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2022-2023 学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练
（人教版）
24.1.3 弧、弦、圆心角
题型导航
弧
题型1
利用弧、弦、圆心角求解
弦
题型2
利用弧、弦圆心角的关系求证
圆
题型3
心 圆心角的概念
角
题型4
求圆弧的度数
题型变式
【题型1】利用弧、弦、圆心角求解
1．（2022·山东·德州市第五中学九年级开学考试）下列命题是真命题的是（ ）
A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等
B．平分弦的直径垂直于弦
C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
【答案】C
【解析】
【分析】
利用圆的有关性质、垂径定理、平行四边形的判定方法及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】
A、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧不一定相等，故原命题错误，是假命题，不
符合题意；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、如图，四边形ABCD，AB CD，∠A=∠C，
∵AB CD，∴∠A+∠D=180°，又∵∠A=∠C，∴∠C+∠D=180°，
∴AD BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，正确，是真命题，符合题意；
D、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关性质、垂径定理、平行四边形的判定方法及平
行线的性质等知识，难度不大．
【变式1-1】
2．（2022·陕西·西安工业大学附中三模）如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG=MN，
∠A＝50°，则∠BOC＝（ ）
A．100° B．110° C．115° D．120°
【答案】C
【解析】
【分析】过点O作OP⊥AB于点P，OQ⊥AC于点Q，OK⊥BC于点K，由于DE＝FG＝MN，所以弦的弦心距也相等，
所以OB、OC是角平分线，根据∠A＝50°，先求出 ，再求出，进而可求
出∠BOC．
【详解】
解：过点O作OP⊥AB于点P，OQ⊥AC于点Q，OK⊥BC于点K，
∵DE＝FG＝MN，
∴OP＝OK＝OQ，
∴OB、OC平分∠ABC和∠ACB，
， ，
∵∠A＝50°，
∴ ，
∴
，
∴∠BOC＝
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了垂径定理，角平分线的判定，三角形内角和，角平分线的定义，解题关键是构造出辅助线
——弦心距．【题型2】利用弧、弦、圆心角的关系求证
1．（2022·上海静安·二模）如图，已知半圆直径 ，点C、D三等分半圆弧，那么 的面积为
________．
【答案】
【解析】
【分析】
连接OC，OD，过点O作OE⊥CD，垂足为点E，点C、D三等分半圆弧，可知 是等边三角形，从
而可以证得CD∥AB，所以 和 的面积相等，利用30°所对的直角三角形的性质和勾股定理，即
可求得面积．
【详解】
解：连接OC，OD，过点O作OE⊥CD，垂足为点E，如图，
∵点C、D三等分半圆弧，
∴∠COD=∠BOD=60°，
∵OC=OD，
∴ 是等边三角形，
∴∠CDO=60°，
∴∠CDO=∠BOD，
∴CD∥AB，
∴ ，∵OE⊥CD，
∴∠COE= ∠COD=30°，
∴ ，
在 中， ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了弧与圆心角的关系、等边三角形的判定与性质、平行线的判定、30°所对的直角三角形的性
质和勾股定理．
【变式2-1】
2．（2022·山东烟台·九年级期末）如图，AB，CD是⊙O的直径，弦 ． ， ， 有什么关
系？为什么？
【答案】 ，见解析
【解析】
【分析】
连接OE，根据对顶角相等，可得∠BOC=∠AOD，根据平行线的性质，可得∠BOC=∠B，∠DOE=∠E，根据等腰三角形的性质∠BOC=∠DOE，即可得出 ，即可得出答案．
【详解】
解： ．
理由：连接OE，
∵∠BOC＝∠AOD，
∴ ．
∵ ，
∴∠BOC＝∠B，∠DOE＝∠E．
∵OB＝OE，
∴∠B＝∠E，
∴∠BOC＝∠DOE，
∴ ．
∴ ．
【点睛】
本题主要考查了圆心角、弧、弦三者的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦三者的关系进行求解是解决本题的
关键．
【题型3】圆心角的概念
1．（2021·全国·九年级课时练习）下图中是圆心角的是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】
【分析】
根据圆心角的概念：圆心角是指在中心为O的圆中,过弧AB两端的半径构成的∠AOB, 称为弧AB所对的
圆心角进行判断.
