文档内容
压轴题 07 二次函数中三种面积最值问题
目录
解题知识必备................................................................................................................1
压轴题型讲练................................................................................................................2
题型一、三角形面积最值.................................................................................................2
题型二、四边形面积最值.................................................................................................9
题型三、面积和差最值...................................................................................................18
压轴能力测评（17题）.............................................................................................27
二次函数中的面积最值问题通常有以下3种解题方法：
1）当所求图形的面积没有办法直接求出时，通常采用分割或补全图形的方法表示所求图形的面积，如下：
一般步骤为：①设出要求的点的坐标；
②通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积和或差；
③列出关系式求解；
④检验是否每个坐标都符合题意．
2）用铅垂定理巧求斜三角形面积的计算公式：三角形面积等于水平宽和铅锤高乘积的一半.
3）利用平行线间的距离处处相等，根据同底等高，将所求图形的面积转移到另一个图形中，如图所示：一般步骤为：①设出直线解析式，两条平行直线k值相等；
②通过已知点的坐标，求出直线解析式；
③求出题意中要求点的坐标；
④检验是否每个坐标都符合题意．
题型一： 三角形面积最值问题
【例1】．（23-24九年级上·福建莆田·期末）已知抛物线 与x轴交于不同的两点．
(1)求 的取值范围；
(2)证明该抛物线经过象限内的某个定点P，并求点P 的坐标；
(3)设抛物线与 轴的两个交点分别是A，B，当 时， 的面积是否有最大值或最小值？若
有，求出该最大值或最小值及对应的 的值；若没有，请说明理由．
【答案】(1) 且
(2)证明见解析；
(3) 的面积有最大值，最大值为 ，此时 ， 的面积无最小值
【知识点】其他问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、求抛物线与x轴的交点坐标
【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键：
（1）根据根的判别式求出m的取值范围：
（2）根据题意可得y的值与m无关，把原函数关系式变形为 ，令 ，
求出x的值，即可求解；
（3）先求出抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为 ，可得 ，再由 ，可得，从而确定AB的取值范围，求得 的面积为 ，从而得解．
【详解】（1）解：∵抛物线 与 轴交于不同的两点，
∴方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，且 ，
∴ 且 ，
解得： 且 ，
∴ 的取值范围是： 且 ；
（2）解：∵
∴ ，
即 ，
令 ，
解得： ，
当 时， ，此时抛物线过点 ；
当 时， ，此时抛物线过点(1,0)(舍去)；
∴该抛物线经过象限内的某个定点P，点P的坐标为 ；
（3）解： 的面积有最大值，无最小值．
当 时， ，
解得： ，
∴抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴当 时， 有最大值，最大值为 ，根据题意得： 的面积为 ，
∴当 最大时， 的面积有最大，最大值为 ，此时 ．
AB无最小值， 的面积无最小值．
【变式1】．（23-24九年级上·山东菏泽·期末）如图，抛物线 与 轴相交于点
，交 轴于点 ，点 是线段 上一动点， 轴，交直线 于点 ，交抛物线于
点 ．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)连接 ，求四边形 面积的最大值．
【答案】(1) ；
(2) ．
【知识点】面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式
【分析】（ ）运用待定系数法求抛物线解析式即可；
（ ）先求出点 的坐标为 ，用待定系数法求到直线 的函数表达式为 ，设点 的坐标
为 ，则点 的坐标为 ，根据 ，求出四边形 面
积 ，然后用二次函数的最值即可；
本题考查了利用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，求不规则图形的面积，坐标与图形，熟练掌
握求不规则图形的面积的方法是解题的关键．
【详解】（1）根据题意，得 ，
解这个方程组，得 ，
∴抛物线的函数表达式为 ；（2）当 时， ，
∴点 的坐标为 ，
设直线 的函数表达式为 ，则 ，
，解得 ，
∴直线 的函数表达式为 ，
设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
，
，
，
，
因为 ，
∴当 时， 最大，最大值为 ．
【变式2】．（23-24九年级上·新疆伊犁·期末）如图，抛物线 的对称轴为直线 ，
抛物线交x轴于A，C两点，与直线 交于A，B两点，直线 与抛物线的对称轴交于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求一次函数值大于二次函数值的x的取值范围；
(3)点P在直线 上方的抛物线上运动，若 的面积最大，求此时点 的坐标．【答案】(1)
(2) 或
(3)
【知识点】面积问题(二次函数综合)、根据交点确定不等式的解集、待定系数法求二次函数解析式
【分析】本题考查待定系数法，二次函数的图象及性质，二次函数与不等式．
（1）由直线 与x轴交于点A可得点A的坐标，代入抛物线 中可得 ，由抛
