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专题 11 切线定理（综合题）
知识互联网
易错点拨
知识点1：切线的判定定理和性质定理
1．切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
细节剖析:
切线的判定方法：
（1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；
（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一
是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）.
2．切线的性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径.
细节剖析:
切线的性质：（1）切线和圆只有一个公共点；
（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；
（3）切线垂直于过切点的半径；
（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
（5）经过切点垂直于切线的直线必过 圆心 .
知识点2：切线长定理
1．切线长：
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
细节剖析:
切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段.
2．切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
细节剖析:
切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.
3．圆外切四边形的性质：
圆外切四边形的两组对边之和相等.
知识点3：三角形的内切圆
1．三角形的内切圆：
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2．三角形的内心：
三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
细节剖析:
(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的
一半，即 (S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).
(3) 三角形的外心与内心的区别：
名称 确定方法 图形 性质外心(三角形外 三角形三边中垂线的 (1)OA=OB=OC；(2)外心不一
接圆的圆心) 交点 定在三角形内部
内心(三角形内 三角形三条角平分线 (1)到三角形三边距离相等；
切圆的圆心) 的交点 (2)OA、OB、OC分别平分
∠BAC、∠ABC、∠ACB；
(3)内心在三角形内部.
易错题专训
一．选择题
1．（2022•吉林一模）如图，△ABC内接于⊙O，AC为⊙O直径，过点B的切线交CA的延长线于点P．若
∠P＝32°，则∠ACB的度数是（ ）
A．29° B．30° C．31° D．32°
【易错思路引导】连接OB，根据切线的性质可得∠OBP＝90°，再根据直角三角形的两个锐角互余可得
∠AOB＝58°，然后利用圆周角定理进行计算即可解答．
【规范解答】解：连接OB，
∵PB与⊙O相切于点B，
∴∠OBP＝90°，
∵∠P＝32°，
∴∠AOB＝90°﹣∠P＝58°，
∴∠ACB＝ ∠AOB＝29°，
故选：A．【考察注意点】本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，熟练掌握切线的性质，
以及圆周角定理是解题的关键．
2．（2017秋•昆明期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，⊙A半径为3，且点A的坐标为（5，0），
将⊙A沿x轴的负方向平移，使⊙A与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A．2 B．5 C．8 D．2或8
【易错思路引导】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可．
【规范解答】解：当⊙A位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为2；
当⊙A位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为8．
故选：D．
【考察注意点】本题考查了切线的判定与性质，坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是了解当圆与直线
相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．
