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专题 06 二次函数最值问题（综合题）
易错题专训
一．选择题
1．（2022春•武邑县校级期末）如图，在正方形 ABCD中，AB＝4，AC与BD交于点O，E，F分别为边
BC，CD上的点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合），BE＝CF，连接OE，OF，EF．关于以下三
个结论，下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：△OEF始终是等腰直角三角形；
结论Ⅱ：△OEF面积的最小值是2；
结论Ⅲ：四边形OECF的面积始终是8．
A．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅲ错 B．结论Ⅰ和Ⅲ都对，结论Ⅱ错
C．结论Ⅱ和Ⅲ都对，结论Ⅰ错 D．三个结论都对
【易错思路引导】易证得△OBE≌△OCF（SAS），则可证得结论Ⅰ正确；
由OE的最小值是O到BC的距离，即可求得OE的最小值2，根据三角形面积公式即可判断选项Ⅱ正确；
由△OBE≌△OCF，根据正方形被对角线将面积四等分，即可得出选项Ⅲ错误．
【规范解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AC，BD相交于点O，
∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°，
在△OBE和△OCF中，
，
∴△OBE≌△OCF（SAS），
∴OE＝OF，
∵∠BOE＝∠COF，∴∠EOF＝∠BOC＝90°，
∴△OEF是等腰直角三角形；
故Ⅰ正确；
∵当OE⊥BC时，OE最小，此时OE＝OF＝ BC＝2，
∴△OEF面积的最小值是 ×2×2＝2，
故Ⅱ正确；
∵△OBE≌△OCF，
∴S ＝S +S ＝S +S ＝S ＝ S ＝ ×4×4＝4，
四边形OECF COE OCF COE OBE OBC 正方形ABCD
△ △ △ △ △
故Ⅲ错误；
故选：A．
【考察注意点】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质．注意
掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
2．（2022春•台江区校级期末）若二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值6，则y＝﹣a（x+1）2+bx+b+2的最小
值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣6 D．2
【易错思路引导】根据题意，设二次函数y＝ax2﹣bx+2的顶点坐标为（m，6），且易知其图象开口向
下，通过平移y＝﹣a（x+1）2+bx+b+2即可求解．
【规范解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值6，
∴设二次函数y＝ax2﹣bx+2的顶点坐标为（m，6），
平移可知y＝a（x+1）2﹣b（x+1）+2的顶点坐标为（m﹣1，6），
根据关于x轴对称可知，y＝﹣a（x+1）2+bx+b﹣2的顶点坐标为（m﹣1，﹣6），且开口向上，
再向上平移4个单位得到y＝﹣a（x+1）2+bx+b+2，
此时顶点坐标为（m﹣1，﹣2），最小值为﹣2，
故答案为：B．
【考察注意点】本题考查了二次函数图象的平移，关于坐标轴对称的点的坐标特征；利用顶点坐标变换
是解题的关键．
3．（2022•嘉兴）已知点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx+3（k为常数，k≠0）上，若ab的最大值为
9，则c的值为（ ）A．1 B． C．2 D．
【易错思路引导】由点A（a，b），B（4，c）在直线 y＝kx+3上，可得 ，即得ab＝a
（ak+3）＝ka2+3a＝k（a+ ）2﹣ ，根据ab的最大值为9，得k＝﹣ ，即可求出c＝2．
【规范解答】解：∵点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx+3上，
