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2022-2023 学年人教版数学九年级上册章节考点精讲精练
第 25 章《概率》
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知识点01：必然事件、不可能事件和随机事件
1.定义：
（1）必然事件
在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件．
（2）不可能事件
在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件．
（3）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.
细节剖析：
1.必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事
件”；
2.要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生
的可能性的大小有可能不同.
知识点02：概率的意义
概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.一般地，在大量重复试验中，如果事
件A发生的频率 会稳定在某个常数 附近，那么这个常数 就叫做事件A的概率(probability)，
记为 .
细节剖析：
(1)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；
(2)概率反映了随机事件发生的可能性的大小；
(3) 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，，即 ，其中P(必然事件)=1，
P(不可能事件)=0，0<P(随机事件)<1.
知识点03：古典概型
满足下列两个特点的概率问题称为古典概型.
（1） 一次试验中，可能出现的结果是有限的；
（2） 一次试验中，各种结果发生的 可能性相等的 .
古典概型可以从事件所包含的各种可能的结果在全部可能的试验结果中所占的比例分析事件的概率.
细节剖析：
如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含其中的m种结果，
那么事件A发生的概率为P（A）= .
知识点04：用列举法求概率
常用的列举法有两种：列表法和树形图法.
1. 列表法：
当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的
结果，通常采用列表法.
列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
细节剖析：
（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；
（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.
2. 树形图：当一次试验要涉及 3 个或更多个因素 时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采
用树形图.
树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可
能的次数和方式，并求出概率的方法.
细节剖析：
(1) 树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；
（2）在用列表法或树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.
知识点05：利用频率估计概率
当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来
估计概率.
细节剖析：
用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精
确.
考点提优练
考点01：可能性的大小
1．（2022九上·定海月考）如图，四个转盘分别被分成不同的等份．若让转盘自由转动一次，停止后指
针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【完整解答】解：A、让转盘自由转动一次，停止后指针落在阴影区域内的概率为 ；
B、让转盘自由转动一次，停止后指针落在阴影区域内的概率为 ；
C、让转盘自由转动一次，停止后指针落在阴影区域内的概率为 ；
D、让转盘自由转动一次，停止后指针落在阴影区域内的概率为 ；
∵ ，
∴让转盘自由转动一次，停止后指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是选项D的转盘.
故答案为：D.
【思路引导】利用概率公式分别求出各选项中的概率，再比较大小，可得到停止后指针落在阴影区域内的
概率最大的转盘所在的选项.
2．（2021九上·海曙期末）台球盒中有7个红球与1个黑球， 从中随机摸出一个台球， 则下列描述符
合的是( )
A．一定摸到黑球 B．不可能摸到黑球
C．很可能摸到黑球 D．不大可能摸到黑球
【答案】D
【完整解答】解：∵台球盒中有7个红球与1个黑球，
∴从中随机摸出一个台球，摸出黑球的可能性很小，即不大可能摸到黑球.故答案为：D.
【思路引导】利用已知条件可知台球盒中一共8个球，黑球只有1个，由此可得到摸出黑球的可能性很小，
即可求解.
3．（2020九上·越城期中）从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路.为了解早高峰期间这三条线路
上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的
公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：
30≤t≤35 35＜t≤40 40＜t≤45 45＜t≤50 合计
A 59 151 166 124 500
B 50 50 122 278 500
C 45 265 167 23 500
早高峰期间，乘坐 （填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过
45分钟”的可能性最大.
【答案】C
【完整解答】解：样本容量相同，C路线上的公交车用时超过45分钟的频数最小，其频率也最小，
∴乘坐C路线上的公交车， 从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大.
故答案为：C.
【思路引导】根据统计表获取信息，样本容量相同，C路线上的公交车用时超过45分钟的频数最小，其频
率也最小，即可得出答案.
