文档内容
专题 03 二次函数的图像和性质（综合题）
知识互联网易错点拨
y ax2 bxc(a 0) y a(xh)2 k(a 0)
知识点01：数 与 之间的相互关系
1.顶点式化成一般式
y a(xh)2 k
从函数解析式 我们可以直接得到抛物线的 顶点 (h ， k) ，所以我们称
y a(xh)2 k y a(xh)2 k
为顶点式，将顶点式 去括号，合并同类项就可化成一般式
y ax2 bxc
．
2.一般式化成顶点式
b b b 2 b 2
y ax2 bxca
x2 x
cax2 x
c
a a 2a 2a
b 2 4acb2
a x
2a 4a
．
b 4acb2
h k
对照 y a(xh)2 k ，可知 2a ， 4a ．
b 4acb2
b
x ,
∴ 抛物线 y ax2 bxc 的对称轴是直线 2a ，顶点坐标是 2a 4a ．
细节剖析:
b 4acb2
b
x ,
1．抛物线 y ax2 bxc 的对称轴是直线 2a ，顶点坐标是 2a 4a ，可以当作公式
加以记忆和运用．
y ax2 bxc
2．求抛物线 的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三
种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．y ax2 bxc(a 0)
知识点02：二次函数 的图象的画法
1.一般方法：列表、描点、连线；
2.简易画法：五点定形法.
其步骤为：
(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．
y ax2 bxc
(2)求抛物线 与坐标轴的交点，
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这 两个交点 A 、 B 及 抛物线与 y 轴的交点 C ，再找到点C关于对称
轴的对称点 D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．
细节剖析:
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可
粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用
平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，
y ax2 bxc(a 0)
知识点03二次函数 的图象与性质
y ax2 bxc(a 0)
1.二次函数 图象与性质
函数 y ax2 bxc
二次函数 （a、b、c为常数，a≠0）
a0 a0
图象
开口方向 向上 向下
b b
对称轴 x x
直线 2a 直线 2a
b 4acb2 b 4acb2
顶点坐标 , ,
2a 4a 2a 4a
b b
x x
增减性 在对称轴的左侧，即当 2a时，y随x的 在对称轴的左侧，即当 2a时，y
b 随x的增大而增大；在对称轴的右侧，
x
增大而减小；在对称轴的右侧，即当 2a时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 b
x
即当 2a 时，y 随 x 的增大而减
小．简记：左增右减
b b
x x
抛物线有最低点，当 2a 时，y 有最小 抛物线有最高点，当 2a 时，y有
最大(小)值
4acb2 4acb2
y y
值， 最小值 4a 最大值， 最大值 4a
y ax2 bxc(a 0)
2.二次函数 图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系
项目
字母的符号 图象的特征
字母
a＞0 开口向上
a
a＜0 开口向下
ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧
b
ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧
c=0 图象过原点
c c＞0 与y轴正半轴相交
c＜0 与y轴负半轴相交
b2-4ac=0 与x轴有唯一交点
b2-4ac b2-4ac＞0 与x轴有两个交点
b2-4ac＜0 与x轴没有交点
y ax2 bxc(a 0)
知识点04：求二次函数 的最大（小）值的方法
b
x
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当 2a 时，
4acb2
y
最值 4a ．
细节剖析:
b
如果自变量的取值范围是x≤x≤x ，那么首先要看 2a是否在自变量的取值范围x≤x≤x 内，若在
1 2 1 2b 4acb2
x y
此范围内，则当 2a 时， 最值 4a ，若不在此范围内，则需要考虑函数在x≤x≤x 范围内的
1 2
y ax2 bx c
增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x 时， 最大值 2 2 ；当x＝x 时，
2 1
y ax2 bx c
最小值 1 1 ，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x 时， ；当
1
b
x
x＝x 时， ，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x，x＝x， 2a 时y
2 1 2
值的情况．