物线的对称轴为直线 可得 ，解方程组即可得到a，b的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）求出点A，点B的坐标，结合图象根据二次函数与不等式的关系即可求解；
（3）设点P的坐标为 （ ），过点P作 轴，交 于点Q，可得
，从而 ，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）∵直线 与x轴交于点A
∴令 ， ，
解得： ，
∴点A的坐标为(1,0)，
∵抛物线 经过点 ，
∴ ，
∵抛物线 的对称轴为直线 ，
∴ ，即 ，
解方程组 得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解方程组 得 或 ，
∴点B的坐标为 ，
由图象可得，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围为： 或 ；
（3）设点P的坐标为 （ ），
过点P作 轴，交 于点Q，∴点Q的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 有最大值．
∴ ，
∴点P的坐标为 ．
【变式3】．（23-24九年级上·山东滨州·期末）如图，抛物线 的图像与 轴交于点 ，点 ，
与 轴交于点 ，且 ．
(1)求这个二次函数的解析式，并求出顶点 的坐标；
(2)若点 为第一象限内抛物线上一点，求 点坐标为多少时， 的面积最大，并求出这个最大面积．
【答案】(1) ，顶点D的坐标为
(2)点M的坐标为 ， 面积的最大值为4
【知识点】面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式
【分析】本题考查了二次函数的图像和性质、二次函数和一次函数的综合，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
（1）根据题意可知 、 、 的坐标，再将其代入 中，利用待定系数法即可求解得
，即可求解；
（2）利用待定系数法求得直线 的解析式为 ，过点M作 轴交直线 于点M，交x轴
于点N，设M点的坐标为 ，则P点的坐标为 ，可得
，可得
，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴点A的坐标为 ，点B的坐标为(0,4)，点C的坐标为 ，
把 代入 得： ，
∴抛物线 变为： ，
把点A(−2,0)、点 代入 得：
，
解得： ，
∴抛物线 的解析式为： ，
∵ ，
∴这个二次函数图象的顶点D的坐标为 ；
（2）设直线 的解析式为 ，
代入 ， ，得 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
如图所示：过点M作 轴交直线 于点M，交x轴于点N，设M点的坐标为 ，则P点的坐标为 ，
∴
∴ ，
∴当 时， 面积的最大值为4．
当 时， ，
此时点M的坐标为 ．
题型二： 四边形面积最值问题
【例2】．（23-24九年级上·海南海口·期末）如图，直线 交y轴于点A，交x轴于点C， 抛
物线 经过点A，点C，且交x轴于另一点B．
(1)直接写出：点A坐标 ，点C坐标 ；
(2)求该抛物线的解析式；
(3)在直线 上方的抛物线上是否存在点M，使四边形 面积最大？若存在，求出该最大值；若不存
在，请说明理由；
(4)将线段 绕x轴上的动点 顺时针旋转90°得到线段 ，若线段 与抛物线只有一个公共点，
请结合函数图象，求m的取值范围．【答案】(1) ； ；
(2)
(3)存在，最大值为8
(4) 或
【知识点】面积问题(二次函数综合)、根据旋转的性质求解、待定系数法求二次函数解析式、一次函数图
象与坐标轴的交点问题
【分析】（1）令 ，由 ，得 点坐标，令 ，由 ，得 点坐标；
（2）将 、 的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式，
（3）由二次函数解析式令 ，求得 点坐标；过 点作 轴，与 交于点 ，设
，则 ，由三角形的面积公式表示出四边形的面积关于 的函数关系式，
再根据二次函数的性质求得最大值，并求得 的值，便可得 点的坐标；
（4）根据旋转性质，求得 点和 点的坐标，令 点和 点在抛物线上时，求出 的最大和最小值便可．
【详解】（1）解：令 ，得 ，
∴ ，
令 ，得 ，解得， ，
∴ ，
故答案为：(0,2)； ；
（2）解：把 、 两点坐标代入 得，
，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ，
（3）解：令 ，得 ，
解得， ，或 ，
∴B(−2,0)；
过 点作 轴于X，与 交于点 ，如图，设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴当 时，四边形 面积最大，其最大值为8；
（4）解：∵将线段 绕x轴上的动点 顺时针旋转 得到线段 ，如图，
∴ ， ，
∴ ， ，
当 在抛物线上时，有 ，
解得， ，
当点 在抛物线上时，有 ，
解得， 或2，
∴当 或 时，线段 与抛物线只有一个公共点．
【点睛】本题是一个二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，待定系数法，
求函数图象与坐标轴的交点，求函数的最大值，三角形的面积公式，第（2）题关键在求函数的解析式，
第（3）关键是确定 ， 点的坐标与位置．
【变式1】．（23-24九年级上·云南保山·期末）如图，已知抛物线 与x轴交于A、
两点，与y轴交于C点，直线 交抛物线于点 ．(1)求抛物线的解析式；
(2)已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，求四边形 面积的最大值；并直接写出M点的坐标．
【答案】(1)
(2)四边形 面积的最大值为9，此时点M的坐标为 ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、图形面积计算等重要
知识点：
（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）连接 ，分别过点M作 轴于点P， 轴于点Q，设点M的坐标为 ，
则 ，再根据四边形 面积 ，
结合二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：把 ， 代入 得：
，