3．（2022春•沙坪坝区校级期中）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，D是⊙O上一点，
连接BD，CD，∠BDC＝30°，延长AB至点F，使得BF＝ AB，连接OF，过点B作BG⊥OF于点G，BG＝
2，则OC的长为（ ）
A． B． C． D．2【易错思路引导】连接OB，由切线的性质得出∠OBF＝∠OBA＝90，设OB＝x，则AB＝ x，由锐角三
角函数的定义得出 ，解得x＝ ，则可得出答案．
【规范解答】解：连接OB，
∵∠BDC＝30°，
∴∠BOC＝2∠BDC＝60°，
∵AB为⊙O的切线，
∴AF⊥OB，
∴∠OBF＝∠OBA＝90，
设OB＝x，则AB＝ x，
∵BF＝ AB，
∵BF＝ x，
∵BG＝2，
∴OG＝ ＝ ，
∵∠FBG+∠GBO＝90°，∠GBO+∠BOG＝90°，
∴∠FBG＝∠BOG，
∴cos∠FBG＝cos∠BOG，
∴ ，
∴ ，解得x＝ ，
∴OB＝OC＝ ，
故选：A．
【考察注意点】本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌
握切线的性质是解题的关键．
4．（2022•鼓楼区校级模拟）如图，AD是⊙O的直径，PA，PB分别切⊙O于点A，B，若∠BCD＝α，则∠P
的度数是（ ）
A．90°﹣2α B．90°﹣α C．45° D．2α
【易错思路引导】连接OB，利用圆周角定理可得∠BOD＝2α，然后利用切线的性质可得∠OAP＝∠OBP
＝90°，从而利用四边形内角和可得∠P+∠AOB＝180°，最后利用同角的补角相等即可解答．
【规范解答】解：连接OB，
∵∠BCD＝α，
∴∠BOD＝2∠BCD＝2α，
∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠P+∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP＝180°，
∵∠AOB+∠BOD＝180°，
∴∠P＝∠BOC＝2α，
故选：D．
【考察注意点】本题考查了切线的性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助
线是解题的关键．5．（2022•德阳）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点
G，则下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝60°，则∠BEC＝120°；③若点G为BC的中点，则
∠BGD＝90°；④BD＝DE．其中一定正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【易错思路引导】利用三角形内心的性质得到∠BAD＝∠CAD，则可对①进行判断；直接利用三角形内心
的性质对②进行判断；根据垂径定理则可对③进行判断；通过证明∠DEB＝∠DBE得到DB＝DE，则可对
④进行判断．
【规范解答】解：∵E是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，故①正确；
如图，连接BE，CE，
∵E是△ABC的内心，
∴∠EBC＝ ∠ABC，∠ECB＝ ACB，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠ECB＝180°﹣ （∠ABC+∠ACB）＝120°，故②正确；∵∠BAD＝∠CAD，
∴ ＝ ，
∴OD⊥BC，
∵点G为BC的中点，
∴G一定在OD上，
∴∠BGD＝90°，故③正确；
如图，连接BE，
∴BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠DBC＝∠DAC＝∠BAD，
∴∠DBC+∠EBC＝∠EBA+∠EAB，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DB＝DE，故④正确．
∴一定正确的①②③④，共4个．
故选：D．
【考察注意点】本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解决本题的
关键是掌握三角形的内心与外心．
6．（2022•临沭县二模）如图，在平面直角坐标系中，以M（2，3）为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，
与y轴交于A，C两点，则AC的长为（ ）
A．4 B． C． D．6
【易错思路引导】设⊙M与x轴相切于点D，连接MD，过点M作ME⊥AC，垂足为E，根据垂径定理可得AC＝2AE，再利用切线的性质可得∠MDO＝90°，然后根据点M的坐标可得ME＝2，MA＝MD＝3，最后在
Rt△AEM中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【规范解答】解：设⊙M与x轴相切于点D，连接MD，过点M作ME⊥AC，垂足为E，
∴AC＝2AE，
∵⊙M与x轴相切于点D，