∴ ，
由①可得：ab＝a（ak+3）＝ka2+3a＝k（a+ ）2﹣ ，
∵ab的最大值为9，
∴k＜0，﹣ ＝9，
解得k＝﹣ ，
把k＝﹣ 代入②得：4×（﹣ ）+3＝c，
∴c＝2，
故选：C．
【考察注意点】本题考查一次函数图象上点坐标的特征及二次函数的最值，解题的关键是掌握配方法求
函数的最值．
4．（2022春•晋州市校级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝ ，点E是线段AD的三等分点
（AE＜ED），动点F从点D出发向终点E运动，以BF为边作等边△BFG，在动点F运动的过程中，
阴影部分面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【易错思路引导】设AF＝x，等边△BFG的边长为a，利用勾股定理得到a2＝x2+22＝x2+4，利用三角形面积公式得到△BFG的面积为： ＝ a2，△ABF的面积为： ＝x，则S阴影 ＝
a2﹣x＝ （x2+4）﹣x＝ （x﹣ ）2+ ，根据二次函数的性质即可求得阴影部分面积的最
小值是 ．
【规范解答】解：设AF＝x，等边△BFG的边长为a，则a2＝x2+22＝x2+4，
∴△BFG的面积为： ＝ a2，△ABF的面积为： ＝x，
∴S阴影 ＝ a2﹣x＝ （x2+4）﹣x＝ （x﹣ ）2+ ，
∵点E是线段AD的三等分点（AE＜ED），
∴AE＝ ，
∴当点F移动到点E的位置时，阴影部分面积最小，最小值为 ．
故选：A．
【考察注意点】本题考查了二次函数的最值，二次函数的性质，等边三角形的性质，矩形的性质，正确
表示出阴影部分的面积是解题的关键．
5．（2022•贺州）已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【易错思路引导】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出y＝15时，x的值，再根据二次函数的性
质得出答案．
【规范解答】解：∵二次函数y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣1）2﹣3，
∴抛物线的对称轴为x＝1，顶点（1，﹣3），
∴当y＝﹣3时，x＝1，
当y＝15时，2（x﹣1）2﹣3＝15，
解得x＝4或x＝﹣2，
∵当0≤x≤a时，y的最大值为15，
∴a＝4，
故选：D．
【考察注意点】本题考查的是二次函数的最值，熟知二次函数的顶点坐标公式是解答此题的关键．6．（2022•碑林区校级三模）已知二次函数 y＝﹣x2+bx+c，当x≤0时，函数的最大值为1；当x＞0时，函
数的最大值为2，则b+c的值为（ ）
A．3 B．1 C．﹣3 D．﹣1或3
【易错思路引导】由当x≤0时，函数的最大值为1；当x＞0时，函数的最大值为2，得出抛物线的对称
轴在y轴的右侧，由a＝﹣1＜0，得出当x≤0时，y随x的增大而增大，b＞0，进而得出当x＝0时，y＝
1，求出c＝1，把抛物线一般式化成顶点式﹣（x﹣ ）2+ +1，得出 +1＝2，继而得出b＝2，即可
得出答案．
【规范解答】解：∵当x≤0时，函数的最大值为1；当x＞0时，函数的最大值为2，
∴抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x≤0时，y随x的增大而增大，b＞0，
∴当x＝0时，y＝1，
∴c＝1，
∴y＝﹣x2+bx+1
＝﹣（x﹣ ）2+ +1，
∴， +1＝2，
解得：b＝2或﹣2（不符合题意，舍去），
∴b＝2，
∴b+c＝2+1＝3，
故选：A．
【考察注意点】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象与性质是解决问题的关键．
7．（2021•罗湖区校级模拟）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），
∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝ BE，CF与AD相交于点G，点H在BC，且BH＝BE，连