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：如图，连接 ，分别过点M作 轴于点P， 轴于点Q，设点M的坐标为 ，则 ，
当 时， ，
解得： ，
∴点 ，
∴ ，
当 时， ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 面积
，
∵ ，
∴当 时，四边形 面积最大，最大为9，此时点M的坐标为 ．
【变式2】．（22-23九年级上·广东惠州·期中）如图，已知二次函数 的图象与 轴交于点
， ，与 轴交于点 ．
(1)求二次函数的解析式；
(2)点 是二次函数第四象限图象上一点，过点 作 轴的垂线，交直线 于点 ，求四边形 面积
的最大值及此时点 的坐标；
(3)若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A，B，P，F为顶点的四边形为平行四边形，
直接写出点P的坐标．
【答案】(1) ；(2) ， ；
(3)点P的坐标为 或 或 ．
【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式
【分析】
（1）用待定系数法可得二次函数的解析式为 ；
（2）求出 ，直线 的函数表达式为 ，设 ，则 ，可得
，故 ，根据二次函数性质可得答
案；
（3）求出抛物线 的对称轴为直线 ；设 ， ，分三种情况：①若 ，
为对角线，②若 ， 为对角线，③若 ， 为对角线，分别解方程组可得答案．
【详解】（1）
解：把 ， 代入 得：
，
解得 ，
二次函数的解析式为 ；
（2）
解：如图：
在 中，令 得 ，
，
设直线 的函数表达式为 ，由 ， 得：
解得：
∴直线 的函数表达式为 ，
设 ，则 ，
，
，
，
当 时， 取最大值 ，此时 ，
四边形 面积的最大值为 ，此时点 的坐标为 ；
（3）
解：抛物线 的对称轴为直线 ；
设 ， ，
又 ， ，
①若 ， 为对角线，则 ， 的中点重合，
，
解得 ，
；
②若 ， 为对角线，则 ， 的中点重合，
，解得 ，
；
③若 ， 为对角线，则 ， 的中点重合，
，
解得 ，
；
综上所述， 的坐标为 或 或 ．
【点睛】
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，平行四边形性质及应用，解题的关键是用
含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
【变式3】．（23-24九年级上·山东枣庄·期中）已知，如图抛物线 与 轴交于点 ，
与 轴交于 ， 两点，点 在点 左侧．点 的坐标为 ， ．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点 是抛物线对称轴 上的一个动点，当 的值最小时，求点 的坐标．
(3)若点 是线段 下方抛物线上的动点，求四边形 面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)
【分析】（1）由题意得点C的坐标，将点B、C的坐标代入抛物线即可求得答案；
（2）因为抛物线的对称轴为 ，点B和点A关于对称轴对称， 的值最小转化为求
，结合（1）求得点A的坐标，利用点A、C的坐标求得直线解析式，即可求得
答案；
（3）过点D作直线 轴，交 于点E，交x轴于点F，过点C作 于点G，利用抛物线和直线解析式表示点D和点E，求得 的距离，将四边形面积分割求和，表示为一元二次函数，求该函数
的最值即可解得答案；
【详解】（1）解：∵点B的坐标为(1,0)， ，
∴ ， ，
即点C(0,−3)， 代入 得 ，
解得 ，
则抛物线的解析式 ；
（2）解：由抛物线的解析式 得对称轴为 ， ，
∵点 是抛物线对称轴 上的一个动点，
∴ ，
∵点B关于对称轴 的对称点为点A，
∴ 的值最小为 ，如图，
设直线 的解析式为 将点 ，C(0,−3)代入得 ，
解得 ，则 ，当 时， ，
故当 的值最小时，点 ；
（3）解：过点D作直线 轴，交 于点E，交x轴于点F，过点C作 于点G，如图，
设点 ，则点 ，得 ，，
∵ ，
∴当 时， ，
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的
坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、二次函数的最值以及三角形的面积公式，解题
的关键是函数图象上点的特征、用点的坐标表示距离和面积分割求解．
题型三： 面积和差最值问题
【例3】．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，抛物线 与x轴交于A(−2,0)， ，
交y轴于点C，点P是线段 下方抛物线上一动点，过点P作 交 于点Q，连接 ， ，
， ．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)求 周长的最小值；
(3)假设 与 的面积分别为 ， ，且 ，求S的最大值．
【答案】(1)(2)
(3)
【知识点】面积问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式
【分析】（1）将A(−2,0)， 两点代入 即可求解；
（2）作点O关于直线 的对称点 ，连接 ，根据 可得
，即可求解；
（3）连接 ，过点P作 于点H，根据 ，设点
，即可建立函数关系式求解．
【详解】（1）解：∵抛物线 与x轴交于A(−2,0)， 两点
∴
解得
∴抛物线的函数解析式为
（2）解：如图，作点O关于直线 的对称点 ，连接
∵抛物线 交y轴于点C
∴
∴
∴∠BCO=45°
∵ 关于直线 对称
∴BC与OO′互相垂直平分∴四边形 是正方形，
∴
在 中，
∵
∴
即点Q位于直线 与直线 交点时， 的最小值为10
∴ 周长的最小值为
（3）解：如图，连接 ，过点P作 于点H
∵
∴ 与 的面积相等
∴
设点
∴
∴当 ， 有最大值，且最大值为 ；
【点睛】本题考查了二次函数的解析式求解、二次函数与周长、面积的综合问题，熟练掌握二次函数的相
关性质是解题关键．
【变式1】（2024·安徽合肥·一模）已知抛物线 与x轴交于A、B两点（点A在
点B的左侧），与y轴交于点C，直线 经过点A．
(1)求A、B两点的坐标;(2)若直线 与抛物线 的对称轴交于点E．
①若点E为抛物线的顶点，求a的值；
②若点E在第四象限并且在抛物线的上方，记 的面积为 ，记 的面积为 ， ，求
S与x的函数表达式，并求出S的最大值．
【答案】(1) ，
(2)① ；② ；S的最大值为 ．
【分析】本题考查了二次函数的综合题，数形结合，灵活运用分类讨论的思想是正确解答此类题的关键．
