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专题 08 中心对称（综合题）
知识互联网易错点拨
知识点01：中心对称和中心对称图形
1.中心对称： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两
个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．
这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
细节剖析:
（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；
（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一
个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .
2.中心对称图形： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，
那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
细节剖析:
(1)中心对称图形指的是一个图形；
（2）线段，平行四边形，圆等等都是 中心对称图形 .
3.中心对称与中心对称图形的区别与联系：
中心对称 中心对称图形
①指一个图形本身成中心对
①指两个全等图形之间的相互
区 称．
位置关系．
别 ②对称中心是图形自身或内部
②对称中心不定．
的点．
如果将中心对称的两个图形看
如果把中心对称图形对称的部
联 成一个整体（一个图形），那
分看成是两个图形，那么它们
系 么这个图形就是中心对称图
又关于中心对称．
形．
知识点02：关于原点对称的点的坐标特征
关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即点 关于原点的对称点 坐标为
，反之也成立.
知识点03：中心对称、轴对称、旋转对称
1.中心对称图形与旋转对称图形的比较：2.中心对称图形与轴对称图形比较：
细节剖析:
中心对称图形是特殊的旋转对称图形；掌握三种图形的不同点和共同点是灵活运用的前提.
易错题专训
一．选择题
1．（2022春•青羊区校级期中）已知点P（m﹣3，m﹣1）关于原点的对称点P′在第四象限，则m的取值
范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【易错思路引导】根据点所在象限确定范围．【规范解答】解：∵点P（m﹣3，m﹣1）关于原点的对称点P′在第四象限，
∴点P在第二象限，
∴ ，
解得：1＜m＜3，
故选D．
【考察注意点】本题考查点的坐标的符号，利用对称性确定P点所在象限是求解本题的关键．
2．（2022•威海一模）下列说法中正确的有（ ）
的算术平方根是5．
②十边形的内角和是1800°．
③若关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个实数根，则m的取值范围是m≥﹣1．
④已知三角形的两边长分别为3和5，则第三边长c的取值范围是2＜c＜8．
⑤平行四边形、线段、角、等边三角形四个图形中，只有线段既是轴对称图形又是中心对称图形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【易错思路引导】分别利用算术平方根的定义、多边形的内角和定理、一元二次方程根的判别式、三角
形三边关系、轴对称图形与中心对称图形的定义分析得出答案．
【规范解答】解：① ＝5，5的算术平方根是 ，故原说法错误；
②十边形的内角和是：（10﹣2）×180°＝1440°，故原说法错误；
③∵关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个实数根，∴Δ＝22﹣4m×（﹣1）＝4+4m≥0，且m≠0．
解得m≥﹣1且m≠0，故原说法错误；
④已知三角形的两边长分别为3和5，则第三边长c的取值范围是2＜c＜8，故原说法正确；
⑤平行四边形、线段、角、等边三角形四个图形中，只有线段既是轴对称图形又是中心对称图形，故原
说法正确．
正确的有2个，
故选：B．
【考察注意点】此题主要考查了算术平方根、多边形的内角和、一元二次方程根的判别式、三角形三边
关系、轴对称图形与中心对称图形等知识，正确把握相关知识是解题的关键．
3．（2022•烟台一模）数学中的对称之美无处不在，下列四幅常见的垃圾分类标志图案（不考虑文字说
明）中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A． B．
C． D．
【易错思路引导】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕
某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如