接EC，EF，EG，EH．则下列结论：①∠ECF＝45°；②△AEG 的周长为 a；③BE2+DG2＝EG2；
④△EAF的面积的最大值是 a2；⑤当BE＝ a时，G是线段AD的中点．其中正确的结论是（ ）A．①②③ B．②④⑤ C．①③④ D．①④⑤
【易错思路引导】①正确：证明△FAE≌△EHC（SAS），即可解决问题；
②③错误：延长 AD 到 N，使得 DN＝BE，则△CBE≌△CDN（SAS），再证明△GCE≌△GCN
（SAS），即可解决问题；
④正确：设BE＝x，则AE＝a﹣x，AF＝ ，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题；
⑤正确：当BE＝ a时，设DG＝x，则EG＝x a，利用勾股定理构建方程可得x＝ ．
【规范解答】解：∵BE＝BH，∠EBH＝90°，
∴ ，
∵ ，
∴AF＝EH，
∵∠DAM＝∠EHB＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠FAE＝∠EHC＝135°，
∵BA＝BC，BE＝BH，
∴AE＝HC，
∴△FAE≌△EHC（SAS），
∴EF＝EC，∠AEF＝∠ECH，
∵∠ECH+∠CEB＝90°，
∴∠AEF+∠CEB＝90°，
∴∠FEC＝90°，
∴∠ECF＝∠EFC＝45°，故①正确，
如图，延长AD到N，使得DN＝BE，则△CBE≌△CDN（SAS），∴∠ECB＝∠DCN，
∴∠ECN＝∠BCD＝90°，
∴∠ECG＝∠GCN＝45°，
∵CG＝CG，CE＝CN，
∴△GCE≌△GCN（SAS），
∴EG＝GN，
∵GN＝DG+DN，DN＝BE，
∴EG＝BE+DG，故③错误，
∴△AEG的周长＝AE+EG+AG＝AE+AN＝AD+DN+AE＝AE+EB+AD＝AB+AD＝2a，故②错误，
设BE＝x，则AE＝a﹣x， ，
∴S ＝ •（a﹣x）×x＝ x2+ ax＝ （x2﹣ax a2 a2）＝ （x a）2 a2，
AEF
△
∵ 0，
∴x＝ a时，△AEF的面积的最大值为 ，故④正确，
当BE＝ a时，设DG＝x，则EG＝x a，
在Rt AEG中，则有（x a）2＝（a﹣x）2+（ a）2，
△
解得x＝ ，
∴AG＝GD，故⑤正确，
综上，①④⑤正确，
故选：D．
【考察注意点】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的应用等知识，熟练掌握
并灵活运用是解题的关键．二．填空题（
8．（2022•姑苏区校级一模）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCO，B点坐标为（4，2），
A、C分别在y轴、x轴上；若D点坐标为（1，0），连结AD，点E、点F分别从A点、B点出发，在
AB上相向而行，速度均为1个单位/每秒，当E、F两点相遇时，两点停止运动；过E点作EG∥AD交x
轴于H点，交y轴于G点，连结FG、FH，在运动过程中，△FGH的最大面积为 4. 5 ．
【易错思路引导】先求得直线AD的解析式，进而得到设直线EG的解析式为y＝﹣2x+b，则G（0，
b），由此得出BF＝AE＝ ，即可得出EF＝6﹣b，利用S ＝S +S ＝ EF•OG得出S ＝
FGH EFG EFH FGH
△ △ △ △
＝ （6﹣b）•b＝﹣ （b﹣3）2+4.5，根据二次函数的性质即可求得△FGH的最大面积．
【规范解答】解：由题意可知A（0，2），
∴设直线AD为y＝kx+2，
把D（1，0）代入得，k+2＝0，解得k＝﹣2，
∴直线AD为y＝﹣2x+2，
∵EG∥AD，
∴设直线EG的解析式为y＝﹣2x+b，则G（0，b），
当y＝2时，x＝ ，
∴E（ ，2），
∴AE＝ ，
∴BF＝AE＝ ，∴EF＝4﹣2× ＝6﹣b，
∴S ＝S +S ＝ EF•OG＝ （6﹣b）•b＝﹣ （b﹣3）2+4.5，
FGH EFG EFH
△ △ △
∵﹣ ＜0，
∴△FGH的最大面积为4.5，
故答案为：4.5．
【考察注意点】本题考查了待定系数法求由此函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性
质，二次函数的最值，利用S ＝S +S 得出S ＝ （6﹣b）•b＝﹣ （b﹣3）2+4.5是解题的