∴∠MDO＝90°，
∵M（2，3），
∴ME＝2，MD＝3，
∴MA＝MD＝3，
在Rt△AEM中，AE＝ ＝ ＝ ，
∴AC＝2AE＝2 ，
故选：B．
【考察注意点】本题考查了切线的性质，垂径定理，坐标与图形的性质，根据题目的已知条件并结合图
形添加适当的辅助线是解题的关键．
二．填空题
7．（2022•南关区校级模拟）如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋
转得到△O′A′B，使点O'落在圆O上，边A′B交线段AO于点C．若∠A＝15°，⊙O的半径长为2，则
BC的长为 2 ．
【易错思路引导】连接OO′，根据旋转可得△BOO'为等边三角形，进而可求出∠A'BO，再利用∠A＝
15°，可证明△BCO是等腰三角形，得到答案．
【规范解答】解：如图，连接OO′，由题意得：BO＝OO'＝BO'，
∴△BOO'为等边三角形，
∴∠OBO'＝60°，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠ABO＝90°，
∴∠A'BO'＝90°，
∴∠A'BO＝∠A'BO'﹣∠OBO'＝30°，
∵∠A＝15°
∴∠AOB＝90°﹣∠A＝75°，
∴∠BCO＝180°﹣∠AOB﹣∠A'BO＝75°，
∴BC＝BO＝2，
故答案为：2．
【考察注意点】本题考查的是切线的性质、旋转变换的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解
题的关键．
8．（2022•香坊区校级开学）如图，在⊙O中，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，连接PO，若PA＝ ，
∠APB＝60°，则线段PO的长为 2 ．
【易错思路引导】连接OA，根据切线长定理得到∠APO＝ ∠APB＝30°，根据切线的性质得到
OA⊥PA，根据余弦的定义计算，得到答案．
【规范解答】解：连接OA，
∵PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，
∴OA⊥PA，∠APO＝ ∠APB＝30°，在Rt△PAO中，cos∠APO＝ ，
∴OP＝ ＝ ＝2，
故答案为：2．
【考察注意点】本题考查的是切线的性质、切线长定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的
关键．
9．（2022•南岗区三模）如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的切线，连接AD，若AD经过圆心O，且∠D＝
50°，则∠C的大小为 7 0 度．
【易错思路引导】连接OB，如图，根据切线的性质得到∠OBD＝90°，再利用三角形外角性质计算出
∠AOC＝140°，然后根据圆周角定理计算∠C的度数．
【规范解答】解：连接OB，如图，
∵BD为⊙O的切线，
∴OB⊥BD，
∴∠OBD＝90°，
∵∠AOC＝∠OBD+∠D＝90°+50°＝140°，
∴∠C＝ ∠AOC＝ ×140°＝70°．
故答案为：70．【考察注意点】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
10．（2022•老河口市模拟）PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是⊙O上不与A，B重合的一点，若
∠APB＝70°，则∠ACB的度数为 55° 或 125° ．
【易错思路引导】根据切线的性质得到∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，再根据四边形内角和得到∠AOB＝
110°，然后根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求∠ACB的度数．
【规范解答】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，
∵∠APB＝70°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，
当点C在劣弧AB上，则∠ACB＝ ∠AOB＝55°，
当点C′在优弧AB上，则∠AC′B＝180°﹣55°＝125°．
则∠ACB的度数为55°或125°．
故答案为：55°或125°．
【考察注意点】本题切线的性质，圆周角定理和圆内接四边形的性质，解决本题的关键是掌握切线的性
质．
11．（2021•鹤峰县模拟）已知正方形ABCD边长为2，DE与以AB的中点为圆心的圆相切交BC于点E，求三
角形DEC的面积 1. 5 ．【易错思路引导】根据已知可得DA与圆O相切于点A，EB与圆O相切于点B，设DE与圆O相切于点F，
利用切线长定理可得DA＝DF＝2，EB＝EF，然后设EB＝EF＝x，表示出DE，CE的长，最后在Rt△DEC中
利用勾股定理进行计算即可解答．