4．（2018九上·天台月考）从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线
路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次
的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：早高峰期间，乘坐 （填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过
45分钟”的可能性最大．
【答案】B
【完整解答】解：A线路公交车从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性为：
B线路公交车从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性为：
C线路公交车从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性为：
∴B线路公交车从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大
故答案为：B
【思路引导】分别求出A、B、C线路公交车从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性，再比较大小，
即可得出答案。
5．一个不透明的盒子中装有4个白球，5个红球，这些球除颜色外无其他区别，从这个盒子中随意摸出一
个球，摸到红球的可能性的大小是 ．
【答案】
【完整解答】∵袋子中装有4个白球和5个红球，共有9个球，
∴从袋子中随机摸出一个球是红球的概率是 ，
故答案为： ．
【思路引导】先求出所有可能的结果数及摸到红球的情况数，就可求出摸到红球的可能性的大小。
6．下列第一排表示各盒中球的情况，第二排的语言描述了摸到篮球的可能性大小，请你用线把第一排盒
子与第二排的描述连接起来使之相符．【答案】解：如图所示：
【思路引导】先根据①②③④篮球的数量，可分别得出摸出篮球可能性的大小，再连线，可解答。
7．在不透明的袋子中装有3个红球和5个黄球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球
（1）摸到哪种颜色球的可能性大？
（2）请你通过改变袋子中某一种颜色球的数量，设计一种方案；使“摸出红球”和“摸出黄球”的可
能性大小相同．
【答案】解：（1）摸到红球的概率为 摸到黄球的概率为： 所以摸到黄球的可能性大；（2）∵要使得
“摸出红球”和“摸出黄球”的可能性大小相同，∴使得两种球的数量相同，∴放入两个红球即可．
【思路引导】（1）分别求出摸出各种颜色球的概率，即可比较出摸出何种颜色球的可能性大．
（2）另外放入2个红球，那么共有10个球，每种球各有5个时，摸到红球和黄球的概率相等．
8．请在你的班里做一项有关师生关系的调查，分四个方面：①自由平等的师生关系②既注重师道尊严，
又注重平等的师生关系③传统的尊师爱生的关系④不太协调的关系，请你统计出四个方面的人数，回答以
下问题．
①列出表格，并作出相应的统计图．
②任取一名同学，他与老师之间的关系是自由平等的师生关系，是哪一种事件？可能性约为多少？
【答案】解：①表格为：①自由平等的师 ②既注重师道尊 ③传统的尊师爱生 ④不太协调的关
师生关系
生关系 严 的关系 系
人数 15 30 10 5
统计图为（直方图）：
②任取一名同学，他与老师之间的关系是自由平等的师生关系，是不确定事件；
可能性为
【思路引导】①画表格，做直方图；
②根据统计结果和可能性大小的计算方法求解即可．
考点02：几何概率
9．（2021九上·金台期末）某火车站的显示屏每间隔4分钟显示一次火车班次的信息，显示时间持续1
分钟，某人到达该车站时，显示屏正好显示火车班次信息的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【完整解答】解：由于显示屏每间隔4分钟显示一次火车班次的信息，显示时间持续1分钟，
所以显示屏上每隔5分钟就有一分钟的显示时间，
某人到达该车站时正好显示火车班次信息的概率是 .
故答案为：B.【思路引导】由题意可得：显示屏上每隔5分钟就有一分钟的显示时间，结合几何概率公式可得对应的概
率.
10．（2021九上·青岛期中）斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，
5，画出来的螺旋曲线．如图，白色小圆内切于边长为1的正方形，黑色曲线就是斐波那契螺旋线，它是依
次在以1，2，3，5为边长的正方形中画一个圆心角为90°的扇形，将其圆弧连接起来得到的．若在矩形
ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【完整解答】解：由已知可得：矩形ABCD的长为8，宽为5，即面积S ＝8×5＝40，
矩
阴影部分的面积S ＝ ，
阴
设在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分为事件A，
则P（A）＝ ＝ = ，
故答案为：D．
【思路引导】由已知可得：矩形ABCD的长为8，宽为5，即面积S ＝8×5＝40，阴影部分的面积S ＝
矩 阴
，则P（A）＝ ＝ = ，即可得解。
11．（2021九上·朝阳期末）如图，一个可以自由转动且质地均匀的转盘，被分成6个大小相同的扇形，
指针是固定的，当转盘停止时，指针指向任意一个扇形的可能性相同（指针指向两个扇形的交线时，当作
指向右边的扇形）．把部分扇形涂上了灰色，则指针指向灰色区域的概率为 ．【答案】
【完整解答】解：观察转盘灰色区域的面积与总面积的比值为
故答案为： ．
【思路引导】利用概率公式求解即可。
12．（2021九上·本溪期中）如图，一飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一
枚飞镖，击中黑色区域的概率是 ．
【答案】
【完整解答】解：黑色区域的面积＝3×3﹣ ×3×1﹣ ×2×2﹣ ×3×1＝4，
∴击中黑色区域的概率＝ ＝ ．
故答案是： ．【思路引导】利用黑色区域的面积除以游戏板的面积即可。
13．（2021九上·禅城月考）用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其
中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色．那么可配成紫色的概率是 ．
【答案】
【完整解答】画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中一个为红色，另一个转出蓝色的占3种，
所以可配成紫色的概率= = ．
故答案为
【思路引导】先画树状图，得出共有6种等可能的结果数，其中一个为红色，另一个转出蓝色的占3种，
即可得出可配成紫色的概率。
14．（2021九上·玉林期末）如图， 是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知 ，
， ，阴影部分为 的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，
则小鸟落在花圃上的概率为 .【答案】
【完整解答】解： ， ， ，
，
是直角三角形，
如图，设内切圆的半径为r，
则 ，即 ，
∴ ，
解得： ，
则 的面积为 ，内切圆的面积为 ，
因此，小鸟落在花圃上的概率为故答案为： .