知识点05：用待定系数法求二次函数解析式
1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ：
(1)一般式： (a，b，c为常数，a≠0)；
(2)顶点式： (a，h，k为常数，a≠0)；
(3)交点式： ( ， 为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)．
2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下
第一步，设：先设出二次函数的解析式，如 或 ，
或 ，其中a≠0；
第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；
第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；
第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．
细节剖析:
在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：
①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为 ；
②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为 ；③当已知抛物线与x轴的两个交点(x，0)，(x，0)时，可设函数的解析式为 ．
1 2
易错题专训
一．选择题
1．（2022•阜新）下列关于二次函数y＝3（x+1）（2﹣x）的图象和性质的叙述中，正确的是（ ）
A．点（0，2）在函数图象上 B．开口方向向上
C．对称轴是直线x＝1 D．与直线y＝3x有两个交点
【易错思路引导】A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），求函数值再与点的纵坐标进行比较；
B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，根据a的取值判断开口方向；
C、根据对称轴公式计算；
D、把函数的问题转化为一元二次方程的问题，根据判别式的取值来判断．
【规范解答】解：A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），
得y＝6≠2，
∴A错误；
B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，
∵a＝﹣3＜0，
∴二次函数的图象开口方向向下，
∴B错误；
C、∵二次函数对称轴是直线x＝﹣
＝ ，
∴C错误；
D、∵3（x+1）（2﹣x）＝3x，
∴﹣3x2+3x+6＝3x，
∴﹣3x2+6＝0，
∵b2﹣4ac＝72＞0，
∴二次函数y＝3（x+1）（2﹣x）的图象与直线y＝3x有两个交点，
∴D正确；
故选：D．【考察注意点】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标
特征、正比例函数的性质，掌握这几个知识点的应用，其中函数的问题转化为一元二次方程的问题是解
题关键．
2．（2022春•仓山区校级期末）二次函数y＝x2﹣2x+3的一次项系数是（ ）
A．1 B．2 C．﹣2 D．3
【易错思路引导】根据二次函数的定义，即可解答．
【规范解答】解：二次函数y＝x2﹣2x+3的一次项系数是﹣2，
故选：C．
【考察注意点】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
3．（2022春•九龙坡区校级期末）已知a是不为0的常数，函数y＝ax和函数y＝﹣ax2+a在同一平面直角
坐标系内的图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
【易错思路引导】分类讨论正比例函数和二次函数的图像性质即可得出正确答案．
【规范解答】解：当a＞0时，y＝ax的函数图像经过原点和一，三象限，y＝﹣ax2+a的图像开口向下，
与y轴交于正半轴．
当a＜0时，y＝ax函数图像经过原点和二，四象限，y＝﹣ax2+a的图像开口向上，与y轴交于负半轴．
故选：C．
【考察注意点】本题主要考查了正比例函数和二次函数的图像性质以及分析能力和读图能力，要掌握他
们的函数性质才能灵活解题．
4．（2022•西湖区校级开学）已知二次函数y＝x2﹣2x+3，关于该函数在﹣2≤x≤2的取值范围内，下列说
法正确的是（ ）
A．有最大值11，有最小值3 B．有最大值11，有最小值2C．有最大值3，有最小值2 D．有最大值3，有最小值1
【易错思路引导】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴和开口方向，
然后根据﹣2≤x≤2，即可得到相应的最大值和最小值，从而可以解答本题．
【规范解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴该函数的对称轴是直线x＝1，函数图象开口向上，
∴在﹣2≤x≤2的取值范围内，当x＝﹣2时取得最大值11，当x＝1时，取得最小值2，
故选：B．
【考察注意点】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确二次函数的性质，
求出相应的最值．