【规范解答】解：设∴DE与圆O相切于点F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OAD＝∠OBC＝∠C＝90°，AB＝BC＝AD＝CD＝2，
∵OA、OB是圆O的半径，
∴DA与圆O相切于点A，EB与圆O相切于点B，
∵DE与圆O相切于点F，
∴DA＝DF＝2，EB＝EF，
设EB＝EF＝x，
则EC＝BC﹣EB＝2﹣x，DE＝DF+EF＝2+x，
在Rt△DEC中，DC2+CE2＝DE2，
∴22+（2﹣x）2＝（2+x）2，
解得：x＝ ，
∴EC＝BC﹣EB＝2﹣x＝ ，
∴三角形DEC的面积＝ EC•DC
＝ × ×2
＝1.5，故答案为：1.5．
【考察注意点】本题考查了切线的性质，正方形的性质，熟练掌握切线长定理是解题的关键．
12．（2020秋•亭湖区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为4，M为AB的中点，P是BC边上的动点，连
接PM，以点P为圆心，PM长为半径作圆P，当圆P与正方形ABCD的边相切时，CP的长为 2.5 或 4 ﹣ 2
．
【易错思路引导】分两种情形分别求解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时；如图2中当⊙P与直线AD
相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．
【规范解答】解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC＝PM＝x．
在Rt△PBM中，∵PM2＝BM2+PB2，
∴x2＝22+（4﹣x）2，
∴x＝2.5，
∴CP＝2.5；
如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．∴PM＝PK＝CD＝2BM，
∴BM＝2，PM＝4，
在Rt△PBM中，PB＝ ＝2 ，
∴CP＝BC﹣PB＝4﹣2 ．
综上所述，CP的长为2.5或4﹣2 ．
故答案是：2.5或4﹣2 ．
【考察注意点】本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论
的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
13．（2021秋•广丰区期末）已知点M（2.0），⊙M的半径为1，OA切⊙M于点A，点P为⊙M上的动点，
当P的坐标为 （ 1 ， 0 ），（ 3 ， 0 ）（ ， ） 时，△POA是等腰三角形．
【易错思路引导】根据题意画出图形分三种情况讨论：当点P在x轴上，PA＝PO＝1，OA＝OP″＝3，当
点P是切点时，AO＝AP＝ ，进而可以解决问题．
【规范解答】解：如图，当P的坐标为（1，0），（3，0），（ ， ）时，△POA是等腰三角形．
理由如下：连接AM，
∵M（2.0），⊙M的半径为1，
∴OM＝2，AM＝PM＝1，
∴OP＝1，
∵OA切⊙M于点A，
∴∠MAO＝90°，
∴∠AOM＝30°，
∴∠AMO＝60°，
∴PA＝AM＝PM＝1，
∴OP＝PA＝1，
∴P（1，0）；
当OA＝OP′时，连接AP′交x轴于点H，
∵OA切⊙M于点A，
∴OP′切⊙M于点P′，
∴∠P′OM＝∠AOM＝30°，
∴∠AOP′＝60°，
∴△AOP′是等边三角形，
∴AP′＝OA＝ ＝ ＝ ，
∴OH＝ OA＝ ，P′H＝ AP′＝ ，
∴P′（ ， ）；
∵MA＝MP″，∠AMO＝60°，
∴∠MAP″＝∠MP″A＝30°，
∴∠AOP″＝∠MP″A＝30°，
∴OA＝OP″，
∴P″（3，0）．综上所述：当P的坐标为（1，0），（3，0），（ ， ）时，△POA是等腰三角形．
故答案为：（1，0），（3，0），（ ， ）．
【考察注意点】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性
质，坐标与图形性质，解决本题的关键是得到△AOP′是等边三角形．
14．（2021•宁波模拟）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，BD是腰AC上的高，点O是线段BD上一
动点，当半径为 的⊙O与△ABC的一边相切时，OB的长为 或 ．
【易错思路引导】作AH⊥BC于点H，根据等腰三角形的性质可得HC的长，再利用三角函数可得DC，根
据勾股定理得到BD的长，根据半径为 的⊙O与△ABC的一边相切，分三种情况讨论根据相似三角形的
性质求解即可得到结论．
【规范解答】解：如图，作AH⊥BC于点H，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴HC＝3，
∵∠AHC＝90°，AC＝5，
∴cosC＝ ＝ ＝ ，
∴DC＝ ，
∴BD＝ ＝ ，①⊙O与AC相切时，切点为D，
∵半径为 ，
∴OD＝ ，
∵BD＝ ，
∴OB＝BD﹣OD＝ ﹣ ＝ ；
②⊙O与BC相切时，切点为M，
∴OM⊥BC，
∴∠BMO＝∠BDC＝90°，
∵∠MBO＝∠DBC，