（1）令 ，解方程 ，即可求解；
（2）①先求得直线解析式为： ，顶点坐标为 ，根据直线 过点 ，列式
计算即可求解；
②根据题意画出示意图，利用三角形面积公式列式得到 ， ，再求得
，据此求解即可．
【详解】（1）解：令 ，则有：
，
即 ，
， ，
， ；
（2）解： 直线 经过 ，
，
，
直线解析式为： ，
抛物线 配方得 ，
其顶点坐标为 ；
①当E为顶点时：即 过 ，
，
， （舍去），
；②根据题意可画出示意图，
设直线 交y轴于F，交抛物线对称轴于E点，且点E在第四象限并且在抛物线的上方，
则 ， ， ，
又 ，
，
，
．
，
∵ ，
∴当 ，S的最大值为 ．
【变式2】（2024·安徽淮北·模拟预测）已知抛物线 （ 为常数，且 ）与 轴交于
两点（点 在点 的右侧），与 轴交于点 ，经过点 的直线 与抛物线的另一交点为点
，与 轴的交点为点 ．
(1)如图1，若点 的横坐标为3，试求抛物线的函数表达式；
(2)如图2，若 ，试确定 的值；
(3)如图3，在（1）的情形下，连接 ，点 为抛物线在第一象限内的点，连接 交 于点 ，当 取最大值时，试求点 的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3) 点的坐标为
【分析】（1）令 ，则 ，求出 ， ，将 代入一次函数求出
，从而得出点 的坐标，再将 的坐标代入二次函数即可得解；
（2）由（1）得： ， ，设点 的坐标为 ，由 得出点 的横坐标为 ，代
入一次函数解析式得出点 的坐标，再将 的坐标代入二次函数即可得解；
（3）由（1）知： ， ， ，得出 ，求出点 的坐标得出 ，根
据 ，得出关系式，根据二次函数的性质即可得
出答案．
【详解】（1）解：在 中，令 ，则 ，
解得： ， ，
， ，
将 代入 得： ，
解得： ，
，
点 的横坐标为3，
当 时， ，
，
将 代入抛物线解析式得： ，
解得： ，
；（2）解：由（1）得： ， ，
设点 的坐标为 ，
，
为 的中点，
在 轴上，
，
，
在 中，当 时， ，
，
将 代入抛物线解析式得： ，
解得： ；
（3）解：由（1）知： ， ， ，
，
在 中，当 时， ，
，
，
设 ，，
，
当 时， 的值最大，此时 ．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题、二次函数综合—面积问题，熟练掌握以上知识点并
灵活运用是解此题的关键．
【变式3】（2024·广东广州·一模）综合应用
如图，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)直线 与抛物线在第二象限交于点 ，若动点 在 上运动，线段 绕点 顺时针旋转，点
首次落在 轴上时记为点 ，在点 运动过程中，判断 的大小是否发生变化？并说明理由．
(3)在（ ）的条件下，连接 ，记 的外接圆的最小面积为 ，记 的外接圆的最大面积为
，试求 的值（结果保留 ）．
【答案】(1) ；
(2) 大小不变，理由见解析；
(3) ．
【分析】（ ）利用待定系数法即可求解；
（ ） 大小不变．过点 作 轴于 ，过点 作 交 的延长线于点 ，设 ，
可得 ，即可证明 ，得到 ，得到 ，进
而得到 ，即可求证；
（ ）连接 ，结合由（ ）可得 为等腰直角三角形，故得 的外接圆是以 为直径的圆，
设圆的半径为 ，则 ，得 ，根据圆的面积公式可知， 最小时，圆的面积为 ，最大时，圆的面积为 ，由 时， 最小，此时， 与 重合，及当点 与点 重合时，
最大，分别求出半径 ，得出
的值即可求解．
【详解】（1）解：把 、 代入得，
，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解： 大小不变，理由如下：
过点 作 轴于 ，过点 作 交 的延长线于点 ，
∵点 在直线 上，
∴设 ，
∴ ， ，
∴ ，
又由旋转可得， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 大小不变，为 ；
（3）解：连接 ，由（ ）得， ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ 的外接圆是以 为直径的圆，
设圆的半径为 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵圆的面积 ，
∴ 最小时，圆的面积为 ， 最大时，圆的面积为 ，
当 时， 最小，此时， 与 重合，
∴ ，
当点 与点 重合时， 最大，最大 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了二次函数的几何应用，待定系数法求二次函数的解析式，旋转的性质，全等三角形的
判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形的外接圆，最值问题，正确作出辅助
线是解题的关键．
1．（23-24九年级上·广东梅州·期末）已知二次函数 的图象和x轴交于点A、B，与y轴交于
点C，点P是直线 上方的抛物线上的动点．(1)求直线 的解析式．
(2)当P是抛物线顶点时，求 面积．
(3)在P点运动过程中，求 面积的最大值．
【答案】(1)
(2)3
(3)
【知识点】面积问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的最值、y=ax²+bx+c的图象与性质、求一次函数解析式
【分析】（1）由题意分别将 、 代入二次函数解析式中求出点C、A的坐标，再根据点A、C的坐
标利用待定系数法即可求出直线AC的解析式；
（2）由题意先根据二次函数解析式求出顶点 ，进而利用割补法求 面积；
（3）根据题意过点 作 轴交 于点 并设点 的坐标为 ( )，则点 的
坐标为 ，进而得到 ，利用面积公式进行求解即可．
【详解】（1）解：分别将 、 代入二次函数解析式 中，
当 时， ，则 ，
当 时， ， ，
根据二次函数的图像可知，点 ，
设直线 的解析式为：
将 ， 代入 ，
得： ，
解得：
∴直线 的解析式为 ．
（2）由 ，将其化为顶点式为 ，可知顶点P为 ，如图P为顶点时连接 并延长交x轴于点G，
设直线 的解析式为 ，
将P点和C点代入得 ，解得 ，
则 的解析式为 ，
即G为 ，
那么 =3；
（3）过点 作 轴交 于点 ．
设点 的坐标为 ( )，则点 的坐标为
∴ ，
当 时， 取最大值，最大值为 ．
∵ ，
∴ 面积的最大值为 ．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质以及解