果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【规范解答】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【考察注意点】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形
两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4．（2020秋•法库县期末）已知点A关于x轴的对称点坐标为（﹣1，2），则点A关于原点的对称点的坐
标为（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（2，﹣1） D．（1，﹣2）
【易错思路引导】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），关
于原点的对称点是（﹣x，﹣y），据此即可求得点A关于原点的对称点的坐标．
【规范解答】解：∵点A关于x轴的对称点坐标为（﹣1，2），
∴点A坐标为（﹣1，﹣2）；
∴点A关于原点的对称点的坐标为（1，2）．
故选：A．
【考察注意点】这一类题目是需要识记的基础题，要熟悉关于原点对称点的横纵坐标变化规律．
5．（2019春•宜城市期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在x轴上，定点B的坐
标为（8，4），若直线经过点D（2，0），且将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，则直线DE
的表达式是（ ）A．y＝x﹣2 B．y＝2x﹣4 C．y＝x﹣1 D．y＝3x﹣6
【易错思路引导】过平行四边形的对称中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分，先求出平行四
边形对称中心的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答即可．
【规范解答】解：∵点B的坐标为（8，4），
∴平行四边形的对称中心坐标为（4，2），
设直线DE的函数解析式为y＝kx+b，
则 ，
解得 ，
∴直线DE的解析式为y＝x﹣2．
故选：A．
【考察注意点】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，熟练掌握过平行四边形
的中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分是解题的关键．
6．（2021•九龙坡区校级开学）如图，已知平面直角坐标系中的▱ABCD，点A（1，4），C（3，0），坐标
系内存在直线l：y＝kx+b（k≠0）将▱ABCD分成面积相等的两部分，且这条直线与两坐标轴围成的三角
形的面积为1，则k的值为（ ）
A．4或 B． 或3 C．2或 D．4或
【易错思路引导】根据直线l：y＝kx+b（k≠0），求出直线与两坐标轴的交点，再根据围成的三角形的面积为1，可得 |b|×|﹣ |＝1，化简得，b2＝2|k|，根据点A（1，4），C（3，0）可得AC的
中点O（2，2），由直线l：y＝kx+b（k≠0）将▱ABCD分成面积相等的两部分，可得直线l：y＝kx+b过
点O（2，2），得（2﹣2k）2＝2|k|，解方程即可得k的值．
【规范解答】解：直线l：y＝kx+b（k≠0），
令x＝0，y＝b，令y＝0，x＝﹣ ，
与两坐标轴围成的三角形的面积为1，
所以 |b|×|﹣ |＝1，
化简得，b2＝2|k|，
因为点A（1，4），C（3，0）的中点O（2，2），
直线l：y＝kx+b（k≠0）将▱ABCD分成面积相等的两部分，
所以直线l：y＝kx+b过点O（2，2），
所以2k+b＝2，
所以b＝2﹣2k，
∵b2＝2|k|，
∴（2﹣2k）2＝2|k|，
∴（2﹣2k）2＝2k，
解得k＝2或k＝ ，
或（2﹣2k）2＝﹣2k，
解得此方程无解，
则k的值为2或 ，
故选：C．
【考察注意点】本题考查了中心对称，一次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，解决本题的
关键是掌握一次函数图象上点的坐标特征．
二．填空题
7．（2022•越秀区校级开学）如图，在平面直角坐标系中摆放16个边长为1的正方形，直线l：y＝kx将
这16个正方形分成面积相等的两部分，则k的值是 ．【易错思路引导】设直线l：y＝kx与正方形的上边缘交点为A，作AB⊥x轴于B，根据三角形面积求出
A点的坐标即可得出k的值．
【规范解答】解：设直线l：y＝kx与正方形的上边缘交点为A，作AB⊥y轴于B，
∵16个边长为1的正方形面积为16，
∴△AOB的面积为8﹣4+1＝5，
∵OB＝4，
∴AB＝5×2÷4＝ ，
∴A（ ，4），
即4＝ k，
解得k＝ ，
故答案为： ．
【考察注意点】本题主要考查三角形的面积，一次函数的性质等知识，利用三角形的面积求出A点坐标
是解题的关键．
8．（2022•富平县一模）如图，点O是平行四边形ABCD的对称中心，点E、F分别为边BC、AD上任意一点，
