文档内容
2022-2023 学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练
（人教版）
24.1.1 圆
题型导航
题型1
圆的基本概念
题型2
求圆中弦的条数
题型3
求过圆内一点最长的弦
圆
题型4
圆的周长和面积的问题
题型5
求一点到圆上点距离的最值
题型变式
【题型1】圆的基本概念
1．（2022·河北唐山·三模）在平面内与点 的距离为1cm的点的个数为（ ）
A．无数个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【解析】
【分析】
根据在平面内到定点的距离等于定长的点组成的图形为圆进行求解即可．
【详解】
解：∵在平面内与点 的距离为1cm的点在以P为圆心，以1cm长为半径的圆上，
∴在平面内与点 的距离为1cm的点的个数为无数个，故选：A．
【点睛】
本题主要考查了圆的定义，熟知圆的定义是解题的关键．
【变式1-1】
2．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在Rt ABC中，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交
AC于点E，∠BCD＝40°，则∠A＝__． △
【答案】20°##20度
【解析】
【分析】
由圆的性质得CB＝CD，由等边对等角得∠B＝∠CDB，利用三角形内角和定理求出∠B，再利用直角三角
形两个锐角互余即可求出∠A．
【详解】
解：∵CB＝CD，
∴∠B＝∠CDB，
∵∠B+∠CDB+∠BCD＝180°，
∴∠B （180°－∠BCD） （180°－40°）＝70°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°－∠B＝20°．
故答案为20°．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理，等腰三角形的性质及圆的基本知识，利用圆的知识得出CB＝CD是解题的关
键．【题型2】求圆中弦的条数
1．（2021·全国·九年级专题练习）如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，
则图中的弦有( )
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【答案】B
【解析】
【分析】
根据弦的定义进行分析，从而得到答案．
【详解】
解：图中的弦有AB，BC，CE共三条，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了弦的定义，熟知定义是解题的关键：连接圆上任意两点的线段叫弦．
【变式2-1】
2．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在 中，点B、O、C和点A、O、D分别在同一条直线上，则
图中有（ ）条弦．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
【分析】根据弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫弦，解答可得．
【详解】
解：图中的弦有AE、AD、CD这3条
故选B
【点睛】
本题主要考查圆的认识，解题的关键是掌握连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任
意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大
于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
【题型3】求过圆内一点最长的弦
1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，圆 的弦中最长的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据直径是圆内最长的弦，由图可知AB最长，
【详解】
解：由图可知，弦AB经过圆心O，故圆 的弦中最长的是 ．
故选： ．
【点睛】
本题主要考查了圆的认识，掌握直径是圆中最长的弦是关键．
【变式3-1】
2．（2021·山东滨州·九年级期中）已知 是半径为6的圆的一条弦，则 的长不可能是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】D【解析】
【分析】
根据半径求得直径的长，然后利用圆内最长的弦是直径作出判断即可．
【详解】
解：∵圆的半径为6，
∴直径为12，
∵AB是一条弦，
∴AB的长应该小于等于12，不可能为14，