FGH EFG EFH FGH
△ △ △ △
关键．
9．（2022•南岗区校级模拟）二次函数y＝x2+4x﹣7的最小值为 ﹣ 1 1 ．
【易错思路引导】将二次函数化为顶点式，再根据开口方向确定二次函数最小值．
【规范解答】解：∵y＝x2+4x﹣7＝（x+2）2﹣11，
∵a＝1，
∴当x＝1时，y有最小值为﹣11，
故答案为：﹣11．
【考察注意点】本题考查了二次函数的最值，掌握将二次函数化为顶点式是解题的关键．
10．（2022•六盘水）如图是二次函数y＝x2+bx+c的图象，该函数的最小值是 ﹣ 4 ．
【易错思路引导】根据二次函数图象得出其对称轴和与x轴交点，进而得出二次函数解析式，即可求出
最小值．
【规范解答】解：由函数图象可得：﹣ ＝﹣ ＝﹣1，
解得：b＝2，∵图象经过（﹣3，0）点，
∴0＝（﹣3）2﹣3×2+c，
解得：c＝﹣3，
故二次函数解析式为：y＝x2+2x﹣3，
则二次函数的最小值为： ＝ ＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【考察注意点】此题主要考查了二次函数的最值以及二次函数的图象，正确求出二次函数解析式是解题
关键．
11．（2022春•荔湾区期末）已知：如图，正方形ABCD中，AB＝2，AC，BD相交于点O，E，F分别为
边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）．且BE＝CF，连接OE，OF，EF．在
点E，F运动的过程中，有下列四个说法：①△OEF是等腰直角三角形；②△OEF面积的最小值是1；
③至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是 ；④四边形OECF的面积是1．其中正确的是
①③④ ．
【易错思路引导】通过证明△OBE≌△OCF可判断①，当OE⊥BC时可得△OEF面积的最小值，从而
判断②，由BE＝CF可得EC+CF的值为2，即由EF长度取值范围可判断③，由△OBE≌△OCF可得四
边形OECF的面积等于三角形BOC的面积，从而判断④．
【规范解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AC，BD相交于点O，
∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°，
在△OBE和△OCF中，
，
∴△OBE≌△OCF（SAS），
∴OE＝OF，∠BOE＝∠COF，
∴∠BOC＝∠EOF＝90°，∴△OEF是等腰直角三角形，①正确．
当OE⊥BC时，OE最小，此时OE＝OF＝ BC＝1，
∴S ＝ 1×1＝ ，②错误．
EOF
△
∵BE＝CF，
∴CE+CF＝BE+CE＝2，
设EC长为x，则FC＝BE＝2﹣x，
∴EF＝ ＝ ＝ ，
∵0＜x＜2，
∴ ≤EF＜2，
∵ ＜ ＜2，
∴至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是 ．③正确．
∵△OBE≌△OCF，
∴四边形OECF的面积等于三角形BOC的面积，即S ＝S ＝ S ＝ ×2×2＝1，④正
四边形OECF BOC 正方形ABCD
△
确．
故答案为：①③④．
【考察注意点】本题考查正方形的性质，解题关键是掌握全等三角形的判定与性质，掌握解直角三角形
的方法．
12．（2022春•碑林区校级期中）如图，在四边形 ABCD中，AB＝BC＝2 ，∠B＝60°，∠D＝120°，点
E为四边形ABCD边上一点，当四边形ABCD面积最大时，过点A且平分该四边形ABCD面积的分割线
段AE的长为 ．
【易错思路引导】连接AC，过点A作AF⊥BC于点F，由AB＝BC＝2 ，∠B＝60°，得出△ABC是等
边三角形，由等边三角形的性质求出AC＝2 ，BF＝ ，当AD＝CD时，△ADC的面积最大，此时，四边形ABCD的面积最大，过点D作DG⊥AC于点G，则AG＝ ，进而求出S ＝ ，S ＝
ADC ABE
△ △
BE，S ＝ （BE﹣ ），由AE平分四边形ABCD的面积，得出 BE＝ （BE﹣ ）+ ，求出
AEF
△
BE＝ ，再由勾股定理求出AE＝ ，得出答案．
【规范解答】解：如图，连接AC，过点A作AF⊥BC于点F，