且O、E、F三点在一条直线上，连接AO，BO，EO，FO．若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，则图中阴影部
分的面积是 ．【易错思路引导】连接CO，过A作AH⊥BC于H，依据点O是平行四边形ABCD的对称中心，即可得到
S ＝ S ，再根据△AOF≌△COE（SAS），即可得到S ＝S ，进而得出S ＝S ＝3 ．
△BOC △ABC △AOF △COE 阴影部分 △BOC
【规范解答】解：如图所示，连接CO，过A作AH⊥BC于H，
∵AB＝4，∠ABC＝60°，∠AHB＝90°，
∴∠BAH＝30°，BH＝ AB＝2，
∴AH＝2 ，
∴S ＝ BC×AH＝ ＝6 ，
△ABC
又∵点O是平行四边形ABCD的对称中心，
∴O是AC的中点，
∴S ＝ S ＝ ×6 ＝ ，
△BOC △ABC
∵点O是平行四边形ABCD的对称中心，且O、E、F三点在一条直线上，
∴AO＝CO，FO＝EO，∠AOF＝∠COE，
∴△AOF≌△COE（SAS），
∴S ＝S ，
△AOF △COE
∴S ＝S ＝3 ，
阴影部分 △BOC
故答案为： ．
【考察注意点】本题主要考查了中心对称的性质以及平行四边形的性质，关于中心对称的两个图形能够
完全重合；关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．9．（2020秋•濮阳县期中）直角坐标系中，已知点A（3，2），作点A关于y轴对称点A，点A关于原点
1 1
对称点A，点A关于x轴对称点A，点A关于y轴对称点A，点A关于原点对称点A…，按此规律，则
2 2 3 3 4 4 5
点A 的坐标为 （﹣ 3 ， 2 ） ．
2020
【易错思路引导】根据各点坐标找出规律，进而可得出结论．
【规范解答】解：∵点A（3，2），
∴点A关于y轴的对称点为A是（﹣3，2）；
1
点A关于原点的对称点为A是（3，﹣2）；
1 2
点A关于x轴的对称点为A是（3，2），显然此为一循环，
2 3
……
按此规律，2020÷3＝673…1，
∴点A 的坐标是（﹣3，2）．
2020
故答案为：（﹣3，2）．
【考察注意点】本题考查的是点的坐标，熟知两个点关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数；
两个点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变；两个点关于原点对称，则横坐标、纵坐标都
是互为相反数是解答此题的关键．
10．（2019秋•凌河区校级月考）如图，等边三角形的顶点A（1，3）B（1，1），规定把等边△ABC先绕
顶点A顺时针旋转90°再关于原点作中心对称得到△ABC为第一次变换，再将等边△ABC先绕顶点A
1 1 1 1 1 1 1
顺时针旋转90°再关于原点作中心对称得到△ABC为第二次变换，依次继续按照上述操作进行，如果
2 2 2
这样连续经过2019次变换后，等边△A B C 的顶点C 的坐标为 （﹣ 2 ，﹣ ﹣ 3 ） ．
2019 2019 2019 2019
【易错思路引导】由等边三角形ABC，顶点A（1，3）、B（1，1），然后根据题意求得第1次、2次、3
次、4次变换后的点C的对应点的坐标，即可得规律：每4次变换后点C回到原来的位置，继而求得把
等边三角形ABC连续经过2019次这样的变换得到点C的坐标．
【规范解答】解：如图，∵等边三角形ABC，顶点A（1，3）、B（1，1），
∴点C的坐标为（1+ ，2），
根据题意得：第1次变换后点A、点B、点C的对应点的坐标分别为：（﹣1，﹣3）、（1，﹣3）（0，
﹣3），
第2次变换后点A、点B、点C的对应点的坐标分别为：（1，3）、（1，5）、（1﹣ ，4），
第3次变换后点A、点B、点C的对应点的坐标分别为：（﹣1，﹣3）、（﹣3，﹣3）、（﹣2，﹣
﹣3）；
第4次变换后点A、点B、点C的对应点的坐标分别为：（1，3）、（1，1）、（1+ ，2），
发现规律：每4次变换后点C回到原来的位置，
∵2019÷4＝504余3，
∴连续经过2019次变换后，点C的坐标变为（﹣2，﹣ ﹣3）．
故答案为：（﹣2，﹣ ﹣3）．
【考察注意点】此题考查了点的坐标变化，对称与平移的性质．得到规律：每4次变换为一个循环规律
是解此题的关键．
11．（2019春•秦淮区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以BC为一边作正方形
BDEC设正方形的对称中心为O，连接AO，则AO＝ ．【易错思路引导】连接AO，BO，CO，过O作FO⊥AO，交AB的延长线于F，判定△AOC≌△FOB（ASA），
即可得出AO＝FO，FB＝AC＝6，进而得到AF＝8+6＝14，∠FAO＝45°，根据AO＝cos45°×AF进行计算
即可．
【规范解答】解：如图，连接AO，BO，CO，过O作FO⊥AO，交AB的延长线于F，
∵O是正方形DBCE的对称中心，
∴BO＝CO，∠BOC＝90°，
∴∠AOF＝∠COB＝90°，
∴∠AOC＝∠FOB，
∵∠BAC＝90°，
∴四边形ABOC中，∠ACO+∠ABO＝180°，
又∵∠FBO+∠ABO＝180°，
∴∠ACO＝∠FBO，
