专题03二次函数的图像和性质综合题（原卷版）_初中数学人教版_9上-初中数学人教版_07专项讲练_培优方案九年级数学上册章节重点复习考点讲义（人教版）

专题 03 二次函数的图像和性质（综合题） 知识互联网易错点拨 y  ax2 bxc(a  0) y a(xh)2 k(a  0) 知识点01：数 与 之间的相互关系 1.顶点式化成一般式 y a(xh)2 k 从函数解析式 我们可以直接得到抛物线的 ，所以我们称 y a(xh)2 k y a(xh)2 k 为顶点式，将顶点式 去括号，合并同类项就可化成一般式 ． 2.一般式化成顶点式  b   b  b  2  b  2 y ax2 bxca  x2  x  cax2 x      c  a   a 2a 2a   b  2 4acb2 a x     2a 4a ． y a(xh)2 k 对照 ，可知， ． b x ∴ 抛物线 y ax2 bxc 的对称轴是直线 2a ，顶点坐标是 ． 细节剖析: b x 1．抛物线 y ax2 bxc 的对称轴是直线 2a ，顶点坐标是 ，可以当作公式 加以记忆和运用． y ax2 bxc 2．求抛物线 的对称轴和顶点坐标通常用三种方法： ，这三 种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． y  ax2 bxc(a  0) 知识点02：二次函数 的图象的画法1.一般方法：列表、描点、连线； 2.简易画法：五点定形法. 其步骤为： (1)先根据函数解析式，求出 ，在直角坐标系中描出顶点M，并用 画 出对称轴． y ax2 bxc (2)求抛物线 与坐标轴的交点， 当抛物线与x轴有两个交点时，描出这 及 ，再找到 点C关于 ，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连 结起来． 细节剖析: 当抛物线与x轴只有 时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、 M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B， 然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象， y  ax2 bxc(a  0) 知识点03二次函数 的图象与性质 y  ax2 bxc(a  0) 1.二次函数 图象与性质 函数 y ax2 bxc 二次函数 （a、b、c为常数，a≠0） a0 a0 图象 开口方向 向上 向下 b b 对称轴 x x 直线 2a 直线 2a  b 4acb2   b 4acb2  顶点坐标  ,   ,   2a 4a   2a 4a  b b x x 增减性 在对称轴的左侧，即当 2a时，y随x的 在对称轴的左侧，即当 2a时，y 增大而 ；在对称轴的右侧，即当 随x的增大而 ；在对称轴的b b x x 2a 时，y随x的增大而 ．简记： 右侧，即当 2a 时，y随x的增大 而 ．简记： b b x x 抛物线有最低点，当 2a 时，y 有最小 抛物线有最高点，当 2a 时，y有 最大(小)值 4acb2 4acb2 y  y  值， 最小值 4a 最大值， 最大值 4a y  ax2 bxc(a  0) 2.二次函数 图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 项目 字母的符号 图象的特征 字母 a＞0 开口向上 a a＜0 开口向下 ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 b ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c=0 图象过原点 c c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 y  ax2 bxc(a  0) 知识点04：求二次函数 的最大（小）值的方法 b x 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得 ，即当 2a 时， 4acb2 y  最值 4a ． 细节剖析: b  如果自变量的取值范围是x≤x≤x ，那么首先要看 2a是否在自变量的取值范围x≤x≤x 内，若在 1 2 1 2 b 4acb2 x y  此范围内，则当 2a 时， 最值 4a ，若不在此范围内，则需要考虑函数在x≤x≤x 范围内的 1 2y ax2 bx c 增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x 时， 最大值 2 2 ；当x＝x 时， 2 1 y ax2 bx c 最小值 1 1 ，如果在此范围内，y 随 x 的增大而 ，则当 x＝x 时， 1 ；当x＝x 时， ，如果在此范围内，y值 ，则需 2 b x 考察x＝x，x＝x， 2a 时y值的情况． 1 2 知识点05：用待定系数法求二次函数解析式 1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ： (1)一般式： (a，b，c为常数，a≠0)； (2)顶点式： (a，h，k为常数，a≠0)； (3)交点式： ( ， 为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)． 2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下 第一步，设：先设出二次函数的解析式，如 或 ， 或 ，其中a≠0； 第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数； 第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中． 细节剖析: 在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件 ： ①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为 ； ② 当 已 知 抛 物 线 的 顶 点 坐 标 或 对 称 轴 或 最 大 值 、 最 小 值 时 ． 可 设 函 数 的 解 析 式 为 ； ③当已知抛物线与x轴的两个交点(x，0)，(x，0)时，可设函数的解析式为 ． 1 2易错题专训 一．选择题 1．（2022•阜新）下列关于二次函数y＝3（x+1）（2﹣x）的图象和性质的叙述中，正确的是（ ） A．点（0，2）在函数图象上 B．开口方向向上 C．对称轴是直线x＝1 D．与直线y＝3x有两个交点 2．（2022春•仓山区校级期末）二次函数y＝x2﹣2x+3的一次项系数是（ ） A．1 B．2 C．﹣2 D．3 3．（2022春•九龙坡区校级期末）已知a是不为0的常数，函数y＝ax和函数y＝﹣ax2+a在同一平面直角 坐标系内的图象可以是（ ） A． B． C． D． 4．（2022•西湖区校级开学）已知二次函数y＝x2﹣2x+3，关于该函数在﹣2≤x≤2的取值范围内，下列说 法正确的是（ ） A．