∵AB＝BC＝2 ，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝2 ，BF＝ BC＝ ，
当AD＝CD时，△ADC的面积最大，此时，四边形ABCD的面积最大，
过点D作DG⊥AC于点G，则AG＝ AC＝ ，
∵∠D＝120°，
∴∠DAG＝30°，
∴DG＝ ＝1，
∴S ＝ •AC•DG＝ ×2 ×1＝ ，
ADC
△
∵sinB＝ ，
∴AF＝AB•sin60°＝2 × ＝3，
∴S ＝ •BE•AF＝ ×BE×3＝ BE，
ABE
△
S ＝ •EF•AF＝ ×（BE﹣BF）×3＝ （BE﹣ ），
AEF
△
∵AE平分四边形ABCD的面积，
∴S ＝S +S ，
ABE AEF ADC
△ △ △∴ BE＝ （BE﹣ ）+ ，
解得：BE＝ ，
∴EF＝BE﹣BF＝ ﹣ ＝ ，
∴AE＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
【考察注意点】本题考查了勾股定理，掌握等边三角形判定的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积
公式，解直角三角形等知识是解决问题的关键．
13．（2021秋•吴兴区期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝3，点E是AD边上的动点，连结CE，以CE为
边向右上方作正方形CEFG，过点F作FH⊥AD，垂足为H，连结AF．在整个变化过程中，△AEF面积
的最大值是 ．
【易错思路引导】证明Rt EFH≌Rt CED，设AE＝a，用含a代数式表示△AEF的面积，进而求解．
【规范解答】解：∠FEH+△∠CED＝9△0°，∠FEH+∠EFH＝90°，
∴∠CED＝∠EFH，
在Rt EFH和Rt CED中，
△ △
，
∴Rt EFH≌Rt CED（AAS），
∴ED△＝FH， △
设AE＝a，则ED＝FH＝3﹣a，
∴S ＝ AE•FH＝ a（3﹣a）＝﹣ （a﹣ ）2+ ，
AEF
△∴当AE＝ 时，△AEF面积的最大值为 ．
故答案为： ．
【考察注意点】本题考查二次函数的最值问题，解题关键是掌握正方形的性质，掌握全等三角形的判定
与性质．
14．（2021秋•嘉祥县期末）如图，已知边长为12的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重
合），连接 AE，G 是 BC 延长线上的点，过点 E 作 AE 的垂线交∠DCG 的角平分线于点 F，若
FG⊥BG，则△CEF的最大面积为 1 8 ．
【易错思路引导】先根据正方形的性质和角平分线的性质证明出FG＝CG，设CE＝x，则BE＝12﹣x，
再利用同角的余角相等，判断出∠BAE＝∠FEG，进而得出△ABE∽△EGF，得出 ＝ ，然后求出
FG＝12﹣x，再根据三角形的面积公式求出△ECF的面积，再根据函数的性质求最值．
【规范解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB＝∠DCG＝90°，
∵CF是∠DCG的角平分线，
∴∠FCG＝45°，
∵FG⊥BG，
∴∠CFG＝45°，
∴FG＝CG，
设CE＝x，则BE＝12﹣x，
∴EG＝CE+CG＝x+FG，
∵四边形ABCD是正方形，EF⊥AE，
∴∠B＝∠G＝∠AEF＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠FEG＝90°，
∴∠BAE＝∠FEG，∵∠B＝∠G＝90°，
∴△BAE∽△GEF；
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴FG＝12﹣x，
∴S ＝ ×CE×FG＝ ×x•（12﹣x）＝﹣ （x2﹣12x）＝﹣ （x﹣6）2+18，
ECF
△
∵﹣ ＜0，
∴当EC＝6时，S ＝18．
ECF最大
△
故答案为：18．
【考察注意点】主要考查了正方形的性质，角平分线，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式以
及二次函数求最值，判断出△BAE∽△GEF是解本题的关键．