【思路引导】 利用勾股定理的逆定理求出△ABC是直角三角形，如图，连接OA，OB，OC，设内切圆的半径
为r，由 ，求出r值，即可求出内切圆的面积，内切圆的面积比△ABC的面
积即得小鸟落在花圃上的概率.
15．如图所示，转盘被等分成六个扇形，并在上面依次写上数字1、2、3、4、5、6；若自由转动转盘，当
它停止转动时，指针指向奇数区的概率是多少？
【答案】解：根据题意可得：转盘被等分成六个扇形，并在上面依次写上数字1、2、3、4、5、6，
有3个扇形上是奇数．故自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向奇数区的概率是 =
【思路引导】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：
①符合条件的情况数目；
②全部情况的总数；二者的比值就是其发生的概率的大小．
16．如图，把一个木制正方体的表面涂上颜色，然后将正方体分割成64个大小相同的小正方体．从这些小
正方体中任意取出一个，求取出的小正方体：
（1）三面涂有颜色的概率；
（2）两面涂有颜色的概率；
（3）各个面都没有颜色的概率．
【答案】解：（1）因为三面涂有颜色的小正方体有8个，所以P（三面涂有颜色）= （或0.125）；
（2）因为两面涂有颜色的小正方体有24个，
所以P（两面涂有颜色）= （或0.375）；
（3）因为各个面都没有涂颜色的小正方体共有8个，
所以P（各个面都没有涂颜色）= （或0.125）．
【思路引导】列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．
考点03：列表法与树状图法
17．（2021九上·南海期末）在一个不透明纸箱中放有除了数字不同外，其它完全相同的2张卡片，分别
标有数字1、2，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之和为奇数的概率为（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【完整解答】解：画树状图如下
共有4种等可能的结果，两次摸出的数字之和为奇数的结果有2种
两次摸出的数字之和为奇数的概率为
故答案为：C．
【思路引导】利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
18．（2021九上·泰山期末）在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号之和等于6的概率是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【完整解答】画树状图如下：
∵共有16种等可能情况，两次摸出的小球的标号之和等于6的情况有3种，
∴两次摸出的小球的标号之和等于6的概率为 ，
故答案为：D．
【思路引导】利用树状图列举出共有16种等可能情况，其中两次摸出的小球的标号之和等于6的情况有3
种，然后利用概率公式计算即可.
19．（2022九上·舟山月考）如图：麻将是中国的国粹之一，玩法最为复杂有趣，是中国古人发明的一种
博弈游戏．它开局拿牌要投两枚骰子，将两枚骰子的点数相加之和除以4看余数来决定是在哪家开始拿牌．
余数为1则在自家拿牌，余数为2就在下家拿牌，余数为3则在对家拿牌，能被4整除就在上家拿牌，则
在自家拿牌的概率为 ．
【答案】【完整解答】解：列表如下
1 2 3 4 5 6
1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6）
2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6）
3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6）
4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6）
5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）
6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）
一共有36种结果数，两数相加得5和9的有（2，3），（4，1），（3，2），（6，3），（3，6）（1，
4），（5，4），（4，5），一共有8种情况，
∴P = .