【详解】
解：A、不是圆心角，故不符合题意；
B、不是圆心角，故不符合题意；
C、是圆心角，故符合题意；
D、不是圆心角，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角叫作圆心角是解题的关键．
【变式3-1】
2．（2021·江苏·九年级专题练习）如图， 是 的弦， ，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据同圆中半径相等，可得 ，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得结果．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，又 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了等腰三角形性质，三角形内角和定理，根据等边对等角得出 是解题的关键．
【题型4】求圆弧的度数
1．（2022·山东聊城·中考真题）如图，AB，CD是 的弦，延长AB，CD相交于点P．已知 ，
，则 的度数是（ ）
A．30° B．25° C．20° D．10°
【答案】C
【解析】
【分析】
如图，连接OB，OD，AC，先求解 ，再求解 ，从而可得
，再利用周角的含义可得 ，从而可得答案．
【详解】
解：如图，连接OB，OD，AC，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ 的度数20°．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是圆心角与弧的度数的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，掌握“圆心角
与弧的度数的关系”是解本题的关键．
【变式4-1】
2．（2021·江苏·淮安市洪泽实验中学九年级期中）如图，在扇形OAB中， ，将扇形OAB沿
过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点D处，折痕交OA于点C，则弧AD的度数为____________．
【答案】 ##50度
【解析】
【分析】
连接 ，先根据折叠的性质、等边三角形的判定与性质可得 ，再根据角的和差可得
，由此即可得．
【详解】
解：如图，连接 ，则 ，由折叠的性质得： ，
，
是等边三角形，
，
，
，
则弧 的度数为 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定与性质、折叠的性质、圆弧的度数，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
专项训练
一．选择题
1．（2020·上海民办建平远翔学校九年级阶段练习）下列关于圆的说法中，错误的是（ ）
A．半径、圆心角分别相等的两段弧一定是等弧
B．如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等
C．圆的对称轴是任意一条直径所在的直线
D．拱形不一定是弓形
【答案】B
【解析】
【分析】
根据圆心角、弧、弦的关系对A、B进行判断；根据过圆心的直线都为圆的对称轴可对C进行判断；根据
拱形与弓形的定义对D进行判断．
【详解】
解：A．半径、圆心角分别相等的两段弧一定是等弧，所以A选项不符合题意；
B．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等，所以B选项符合题意；
C．圆的对称轴是任意一条直径所在的直线，所以C选项不符合题意；
D．拱形加上跨度为弓形，所以D选项不符合题意．故选：B．
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，
那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了轴对称．
2．（2022·湖北十堰·九年级期末）如图，在⊙O中，弦AB与直径CD垂直，垂足为E，则下列结论中错误
的是（ ）
A．AE=BE B．CE=DE C．AC=BC D．AD=BD
【答案】B
【解析】
【分析】
回顾一下垂径定理的内容，根据定理得出AE=BE，弧AD=弧BD，弧AC=弧BC，即可得出选项．
【详解】
∵CD⊥AB，CD为直径，
∴AE=BE，弧AD=弧BD，弧AC=弧BC，CE＞DE，
AD=BD,AC=BC,
故选:B．
【点睛】
本题考查了垂径定理的应用，解此题的关键是能正确理解定理的内容，注意：垂直于弦的直径平分这条弦，
并且平分弦所对的每一条弧．
3．（2021·全国·九年级专题练习）如图， 是 的直径， ，若 ，则 的
度数是（ ）A．32° B．60° C．68° D．64°
【答案】D
【解析】
【分析】
根据已知条件和圆心角、弧、弦的关系，可知 ，然后根据对顶角相等即可求解．
【详解】
，
．
，
，
，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查圆心角、弧、弦的关系、对顶角相等，较简单，掌握基本概念是解题关键．
4．（2021·内蒙古·呼和浩特市回民中学九年级期中）如图，已知在 中， 是直径， ，则下
列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D． 到 、 的距离相等
【答案】A
【解析】【分析】
根据圆心角、弧、弦之间的关系即可得出答案．
【详解】
在 中，弦 弦 ，则其所对圆心角相等，即 ，所对优弧和劣弧分别相等，所以有
，故B项和C项结论正确，
∵ ，AO=DO=BO=CO
∴ （SSS）
可得出点 到弦 ， 的距离相等，故D项结论正确；
而由题意不能推出 ，故A项结论错误．
故选：A
【点睛】
此题主要考查圆的基本性质，解题的关键是熟知圆心角、弧、弦之间的关系．
5．（2021·全国·九年级课时练习）在 中，AB，CD为两条弦，下列说法：①若 ，则 ；
②若 ，则 ；③若 ，则弧AB=2弧CD；④若 ，则 .