二元一次方程组，解题的关键是利用待定系数法求出直线解析式以及利用二次函数的性质进行综合分析．
2 ．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，抛物线 经过 、C(0,−3)两
点，与x轴的另一个交点为A，顶点为D．(1)求该抛物线的解析式；
(2)点E为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），
①当点E在直线 的下方运动时，求 的面积的最大值；
②在①的条件下，点M是抛物线的对称轴上的动点，点P是抛物线上的动点，若以C、E、P、M为顶点的
四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
【答案】(1)
(2)①最大值为 ；②存在，点P有 或 或 ．
【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式
【分析】（1）将B、C两点分别代入解析式求解即可得；
（2）①过点E作 轴的平行线交 于点 ，将点B、 的坐标代入一次函数确定函数解析式，然后设点
，则点 ，得出 ，结合图象确定面积的函数表达式即可得出结果；
②分三种情况进行讨论分析：当 、 和 为对角线时，利用中点坐标公式列式计算求解即可．
【详解】（1）解：将B、C两点分别代入解析式可得： ，
解得：
∴函数的表达式为： ；
（2）解：①过点E作 轴的平行线交 于点 ，设直线 的解析式为 ，
将点B、 的坐标代入一次函数表达式得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
设点 ，则点 ，
则 ，
∴
∵ ，且 ，
∴当 时， 面积有最大值，最大值为 ，
此时点E的坐标为 ；
②如图： 、 ，
，对称轴为直线 ，
设 ， ，a．当 为对角线时，
则 ，
即 ，
，所以 ；
b．当 为对角线时，
则 ，
即 ，
，所以 ；
c．当 为对角线时，
则 ，
即
，所以
所以，符合题意的点P有 或 或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质，三角形的面积，待定系数法求解析式，
平行四边形的性质，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质以及平行四边形的性质，注意分类讨论思
想．
3．（23-24九年级上·江西赣州·期末）抛物线 与x轴交于点A，B（点A在点B左
侧），与y轴交于点C，点P是抛物线上一点，其横坐标为a．(1)已知点 ，求抛物线的解析式．
(2)若 ，
①如图，当点P位于第二象限时，过点P分别作 于点E， 轴于点N，当 取得最
大值时，求a的值；
②在①的条件下，连接 ， ，判断此时 的面积是否为最大，并说明理由．
【答案】(1)
(2) ； 在 的条件下， 的面积不是最大，理由见解析
① ② ①
【知识点】面积问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的最值、待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析
式
【分析】本题主要考查了二次函数的综合问题，待定系数法求一次函数解析式，根据二次函数求最值，二
次函数面积问题等知识．
（1）直接把点 代入抛物线解析式即可得出m的值，则可得出抛物线解析式．
（2）①若 ，则 ，求出 ，B，C点的坐标，设点 ，然后用
待定系数法求出 的解析式，过点P作y轴的平行线交直线BC于点H，可得 ，可得出 ，
再证明 是等腰直角三角形，进一步得出 ，则
，再利用二次函数的性质即可得出当 ， 取得最大值．
②在①的条件下， ，可得出当 时， 的面积最大，即可得
出结论．
【详解】（1）解：把点 代入得 ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为 ，
（2）①若 ，则 ，∴抛物线 与x轴交于点 ，B(4,0)，与y轴交于点 ，
设点
设直线BC的解析式为 ，
∴ 解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
如图，过点P作y轴的平行线交直线BC于点H，可得 ，
∴ ，
由B(4,0)， 可知
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 取得最大值
∵ ，符合题意， 取得最大值时， ．
②在①的条件下， 的面积不是最大，理由如下：
由①可知 ．
∵ ，
∴当 时， 的面积最大．
4．（23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．抛物线 的对称轴是 ，且经过 两点，与 轴的另一交点为点 ．
(1)求抛物线解析式．
(2)若点 为直线 上方的抛物线上的一点，连接 ．求 的面积的最大值，并求出此时点 的
坐标．
【答案】(1)
(2) ，
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)
【分析】（1）根据题意可得 ，点 与点 关于 对称，可得 ，设抛物线解析
式为 ，运用待定系数法即可求解；
（2）根据题意，设 ，如图所示，过点 作 轴交 于点 ，则 ，
可得 ，再根据三角形面积的计算方法，二次函数最值的计算方法可得 ，
由此即可求解．
【详解】（1）解：在直线 中，当 时， ，当 时， ，
∴ ，
由抛物线的对称性可知：点 与点 关于 对称，
∴点 的坐标为 ，
∵抛物线 过 ，
∴可设抛物线解析式为 ，
又∵抛物线过点C(0，2)，∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解： 的解析式为 ，点 为直线 上方的抛物线 上的一点，
设 ，如图所示，过点 作 轴交 于点 ，
∴
∴
，
∴
，
∴当 时， 的面积有最大值是 ，
∴ ，
此时 点坐标 ．
【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，二次函数与一次函数交点
问题，几何图形面积的计算方法，图形结合分析的方法是解题的关键．
5．（23-24九年级下·山东临沂·期中）如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于
点 ，直线 经过 、 两点，点 是第二象限内抛物线上一点.(1)求抛物线的解析式；
(2)连接 、 ，求 面积的最大值；
(3)若点 关于直线 的对称点 恰好落在直线 上，求点 的坐标.