有最大值11，有最小值3 B．有最大值11，有最小值2 C．有最大值3，有最小值2 D．有最大值3，有最小值1 5．（2022春•东莞市校级期中）如图，是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为直线x＝ ﹣ ，且经过点（﹣2，0），有下列说法： ①abc＜0； ②2b+c＝0； ③4a+2b+c＜0；④若（﹣ ，y），（ ，y）是抛物线上的两点，则y＜y， 1 2 1 2 其中说法正确的是（ ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．③④ 6．（2022•云岩区一模）已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（3，4），点M是抛物 线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）对称轴上的一个动点．若抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴上恰存 在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形，则 的值为（ ） A．﹣8或﹣6 B．﹣6或0 C．﹣8或2 D．0或2 7．（2022•烟台一模）表中所列x，y的6对值是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上的点所对应的坐标， 其中﹣3＜x＜x＜x＜x＜1，n＜m． 1 2 3 4 x … ﹣3 x x x x 1 … 1 2 3 4 y … m 0 c 0 n m … 根据表中信息，下列4个结论：①b﹣2a＝0；②abc＜0；③3a+c＞0；④如果x＝ ，c＝﹣ ，那么 3 当﹣3＜x＜0时，直线y＝k与该二次函数图象有一个公共点，则﹣ ≤k＜ ；其中正确的有（ ） 个． A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题 8．（2022秋•鄞州区校级月考）如果函数y＝（k﹣2） +kx+1是关于x的二次函数，那么k的值 是 ．9．（2022•庐阳区校级一模）已知抛物线C：y＝a（x﹣3）2+ ，点 在该抛物线上． 1 （1）a的值为 ． （2）将抛物线C向左平移2个单位长度得到抛物线C，若点M（m，y），N（2，y）都在抛物线C上， 1 2 1 2 2 且y＞y，则m的取值范围是 ． 1 2 10．（2022•黄石模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给出以 下结论：①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④a﹣b≥m（am+b）（m为实数），其中正确的结论 有 ．（只填序号） 11．（2022•庐阳区校级三模）二次函数y＝kx2﹣x﹣4k（k为常数，且k≠0）始终经过第二象限内的定点 A． （1）定点A的坐标是 ； （2）设点A的纵坐标为m，若该函数图象与y＝m在1＜x＜3内没有交点，则k的取值范围是 ． 12．（2022春•宜兴市校级月考）直线y＝4x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过 点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C，若抛物线与线段BC恰有一个公共点，则a的取值范围 是 ． 13．（2022•亭湖区校级开学）定义{a，b，c}＝c（a＜c＜b），即（a，b，c）的取值为a，b，c的中位数， 例如：{1，3，2}＝2，{8，3，6}＝6，已知函数y＝{x2+1，﹣x+2，x+3}与直线y＝ x+b有3个交点时， 则b的值为 ． 14．（2021•龙岩模拟）抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2+m，m），B（2﹣m，m），C（0，﹣3）三点，且当 4≤x＜5时，对应的函数值y恰好有3个整数值，则a的取值范围是 ． 三．解答题15．（2022•平谷区二模）在平面直角坐标系xOy中，点（﹣1，y）、（1，y）、（3，y）是抛物线y＝ 1 2 3 x2+bx+1上三个点． （1）直接写出抛物线与y轴的交点坐标； （2）当y＝y时，求b的值； 1 3 （3）当y＞y＞1＞y时，求b的取值范围． 3 1 2 16．（2021秋•天津期末）如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B 的坐标为（3，0）． （1）求m的值及抛物线的顶点坐标； （2）求△ABC的面积； （3）点P是抛物线对称轴1上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标． 17．（2022•永嘉县三模）已知抛物线y＝ax2﹣bx+3经过点（﹣1，8），（1，0）． （1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．（2）直线l交抛物线于点A（﹣1，8），B（m，n）．点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重 合），设点P横坐标为x，纵坐标为y，若﹣1≤y＜ m，求x的取值范围． p p p p 18．（2022•宜兴市校级二模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝﹣x2+bx+c（b＞ 0，c＞0）图象的顶点是点A，对称轴为直线l，图象与y轴交于点C．点D在l右侧的函数图象上，点B 在DC延长线上，且四边形ABOD是平行四边形． （1）如图2，若CD∥x轴． ①求证：b2＝4c； ②若▱ABOD是矩形，求二次函数的解析式； （2）当b＝2时，▱ABOD能否成为正方形，请通过计算说明理由． 19．（2022•碑林区校级模拟）抛物线W：y＝a（x+ ）2﹣ 与x轴交于A（﹣5，0）和点B． 1 （1）求抛物线W的函数表达式； 1 （2）将抛物线W关于点M（﹣1，0）对称后得到抛物线W，点A、B的对应点分别为A'，B'，抛物线W 1 2 2与y轴交于点C，在抛物线W上是否存在一点P，使得S ＝S ，若存在，求出P点坐标，若不存 2 △PA′B′ △PA'C 在，请说明理由． 20．（2022•襄阳）在平面直角坐标系中，直线y＝mx﹣2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛 物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C． （1）如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点． ①求A，B，C，D四点的坐标； ②当△PAB面积最大时，求点P的坐标； （2）在y轴上有一点M（0， m），当点C在线段MB上时， ①求m的取值范围； ②求线段BC长度的最大值．