15．（2022•砀山县模拟）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a
（1）若a＝1，则函数y的最小值为 ﹣ 1 ．
（2）若当1≤x≤4时，y的最大值是4，则a的值为 或﹣ 4 ．
【易错思路引导】（1）将a＝1代入二次函数y＝ax2﹣4ax+3a，然后配方即可．
（2）先求出抛物线的对称轴是直线x＝2，然后分a＞0和a＜0两种情况讨论，根据函数增减性即可求
出a的值．
【规范解答】解：（1）当a＝1时，y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1
∵a＝1＞0
∴抛物线的开口向上，当x＝2时，函数y的最小值为﹣1．
（2）∵二次函数y＝ax2﹣4ax+3a＝a（x﹣2）2﹣a
∴抛物线的对称轴是直线x＝2，
∵1≤x≤4，
∴当a＞0时，抛物线开口向上，在对称轴直线x＝2右侧y随x的增大而增大，
当x＝4时y有最大值，
a×（4﹣2）2﹣a＝4，解得a＝ ，
当a＜0时，抛物线开口向下，x＝2时y有最大值，a×（2﹣2）2﹣a＝4，解得a＝﹣4．
故答案为（1）﹣1；（2） ．
【考察注意点】本题考查了二次函数的最值问题，解题的关键是熟练掌握最值的计算公式．
三．解答题
16．（2022春•涪陵区校级期中）已知，如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝7，菱形EFGH的三个顶点
E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，连接CF．
（1）若DG＝2，求证四边形EFGH为正方形；
（2）若DG＝6，求△FCG的面积；
（3）当DG为何值时，△FCG的面积最小．
【易错思路引导】（1）由于四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为菱形，那么∠D＝∠A＝90°，HG＝
HE，而AH＝DG＝2，易证△AHE≌△DGH，从而有∠DHG＝∠HEA，等量代换可得∠AHE+∠DHG＝
90°，易证四边形HEFG为正方形；
（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，由于AB∥CD，可得∠AEG＝∠MGE，同理有
∠HEG＝∠FGE，利用等式性质有∠AEH＝∠MGF，再结合∠A＝∠M＝90°，HE＝FG，可证
△AHE≌△MFG，从而有FM＝HA＝2（即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定
值2），进而可求三角形面积；
（3）先设DG＝x，由第（2）小题得，S ＝7﹣x，在△AHE中，AE≤AB＝7，利用勾股定理可得
FCG
△
HE2≤53，在Rt DHG中，再利用勾股定理可得x2+16≤53，进而可求x≤ ，从而可得当x＝ 时，
△GCF的面积最△小．
【规范解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为菱形，
∴∠D＝∠A＝90°，HG＝HE，又AH＝DG＝2，
∴Rt AHE≌Rt DGH（HL），
∴∠△DHG＝∠H△EA，
∵∠AHE+∠HEA＝90°，
∴∠AHE+∠DHG＝90°，∴∠EHG＝90°，
∴四边形HEFG为正方形；
（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，
∵AB∥CD，
∴∠AEG＝∠MGE，
∵HE∥GF，
∴∠HEG＝∠FGE，
∴∠AEH＝∠MGF，
在△AHE和△MFG中，∠A＝∠M＝90°，HE＝FG，
∴△AHE≌△MFG，
∴FM＝HA＝2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2，
因此S ＝ ＝ ＝1；
FCG
△
（3）设DG＝x，则由第（2）小题得，S ＝7﹣x，在△AHE中，AE≤AB＝7，
FCG
△
∴HE2≤53，
∴x2+16≤53，
∴x≤ ，
∴S 的最小值为 ，此时DG＝ ，
FCG
△
∴当DG＝ 时，△FCG的面积最小为（7﹣ ）．