∴△MBO∽△DBC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴BO＝ ；
③⊙O与AB相切时，切点为N，
∴ON⊥AB，
∴∠BNO＝∠BDA＝90°，
∵∠NBO＝∠DBA，
∴△NBO∽△DBA，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴BO＝ ．当圆O与AB相切时，OB的长为 ，
∵BD＝ ，
∵ ＞ ，
也就是说，圆O与AB相切，是圆心O在线段BD外即在直线BD上的时候，不符合题意，
故答案只有两种情况，即圆O与AC，AB相切时．
综上所述，AP的长为 或 ．
故答案为： 或 ．
【考察注意点】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练正确切线的
性质是解题的关键．
三．解答题
15．（2022•长清区二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，其切线AE与直径BD的延长线相交于点E，且
∠ACB＝60°．
（1）求证：AE＝AB；
（2）若DE＝2，求⊙O的半径．
【易错思路引导】（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOB＝120°，从而利用等腰三角形的性质可得
∠OBA＝∠OAB＝30°，然后根据切线的性质可得∠OAE＝90°，从而利用三角形的外角可求出∠E＝
30°，最后根据等腰三角形的判定即可解答；（2）设⊙O的半径为r，然后根据含30度角的直角三角形可得OE＝2OA，进行计算即可解答．
【规范解答】（1）证明：连接OA，
∵∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝30°，
∵AE与⊙O相切于点A，
∴∠OAE＝90°，
∴∠E＝∠AOB﹣∠OAE＝30°，
∴∠E＝∠OBA＝30°，
∴AB＝AE；
（2）设⊙O的半径为r，
∵∠OAE＝90°，∠E＝30°，
∴OE＝2OA，
∵DE＝2，
∴2+r＝2r，
∴r＝2，
∴⊙O的半径为2．
【考察注意点】本题考查了切线的性质，含30度角的直角三角形，三角形的外接圆与外心，熟练掌握
切线的性质，以及含30度角的直角三角形是解题的关键．
16．（2022•内黄县二模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，以AB为直径作⊙O，交AC于
点D，过点D作⊙O的切线DM交BC于点M．
（1）求证：CM＝BM．
（2）若AD＝2 ，P为AB上一点，当PM+PD为最小值时，求AP的长．【易错思路引导】（1）连接OD，OM，先利用圆周角定理求出∠DOB＝60°，再利用切线的性质可得
∠ODM＝90°，然后利用HL证明Rt△ODM≌Rt△OBM，从而利用全等三角形的性质可得∠DOM＝∠BOM＝
30°，进而可得AC∥OM，即可解答；
（2）连接DB，过点D作DE⊥AB，垂足为E，并延长交⊙O于点D′，连接D′M交AB于点P，连接DP，
此时PM+PD的值最小，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，从而在Rt△ADB中，求出DB，
AB的长，再在Rt△ABC中，求出BC的长，从而求出BM的长，然后证明△DOB是等边三角形，再利用等
腰三角形的三线合一性质求出 OE的长，从而求出 DE的长，最后证明 8 字模型相似三角形
△MBP∽△D′EP，利用相似三角形的性质求出BP的长，进行计算即可解答．
【规范解答】（1）证明：连接OD，OM，
∵∠BAC＝30°，
∴∠DOB＝2∠A＝60°，
∵DM与⊙O相切于点D，
∴∠ODM＝90°，
∵∠ABC＝90°，OD＝OB，OM＝OM，
∴Rt△ODM≌Rt△OBM（HL），
∴∠DOM＝∠BOM＝ ∠DOB＝30°，
∴∠A＝∠BOM，
∴AC∥OM，
∵OA＝OB，
∴BM＝CM；
（2）连接DB，过点D作DE⊥AB，垂足为E，并延长交⊙O于点D′，
则DE＝D′E，
∴点D与点D′关于AB对称，
连接D′M交AB于点P，连接DP，此时PM+PD的值最小，∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AD＝2 ，∠DAB＝30°，
∴BD＝AD•tan30°＝2 × ＝2，
∴AB＝2BD＝4，
∴OA＝OB＝OD＝ AB＝2，
在Rt△ABC中，BC＝AB•tan30°＝4× ＝ ，
∴CM＝BM＝ BC＝ ，
∵∠DOB＝60°，
∴△DOB是等边三角形，
∵DE⊥OB，
∴OE＝EB＝ OB＝1，
∴DE＝ OE＝ ，
∴DE＝D′E＝ ，
∵∠D′EP＝∠CBP＝90°，∠MPB＝∠EPD′，
∴△MBP∽△D′EP，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴BP＝ ，
∴AP＝AB﹣BP＝ ，
∴AP的长为 ．【考察注意点】本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，轴对称﹣最短路线问题，含 30度角