（在自家拿牌）
故答案为：
【思路引导】利用列表，可得到所有的可能的结果数，再根据将两枚骰子的点数相加之和除以4看余数来
决定是在哪家开始拿牌．余数为1则在自家拿牌，由此可知在自家拿牌的两数之和为5或9，利用表中数
据可知在自家拿牌的情况数，然后利用概率公式进行计算，可求出结果.
20．（2021九上·高州期末）有4张背面相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别画有四个不同的几何图形
（如图）．将这4张纸牌背面朝上洗匀后先由小明从中任意摸出一张，放回洗匀后再由小敏从中任意摸出
一张，则“小明所摸纸牌是中心对称图形，小敏所摸纸牌是轴对称图形”的概率为 ．
【答案】
【完整解答】解：画树状图如下：共有16种情况，小明所摸纸牌是中心对称图形，小敏所摸纸牌是轴对称图形的情况有6种，
所以概率为 ．
故答案为 ．
【思路引导】利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
21．（2021九上·商河期末）在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字1、2、3、4的小球，它们
的形状、大小、质地等完全相同，小明先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x，放回盒子摇匀后，
再由小华随机取出一个小球，记下数字为y．请用列表法或画树状图法求出点（x，y）落在反比例函数
的图象上的概率．
【答案】解：由题意，可列表：
第一次\第二次 1 2 3 4
1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4）
2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4）
3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4）
4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4）
由已知，共有16种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中满足要求的有3种，
∴P（点落在双曲线 的图象上）= .
【思路引导】利用列表法求出所有点，找出满足要求的点，即可求出。
22．（2021九上·揭西期末）我国新冠灭活疫苗主要来自三家生物制品公司，分别是A：科兴中维、B：北
京所、C：武汉所．灭活疫苗一般需要接种2针，假如一人两次接种的疫苗的生产公司随机，请你用列表或
树状图的方法求出一个人两次接种的疫苗刚好是同一家公司生产的概率．【答案】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中同一家公司生产的结果有3种，
∴一个人两次接种的疫苗刚好是同一家公司生产的概率为 ．
【思路引导】先画树状图求出共有9种等可能的结果，其中同一家公司生产的结果有3种， 再求概率即可。
考点04：游戏公平性
23．（2022九上·永嘉月考）某口袋中有10个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球．甲从袋中任
意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则乙获胜，要
使游戏对甲、乙双方公平，则x应该是（ ）
A．3 B．4 C．1 D．2
【答案】D
【完整解答】解：∵甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出
一个球，若为黑球则乙获胜，
∴要使对甲、乙双方公平，
∴绿球和黑球的数量相等，
∴黑球的个数为2x个，
∴x+2x+2x+10，
解之：x=2.
故答案为：D
【思路引导】利用已知条件，可知此事件是抽取放回，要使对甲、乙双方公平，则绿球和黑球的数量相等，
由此可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
24．（2020九上·邯郸月考）小刚和小丽一起玩一种转盘游戏．转盘分成面积相等的三个区域，分别用
“1”，“2”，“3”表示，固定指针转动转盘，任其自由停止．若指针所指的数字为奇数，小刚获胜；
否则小丽获胜．此规则（ ）A．公平 B．对小丽有利
C．对小刚有利 D．公平性不可预测
【答案】C
【完整解答】解：∵转盘分成面积相等的三个区域，分别用“1”，“2”，“3”表示，其中奇数有2个，
∴在该游戏中小刚获胜的概率是 ，小丽获胜的概率是 ，
∵ ＞ ，
∴对小刚有利，
故答案为：C．
【思路引导】利用概率公式求出概率，再比较大小即可。
25．小明与小刚一起玩抛掷两枚硬币的游戏，游戏规则：抛出两个正面--小明赢1分；抛出其他结果--小
刚赢1分；谁先到10分，谁就获胜．这是个不公平的游戏规则，要把它修改成公平的游戏，下列做法中错
误的是（ ）
A．把“抛出两个正面”改为“抛出两个同面”
B．把“抛出其他结果”改为“抛出两个反面”
C．把“小明赢1分”改为“小明赢3分”
D．把“小刚赢1分”改为“小刚赢3分”
【答案】D
【完整解答】如图，因为p = ，则出现其他结果的概率为： ．
（正，正）
A．根据出现抛出两个相同面的概率为： ，则把“抛出两个正面”改为“抛出两个同面”正确，故此
不符合题意；
B．把“抛出其他结果”改为“抛出两个反面”时，两人获胜概率都为： ，故此时公平，故不符合题
意；
C．∵小明获胜概率为： ，小刚获胜概率为： ，故把“小明赢1分”改为“小明赢3分”，故此
时公平，故不符合题意；
D．把“小刚赢1分”改为“小刚赢3分，此时不公平，故符合题意；
故答案为：D．
【思路引导】先列出树状图，再求出抛出两个相同面的概率，可对A作出判断；求出抛出两个反面的概率，
可对B作出判断；求出小明获胜概率和小刚获胜概率，算出积分，可对C、D作出判断；从而可得出答案。
26．已知A，B两组卡片共5张，A中三张分别写有数字2，4，6，B中两张分别写有3，5，它们除数字外
没有任何区别.现制定这样一个游戏规则：随机地分别从A，B中各抽取一张，若所选出的两数之积为3的
倍数，则甲获胜；否则乙获胜.这样的游戏规则对 有利.