【答案】(1)
(2) ；
(3)
【知识点】面积问题(二次函数综合)、根据一次函数增减性求参数
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，一次函数的图像与性质，对称的性质等知识，解题的关键是
灵活运用这些知识．
（1）先根据一次函数的解析式求出点 、 的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）作 轴交 于点 ，设 ，则 ，可得 ，根
据 ，再根据二次函数的性质即可求解；
（3）连接 、 ， 交直线 于点 ，先求出点 的坐标，结合A(−4,0)， 可得
，进而得到 ，再结合对称性可得 ，推出
，可得点 的纵坐标，即可求解．
【详解】（1）解：在 中，令 ，得 ；令 ，得 ，
A(−4,0)， ，
把 、 两点的坐标分别代入线 ，
可得 ，解得： ，
抛物线的解析式为 ；
（2）作 轴交 于点 ，如图，
设 ，则 ，
点 是第二象限内抛物线上一点
；
，
，
当 时， 的最大值为 ，
面积的最大值为 ；
（3）连接 、 ， 交直线 于点 ，如图，
令 ，解得： ， ，
，
A(−4,0)， ，
，
∴ ，
点 、 关于直线 对称，
，
，
点 是纵坐标为 ，
．
6．（22-23九年级上·广东湛江·期中）已知抛物线 的图像与x轴交于点 和点C，与y
轴交于点B(0,3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点P为抛物线的对称轴上一动点，当 的周长最小时，求点P的坐标；
(3)在第二象限的抛物线上，是否存在一点Q，使得 的面积最大？若存在，求出点Q的坐标；若不存
在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，Q点的坐标为
【知识点】线段问题(轴对称综合题)、面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式
【分析】本题考查待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，轴对称的性质，（1）根据抛物线
的图象经过点 和点B(0,3)，得到方程组，解方程组即可得到结论；
（2）解方程求得 ，由于A、C两点关于对称轴对称，则此时 最小．求得直
线 解析式为 ；于是得到P点坐标为 ；（3）设 是第二象限的抛物线上一点，过点Q作 轴交直线 于点E，于是得到E
的坐标为 ，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：∵抛物线 的图象经过点 和点B(0,3)，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为： ．
（2）解：对称轴为 ，
令 ，
解得 ， ，
∴ ，
如图所示，
∵点C与点A关于直线 对称，
∴连接 与对称轴 的交点即为所求之P点，
∵ 的长是个定值，
则此时的点P，使 的周长最小，
由于A、C两点关于对称轴对称，
则此时 最小．
设直线 的解析式为 ，
由 、B(0,3)可得：
，
解得 ，
∴直线 解析式为 ；当 时， ，
∴P点坐标为 ；
（3）解：结论：存在．
设 是第二象限的抛物线上一点，
过点Q作 轴交直线 于点E，则E的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 取得最大值．
∴当 时， ，
∴ ．
所以，在第二象限的抛物线上，存在一点Q，使得 的面积最大；Q点的坐标为 ．
7．（23-24九年级上·广西柳州·期中）如图，已知抛物线 的顶点为 ，且通过点
．
(1)求顶点 的坐标；
(2)点 为直线 上方抛物线上一动点，求 面积的最大值；(3)在抛物线上存在一点 ，使得 ，求点 坐标．
【答案】(1)
(2) 面积的最大值为
(3) 或
【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质、面积问题
(二次函数综合)
【分析】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握待定系数法求解解析式，二次函数的图象和性质，
全等三角形的判定和性质，顶点式的运用，学会数形结合的解题方法，即可．
（1）把点 代入抛物线 ，即可；
（2）设直线 的解析式为： ，求出解析式；当直线 向上平移，与抛物线仅一个交点
时， 面积有最大值，且平移的解析式为 ，求出点 的坐标，再根据 ，
即可．
（3） 过点 作 交 于点 ，过点 作 轴，分别过点 ， 作 于点 ，
于点 ；得到 ，根据全等三角形的判定和性质，则 ，
求出 ， ，得到点 的坐标，设直线 的解析式为： ，求出解析式，
联立抛物线， 延长 交 于点 ，过点 作 交于点 ，且 轴，同理得到
，求出 ， ，得到点 的坐标，设直线 的解析式为：
，求出解析式，联立抛物线，即可．
【详解】（1）∵抛物线 的顶点为 ，且通过点 ，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线为： ，
∴顶点 ．
（2）∵ ， ，
∴设直线 的解析式为：y=kx+b(k≠0)，
∴ ，
解得： ，∴直线 的解析式为： ，
当直线 向上平移，与抛物线仅一个公共点时， 面积有最大值，且平移的解析式为 ，
∴ ，
整理得： ，
∴ ，
解得： ，
∴平移直线的解析式为： ，
∴ ，
解得： ，
∴点 ，
设直线 与 轴的交点为点 ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ．
（3） 过点 作 交 于点 ，过点 作 轴，分别过点 ， 作 于点 ，
于点 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴点 ，
设直线 的解析式为： ，
∴ ，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
∵点 在直线 上，
∴直线 的解析式为： ，
联立抛物线 ，
∴ ，
解得： （舍去）， ，
∴点 ；
延长 交 于点 ，过点 作 交于点 ，且 轴