∴△AOC≌△FOB（ASA），
∴AO＝FO，FB＝AC＝6，
∴AF＝8+6＝14，∠FAO＝45°，
∴AO＝cos45°×AF＝ ×14＝7 ，
故答案为： ．
【考察注意点】此题考查正方形的性质，本题的关键是通过作辅助线来构建全等三角形，然后将已知和
所求线段转化到直角三角形中进行计算．
12．（2022•沈阳模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝8，∠ADC＝60°，E，F分别为菱形边上的动点，过点
E，F的直线将菱形分成面积相等的两部分，过点D作DM⊥EF于点M，连接CM，则线段CM的最大值为
2 +2 ．【易错思路引导】如图，连接BD交AC于点O．取OD的中点T，连接TM，TC．求出CT，TM，可得结论．
【规范解答】解：如图，连接BD交AC于点O．取OD的中点T，连接TM，TC．
∵直线EF平分菱形ABCD的面积，
∴直线EF经过点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝8，∠ADC＝∠ABC＝60°，AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴△ABC，△ADC都是等边三角形，
∴AC＝AB＝8，OA＝OC＝4，OB＝OD＝4 ，
∵OT＝TD＝2 ，
∴CT＝ ＝ ＝2 ，
∵DM⊥EF，
∴∠DMO＝90°，
∵OT＝TD，
∴TM＝ OD＝2 ，
∴CM≤CT+TM＝2 +2 ，
∴CM的最大值为2 +2 ，
故答案为：2 +2 ．
【考察注意点】本题考查中心对称，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解
题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
13．（2022•海淀区校级开学）如图，正方形ABCD在第一象限内，点 A、B坐标分别为（1，1），（3，
1），若直线y＝2x+b把正方形ABCD分成面积相等的两部分，则b的值是 ﹣ 2 ．【易错思路引导】连接AC，BD交于点K．求出点K的坐标，再利用待定系数法求出b的值．
【规范解答】解：连接AC，BD交于点K．
∵A（1，1），B（3，1），
∴AB＝2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴C（3，3），
∵AK＝KC，
∴K（2，2），
当直线y＝2x+b经过点K时，
2＝4+b，
∴b＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【考察注意点】本题考查中心对称，一次函数的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是求出点K的
坐标，属于中考常考题型．
14．（2021秋•雁塔区校级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，点E、F分别在边AB、CD上，点
M为线段EF上一动点，过点M作EF的垂线分别交边AD、BC于点G、点H．若线段EF恰好平分矩形ABCD
的面积，且DF＝1，则GH的长为 4 ．【易错思路引导】先判断EF过矩形的对称中心，作DI∥EF，AJ∥GH，证明△ADI∽△BAJ，从而求出
BJ，进而求得．
【规范解答】解：如图，连接AC，交EF于O，
∵线段EF恰好平分矩形ABCD的面积，
∴O是矩形的对称中心，
∴BE＝DF＝1，
作DI∥EF，AJ∥GH，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DF∥IE，
∴四边形DIEF是平行四边形，
∴EI＝DF＝1，
∴AI＝AB﹣BE﹣EI＝6，
同理可得，
AJ＝GH，
∵EF⊥GH，
∴DI⊥AJ，
由（1）得，
∠AID＝∠AJB，
∴△ADI∽△BAJ，∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴BJ＝4，
在Rt△ABJ中由勾股定理得，
AJ＝ ＝ ＝4 ，
∴GH＝4 ，
故答案为：4 ．
【考察注意点】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的
性质，通过作辅助线构建平行四边形是解题的关键．
三．解答题
15．（2021秋•建安区期中）数学兴趣小组活动时，提出了如下问题：如图1，在△ABC中若AB＝5，AC＝
3，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决方法：延长AD到E．使得DE＝AD．再连接BE（或将MCD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD）．把
AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，
把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
迁移应用：请参考上述解题方法，证明下列命题：