的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
17．（2022•衡阳）如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作
OE∥AD交CD于点E，连接BE．
（1）直线BE与⊙O相切吗？并说明理由；
（2）若CA＝2，CD＝4，求DE的长．
【易错思路引导】（1）连接OD，理由切线的性质可得∠ODE＝90°，然后利用平行线和等腰三角形的
性质可得OE平分∠DOB，从而可得∠DOE＝∠EOB，进而可证△DOE≌△BOE，最后利用全等三角形的性质
即可解答；
（2）设⊙O的半径为r，先在Rt△ODC中，利用勾股定理求出r的长，再利用（1）的结论可得DE＝
BE，最后在Rt△BCE中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【规范解答】解：（1）直线BE与⊙O相切，
理由：连接OD，∵CD与⊙O相切于点D，
∴∠ODE＝90°，
∵AD∥OE，
∴∠ADO＝∠DOE，∠DAO＝∠EOB，
∵OD＝OA，
∴∠ADO＝∠DAO，
∴∠DOE＝∠EOB，
∵OD＝OB，OE＝OE，
∴△DOE≌△BOE（SAS），
∴∠OBE＝∠ODE＝90°，
∵OB是⊙O的半径，
∴直线BE与⊙O相切；
（2）设⊙O的半径为r，
在Rt△ODC中，OD2+DC2＝OC2，
∴r2+42＝（r+2）2，
∴r＝3，
∴AB＝2r＝6，
∴BC＝AC+AB＝2+6＝8，
由（1）得：△DOE≌△BOE，
∴DE＝BE，
在Rt△BCE中，BC2+BE2＝CE2，
∴82+BE2＝（4+DE）2，
∴64+DE2＝（4+DE）2，
∴DE＝6，
∴DE的长为6．【考察注意点】本题考查了切线的判定与性质，直线与圆的位置关系，全等三角形的判定与性质，勾股
定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及勾股定理是解题的关键．
18．（2022•津南区一模）已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O直径，弦CD与AB相交于点E，∠BAC＝36°．
（Ⅰ）如图①，若CD平分∠ACB，连接BD，求∠ABC和∠CBD的大小；
（Ⅱ）如图②，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若AE＝AC，求∠P的大小．
【易错思路引导】（Ⅰ）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，再利用角平分线的定义可得
∠ACD＝∠DCB＝45°，从而求出∠ABC的度数，然后根据同弧所对的圆周角相等可得∠A＝∠D＝36°，
最后利用三角形的内角和定理进行计算即可解答；
（Ⅱ）连接OC，OD，根据切线的性质可得∠ODP＝90°，再利用等腰三角形的性质可得∠BAC＝∠OCA＝
36°，∠ACB＝∠ABC＝72°，从而求出∠OCD的度数，然后再根据OD＝OC，求出∠ODC的度数，最后利
用三角形的外角求出∠DOC的度数，从而求出∠P的度数．
【规范解答】解：（Ⅰ）∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB＝ ∠ACB＝45°，
∵∠BAC＝36°，∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝54°，
∵∠A＝∠D＝36°，
∴∠CBD＝180°﹣∠D﹣∠DCB＝99°，
∴∠ABC的度数为54°，∠CBD的度数为99°；
（Ⅱ）连接OC，OD，
∵DP与⊙O相切于点D，
∴∠ODP＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠OCA＝36°，
∵AE＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ACB＝∠ABC＝72°，
∴∠OCD＝∠ACE﹣∠OCA＝36°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD＝36°，
∴∠DOE＝∠AEC﹣∠ODC＝36°，
∴∠P＝90°﹣∠DOE＝54°，
∴∠P的度数为54°．
【考察注意点】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，根
据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
19．（2022•佛山模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经
过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若∠OFA＝60°，半径为4，在圆O上取点P，使∠PDE＝15°，求点P到直线DE的距离．【易错思路引导】（1）连接OD，利用角平分线的定义，同圆的半径相等，平行线的判定与性质和切线
