C
【解析】因为正实数x，y满足 ，所以 ，
则 ，
当且仅当 且 ，即 ， 时取等号．
故选：C．
6．（2023·广西玉林·高三博白县中学校考开学考试）若正数x，y满足 ，则 的最小值是
（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意， ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号．
故选：C
02 和式与积式7．（多选题）（2023·山东潍坊·高三统考期中）已知 ， 为方程 的两个实根，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】由题意得： ， ， ， ；
对于A项： ，
因为： ，所以： ，
所以得： ，当且仅当 时取等号，故A项正确；
对于B项：由 ，所以得： ，故B项错误；
对于C项： ，
所以得： ，故C项正确；
对于D项：
当 时取等号，故D项正确．
故选：ACD．
8．（多选题）（2023·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）已知 ，且 ，则
（ ）
A． B．C． D．
【答案】ABC
【解析】 ，当且仅当 ，即 时取等号，
由于 ，所以 ，A正确，
由于 ， ，当且仅当 且 时，即 时取等号，由于
，所以 ，B正确，
由 以及 可得 ，
当且仅当 ，即 时取等号，由于 ，所以 ，故C正确，
，当且仅当 ，即 时取等号，由于 ， 所以
D错误，
故选：ABC
9．（多选题）（2023·云南迪庆·高一统考期末）设正实数 满足 ，则下列说法正确的是
（ ）
A． 的最小值为4 B． 的最大值为
C． 的最大值为2 D． 的最小值为
【答案】ABD
【解析】对于A， ， ， ， ，
当且仅当 ，即 时等号成立，故A正确；
对于B， ， ，当且仅当 ，即 ， 时等号成立，所以 的最大值为 ，故B正确；
对于C，因为 ，
所以 的最大值为 ，故C错误；
对于D，因为 ，故D正确．
故选：ABD．
10．（多选题）（2023·全国·高三校联考阶段练习）若 ， ，且 ，则下列说法正确的是
（ ）
A． 有最大值 B． 有最大值2
C． 有最小值4 D． 有最小值
【答案】AC
【解析】对于A， ，
当且仅当 时取等号，
所以 有最大值 ，故A正确；
对于B，因为 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 时取等号，
所以 有最大值 ，故B错误；
对于C， ，
当且仅当 ，即 时取等号，所以 有最小值4，故C正确；
对于D，因为 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 有最小值 ，故D错误．
故选：AC．
11．（多选题）（2023·江苏无锡·高三统考期中）已知 ， ， ，则下列说法正确的是
（ ）
A． 的最小值为
B． 的最小值为
C． 的最小值为
D． 的最小值为
【答案】AD
【解析】A选项： ，即 ，解得 ，当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
A选项正确；
B选项： ，当且仅当 ，即 ，
时等号成立，B选项错误；
C选项：由 ，得 ， ，则 ，
设函数 ， ， ，
令 ，解得 ，所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，C选项错误；
D选项： ，当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
D选项正确；
故选：AD．
03 柯西不等式二元式
12．（2023·浙江湖州·高三统考期末）已知 ， ，且 ，则 的最小值是
．
【答案】
【解析】凑配 ，进而根据
柯西不等式结合已知求解即可．根据柯西不等式得： ，
，
当且仅当 时，上述两不等式取等号，
所以 ，
因为 ，
所以
当且仅当 时，等号成立．故答案为： ．
13．（2023·浙江温州·统考二模）已知实数 满足 则 的最大值为 ．
【答案】
【解析】直接利用柯西不等式得到答案．根据柯西不等式： ，故
，
当 ，即 ， 时等号成立．
故答案为： ．
14．（2023·湖北武汉·统考一模）已知 ，则M的最大值为 ．
【答案】1．
【解析】利用柯西不等式求解．由柯西不等式得：
，
当且仅当 ，即 取等号．
故M的最大值为1
故答案为：1
15．（2023·浙江金华·高三校联考期末）已知实数 满足 ，则 的取
值范围为 ．
【答案】
【解析】由柯西不等式可得，
，
所以 ，即
所以 ．
故答案为：
16．（2023·浙江·高三校联考阶段练习）已知实数 满足： ，则 的最小值为 ．【答案】2
【解析】方法一：距离问题
问题理解为：由对称性，我们研究“双曲线上的点 到直线 的距离的 倍”问题
若相切，则 有唯一解
，
两平行线 与 的距离
所以
方法二：柯西不等式法
补充知识：二元柯西不等式
已知两组数 ； ，则
已知两组数 ； ，则
所以 ，所以 ．
方法三：判别式法
设 ，将其代入 ，下面仿照方法一即可．
方法四：整体换元
根据对称性，不妨设 ，
设 ，则 ，且方法五：三角换元
由对称性，不妨设 （ 为锐角）
所以
所以 的最小值为2
17．（2023·河北衡水·高三河北安平中学校考期末）已知 ，则 取得最小值时， ，
， 形成的点 ．
【答案】
【解析】由于 ，故 ．当且仅当
时等号成立，故 ．
故答案为
04 齐次化与不等式最值
18．（2023·山东日照·高一校考期中）已知 ，则 的最小值是 ．
【答案】
【解析】根据题设条件可得 ，可得 ，利用基本不等式即可求解．∵∴ 且