【答案】甲
【完整解答】画树状图如下：
共有6种等可能的结果，甲获胜的情况有4种，故P(甲获胜) ，
∴这样的游戏规则对甲有利.
【思路引导】先列出树状图，求出所有可能的结果数及两数之积为3的倍数的可能数，利用概率公式求出
甲获胜的概率，就可得出乙获胜的概率，比较两概率的大小，可得出结论。
27．口袋中有15个球，其中白球有x个，绿球有2x个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则获胜；甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则获胜；则当x= 时，游戏对
甲、乙双方都公平．
【答案】3
【完整解答】解：由题意甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则获胜；甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸
出一个球，若为黑球则获胜可知，绿球与黑球的个数应相等，也为2x个，列方程可得x+2x+2x=15，解得
x=3，
故答案为3．
【思路引导】游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等， 即判断双方取胜的概率是否相等，
或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．
28．（2021九上·涟水月考）口袋装有3只形状大小一样的球，其中2个球是红色，1个球是白色，规定
游戏者一次从口袋中摸出一个球，然后放回第二次再摸一个球，然后再放回.甲两次摸到红球获胜，乙摸
到一红一白或二白获胜，你认为游戏对双方公平吗？请说明理由
【答案】解：这个游戏对双方是不公平的.
如图，
∵一共有9种情况，两次摸到红球的有4种，摸到一红一白或二白的有5种，
∴P（两个红球）= ；P（一红一白）= ，概率不相同，那么游戏不公平.
【思路引导】根据题意画出树状图，表示出所有等可能出现的结果数，再分别找出两次摸到红球的结果数
和摸到一红一白或二白的结果数，最后分别计算求概率，再比较大小即可作答.
29．（2021九上·胶州期中）有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字
2，4，6；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球．小明先转动一次转
盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转），小刚再从瓶子中随机取出一个小球，记
下小球上的数字．若得到的两数字之和是3的倍数，则小明赢；若得到的两数字之和是7的倍数，则小刚
赢，你认为这个游戏公平吗？请说明理由．【答案】解：列表如下所示，
转盘
摸球
2 4 6
1 1+2=3 1+4=5 1+6=7
3 3+2=5 3+4=7 3+6=9
5 5+2=7 5+4=9 5+6=11
由表格可知一共有9种等可能性的结果，其中得到的两数字之和是3的倍数的结果数有3，其中等到的两
数字之和是7的倍数的结果数为3，
P ＝ ，P ＝ ，
（小明赢） （小刚赢）
∴游戏是公平的．
【思路引导】列表得出所有等可能出现的结果，其中得到的两数字之和是3的倍数的结果数有3，其中等
到的两数字之和是7的倍数的结果数为3，再根据概率公式求解即可。
30．（2020九上·西宁期末）甲、乙两人进行摸牌游戏，现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有
数字2，3，5，将这些牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，
乙再随机抽取一张，若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；其余情况乙获胜．这个游戏公平吗？请
利用树状图或列表法来解释说明．
【答案】解：这个游戏不公平，理由如下：
根据题意列树状图如下：
所有等可能的结果有：4，5，7，5，6，8，7，8，10共9种，
∴ ， ，即数字是2的倍数的概率为 ，数字不是2的倍数的概率为 ，
∵ ，
∴甲获胜的概率大，这个游戏不公平．
【思路引导】先画树状图求出 所有等可能的结果有：4，5，7，5，6，8，7，8，10共9种， 再求出
， ， 最后求解即可。
31．（2021九上·日照期中）在一次数学兴趣小组活动中，小李和小王两位同学设计了如图所示的两个转
盘做游戏（每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字）．游戏规则如下：两人
分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和小于11，则小李获胜；若指针所指区域
内两数和大于11，则小王获胜（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止）．
（1）请用列表或画树状图的方法分别求出小李和小王获胜的概率；