的判定定理解答即可；
（2）利用分类讨论的思想方法分：①当点P在 上时，PH的长为点P到直线DE的距离，②当点P在
上时两种情形解答：①连接OD，OP，过点O作OM⊥DE于点M，过点P作PN⊥OM于点N，利用等边三
角形的判定与性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系定理求得MN．即可得出结论；②连接OP，交
DE于点H，则PH的长为点P到直线DE的距离，利用等腰三角形的性质和直角三角形的边角关系定理解
答即可．
【规范解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵AD平分∠BAC交BC于点D，
∴∠OAD＝∠CAD．
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∴∠ODC+∠C＝180°．
∵∠C＝90°，
∴∠ODC＝90°，
∴OD⊥BC，
∵OD是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；
（2）解：①当点P在 上时，PH的长为点P到直线DE的距离，
连接OD，OP，过点O作OM⊥DE于点M，过点P作PN⊥OM于点N，如图，
∵OA＝OF，
∴∠OAF＝∠OFA＝60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC＝30°，
∴∠EOD＝60°，
∵OE＝OD，
∴△ODE是等边三角形，
∴DE＝OE＝4．
∵OM⊥DE，
∴DM＝EM＝2，∠EOM＝ ∠EOD＝30°，
∴OM＝2 ．
∵∠PDE＝15°，
∴∠POE＝30°，
∴∠POM＝∠POE+∠EOM＝60°．
∵PN⊥OM，
∴ON＝OP•cos60°＝2，
∴MN＝OM﹣ON＝2 ﹣2．
∵PH⊥DE，OM⊥DE，PN⊥OM，
∴四边形PHMN为矩形，
∴PH＝MN＝2 ﹣2．
∴点P到直线DE的距离为2 ﹣2；②当点P在 上时，
连接OP，交DE于点H，如图，
∵∠EOP＝2∠PDE，∠PDE＝15°，
∴∠EOP＝30°．
由①知：∠EOD＝60°，
∴∠EOP＝ ∠EOD，
即OP为∠EOD的平分线，
∵OE＝OD，
∴OH⊥DE，
∴PH的长为点P到直线DE的距离，
∵OH＝OD•cos30°＝2 ，
∴PH＝OP﹣OH＝4﹣2 ．
综上，若∠PDE＝15°，则点P到直线DE的距离为2 ﹣2或4﹣2 ．
【考察注意点】本题主要考查了圆的切线的判定与性质，圆周角定理，平行线的判定与性质，角平分线
的定义，等边三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，直角三角形的边角关系定理，矩形的判定与
性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．
20．（2022•西青区二模）已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，C为⊙O上一点，连接AC，BC．
（Ⅰ）如图①，若∠APB＝70°，求∠ACB的大小；
（Ⅱ）如图②，AE为⊙O的直径交BC于点D，若四边形PACB是平行四边形，求∠EAC的大小．【易错思路引导】（Ⅰ）连接OA、OB，由PA，PB是⊙O的切线得∠OAP＝∠OBP＝90°，而∠APB＝
70°，根据四边形的内角和等于360°可以求出∠AOB＝110°，再根据圆周角定理即可解决问题；
（Ⅱ）连接CE，由AE为⊙O的直径得∠ACE＝90°，然后根据圆周角定理、三角形内角和定理即可解决
问题．
【规范解答】解：（Ⅰ）如图①，连接OA、OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠APB＝70°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，
∴∠ACB＝ ∠AOB＝55°，
∴∠ACB的大小为55°；
（Ⅱ）连接CE，AB，OB，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ACE＝90°，
∵四边形PACB是平行四边形，
∴∠ACB＝∠P，
∴∠BCE＝90°﹣∠P，
∴∠BAE＝∠BCE＝90°﹣∠P，
∵∠AOB＝180°﹣∠P，∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠ABO＝ （180°﹣∠AOB）＝ ∠P，
∴∠ACE＝∠ACB+∠BCE＝∠P+ ∠P＝90°，
∴∠P＝60°，
∴∠ACB＝60°，∠BAE＝∠BCE＝30°，
∵AC∥PB，
∴ ＝ ，
∴∠EAC＝30°．
【考察注意点】本题考查圆的切线的性质定理、四边形的内角和等于360°、圆周角定理、三角形内角
和定理及其推论等知识，根据切线的性质定理求得∠OAP＝∠OBP＝90°是解题的关键