【考察注意点】本题考查了矩形、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是作
辅助线：过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，构造全等三角形和内错角．
17．（2022•宿豫区校级开学）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝
OC．点D、E为直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方．当四边形ACDE的周长最小
时，求点E的坐标．【易错思路引导】在y轴上取点F，使CF＝DE＝1，连接BF，交直线x＝1于点E，所以AE+CD的最小
值为BF，则四边形ACDE的周长最小值为：AC+DE+BF，可得直线BF：y＝﹣ x+2，令x＝1，则y＝
，即求得E的坐标（1， ）．
【规范解答】解：在y轴上取点F，使CF＝DE＝1，连接BF，交直线x＝1于点E，
∴四边形CFED为平行四边形，
∴EF＝CD，
∵C（0，3），
∴F（0，2）
∴OF＝2，
∴C（0，3），OB＝OC．
∴OB＝3，B（3，0），
∵A（﹣1，0），
∴直线x＝1为抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴，
∴EA＝EB，
∴AE+CD＝BE+EF≥BF，
∴AE+CD的最小值为BF，
∴四边形ACDE的周长最小值为：AC+DE+BF，
∵F（0，2），B（3，0），
∴直线BF：y＝﹣ x+2，
令x＝1，则y＝∴E的坐标（1， ）．
【考察注意点】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图象面积计算、点的对称性等，通
过确定点F点来求最小值，是本题的难点．
18．（2022春•雁塔区校级期末）已知，如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，菱形EFGH的三个顶点
E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，连接CF．
（1）若DG＝2，则四边形EFGH的形状为 正方形 ．
（2）若DG＝5，求△FCG的面积．
（3）当DG为何值时，△FCG的面积最小，并求这个最小值．
【易错思路引导】（1）证明Rt AHE≌Rt DGH （HL），推导出∠EHG＝90°，从而证明出四边形
HEFG为正方形； △ △
（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，证明△AHE≌△MFG（AAS），得到△FCG的高
FM＝HA＝2，根据三角形面积公式即可得出答案；
（3）设DG＝x，由（2）得：S ＝ ×FM×GC＝ ×2×GC＝8﹣x，根据勾股定理求出x的最大值即可
FCG
△
得出答案．
【规范解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为菱形，
∴∠D＝∠A＝90°，HG＝HE，
又∵AH＝DG＝2，
∴Rt AHE≌Rt DGH （HL），
△ △∴∠DHG＝∠HEA，
∵∠AHE+∠HEA＝90°，
∴∠AHE+∠DHG＝90°，
∴∠EHG＝90°，
∴四边形HEFG为正方形；
故答案为：正方形；
（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，
∵AB∥CD，
∴∠AEG＝∠MGE，
∵HE∥GF，
∴∠HEG＝∠FGE，
∴∠AEH＝∠MGF，
在△AHE和△MFG中，
∵∠A＝∠M＝90°，∠AEH＝∠MGF，HE＝FG，
∴△AHE≌△MFG（AAS），
∴FM＝HA＝2，
即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2，
因此S ＝ ×FM×GC
FCG
△
＝ ×2×（8﹣5）
＝3；
（3）设DG＝x，
由（2）得：S ＝ ×FM×GC
FCG
△
＝ ×2×GC
＝8﹣x，
在Rt AHE中，
AE≤A△B＝8，
HE2＝AH2+AE2≤22+82＝68，
∴HG2＝DH2+DG2＝（6﹣2）2+x2≤68，∴x≤2 ，