（2）这个游戏公平吗？若不公平，请你设计一个公平的游戏规则．
【答案】（1）解：根据题意画图如下：
由上图可知，共有12种等可能的情况数，其中指针所指区规内两数和小于11有3种，两数和大于11有6
种，
则小李获胜的概率是 ，小王获胜的概率是 ；（2）解：由（1）知，小李获胜的概率是 ，小王获胜的概率是 ，
所以游戏不公平；
游戏规则：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和不大于11，则小李获胜；
若指针所指区域内两数和大于11，则小王获胜（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内
为止）．
【思路引导】（1）先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可；
（2）先求出小李和小王的概率，再比较大小即可。
32．（2021九上·包头期末）两个可以自由转动的转盘A、B都被分成3等份的扇形区域，并在每一小区
域内标上数字（如图所示），指针的位置固定．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，将指针所
指两个区域内的数字相乘（若指针落在分割线上，则需重新转动转盘）．
（1）试用列表或画树状图的方法，求数字之积为3的倍数的概率；
（2）小亮和小芸想用这两个转盘做游戏，他们规定：数字之积为3的倍数时，小亮得2分；数字之积
为5的倍数时，小芸得3分．你认为这个游戏对双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请修改得
分规定，使游戏对双方公平．
【答案】（1）解：利用表格或树状图列出所有可能出现的结果：
4 5 6
A
B
1
2
3
总共有9种等可能的结果，数字之积为3的倍数的有5种，其概率为 ．
（2）解：这个游戏对双方不公平．理由如下：∵数字之积为5的倍数的有3种，其概率为 ，
数字之积为3的倍数的有5种，其概率为 ．
∵ ，
∴游戏对双方不公平．
修改得分规定为：若数字之积为3的倍数时，小亮得3分，若数字之积为5的倍数时，小芸得5分．
【思路引导】（1）先列表，再求出 总共有9种等可能的结果，数字之积为3的倍数的有5种， 最后求概
率即可；
（2）先求出 数字之积为5的倍数的有3种，其概率为 ， 再求出 数字之积为3的倍数的有5种，
其概率为 ，最后求解即可。
33．如图，两个可以自由转动的均匀转盘A、B，分别被分成4等分和3等分，并在每份内均标有数字．小
花为甲、乙两人设计了一个游戏规则如下：同时自由转动转盘A、B；两个转盘停止后，（如果指针恰好指
在分格线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止），将两个指针所指份内的两个数字相乘，如果
得到的积是偶数，那么甲胜；如果得到的积是奇数，则乙胜．但小强认为这样的规则是不公平的．
（1）请你用一种合适的方法（例如画树状图、列表）帮忙小强说明理由；
（2）请你设计一个公平的规则，并说明理由．
【答案】（1）解：列表如下：因为
P = ，
（积为奇数）
P = ，
（积为偶数）
所以甲获胜的机会大；
（2）解：公平的游戏规则不唯一，例如：如果自由转动两个转盘，转盘停止后，指针所指的两数之积为3
的倍数时，甲获胜，否则乙获胜，
此时两人获胜的可能性均为 ．
【思路引导】（1）根据题意，列表，求出所有可能的结果数，分别求出积为奇数和积为偶数的可能数，
再分别求出奇数和积为偶数的概率，然后比较亮概率的大小，可得出结论。
（2）公平的游戏规则不唯一，只要甲获胜的概率和乙获胜的概率相等即可。
考点05：用频率估计概率
34．（2022九上·碑林月考）小明在一次用频率估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制
了如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是（ ）A．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率
B．从一副去掉大小王的扑克牌中任意抽取一张，抽到黑桃的概率
C．从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除颜色外，完全相同），摸到
红球的概率
D．任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率
【答案】C
【完整解答】解：A、掷一枚硬币，正面朝上的概率为 ，故A选项错误，不符合题意；
B、从一副去掉大小王的扑克牌中任意抽取一张，抽到黑桃的概率为 ，故B选项错误，不符合题
意；
C、从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球，摸到红球的概率为 ，故C选
项正确，符合题意；
D、任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率是50%，故D选项错误，不符合题意.