如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
（1）求证：BE+CF＞EF；
（2）若∠A＝90°，探索线段BE，CF，EF之间的等量关系，并加以证明．
【易错思路引导】（1）可按阅读理解中的方法构造全等，把CF和BE转移到一个三角形中求解；
（2）由（1）中的全等得到∠C＝∠CBG．∵∠ABC+∠C＝90°，∴∠EBG＝90°，可得三边之间存在勾股定理关系．
【规范解答】（1）证明：如图，延长FD到G，使得DG＝DF，连接BG、EG．
（或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD），
∴CF＝BG，DF＝DG，
∵DE⊥DF，
∴EF＝EG．
在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．
（2）解：BE2+CF2＝EF2．证明如下：
∵∠A＝90°，
∴∠EBC+∠FCB＝90°，
由（1）知∠FCD＝∠DBG，EF＝EG，
∴∠EBC+∠DBG＝90°，即∠EBG＝90°，
∴在Rt△EBG中，BE2+BG2＝EG2，
∴BE2+CF2＝EF2．
【考察注意点】本题主要考查了条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心
的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，注意运用类比方法构造相
应的全等三角形，难度适中．
16．（2021•道里区三模）如图，网格中的每个小正方形的边长均为 1．点A、点B和点C在小正方形的顶
点上．
（1）在图中确定点D，点D在小正方形的顶点上，连接DC，DA，使得到的四边形ABCD为中心对称图形；
（2）在（1）确定点D后，在图中确定点E，点E（不与点C重合）在小正方形的顶点上，连接ED，EB
得到凸四边形ABED，使∠EBA＝∠EDA，直接写出ED的长．【易错思路引导】（1）利用平行四边形的对称性确定D．
（2）利用平行线的性质及正方形的性质确定E．
【规范解答】解：（1）如图：
此时，由勾股定理得：CD＝AB＝2 ，AD＝BC＝ ．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴四边形ABCD是中心对称图形．
（2）如上图，此时∠EBA＝45°，
∵AD²＝AE²＝1²+2²＝5，DE²＝1²+3²＝10．
∴AD²+AE²＝DE²．
∴△ADE是等腰直角三角形．
∠EDA＝45°．
∴∠EDA＝∠EBA．
ED＝ ．
【考察注意点】本题考查了作图﹣旋转变换、作图﹣轴对称变换，解题的关键是学会利用数形结合的思
想解决问题．
17．（2021秋•章贡区期中）在8×8的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知A（2，﹣
4），B（4，﹣2）．C是第四象限内的一个格点，由点C与线段AB组成一个以AB为底，且腰长为无理
数的等腰三角形．
（1）填空：C点的坐标是 （ 1 ，﹣ 1 ） ，△ABC的面积是 4 ；
（2）将△ABC绕点C旋转180°得到△ABC，连接AB、BA，则四边形ABAB的形状是何特殊四边形？
1 1 1 1 1 1 1矩形 ．
（3）请探究：在坐标轴上是否存在这样的点P，使四边形ABOP的面积等于△ABC面积的2倍？若存在，
请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【易错思路引导】（1）根据题意点C在线段AB的垂直平分线上，且腰长为无理数，所以C（1，﹣
1），利用分割法求出△ABC的面积即可；
（2）如图2，根据旋转的性质得到A，C，A在同一直线上，B，C，B在同一直线上，AC＝AC，BC＝
1 1 1 1
BC，推出四边形ABAB是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
1 1
（3）由（1）知S ＝4，则S ＝8．同（1）中的方法得S ＝16﹣4﹣4﹣2＝6；当P在x轴负
△ABC 四边形ABOP △ABO
半轴时，当P在y轴负半轴时，而当P在x轴正半轴及y轴正半轴时均不能形成四边形ABOP；于是得到
结论．
【规范解答】解：（1）根据题意点C坐标为（1，﹣1），如图1．
S ＝3×3﹣ ×3×1﹣ ×3×1﹣ ×2×2＝4．
△ABC
故答案为：（1，﹣1），4（2）如图2，
∵将△ABC绕点C旋转180°得到△ABC，
1 1 1
∴A，C，A在同一直线上，B，C，B在同一直线上，AC＝AC，BC＝BC，
1 1 1 1
∴四边形ABAB是平行四边形，
1 1
∵AC＝BC，
∴AA＝BB，
1 1
∴平行四边形ABAB是矩形，
1 1
故答案为：矩形；
（3）存在．
由（1）知S ＝4，则S ＝8．同（1）中的方法得S ＝16﹣4﹣4﹣2＝6；
△ABC 四边形ABOP △ABO
当P在x轴负半轴时，S ＝2，高为4，那么底边长为1，所以P（﹣1，0）；
△APO
当P在y轴负半轴时，S ＝2，高为2，所以底边长为2，此时P（0，﹣2）；