5．（2022春•东莞市校级期中）如图，是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为直线x＝
﹣ ，且经过点（﹣2，0），有下列说法：
①abc＜0；
②2b+c＝0；
③4a+2b+c＜0；
④若（﹣ ，y），（ ，y）是抛物线上的两点，则y＜y，
1 2 1 2
其中说法正确的是（ ）
A．①②③ B．②③ C．②③④ D．③④
【易错思路引导】根据二次函数的图象和性质依次判断即可．
【规范解答】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，c＞0，
∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣ ，∴﹣ ＝﹣ ，
∴b＝a＜0，
∴abc＞0，
∴①错误．
∵抛物线过点（﹣2，0），
∴4a﹣2b+c＝0，
∵b＝a，
∴4b﹣2b+c＝0，
∴2b+c＝0．
∴②正确．
∵a＜0，b＜0，c＜0，
∴4a+2b+c＜0．
∴③正确．
∵（﹣ ，y），（ ，y）是抛物线上的两点，
1 2
d＝﹣ + ＝1，d＝ + ＝2，
1 2
∵抛物线开口向下，
∴y＞y．
1 2
∴④错误．
故选：B．
【考察注意点】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．
6．（2022•云岩区一模）已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（3，4），点M是抛物
线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）对称轴上的一个动点．若抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴上恰存
在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形，则 的值为（ ）
A．﹣8或﹣6 B．﹣6或0 C．﹣8或2 D．0或2
【易错思路引导】由题意△AOM是直角三角形，当对称轴x≠0或x≠3时，可知一定存在两个以A，O为
直角顶点的直角三角形，当对称轴x＝0或x＝3时，不存在满足条件的点M，当以OA为直径的圆与抛物
线的对称轴x＝﹣ 相切时，对称轴上存在1个以点M为直角顶点的直角三角形，此时对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形，利用图象法求解即可．
【规范解答】解：∵△AOM是直角三角形，
∴当对称轴x≠0或x≠3时，一定存在两个以A，O为直角顶点的直角三角形，且点M在对称轴上的直角
三角形，
当对称轴x＝0或x＝3时，不存在满足条件的点M，
∴当以OA为直径的圆与抛物线的对称轴x＝﹣ 相切时，对称轴上存在1个以M为直角顶点的直角三
角形，此时对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形（如图所示）．
观察图象可知，﹣ ＝﹣1或4，
∴ ＝﹣8或2．
故选：C．
【考察注意点】本题考查二次函数的性质，直角三角形的判定，圆周角定理等知识，解题的关键是判断
出对称轴的位置，属于中考填空题中的压轴题．
7．（2022•烟台一模）表中所列x，y的6对值是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上的点所对应的坐标，
其中﹣3＜x＜x＜x＜x＜1，n＜m．
1 2 3 4
x … ﹣3 x x x x 1 …
1 2 3 4
y … m 0 c 0 n m …
根据表中信息，下列4个结论：①b﹣2a＝0；②abc＜0；③3a+c＞0；④如果x＝ ，c＝﹣ ，那么
3
当﹣3＜x＜0时，直线y＝k与该二次函数图象有一个公共点，则﹣ ≤k＜ ；其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【易错思路引导】①由二次函数的对称性可得对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣1，可直接判断；
②由对称轴的位置及x＜x＜1且n＜m，可知在对称轴右侧，y随x的增大而增大，由此可判断a的符
3 4
号，进而可判断b和c的符号；
③由上述判断可知，当x＝1时，m＞0，结合b＝2a可判断；
④根据题中给出的数据，可求得函数解析式，进而可判断﹣3＜x＜0时，y的取值范围，进而可判断．，
【规范解答】解：①由表格可知，当x＝﹣3和x＝1时，函数值相等，
∴对称轴为直线x＝﹣ ＝ ＝﹣1，
∴b＝2a，即b﹣2a＝0，故①正确，符合题意；
②由表格可知，﹣1＜x＜x＜1，且0＜n＜m，
3 4
∴在对称轴右侧，y随x的增大而增大，
∴a＞0，
∴b＝2a＞0，
由表格可知，当x＝x和x＝x，函数值相等，
1 3
又∵a＞0，x＜x＜x，
1 2 3
∴c＜0，
∴abc＜0，故②正确；
③由上分析可知，当x＝1时，y＝a+b+c＞0，
又∵b＝2a，
∴y＝3a+c＞0，故③正确；
④当x＝ ，c＝﹣ 时，可知函数过点（ ，0），
3
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线跟x轴的另一个交点（﹣ ，0），
∴函数的解析式可设为y＝a（x﹣ ）（x+ ），
∵c＝﹣ ，
∴﹣ × a＝﹣ ，解得a＝1，∴函数解析式为：y＝（x﹣ ）（x+ ），画出函数图象如下图所示：