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴点
设直线 的解析式为： ，
∴ ，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
∵点 在直线 上
∴直线 的解析式为： ，
∴联立抛物线 ，
∴ ，
解得： （舍去）， ，
∴点 ；
综上所述，点 或 ．
8．（23-24九年级上·四川自贡·期末）将拋物线 平移到图中 的位置，且与直线 交于
A(0,−1)，B(2,1)两点．(1)抛物线 是由抛物线 向左平移______个单位，再向下平移______个单位得到的；
(2)求抛物线 的顶点坐标；
(3)动点 在直线 下方的抛物线 上，求以点 为顶点的四边形的最大面积．
【答案】(1) ，
(2)顶点坐标为
(3)四边形 的最大面积是2
【知识点】面积问题(二次函数综合)、y=a（x-h）²+k的图象和性质、二次函数图象的平移、待定系数法求
二次函数解析式
【分析】（1）根据题意，设抛物线 的解析式为 ，利用待定系数法解得该函数解析式，然
后根据抛物线平移的性质“左加右减，上加下减”，即可确定答案；
（2）结合（1）中抛物线 的解析式，即可获得答案；
（3）首先求得直线 解析式，设点 ，过点 作 轴垂线，交 于点 ，则 ，然
后由 求得 关于 的二次函数，根据二次函数的图像与性质，即可获得答案．
【详解】（1）解：设抛物线 的解析式为 ，
将点A(0,−1)，B(2,1)代入，
可得 ，解得 ，
∴抛物线 的解析式为 ，
∴抛物线 是由抛物线 向左平移 个单位，再向下平移 个单位得到的；（2）由（1）可知，抛物线 的解析式为 ，
∴抛物线 的顶点坐标为 ；
（3）设直线 解析式为 ，
将点O(0,0)，B(2,1)代入，
可得 ，解得 ，
∴直线 解析式为 ，
∵抛物线 的解析式 ，
∴可设点 ，过点 作 轴垂线，交 于点 ，如下图，
则 ，
∴
，
∴当 时， 取最大值，最大值为2．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式、二次函数图像的平移、二次
函数综合应用（面积问题）的知识，解题关键是正确解得所需函数解析式，并运用数形结合的思想分析问
题．
9．（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，点B的坐标是 ．
(1)求A，C两点的坐标．
(2)平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
(3)在直线 上方的抛物线上是否存在点P，使 的面积最大？若存在，求P点的坐标及 面积
的最大值．
【答案】(1)
(2) ；
(3)存在，面积有最大值 ，P点坐标为 ．
【知识点】面积问题(二次函数综合)、二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，图象平移的性质，分割法求
三角形面积是解题的关键．
（1）用待定系数法求函数的解析式，再根据图象上点的坐标特点求A、C的坐标；
（2）根据D点的平移情况确定函数图象向右平移2个单位长度，向上平移4个单位长度，即可求平移后
的函数解析；
（3）过点P作 轴交于点Q，设 ，则 ，可得 ，当
时， 的面积有最大值 ，此时P点坐标为 ．
【详解】（1）解：将点 代入 ，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ，
∵ ，
∴ ，
当 时， ，解得 或 ，
∴ ；
（2）当 时， ，
∴ ，
∵平移后D点到A点位置，
∴函数图象向右平移2个单位长度，向上平移4个单位长度，
∴ ；
（3）存在点P，使 的面积最大，理由如下：
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
过点P作 轴交于点Q，
设 ，则 ，
∴ ，
∴
当t 时， 的面积有最大值 ，
此时P点坐标为 ．
10．（23-24九年级上·辽宁抚顺·期末）如图，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与
轴交于点 ，连接 ，点 在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点D在第一象限内的抛物线上，连接 ， ，请求出 面积的最大值；
(3)点 在抛物线上移动，连接 ，存在 ，请直接写出点 的坐标．
【答案】(1)
(2)4
(3)点 的坐标为： 或 ．
【知识点】角度问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由 面积 ，即可求解；
（3）当点 在 轴上方时，则点 和点 关于抛物线对称轴对称，即可求解；当点 在 轴下方时，由
，求出点 ，即可求解．
【详解】（1）解：抛物线的表达式为： ，
则 ，
解得： ，
则抛物线的表达式为： ①；
（2）解：过点 作 轴交 于点 ，由点 、 的坐标得，直线 的表达式为： ，
设点 ，则点 ，
则 面积 ，
，
故 面积有最大值，当 时， 面积的最大值为4；
（3）解：当点 在 轴上方时，
所以CD平行于x轴
则点 和点 关于抛物线对称轴对称，
则点 ；
当点 在 轴下方时，
设 交 轴于点 ，设点 ，
，
则 ，
则 ，
解得： ，
即点 ，
由点 、 的坐标得，直线 的表达式为： ②，
联立①②得： ，
解得： （舍去）或 ，即点 的坐标为： ；
综上，点 的坐标为： 或 ．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算等，分类求解是解题的
关键．
11．（22-23九年级上·天津河西·期末）如图所示，在 中， ， ， ，点
从点 开始沿 边向点 以 的速度运动，点 从点 开始沿 边向点 以 的速度运动． 、
分别从 、 同时出发，当 、 两点中有一点停止运动时，则另一点也停止运动．设运动的时间为 ．
(1)当 为何值时， 的长度等于 ；
(2)求出 关于 的函数解析式，计算 、 出发几秒时， 有最大值，并求出这个最大面积？
【答案】(1)当t为0秒或2秒时， 的长度等于