故答案为：C．
【思路引导】观察频率折线图可知这个实验结果的频率在30％~40％之间波动；再分别求出各选项中的的
随机事件的概率，根据其概率可得到符合这一结果的实验可能的选项.
35．（2022九上·西安开学考）在不透明的袋子中装有黑、白两种球共50个，这些球除颜色外都相同，
随机从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出的黑球的频率稳定在0.4附近，则袋子中黑球的个数约为
A．20个 B．30个 C．40个 D．50个
【答案】A
【完整解答】解：设袋子中有 个黑球，
根据题意得 ，
解得： ，
故答案为：A．
【思路引导】根据摸出的黑球的频率稳定在0.4附近可得黑球的概率约为0.4，根据概率公式列方程求解
即可.
36．（2021九上·南海期末）一个不透明的袋子中放有若干个红球，小亮往其中放入10个黑球，并采用
以下实验方式估算其数量：每次摸出一个小球记录下颜色并放回，实验数据如下表：
实验次数 100 200 300 400
摸出红球 78 161 238 321
则袋中原有红色小球的个数约为 个．
【答案】40
【完整解答】解：由表可知，摸出红球的概率约为 ，
设袋中原有红色小球的个数为x，
根据题意，得： ，
解得：x=40，
经检验，x=40是所列分式方程的解，
故设袋中原有红色小球的个数为40，
故答案为40．
【思路引导】设袋中原有红色小球的个数为x，根据概率公式可得 ，再求出x的值即可。37．（2021九上·禅城期末）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，
某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，实验数
据如下表：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601
摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
根据数据，估计袋中黑球有 个．
【答案】8
【完整解答】解：根据表格，摸到白球的频率稳定在0.6左右，所以摸一次，摸到白球的概率为0.6，则
可估计口袋中白球的个数约为 (个)，
∴估计袋中黑球有20-12=8个
故答案为：8．
【思路引导】先利用频率估计出概率，再利用概率公式可求出白球的个数 ，再利用总数减去
白球的个数即可得到黑球的个数。
38．（2021九上·富县期末） 4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品.在这4件产品中加入
件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试
验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，由此可以推算出 的值大约是多少？
【答案】解：由题意，得 ，解得 .
经检验， 是分式方程的解.
答：x的值大约是16.
【思路引导】直接根据 ，列出方程即可.
39．某人承包了一池塘养鱼，他想估计一下收入情况.于是让他上初三的儿子帮忙.他儿子先让他从鱼塘里
随意打捞上了60条鱼，把每条鱼都作上标记，放回鱼塘；过了2天，他让他父亲从鱼塘内打捞上了50条
鱼，结果里面有2条带标记的.假设当时这种鱼的市面价为2.8元/斤，平均每条鱼估计2.3斤，你能帮助
他估计一下今年的收入情况吗?
【答案】解：设池塘中共有鱼x条，则 = ，得x=1500（条）.则池塘中鱼的总质量为1500×2.3=3450（斤），则今年的收入约为3450×2.8=9660（元）.答：今年的收入约为9660元.
【思路引导】由已知打捞上了50条鱼，结果里面有2条带标记的，可得出带标记的鱼的概率，再设池塘中
共有鱼x条，根据带标记的鱼的概率，列出关于x的方程求解，然后求出池塘中鱼的总质量，用总质量×
单价，可解答。
40．（2020九上·子洲期中）一个口袋中放有16个球，其中红球6个，白球和黑球各若干个，每个球除
了颜色外没有任何区别.小明通过大量反复的试验（每次将球搅匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放
回）发现，取出黑球的频率稳定在 附近，请你估计袋中白球的个数
【答案】解：黑球个数：16× =4
白球个数：16-6-4=6（个）
答：白球有6个；
【思路引导】取出黑球的频率稳定在 左右，即可估计取出黑球的概率稳定为 ，乘以球的总数即为
所求的球的数目；