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆的认识，解题的关键是了解圆内最长的弦是直径，难度较小．
【题型4】圆的周长和面积问题
1．（2022·江苏·九年级）如果一个圆柱的底面半径为1米，它的高为2米，那么这个圆柱的全面积为__平
方米．（结果保留π）
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用圆柱侧面积＝底面周长×高，进而得出全面积．
【详解】
解：根据圆柱的侧面积公式可得：π×2×1×2＝4π．
圆柱的两个底面积为2π，
∴圆柱的全面积为4π+2π＝6π（平方米）．
故答案为：6π
【点睛】
本题主要考查了圆柱的侧面积的计算方法，正确把握计算公式是解题关键．
【变式4-1】
2．（2022·山西临汾·二模）山西著名工艺品平遥推光漆器外观古朴雅致、闪光发亮，绘饰金碧辉煌，以手
掌推出光泽而得名．图1是平遥推光漆器的一种图案，图2是选取其某部分并且放大后的示意图．四边形ABCD是边长为2的正方形，分别以正方形的四个顶点为圆心， 对角线的长为半径画弧，四条弧相交于
点O，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意得半径为 ，阴影部分面积=圆的面积-正方形的面积，代入计算即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是边长为2的正方形
∴正方形的对角线的长为2
∴半径为
∵阴影部分面积=圆的面积-正方形的面积
∴阴影部分面积=π（ ）2-22=
故选：A．
【点睛】
本题考查了正方形的性质和圆，组合图形阴影部分面积，解题的关键是将不规则图形转化为规则图形面积
之间的关系．
【题型5】求一点到圆上点距离的最值
1．（2022·江苏·九年级）如图，点A，B的坐标分别为A（3，0）、B（0，3），点C为坐标平面内的一点，
且BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
作点A关于点O的对称点A'根据中位线的性质得到OM= ，求出A'C的最大值即可．
【详解】
解：如图，作点A关于点O的对称点A'（﹣3，0），
则点O是AA'的中点，
又∵点M是AC的中点，
∴OM是△AA'C的中位线，
∴OM= ，
∴当A'C最大时，OM最大，
∵点C为坐标平面内的一点，且BC＝2，
∴点C在以B为圆心，2为半径的⊙B上运动，
∴当A'C经过圆心B时，AC最大，即点C在图中C'位置．
A'C'＝AB+BC'＝3 ．∴OM的最大值 ．
故选：A．
【点睛】
本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是解题的关
键．
【变式5-1】
2．（2022·辽宁省本溪市教师进修学院模拟预测）如图，正方形 的边长为10，点G是边 的中点，
点E是边 上一动点，连接 ，将 沿 翻折得到 ，连接 ．当 最小时， 的长是
_____________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据动点最值问题的求解步骤：①分析所求线段端点（谁动谁定）；②动点轨迹；③最值模型（比如将军
饮马模型）；④定线段；⑤求线段长（勾股定理、相似或三角函数），结合题意求解即可得到结论．
【详解】
解：①分析所求线段 端点： 是定点、 是动点；②动点 的轨迹：正方形 的边长为10，点E
是边 上一动点，连接 ，将 沿 翻折得到 ，连接 ，则 ，因此动点轨迹
是以 为圆心， 为半径的圆周上，如图所示：③最值模型为点圆模型；④ 最小值对应的线段为 ；⑤求线段长，连接 ，如图所示：
在 中， ，正方形 的边长为10，点G是边 的中点，则 ，根据勾
股定理可得 ，
当 三点共线时， 最小为 ，
接下来，求 的长：连接 ，如图所示
根据翻折可知 ，设 ，则根据等面积法可知
，即整理得 ，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查动点最值下求线段长，涉及到动点最值问题的求解方法步骤，熟练掌握动点最值问题的相关模型
是解决问题的关键．
专项训练
一．选择题
1．（2021·全国·九年级课时练习）下列条件中，能确定圆的是（ ）
A．以已知点O为圆心 B．以1cm长为半径
C．经过已知点A，且半径为2cm D．以点O为圆心，1cm为半径
【答案】D
【解析】
【分析】
确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案．
【详解】
∵圆心确定，半径确定后就可以确定圆，
∴D选项正确，
故选D.
【点睛】
考查圆的确定，圆心确定位置，半径决定大小.