当x＝﹣3时，y＝（﹣3﹣ ）（﹣3+ ）＝ ，当x＝0时，y＝c＝﹣ ，
又抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣ ），
∴当k＝﹣ 时，直线y＝k与该二次函数图象有一个公共点；
∴若直线y＝k与该二次函数图象有一个公共点，则﹣ ≤k＜ 或k＝﹣ ；故④不正确．
故选：C．
【考察注意点】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛
物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
二．填空题
8．（2022秋•鄞州区校级月考）如果函数y＝（k﹣2） +kx+1是关于x的二次函数，那么k的值
是 0 ．
【易错思路引导】依据二次函数的定义可知k﹣2≠0，k2﹣2k+2＝2，从而可求得k的值．
【规范解答】解：由题意得：k﹣2≠0，k2﹣2k+2＝2．
解得k＝0或k＝2且k≠2．
∴k的值是0．
故答案为：0．
【考察注意点】本题主要考查的是二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．二次函数的定
义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
9．（2022•庐阳区校级一模）已知抛物线C：y＝a（x﹣3）2+ ，点 在该抛物线上．
1（1）a的值为 ．
（2）将抛物线C向左平移2个单位长度得到抛物线C，若点M（m，y），N（2，y）都在抛物线C上，
1 2 1 2 2
且y＞y，则m的取值范围是 m ＜ 0 或 m ＞ 2 ．
1 2
【易错思路引导】（1）将点 代入该抛抛物线解析式即可；
（2）根据平移可得出平移后抛物线的对称轴直线，再结合问二次函数的性质可得出m的取值范围．
【规范解答】解：（1）将点 代入该抛抛物线解析式C：y＝a（x﹣3）2+ ，
1
∴a（1﹣3）2+ ＝ ，
解得a＝ ．
故答案为： ．
（2）将抛物线C向左平移2个单位长度得到抛物线C：y＝ （x﹣3+2）2+ ＝ （x﹣1）2+ ，
1 2
∴抛物线C的对称轴为直线x＝1，
2
若点M（m，y），N（2，y）都在抛物线C上，且y＞y，
1 2 2 1 2
则|m﹣1|＞|2﹣1|，解得m＜0或m＞2．
故答案为：m＜0或m＞2．
【考察注意点】本题主要考查了二次函数的性质，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的性质等知
识，熟知二次函数的增减性是解题关键．
10．（2022•黄石模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给出以
下结论：①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④a﹣b≥m（am+b）（m为实数），其中正确的结论
有 ①②③ ．（只填序号）
【易错思路引导】由抛物线的开口方向判断a的正负，由抛物线与y轴交点判断c的正负，由抛物线对称轴判断a与b的关系，根据抛物线的图象的性质对结论进行判断．
【规范解答】解：由图象可得a＞0，c＜0，﹣ ＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确，符合题意．
由抛物线对称轴﹣ ＝﹣1可得b＝2a，
∵x＝1时，y＝a+b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，
即c+3a＝0，
∴c+2a＝﹣a＜0，
故②正确，符合题意．
∵图象对称轴为直线x＝﹣1，且经过点（1，0），
∴抛物线与x轴另一个交点坐标为（﹣3，0），
∴x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＝0，
故③正确，符合题意．
当x＝﹣1时，函数有最小值为a﹣b+c，
当x＝m时，y＝am2+bm+c，
∴am2+bm+c≥a﹣b+c，
整理得a﹣b≤m（am+b），
故④错误，不符合题意．
故答案为：①②③．
【考察注意点】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数
与不等式的关键，二次函数与方程的关系．
11．（2022•庐阳区校级三模）二次函数y＝kx2﹣x﹣4k（k为常数，且k≠0）始终经过第二象限内的定点
A．
（1）定点A的坐标是 （﹣ 2 ， 2 ） ；
（2）设点A的纵坐标为m，若该函数图象与y＝m在1＜x＜3内没有交点，则k的取值范围是 0 ＜
k ≤ 1 或﹣ 1 ≤ k ＜ 0 ．
【易错思路引导】（1）先将抛物线的解析式进行化简：y＝kx2﹣x﹣4k＝k（x2﹣4）﹣x，当x2﹣4＝0
时，抛物线过定点，从而得结论；
（2）先计算二次函数过两个定点，确定m＝2，根据该函数图象与y＝m在1＜x＜3内没有交点，分k＞0和k＜0两种情况列不等式可解答．
【规范解答】解：（1）y＝kx2﹣x﹣4k＝k（x2﹣4）﹣x，
x2﹣4＝0，
x＝±2，
当x＝﹣2时，y＝2，
∵点A在第二象限，
∴A（﹣2，2）；
故答案为：（﹣2，2）；
（2）当x＝2时，y＝﹣2，
∴二次函数y＝kx2﹣x﹣4k（k为常数，且k≠0）始终经过定点（﹣2，2）和（2，﹣2），
由（1）知：m＝2，