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】
【分析】
根据圆心角、弧、弦之间的关系解答即可.
【详解】
①若 ，则 ，正确；
②若 ，则 ，故不正确；
③由 不能得到弧AB=2弧CD，故不正确；
④若 ，则 ，错误.
故选A.
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量
相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等.也考查了等腰三角形的性质.
6．（2022·江苏·九年级专题练习）如图所示，MN为⊙O的弦，∠N=52°，则∠MON的度数为（ ）
A．38° B．52° C．76° D．104°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据半径相等得到OM=ON，则∠M=∠N=52°，然后根据三角形内角和定理计算∠MON的度数．
【详解】
∵OM=ON，
∴∠M=∠N=52°，
∴∠MON=180°-2×52°=76°．
故选C．
【点睛】
本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
二、填空题
7．（2019·全国·九年级课时练习）弦AB把⊙O分成两条弧，它们的度数的比是4：5，则这两条弧的度数
分别为__________．
【答案】160°，200°
【解析】
【分析】
根据“同圆或等圆中，弧的度数等于弧所对的圆心角的度数”， 再结合弦AB把⊙O分成度数比为4:5的
两条弧，而整个圆周的度数为360°，即可解答.
【详解】
∵弦AB把⊙O分成度数比为4:5的两条弧，整个圆周的度数为360°，
∴劣弧的度数为360°× =160°，优弧的度数为360°-160°=200°.
即这两条弧的度数分别为160 ,200 .故答案为160°，200°.
【点睛】
本题考查圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是熟练掌握弧的度数的定义.
8．（2021·北京·九年级期中）如图，在 中，点 是 的中点， ，则 等于________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠AOB，根据等腰三角形性质得出∠BOC＝ ∠AOB，代入
求出即可．
【详解】
解：∵ ，
∴
∴ ，
∵点 是 的中点，即 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，等腰三角形的性质的应用，注意：在同圆或等圆中，
两个圆心角、两条弧、两条弦，其中有一对相等，那么其余两对也相等．
9．（2021·贵州·凯里一中九年级期中）如图，在⊙O中， = ，则下列结论中：①AB=CD；
②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④ = ，正确的是______填序号．【答案】①②③④
【解析】
【分析】
利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可．
【详解】
解：∵在⊙O中， = ，
∴AB=CD，故①正确；
∵BC为公共弧，
∴ = ，故④正确；
∴AC=BD，故②正确；
∴∠AOC=∠BOD，故③正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】
本题考查了弧，弦、圆心角之间的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等
以及推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余
各组量都分别相等．
10．（2021·黑龙江双鸭山·九年级期中）一根横截面为圆形的下水管的直径为1米，管内污水的水面宽为
0.8米，那么管内污水深度为__________米．
【答案】0.8或0.2.
【解析】
【分析】
构造垂径定理，分两种情形求得弦心距，从而得到水深.
【详解】
如图所示，作AB的垂直平分线，垂足为E，根据题意，得 AO=0.5，AE=0.4，
根据勾股定理，得OE= = =0.3，
∴水深ED=OD-OE=0.5-03=0.2（米）
或水深ED=OD+OE=0.5+03=0.8（米），
∴水深为0.2米或0.8米.
故答案为：0.2米或0.8.
【点睛】
本题考查了垂径定理，勾股定理，解答时，构造垂径定理，活用分类思想是解题的关键.