2．（2021·全国·九年级课时练习）下列命题中的假命题是（ ）
A．三点确定一个圆 B．三角形的内心到三角形各边的距离都相等
C．同圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等 D．同圆中，相等的弧所对的弦相等【答案】A
【解析】
【分析】
根据确定圆的条件，三角形内心性质，以及圆心角、弧、弦的关系，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
A、应为不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误；
B、三角形的内心到三角形各边的距离都相等，是三角形的内心的性质，故本选项正确；
C、同圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，正确；
D、同圆中，相等的弧所对的弦相等，正确．
故选A．
【点睛】
本题主要考查了确定圆的条件，一定要注意是不在同一直线上的三点确定一个圆，还考查了圆心角、弧、
弦的关系，需要熟练掌握．
3．（2022·浙江·九年级专题练习）下列说法错误的是（ ）
A．直径是圆中最长的弦 B．长度相等的两条弧是等弧
C．面积相等的两个圆是等圆 D．半径相等的两个半圆是等弧
【答案】B
【解析】
【分析】
根据直径的定义对 进行判断；根据等弧的定义对 进行判断；根据等圆的定义对 进行判断；根据半圆
和等弧的定义对 进行判断．
【详解】
解：A、直径是圆中最长的弦，所以选项的说法正确，不符合题意；
B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以选项的说法错误，符合题意；
C、面积相等的两个圆的半径相等，则它们是等圆，所以选项的说法正确，不符合题意；
D、半径相等的两个半圆是等弧，所以 选项的说法正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆的认识，解题的关键是掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等
圆、等弧等）．
4．（2021·四川自贡·中考真题）如图， ， ，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据题意得出OA=8，OC=2，再根据勾股定理计算即可
【详解】
解：由题意可知：AC=AB
∵ ，
∴OA=8，OC=2
∴AC=AB=10
在Rt OAB中，
△
∴B(0，6)
故选：D
【点睛】
本题考查勾股定理、正确写出点的坐标，圆的半径相等、熟练进行勾股定理的计算是关键
5．（2022·广东汕尾·九年级期末）已知⊙O中最长的弦为8cm，则⊙O的半径为( )cm．
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【解析】【分析】
⊙O最长的弦就是直径从而不难求得半径的长．
【详解】
解：∵⊙O中最长的弦为8cm，即直径为8cm，
∴⊙O的半径为4cm．
故选：B.
【点睛】
本题考查弦，直径等知识，记住圆中的最长的弦就是直径是解题的关键．
6．（2021·全国·九年级专题练习）如图，图中的弦共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】B
【解析】
【分析】
根据弦的定义解答即可．
【详解】
解：图形中有弦AB和弦CD，共2条，
故选B．
【点睛】
本题考查弦的定义，熟记弦的定义是解题的关键．
二、填空题
7．（2021·全国·七年级单元测试）若⊙O的直径等于8，圆的半径为 ___，面积为 ___．（结果保留π）
【答案】 4； 16π．
【解析】
【分析】
根据直径是半径的2倍，圆的面积公式计算即可．
【详解】
∵圆的直径为8，∴圆的半径为4，圆的面积为 ，
故答案为：4，16π．
【点睛】
本题考查了半径，圆的面积，熟练掌握圆的面积公式是解题的关键．
8．（2021·全国·九年级课时练习）过圆内的一点(非圆心)有________条弦，有________条直径．
【答案】 无数 一
【解析】
【分析】
根据弦和直径的定义求解．
【详解】
过圆内一点（非圆心）有无数条弦，有1条直径．
故答案为：无数，1．
【点睛】
本题考查了圆的认识：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．掌握与圆有关的概念
（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
9．（2021·江苏·九年级专题练习）在 中，半径为5， 、 为 上的点，为 ，则弦长
________．
【答案】5