∵函数y＝kx2﹣x﹣4k的图象与y＝2在1＜x＜3内没有交点，
分两种情况：
①当k＞0时，x＝3时，y≤2，
即9k﹣3﹣4k≤2，
∴k≤1，
∴0＜k≤1；
②当k＜0时，当x＝1时，y≤2，
∴k﹣1﹣4k≤2，
∴k≥﹣1，
∴﹣1≤k＜0；
综上，k的取值范围是0＜k≤1或﹣1≤k＜0；
故答案为：0＜k≤1或﹣1≤k＜0．
【考察注意点】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，计算定点A的坐标．
12．（2022春•宜兴市校级月考）直线y＝4x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过
点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C，若抛物线与线段BC恰有一个公共点，则a的取值范围
是 a ≥ 或 a ＜﹣ 或 a ＝﹣ 1 ．
【易错思路引导】根据坐标轴上点的坐标特征可求点B的坐标，根据平移的性质可求点C的坐标，根据
一次函数与x轴交点特征可求点A的坐标，进一步求得抛物线的对称轴，然后结合图形，分三种情况：
①a＞0；②a＜0，③抛物线的顶点在线段BC上；进行讨论即可求解．【规范解答】解：直线y＝4x+4中，令x＝0代入直线y＝4x+4得y＝4，令y＝0代入直线y＝4x+4得x
＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（0，4），
∵点B向右平移5个单位长度，得到点C，
∴C（5，4）；
将点A（﹣1，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3a中得0＝a﹣b﹣3a，即b＝﹣2a，
∴抛物线的对称轴x＝﹣ ＝﹣ ＝1；
∵抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）且对称轴x＝1，
由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点（3，0），
①a＞0时，如图1，
将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，
∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，
∴﹣3a＜4，
∴a＞﹣ ，
将x＝5代入抛物线得y＝12a，
∴12a≥4，
∴a≥ ，
∴a≥ ；
②a＜0时，如图2，将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，
∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，
∴﹣3a＞4，
∴a＜﹣ ；
③当抛物线的顶点在线段BC上时，则顶点为（1，4），如图3，
将点（1，4）代入抛物线得4＝a﹣2a﹣3a，
解得a＝﹣1．
综上所述，a≥ 或a＜﹣ 或a＝﹣1．
故答案为：a≥ 或a＜﹣ 或a＝﹣1．
【考察注意点】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的
关键是熟练掌握解一元一次方程，待定系数法求抛物线解析式．本题属于中档题，有难度，且涉及知识点较多．
13．（2022•亭湖区校级开学）定义{a，b，c}＝c（a＜c＜b），即（a，b，c）的取值为a，b，c的中位数，
例如：{1，3，2}＝2，{8，3，6}＝6，已知函数y＝{x2+1，﹣x+2，x+3}与直线y＝ x+b有3个交点时，
则b的值为 或 ．
【易错思路引导】画出函数的数y＝{x2+1，﹣x+2，x+3}的图象，观察图象，利用图象法解决问题即可．
【规范解答】解：由题意：函数y＝{x2+1，﹣x+2，x+3}的图象如图所示（图中实线）．
由图象可得，当直线y＝ x+b经过点A和点B时，函数y＝{x2+1，﹣x+2，x+3}与直线y＝ x+b有3个
交点，
令x2+1＝x+3，解得x＝﹣1或x＝2（舍去），
∴A（﹣1，2），
令x+3＝﹣x+2，解得x＝﹣ ，
∴B（﹣ ， ），
当直线y＝ x+b经过点A时， ×（﹣1）+b＝2，解得b＝ ；
当直线y＝ x+b经过点B时， ×（﹣ ）+b＝ ，解得b＝ ．故答案为： 或 ．
【考察注意点】本题考查函数中的新定义类问题，涉及中位数的定义，函数的图象等知识，解题的关键
是理解题意，学会利用图象法解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
14．（2021•龙岩模拟）抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2+m，m），B（2﹣m，m），C（0，﹣3）三点，且当
4≤x＜5时，对应的函数值y恰好有3个整数值，则a的取值范围是 ＜ a ≤ 或﹣ ≤ a ＜﹣ ．
【易错思路引导】根据对称点求对称轴，再根据x＝ 求a、b数量关系，把x＝4、x＝5分别代入整理
后的函数式，再根据当4≤x＜5时，对应的函数值y恰好有3个整数值这个条件，分两种情况就可求出
a的取值范围．
【规范解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过C（0，﹣3），
∴c＝﹣3，
∵A（2+m，m），B（2﹣m，m），纵坐标相同，
∴对称轴为直线x＝2，
∴﹣ ＝2，
∴b＝﹣4a，