11．（2021·浙江杭州·九年级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径
的圆交AB于点D，交AC于点E，则 的度数为____________．【答案】50°
【解析】
【分析】
连接CD，如图，先根据三角形内角和计算出∠B＝65°，再根据等腰三角形的性质由CB＝CD得到∠B＝
∠BDC＝65°，然后再利用三角形内角和计算出∠BCD＝50°，最后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度
数求解．
【详解】
解：连接CD，如图，
∵∠C＝90°，∠A＝25°，
∴∠B＝90°−25°＝65°，
∵CB＝CD，
∴∠B＝∠BDC＝65°，
∴∠BCD＝180°−65°−65°＝50°，
∴ 的度数为50°．
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；圆
心角的度数等于它所对的弧的度数．
12．（2021·北京·人大附中九年级期中）如图，在⊙O中，若 ，则AC与2CD的大小关系
是：AC__2CD．（填“＞”，“＜”或“＝”）【答案】
【解析】
【分析】
如图，连接AB、BC，根据题意知，AB＝BC＝CD，又由三角形三边关系得到AB+BC＞AC得到：AC＜
2CD．
【详解】
解：如图，连接AB、BC，
∵
∴AB＝BC＝CD，
在△ABC中，AB+BC＞AC．
∴AC＜2CD．
故答案是：＜．
【点睛】
本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是利用三角形三边关系得到AB+BC＞AC．
三、解答题
13．（2021·福建·厦门一中九年级期中）已知：如图所示，A，B，C，D是⊙ 上的点，且 ，
，求 的度数．【答案】 ．
【解析】
【分析】
由题意易知 ，然后根据弧与圆心角的关系可直接进行求解．
【详解】
解：∵A，B，C，D是 上的点， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】
本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等是解题的关键．
14．（2021·吉林吉林·九年级期中）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD，BC．求
证： ．
【答案】证明见详解
【解析】
【分析】
由 知 ，得到 ，即可得出 ．
【详解】解： ，
，即 ，
．
【点睛】
本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，理解在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的
弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等是解题关键．
15．（2022·安徽·定远县育才学校九年级期中）如图，在 ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径
的圆交AB于点D，交AC于点E．
（1）若∠A＝25°，求 的度数；
（2）若BC＝9，AC＝12，求BD的长．
【答案】（1）40°；（2）
【解析】
【分析】
（1）连接 ，先利用互余计算出 ，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出
的度数，从而得到 的度数；
（2）作 ，根据垂径定理得到 ，再利用勾股定理计算出 ，接着利用面积法计算
出 ，然后利用勾股定理计算出 ，从而得到 的长．
【详解】
解：（1）如图，连接 ，
，∠A＝25°，
，
，，
，
，
的度数为40°；
（2）如图，作 ，则 ，
∵∠C＝90°，BC＝9，AC＝12，
∴在 中， ，
，
，
在 中， ，
．
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，直角三角形的两个锐角互余，等腰三角形的性质，垂径定理以及勾股
定理的应用，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系以及垂径定理以及勾股定理是解决本题的关键．
16．（2021·重庆江津·九年级阶段练习）如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，且
AB⊥CD，垂足为G，点E在劣弧 上，连接CE．（1）求证：CE平分∠AEB；
（2）连接BC，若BC//AE，求证：BC=BE．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据垂径定理，可得 ，从而得到 ，即可求证；
（2）根据 ，可得到 ，再由 ，即可求证．
【详解】
（1）证明： ， 是直径，
．
，
平分 ；
（2）解：如图，
∵ ，
∴ ．
又∵ ，
．
【点睛】
本题主要考查了垂径定理，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
17．（2021·浙江·杭州市天杭实验学校九年级期中）如图，AD、BC是⊙O的两条弦，且AB＝CD，求证：
AD＝BC．【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】
根据AB=CD，得出 ，进而得出 ，即可解答．
【详解】
证明：∵AB，CD是⊙O的两条弦，且AB=CD，
∴ ,
∴ ，
∴ ，
∴AD=BC．
【点睛】
此题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是利用三者的关系解答．
18．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，在 中， ， 是两条弦， ， ，垂足分
别为 ， ．
（1）如果 ，那么 与 相等吗？说明理由；
（2）如果 ，那么 与 相等吗？ 与 相等吗？ 与 呢？
【答案】（1）相等，见解析；（2） ， ， ，见解析【解析】
【分析】
（1）求出∠OEB＝∠OFD＝90°，∠EOB＝∠FOD，证△EOB≌△FOD，即可推出OE＝OF．
（2）证 ，推出 ，根据垂径定理求出AB＝CD，根据圆心角、弧、弦之间的关系
即可得出答案．
【详解】
解：（1）解：OE＝OF，
理由是：∵OE⊥AB，OF⊥CD，OA＝OB，OC＝OD，
∴∠OEB＝∠OFD＝90°，∠EOB＝ ∠AOB，∠FOD＝ ∠COD，
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠EOB＝∠FOD，
∵在△EOB和△FOD中，
∴△EOB≌△FOD（AAS），
∴OE＝OF．；
（2） ， ， ．
理由：∵ ， ，
∴ ，
又∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ， ．
【点睛】
本题考查了全等三角形性质和判定，等腰三角形的性质和判定，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系等
知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