∴当DG＝2 时，△FCG的面积最小，最小值为8﹣2 ．
【考察注意点】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，解题的关键是作辅助线：过 F作FM⊥DC，交
DC延长线于M，连接GE，构造全等三角形．
19．（2022春•宣州区校级期中）如图，在Rt ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝10cm，点P从点A开
始沿AB边向点B移动，速度为1cm/s；点△Q从点B开始沿BC边向点C移动，速度为2cm/s，点P、Q
分别从点A、B同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．
（1）几秒时，PQ的长度为3 cm？
（2）几秒时，△PBQ的面积为8cm2？
（3）当t（0＜t＜5）为何值时，四边形APQC的面积最小？并求这个最小值．
【易错思路引导】（1）设运动时间为t秒，分别用t的代数式表示出线段PB，BQ的长度，利用勾股定
理列出方程即可求解；
（2）利用（1）中的方法，利用三角形的面积公式列出方程即可求解；
（3）利用（1）中的方法求得四边形APQC的面积，利用二次函数的性质即可求解．
【规范解答】解：设运动时间为t秒时，PQ的长度为3 cm，
依题意得：AP＝tcm，BQ＝2tcm，
∴PB＝（6﹣t）cm．
∴∠B＝90°，
∴PB2+BQ2＝PQ，
∴ ，解得：t＝3或﹣ （负数不合题意，舍去）．
∴t＝3．
∴3秒时，PQ的长度为3 cm；
（2）设运动时间为t秒时，△PBQ的面积为8cm2，
依题意得：AP＝tcm，BQ＝2tcm，0≤t≤5，
∴PB＝（6﹣t）cm．
∵△PBQ的面积为8cm2，
∴ ×（6﹣t）×2t＝8．
解得：t＝2或4．
∴2或4秒时，△PBQ的面积为8cm2．
（3）四边形APQC的面积
＝S ﹣S
ABC PBQ
△ △
＝ ×AB•BC﹣ ×BQ•PB
＝ ×6×10﹣ ×（6﹣t）×2t
＝t2﹣6t+30
＝（t﹣3）2+21，
∴当t＝3时，四边形APQC的面积最小，最小值为21．
【考察注意点】本题主要考查了勾股定理，二次函数的极值，一元二次方程分应用，本题是动点问题，
利用t代数式表示出相应线段的长度是解题的关键．
20．（2022•香洲区一模）如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝8cm，点D是AB中点，连
接CD，动点P从点C出发以 cm△/s的速度向终点D运动．过点P作PE⊥BC于E，以PE、PD为邻边
作平行四边形PDFE．设点P的运动时间为t（s），平行四边形PDFE的面积为S（cm2）．
（1）求CD的长；
（2）求S关于t的函数解析式，并求出S的最大值．【易错思路引导】（1）先根据勾股定理求出斜边AB的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的
一半求出CD的长；
（2）延长DF交BC于点G，先求出DG和CG的长，再证明△CPE∽△CDG，根据相似三角形的对应
边成比例求出用含t的代数式表示PE和CE的式子，再求出S关于t的函数解析式．
【规范解答】解：（1）Rt ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝8cm，
△
∴AB＝ ＝4 （cm），
∵点D是AB中点，
∴CD＝ AB＝2 cm；
（2）如图，延长DF交BC于点G，
∵PE⊥BC，AC⊥BC，
∴PE∥AC，
∵四边形PDFE是平行四边形，
∴PE∥DG，
∴DG∥AC，
∴△BDG∽△BAC，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴DG＝ AC＝2，BG＝ BC＝4，
∴CG＝8﹣4＝4，∵△CPE∽△CDG，
∴ ＝ ＝ ，
∴PE＝ × t＝t，CE＝ × t＝2t，
∴S＝t（4﹣2t）＝﹣2t2+4t＝﹣2（t﹣1）2+2，
∴S与t的关系式为S＝﹣2t2+4t，S的最大值是2．
【考察注意点】本题考查二次函数的应用，熟练掌握相似三角形的性质得到二次函数关系式是解题关键