∴y＝ax2﹣4ax﹣3，
∴当x＝4时，y＝﹣3，
x＝5时，y＝5a﹣3，
∵当4≤x＜5时，对应的函数值y恰好有3个整数值，
∴①抛物线开口向上，及a＞0时，它的三个整数分别是﹣3，﹣2，﹣1，
∴﹣1＜5a﹣3≤0，
∴ ＜a≤ ，
②抛物线开口向下，及a＜0时，它的三个整数分别是﹣3，﹣4，﹣5，
∴﹣6≤5a﹣3＜﹣5，
∴﹣ ≤a＜﹣ ，
综上所述，a的取值范围是： ＜a≤ 或﹣ ≤a＜﹣ ．
【考察注意点】本题考查了二次函数的性质和解一元一次不等式，掌握二次函数的对称性，分情况讨论是解题关键．
三．解答题
15．（2022•平谷区二模）在平面直角坐标系xOy中，点（﹣1，y）、（1，y）、（3，y）是抛物线y＝
1 2 3
x2+bx+1上三个点．
（1）直接写出抛物线与y轴的交点坐标；
（2）当y＝y时，求b的值；
1 3
（3）当y＞y＞1＞y时，求b的取值范围．
3 1 2
【易错思路引导】（1）根据y轴上点的坐标特征计算即可；
（2）根据抛物线的对称轴是直线x＝﹣ 计算；
（3）根据抛物线的对称性、二次函数图象上点的坐标特征列出不等式，解不等式得到答案．
【规范解答】解：（1）对于y＝x2+bx+1，
当x＝0时，y＝1，
则抛物线与y轴的交点坐标为（0，1）；
（2）当y＝y时，抛物线的对称轴为x＝1，
1 3
∴﹣ ＝1，
解得：b＝﹣2；
（3）当y＞y时，对称轴在x＝1的左侧，即﹣ ＜1，
3 1
解得：b＞﹣2，
当1＞y时，1＞1+b+1，
2
解得：b＜﹣1，
∴当y＞y＞1＞y时，﹣2＜b＜﹣1．
3 1 2
【考察注意点】本题考查的是二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，正确理解抛物线的对称
性以及二次函数的性质是解题的关键．
16．（2021秋•天津期末）如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B
的坐标为（3，0）．
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）点P是抛物线对称轴1上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．【易错思路引导】（1）首先把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y＝﹣x2+mx+3，利用待定系数法即可
求得m的值，继而求得抛物线的顶点坐标；
（2）根据y＝﹣x2+2x+3，求出A、C点坐标，再根据面积公式即得；
（2）首先连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，然后利用待定系数法求得直线BC
的解析式，继而求得答案．
【规范解答】解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y＝﹣x2+mx+3得：0＝﹣32+3m+3，
解得：m＝2，
∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标为：（1，4）．
（2）点B的坐标为（3，0），由（1）知y＝﹣x2+2x+3的对称轴为x＝1，
∴A（﹣1，0），
令x＝0，则C（0，3），
∴S ＝ AB•OC
△ABC
＝ （3+1）•3
＝6．
（3）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，
设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
∵点C（0，3），点B（3，0），
∴ ，
解得： ．
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为：（1，2）．【考察注意点】此题考查了二次函数的性质、待定系数法求解析式以及距离最短问题．注意找到点P的
位置是解此题的关键．
17．（2022•永嘉县三模）已知抛物线y＝ax2﹣bx+3经过点（﹣1，8），（1，0）．
（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
（2）直线l交抛物线于点A（﹣1，8），B（m，n）．点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重
合），设点P横坐标为x，纵坐标为y，若﹣1≤y＜ m，求x的取值范围．
p p p p
【易错思路引导】（1）利用待定系数法求得解析式，然后化成顶点式即可求得顶点坐标；
（2）分析函数图像，根据 求得n与m的关系及m的取值，将结果代入点B，然后即可解
得m的值，最后根据函数图像的特征，即可完成求解．
【规范解答】解：（1）把（﹣1，8），（1，0）代入y＝ax2﹣bx+3，
得 ，
解得 ，
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3，配方得y＝（x﹣2）2﹣1，
∴顶点坐标为（2，﹣1）．
（2）∵ ，点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），直线l交抛物线于点A
（﹣1，8），B（m，n），顶点坐标为（2，﹣1），
∴﹣1≤y＜8或﹣1≤y＜n，
p p
①﹣1≤y＜8时， ＝8，
p
解得m＝ ，
∴﹣1＜x ，
p
②﹣1≤y＜n时， ，