△APO而当P在x轴正半轴及y轴正半轴时均不能形成四边形ABOP；
故点P的坐标为（﹣1，0），（0，﹣2）．
【考察注意点】本题考查了中心对称，三角形的面积的计算，矩形的判定，正确的画出图形是解题的关
键．
18．（2021•江西模拟）如图，在平面直角坐标系中，△OAB是边长为2的等边三角形，△BAB与△OAB
1 1 2 2 1 1 1
关于点B成中心对称，△BAB与△BAB关于点B成中心对称．
1 2 3 3 2 2 1 2
（1）直接写出点B，B，B的坐标；
1 2 3
（2）连接AB，求AB的长．
1 2 1 2
【易错思路引导】（1）由题意OB＝BB＝BB＝2，由此可得结论．
1 1 1 2 3
（2）求出A，B坐标，利用勾股定理求解．
1 2
【规范解答】解：（1）由题意，△OAB，△BAB，△BAB都是等边三角形，边长为2，
1 1 2 2 1 2 3 3
∴OB＝BB＝BB＝2，
1 1 1 2 3
∴B（2，0），B（4，0），B（6，0）．
1 2 3
（2）如图，过点A作AH⊥OB．
1 1 1
∵AO＝AB，
1 1 1
∴OH＝HB＝1，
1
∴AH＝ ＝ ＝ ，
1
∴A（1， ），
1
∵B（4，0），
2
∴AB＝ ＝ ＝2 ．
1 2【考察注意点】本题考查中心对称，等边三角形的性质，坐标由图形变化﹣旋转，解题的关键是学会添
加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
19．（2021•雁塔区校级开学）问题探究：（1）如图①，点M是矩形ABCD内一点，请你在图①中过点M作
一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分．
问题解决：（2）如图②，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示
意图，其中DC∥OB，BC⊥OB，OB＝6，BC＝CD＝4．开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设
在点P（4，2）处．为了方便驻区单位，准备过点P修一条笔直的道路（路宽不计），并且使这条路所
在的直线l将四边形OBCD分成面积相等的两部分，你认为直线l是否存在？若存在求出直线l的表达式；
若不存在，请说明理由．
【易错思路引导】（1）连接AC，BD中心点位P，过P点的直线分矩形为相等的两部分．
（2）假如存在，过点D的直线只要作DA⊥OB与点A，求出P点的坐标，设直线PH的表达式为y＝
kx+b，解出点H的坐标，求出斜率k和b．若k和b存在，直线就存在．
【规范解答】解：（1）如图①连接AC、BD交于P则P为矩形对称中心．作直线MP，直线MP即为所求．
（2）如图②存在直线l，过点D作DA⊥OB于点A，则点P（4，2）为矩形ABCD的对称中心，
∴过点P的直线只要平分△DOA的面积即可，
易知，在OD边上必存在点H使得PH将△DOA面积平分．
从而，直线PH平分梯形OBCD的面积，
即直线PH为所求直线l，
设直线PH的表达式为y＝kx+b且点P（4，2），
∴2＝4k+b即b＝2﹣4k，
∴y＝kx+2﹣4k，
∵D（2，4），
∴直线OD的表达式为y＝2x，∴ ，
解得 ．
∴点H的坐标为（ ， ），
把x＝2代入直线PH的解析式y＝kx+2﹣4k，得y＝2﹣2k，
∴PH与线段AD的交点F（2，2﹣2k），
∴0＜2﹣2k＜4，
∴﹣1＜k＜1．
∴S ＝ （4﹣2+2k）•（2﹣ ）＝ × ×2×4，
△DHF
∴解得k＝ （k＝ 舍去），
∴b＝8﹣2 ，
∴直线l的表达式为y＝ x+8﹣2 ．
【考察注意点】本题主要考查了矩形的性质以及待定系数法求一次函数解析式和三角形面积求法等知识，
用k表示出F点坐标是解题关键．
20．（2021秋•夏河县期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点．
（1）画图：连接AE并延长，交BC的延长线于点F，连接BE；
（2）填空：点A与点F关于点 E 成中心对称，若AB＝AD+BC，则△ABF是 等腰 三角形，此时点A
与点F关于直线 B E 成轴对称；
（3）图中△ A BF 的面积等于四边形ABCD的面积．【易错思路引导】（1）根据要求直接作出图形即可；
（2）利用中心对称的定义回答即可，然后证得AB＝BF，利用等腰三角形的性质判定等腰三角形即可；
（3）得到三角形ADE的面积等于三角形ECF的面积，从而得到答案；
【规范解答】解：（1）如图：
（2）∵AD∥BC，
∴∠D＝∠DCF，
∵DE＝CE，∠AED＝∠FEC
在△ADE与△FCE中，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AE＝FE，AD＝CF，
∴点A与点F关于点E成中心对称，
∵若AB＝AD+BC，
∴AB＝BF，
则△ABF是等腰三角形，此时点A与点F关于直线BE成轴对称；
（3）图中△ABF的面积等于四边形ABCD的面积．故答案为：E，等腰，BE，ABF．
【考察注意点】本题考查了中心对称的知识，解题的关键是了解中心对称的定义，利用中心对称的定义
判定两点关于某点成中心对称