∴ ，
当且仅当 ，即 时取等号．
∴ 的最小值为 ．
故答案为： ．
19．（2023·浙江·高二校联考阶段练习）若实数 ， 满足 ，则 的最小值为 ．
【答案】 /
【解析】因 ，则 ，
即 ，
令 ，则 ，
所以 ， ，
所以
，
当且仅当 ，即 时，等号成立．
故 的最小值为 ．
故答案为：
20．（2023·宁夏银川·高二宁夏育才中学校考期中）若 ，则 的最小值为
．
【答案】【解析】设 ， ，所以 ，所以
，其中 满足 ，所以 ，所以
，所以 ，
即 ，所以 ，所以 的最小值为 ．
故答案为：
21．（2023·天津滨海新·校联考模拟预测）已知 ，则 的最大值是 ．
【答案】
【解析】先化简原式为 ，再换元设 得原式 ，再换元设 得
原式可化为 ，再利用函数单调性得到函数的最大值． ，设
，
所以原式= ，令
所以原式= ．
（函数 在 上单调递增）
故答案为：
22．（2023·全国·高一专题练习）已知正数 满足 ，且 ，求 的值．
【解析】 ，
两边同时除以 得 ，
设 得 ，解得 或 （舍去），
，
，
两边同时除以 得 ，
．
05 复数的四则运算
23．（2023·上海·高三上海市宜川中学校考期中）已知复数z满足 ，则复数z的个数为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】设 ，复数 满足 ，
，
化为 ，
解得 ，或 ，
，或1，或 ．
故选：D．
24．（2023·江西·高三鹰潭一中校联考期中）已知复数z满足 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由 ，得 ，
所以 ，
故选：A．
25．（2023·广西南宁·统考模拟预测）已知复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
所以 的虚部为 ．
故选：A．26．（2023·四川成都·校联考一模）已知 为复数单位， ，则 的模为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】A
【解析】由 可得 ，所以 ，
所以 ，则 ．
故选：A．
27．（2023·湖南郴州·统考一模）已知复数 是方程 的一个根，则实数 的值是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由复数 是方程 的一个根，
得 ，
解得 ，
故选：D．
06 复数的几何意义
28．（2023·江西赣州·统考二模）已知复数 满足 （ 为虚数单位），则 的最大值为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】设复数 在复平面中对应的点为 ，
由题意可得： ，表示复平面中点 到定点 的距离为1，
所以点 的轨迹为以 为圆心，半径 的圆，因为 表示表示复平面中点 到定点 的距离，
所以 ，即 的最大值为3．
故选：C．
29．（2023·湖南郴州·统考模拟预测）设复数z在复平面内对应的点位于第一象限，且 ，则
的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意设 ，
由 ，
得 ，
因为 ，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
所以 ．
故选：A．
30．（2023·江苏常州·常州市第三中学校考模拟预测）已知复数 ，i为虚数单位， 则复数z
在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】因为复数 ，
所以复数z在复平面内所对应的点为 ， 该点位于第三象限．
故选：C．31．（2023·内蒙古赤峰·统考二模）棣莫弗公式 ，（ 是虚数单位，
）是由法国数学家棣莫弗（ ）发现的．根据棣莫弗公式，在复平面内的复数 对
应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】
，
对应的点位于第二象限．
故选：B
32．（2023·安徽·校联考三模）已知复数 满足 （i为虚数单位），则复数 在复平面内对应的点
所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】由 得 ，
∴复数z在复平面内对应的点为 ，
∴复数z在复平面内对应的点所在的象限为第四象限．
故选：D．
33．（2023·山西太原·太原五中校考一模）复平面内复数 满足 ，则 的最小值为
（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】B【解析】设 ，
因为 ，所以 ，即z在复平面内对应点的轨迹为圆C：
，如图，
又 ，
所以 表示圆C上的动点到定点 的距离，
所以 为 ，
故选：B．
34．（2023·宁夏银川·统考模拟预测）在复平面内，已知复数 对应的向量为 ，现将向量 绕
点 逆时针旋转90°，并将其长度变为原来的2倍得到向量 ，设 对应的复数为 ，则
（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】依题意， ，将向量 绕点 逆时针旋转90°所得向量坐标为 ， ，
则有 ，解得 ，因此 ，即 ，
所以 ．
故选：A
35．（2023·上海嘉定·高三上海市育才中学校考阶段练习）复数z满足 ，则下列结论正确的是
（ ）A． B．
C． 在复平面内对应的点位于第四象限 D．
【答案】D
【解析】由 可得 ，
所以 ，故A错误；
由 知 ，故B错误；
在复平面内对应的点 位于第三象限，故C错误；
由 知 ，故D正确．
故选：D