p
∴ ，
∴ ，解得 （舍去），或m＝6，∴﹣1＜x ，
p＜6
综上所述：﹣1＜x＜6．
p
【考察注意点】本题考查了求二次函数解析式及二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性
质及待定系数法求函数的解析式．
18．（2022•宜兴市校级二模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝﹣x2+bx+c（b＞
0，c＞0）图象的顶点是点A，对称轴为直线l，图象与y轴交于点C．点D在l右侧的函数图象上，点B
在DC延长线上，且四边形ABOD是平行四边形．
（1）如图2，若CD∥x轴．
①求证：b2＝4c；
②若▱ABOD是矩形，求二次函数的解析式；
（2）当b＝2时，▱ABOD能否成为正方形，请通过计算说明理由．
【易错思路引导】（1）①连接OA，交BD于点P，如图1，由平行四边形的性质可得PA＝PO，进而得出
P（ ， + ），由CD∥x轴，可得 + ＝c，即可证得结论；
②如图1，设抛物线对称轴交x轴于点E，则E（ ，0），由矩形性质可得OA＝BD，建立方程求解即可
得出答案；
（2）如图2，连接OA，交BD于点G，连接AC，当b＝2时，y＝﹣x2+2x+c＝﹣（x﹣1）2+c+1，可得抛
物线顶点A（1，c+1），若四边形ABOD是正方形，则GA＝GO，OA⊥BD，即BD是OA的垂直平分线，可得
出c＝ ，y＝﹣x2+2x+ ，运用待定系数法求得直线CG的解析式为y＝（1﹣ ）x+ ，进而得出点D（1+ ， ﹣1），利用两点间距离公式求得：DG2＝（1+ ﹣ ）2+（ ﹣1﹣ ）2＝5﹣
，OA2＝1+（ +1）2＝4+2 ，比较得出OA≠2DG，故当b＝2时，▱ABOD不可能是正方形．
【规范解答】解：（1）①∵y＝﹣x2+bx+c＝﹣（x﹣ ）+ +c，
∴顶点A（ ， +c），C（0，c），
连接OA，交BD于点P，如图1，
∵四边形ABOD是平行四边形，
∴PA＝PO，
∴P（ ， + ），
∵CD∥x轴，
∴ + ＝c，
∴b2＝4c；
②如图1，设抛物线对称轴交x轴于点E，
则E（ ，0），
∴OE＝ ，AE＝ +c＝ + ＝ b2，
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝ ，
∴D（b，c），
∴PD＝b﹣ ＝ b，
∴BD＝2PD＝ b，
∵▱ABOD是矩形，
∴OA＝BD，∴OA2＝BD2，
∴OE2+AE2＝BD2，
∴（ ）2+（ b2）2＝（ b）2，
∴ + ＝ b2，即b2（b﹣2 ）（b+2 ）＝0，
∵b＞0，
∴b＝2 ，
∴c＝2，
∴该二次函数的解析式为y＝﹣x2+2 x+2；
（2）当b＝2时，▱ABOD不可能是正方形．
理由如下：如图2，连接OA，交BD于点G，连接AC，
当b＝2时，y＝﹣x2+2x+c＝﹣（x﹣1）2+c+1，
∴抛物线顶点A（1，c+1），
若四边形ABOD是正方形，
则GA＝GO，OA⊥BD，
即BD是OA的垂直平分线，
∴AC＝OC，
∴AC2＝OC2，
∴（1﹣0）2+（c+1﹣c）2＝c2，
∵c＞0，
∴c＝ ，
∴y＝﹣x2+2x+ ，
∴A（1， +1），G（ ， ），C（0， ），
设直线CG的解析式为y＝kx+d，则 ，
解得： ，
∴直线CG的解析式为y＝（1﹣ ）x+ ，
令（1﹣ ）x+ ＝﹣x2+2x+ ，解得：x＝0（舍去）或x＝1+ ，
∴D（1+ ， ﹣1），
∴DG2＝（1+ ﹣ ）2+（ ﹣1﹣ ）2＝5﹣ ，
OA2＝1+（ +1）2＝4+2 ，
若四边形ABOD是正方形，则OA＝2DG，即OA2＝4DG2，
但4DG2＝4×（5﹣ ）＝20﹣2 ≠4+2 ＝OA2，
即OA≠2DG，
故当b＝2时，▱ABOD不可能是正方形．
【考察注意点】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，正方形
的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，两点间距离公式，线段垂直平分线的性质及判定，熟练掌握二
次函数的图象和性质、正方形的判定和性质等相关知识是解题关键．
19．（2022•碑林区校级模拟）抛物线W：y＝a（x+ ）2﹣ 与x轴交于A（﹣5，0）和点B．
1
（1）求抛物线W的函数表达式；
1
（2）将抛物线W关于点M（﹣1，0）对称后得到抛物线W，点A、B的对应点分别为A'，B'，抛物线W
1 2 2与y轴交于点C，在抛物线W上是否存在一点P，使得S ＝S ，若存在，求出P点坐标，若不存
2 △PA′B′ △PA'C
在，请说明理由．
【易错思路引导】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）根据中心对称的性质求出抛物线W的函数表达式为y＝﹣ （x﹣ ）2+ ，进而得出A′（3，
2
0），B′（﹣2，0），A′B′＝5，运用待定系数法求出直线A′C的解析式为y＝﹣ x+4，设P（t，
﹣ t2+ t+4），过点P作PQ∥y轴交A′C的延长线于点Q，则Q（t，﹣ t+4），由S ＝S ，
△PA′B′ △PA'C
建立方程求解即可得出答案．
【规范解答】解：（1）把A（﹣5，0）代入y＝a（x+ ）2﹣ ，得：0＝a（﹣5+ ）2﹣ ，
解得：a＝ ，
∴抛物线W的函数表达式为y＝ （x+ ）2﹣ ；
1
（2）存在．