【解析】
【分析】
由ОA=OB，△OAB为等边三角形，即可求解．
【详解】
解：如图，
∵OA=OB=5，∠AOB=60°，
∴△OAB为等边三角形，
∴AB=5．
故答案为：5．【点睛】
本题主要考查了圆的基本性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握同圆或等圆的半径相等是解题的关键．
10．（2022·贵州遵义·一模）如图，在正方形ABCD内有一点P，AD＝2，点M是AB的中点，且∠PMA＝
2∠PAD．连接PD，则PD的最小值为 __．
【答案】 ##
【解析】
【分析】
过M作MK⊥AP于K，连接MD，由∠AMP＝2∠PAD，可得∠AMP＝2∠AMK，即知∠AMK＝∠PMK，从
而 AKM≌△PKM（ASA），PM＝AM AB AD＝1，可得点P的轨迹是以M为圆心，1为半径的半圆，
△
故当M、P、D共线时，PD最小，PD的最小值为MD﹣1，在Rt AMD中，MD ，即
△
可得答案．
【详解】
解：过M作MK⊥AP于K，连接MD，如图：
∵∠PAD＝90°﹣∠MAK＝∠AMK，∠AMP＝2∠PAD，
∴∠AMP＝2∠AMK，
∴∠AMK＝∠PMK，∵MK＝MK，∠AKM＝∠PKM＝90°，
∴△AKM≌△PKM（ASA），
∴PM＝AM AB AD＝1，
∴点P的轨迹是以M为圆心，1为半径的半圆，
当M、P、D共线时，PD最小，PD的最小值为MD﹣1，
在Rt AMD中，MD ，
△
∴PD最小为 1，
故答案为： 1．
【点睛】
本题考查正方形中的动点问题，涉及三角形全等的判定与性质，解题的轨迹是求出P的轨迹是以M为圆心，
1为半径的半圆．
三、解答题
11．（2021·全国·九年级专题练习）已知：如图，在 中， 是直径， 为不是直径的弦，求证：
是 中最长的弦．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
连接 ， ，利用三角形三边关系可得 ，而 ，则可证明
，即 是 中最长的弦．
【详解】
证明：如图，连接 ， ，、 、 、 是圆的半径，
．
是圆的直径，
．
、 、 是三角形的三边，
．
即 ．
是 中最长的弦．
【点睛】
本题考查直径为圆中最长的弦的证明，利用三角形三边关系证明是解题的关键．
12．（2021·江苏徐州·中考真题）如图， 为 的直径，点 在 上， 与 交于点 ，
，连接 ．求证：
（1） ；
（2）四边形 是菱形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由已知条件根据全的三角形的判定即可证明；（2）首先根据平行四边形的判定证明四边形 是平行四边形，然后根据一组邻边相等的平行四边形
是菱形即可证明．
【详解】
解：（1）在 和 中，
∵ ，
∴ ；
（2）∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ∥ ， ，
∴四边形 是平行四边形．
∵ ，
∴四边形 是菱形．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定及性质、菱形的判定、圆的基础知识，掌握全等三角形的判定和特殊平行四
边形的判定是解题的关键．
13．（2021·江苏·九年级专题练习）已知：如图，圆O是 ABC的外接圆，AO平分∠BAC．
△
（1）求证： ABC是等腰三角形；
（2）当OA＝△4，AB＝6，求边BC的长．
【答案】（1）见解析；（2）3
【解析】
【分析】（1）连接OB、OC，先证明∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，再证明 OAB≌△OAC得AB＝AC，问题
得证； △
（2）延长AO交BC于点H，先证明AH⊥BC，BH＝CH，设OH＝b，BH＝CH＝a，根据OA＝4，AB＝
6，由勾股定理列出a、b的方程组，解得a、b，便可得BC．
【详解】
解：（1）连接OB、OC，
∵OA＝OB＝OC，OA平分∠BAC，
∴∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，
在 OAB和 OAC中，
△ △
，
∴△OAB≌△OAC（AAS），
∴AB＝AC
即 ABC是等腰三角形；
△
（2）延长AO交BC于点H，
∵AH平分∠BAC，AB＝AC，
∴AH⊥BC，BH＝CH，
设OH＝b，BH＝CH＝a，
∵BH2+OH2＝OB2， OA＝4，AB＝6，
则 ①
BH2+AH2＝AB2，OA＝4，AB＝6，
则 ②
②－①得：把 代入①得： （舍）
∴BC＝2a＝3 ．
【点睛】
本题考查了三角形的全等，等腰三角形的性质，圆的基本性质，勾股定理，方程组的思想，掌握以上知识
是解题的关键．