∵抛物线W关于点M（﹣1，0）对称后得到抛物线W，
1 2
∴抛物线W的开口大小不变，方向相反，
2
∵抛物线W的a＝ ，
1 1
∴抛物线W的a＝﹣ ，
2 2
设抛物线W的顶点为（m，n），∵抛物线W的顶点为（﹣ ，﹣ ），M（﹣1，0），
2 1
∴m﹣ ＝（﹣1）×2，n﹣ ＝0，
∴m＝ ，n＝ ，
∴抛物线W的函数表达式为y＝﹣ （x﹣ ）2+ ．
2
∴C（0，4），
∵y＝ （x+ ）2﹣ 与x轴交于A（﹣5，0）和点B，∴点B和A（﹣5，0）关于直线x＝﹣ 对称，
∴B（0，0），
∵点A、B的对应点分别为A'，B'，
∴A′（3，0），B′（﹣2，0），
∴A′B′＝3﹣（﹣2）＝5，
∵y＝﹣ （x﹣ ）2+ ＝﹣ x2+ x+4，
设P（t，﹣ t2+ t+4），
设直线A′C的解析式为y＝kx+b，则 ，
解得： ，
∴直线A′C的解析式为y＝﹣ x+4，
过点P作PQ∥y轴交A′C的延长线于点Q，则Q（t，﹣ t+4），
∴PQ＝﹣ t+4﹣（﹣ t2+ t+4）＝ t2﹣2t，
∴S ＝ PQ×（x ﹣x）＝ ×（ t2﹣2t）×3＝t2﹣3t，
△PA′C′ A′ C
S ＝ A′B′•|y|＝ |﹣ t2+ t+4|，
△PA′B′ P
∵S ＝S ，
△PA′B′ △PA'C
∴ |﹣ t2+ t+4|＝t2﹣3t，
解得：t＝3或t＝﹣5或t＝﹣ ，
当t＝3时，点P与点A′重合，舍去，
当t＝﹣5时，﹣ t2+ x+4＝﹣ ×（﹣5）2+ ×（﹣5）+4＝﹣16，
∴P（﹣5，﹣16）；
当t＝﹣ 时，﹣ t2+ x+4＝﹣ ×（﹣ ）2+ ×（﹣ ）+4＝ ，∴P（﹣ ， ）；
综上所述，P点坐标为（﹣5，﹣16）或（﹣ ， ）．
【考察注意点】本题是二次函数综合题，主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数
图象上点的坐标的特征，待定系数法确定二次函数的解析式，二次函数图象与几何变换，利用点的坐标
表示出相应线段的长度是解题的关键．
20．（2022•襄阳）在平面直角坐标系中，直线y＝mx﹣2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛
物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C．
（1）如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点．
①求A，B，C，D四点的坐标；
②当△PAB面积最大时，求点P的坐标；
（2）在y轴上有一点M（0， m），当点C在线段MB上时，
①求m的取值范围；
②求线段BC长度的最大值．【易错思路引导】（1）根据函数上点的坐标特点可分别得出A，B，C，D的坐标；①当m＝2时，代入
上述坐标即可得出结论；
②过点P作PE∥y轴交直线AB于点E，设点P的横坐标为t，所以P（t，﹣t2+4t﹣2），E（t，2t﹣
4）．根据三角形的面积公式可得△PAB的面积，再利用二次函数的性质可得出结论；
（2）由（1）可知，B（0，﹣2m），C（0，﹣m2+2），①y轴上有一点M（0， m），点C在线段MB上，
需要分两种情况：当点M的坐标大于点B的坐标时；当点M的坐标小于点B的坐标时，分别得出m的取
值范围即可；
②根据①中的条件可知，分两种情况，分别得出BC的长度，利用二次函数的性质可得出结论．
【规范解答】解：（1）∵直线y＝mx﹣2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，
∴A（2，0），B（0，﹣2m）；
∵y＝﹣（x﹣m）2+2，
∴抛物线的顶点为D（m，2），
令x＝0，则y＝﹣m2+2，
∴C（0，﹣m2+2）．
①当m＝2时，﹣2m＝﹣4，﹣m2+2＝﹣2，
∴B（0，﹣4），C（0，﹣2），D（2，2）．
②由上可知，直线AB的解析式为：y＝2x﹣4，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x﹣2．
如图，过点P作PE∥y轴交直线AB于点E，设点P的横坐标为t，
∴P（t，﹣t2+4t﹣2），E（t，2t﹣4）．
∴PE＝﹣t2+4t﹣2﹣（2t﹣4）＝﹣t2+2t+2，
∴△PAB的面积为： ×（2﹣0）×（﹣t2+2t+2）＝﹣（t﹣1）2+3，
∵﹣1＜0，
∴当t＝1时，△PAB的面积的最大值为3．
此时P（1，1）．
（2）由（1）可知，B（0，﹣2m），C（0，﹣m2+2），
①∵y轴上有一点M（0， m），点C在线段MB上，
∴需要分两种情况：
当 m≥﹣m2+2≥﹣2m时，可得 ≤m≤1+ ，
当 m≤﹣m2+2≤﹣2m时，可得﹣3≤m≤1﹣ ，
∴m的取值范围为： ≤m≤1+ 或﹣3≤m≤1﹣ ．
②当 ≤m≤1+ 时，
∵BC＝﹣m2+2﹣（﹣2m）＝﹣m2+2m+2＝﹣（m﹣1）2+3，
∴当m＝1时，BC的最大值为3；
当 m≤﹣m2+2≤﹣2m时，即﹣3≤m≤1﹣ ，
∴BC＝﹣2m﹣（﹣m2+2）＝m2﹣2m﹣2＝（m﹣1）2﹣3，
当m＝﹣3时，点M与点C重合，BC的最大值为13．∴当m＝﹣3时，BC的最大值为13．
【考察注意点】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数上点的坐标特点，三角形的面积，不等式
的应用，分类讨论思想等相关内容，第二问注意需要分类讨论