(2)P、Q出发 秒时， 有最大值，这个最大面积为
【知识点】面积问题(二次函数综合)、用勾股定理解三角形、图形问题(实际问题与二次函数)
【分析】（1）利用 的代数式分别表示出线段 ， ， ，利用勾股定理在 中列出关于 的
方程，解方程即可得出结论；
（2）利用（1）中的结论和三角形的面积公式即可得到 关于 的函数解析式，再利用配方法和二次函
数的性质解答即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意得： ， ，
，
．
在 中，
，
，
解得： 或 ，答：当 为0秒或2秒时， 的长度等于 ．
（2）由（1）知： ， ，
当 、 两点中有一点停止运动时，则另一点也停止运动，
，
．
，
关于 的函数解析式为 ；
，
，
当 秒时， 有最大值，最大值为 ．
、 出发 秒时， 有最大值，这个最大面积为 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数的性质，二次函数的最值，勾股定理和一元二次方程
分应用，本题是动点问题，利用 的代数式分别表示出线段 ， ， 的长度是解题的关键．
12．（22-23九年级上·海南海口·期末）如图1，抛物线 与x轴交于点A、B(4,0)（A点在B
点左侧），与y轴交于点C(0,6)，点P是抛物线上一个动点，连接 ， ，
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点P的横坐标为3，求 的面积；
(3)如图2所示，当点P在直线 上方运动时，连接 ，求四边形 面积的最大值，并写出此时P点
坐标．
(4)若点M是 轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M，
使得以点B，M，N，P为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)四边形 面积最大面积是 ，此时
(4)存在， 或 或 或
【知识点】面积问题(二次函数综合)、利用平行四边形的性质求解、y=ax²+bx+c的最值、待定系数法求二次
函数解析式
【分析】（1）直接使用待定系数法求解即可；
（2）过点P做 轴的平行线交 于点 ，将 分为 和 分别求解即可；
（3）结合（2）将四边形 面积分为 和 两部分相加，设 ，则
，列出四边形 面积的表达式，将其化为顶点式即可解题；
（4）根据平行四边形的性质，结合坐标与图形，以及二次函数图象与性质，分别讨论点B，M，N，P形
成平行四边形的情况，再求解即可．
【详解】（1）解： 抛物线 与x轴交于点A、B(4,0)（A点在B点左侧），与y轴交于点
C(0,6)，
将B(4,0)、C(0,6)两点代入 得： ，
解得： ，
抛物线的函数表达式为 ；
（2）解：设 的所在直线的解析式为： ，
将B(4,0)代入得： ，解得： ，
的所在直线的解析式为 ，
将P的横坐标代入 得： ，的坐标为 ，
如图，过点P做 轴的平行线交 于点 ，则点 横坐标为 ，
将点 横坐标为 代入 ， ，
的坐标为 ，
由图知：
；
（3）解： ，
抛物线的对称轴为直线 ，
点A、B(4,0)（A点在B点左侧）关于直线 对称，
，
，
如（2）所示：
设 ，则 ，，
，
，
当 时， 有最大值，最大值为 ，
此时 即 ；
（4）解：由（2）可知： 的坐标为 ，
①如图所示，四边形 为平行四边形，
，且 ，
∴点 的纵坐标为 ， ，解得： ， ，
∴点 的坐标为 ，
，
设点 ，
，
，则 ，即 ；
②如图所示，四边形 是平行四边形，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，， ， ， ，
可得 ，
，且 ，设 ， ，
，解得： ， ，
当 时， ，即 ，则 ，当 时， ，即
，则 ，
点 的坐标为 或 ；
③如图所示，四边形 为平行四边形，
， ，B(4,0)，
设 ，则 ，
，即点 的坐标为 ；
综上所述，点 的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，坐标与图形，二次函数与几何图形的综合，二次函
数的最值，平行四边形性质，掌握二次函数图像的性质，动点的运动规律，几何图形的面积计算方法及性
质是解题的关键．
13．（22-23九年级上·辽宁沈阳·期末）已知，抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 在点 左侧），与 轴交于点 ，抛物线过 ， ，点 为第一象限内抛物线上一动点：
(1)求抛物线的函数表达式和直线 的函数表达式；
(2)在 轴上取F(0,1)，连接 ， ，当 面积最大时，求点 横坐标；
(3)当 时，点 在抛物线对称轴右侧时，直线 上存在两点 （ 在 上方），
，动点 从 出发，沿 运动到终点 ，当 运动路程最短时，直接写出点
坐标．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【知识点】面积问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、几何
问题(一次函数的实际应用)
【分析】（1）设直线 的表达式为 ，将点D，E代入，解关于k，c的二元一次方程组求
解即可；将点D，E代入 ，解关于a，b的二元一次方程组即可求解；
（2）如图，连接 ，过点 作 轴于点 ，作 轴于点 ，分别表示出 ， 即可表
示出 ，通过列方程求解即可；
（3）根据题意可得 ，则可得到 ；如图所示，取 ，作点T关于直
线 的对称点K，连接 ，设直线 与x轴，y轴分别交于 、H，连接 ，证明
，由轴对称的性质可得 ， ，则
，可得 ；证明四边形 是平行四边形，得到 ，则当 三
点共线时， 的值最小，即此时点Q的运动路程最小，同理可得直线 解析式为，联立 ，解得 ，则 ；设 ，则
，可得 ．
【详解】（1）解：设直线 的表达式为 ．
直线 经过点 和点 ，
，解得
直线 的表达式为 ；
将点 、 的坐标代入抛物线函数表达式得： ，
解得： ，
∴抛物线的表达式为： ；
（2）解：如图，连接 ，过点 作 轴于点 ，作 轴于点 ，
将 代入 ，得 ，
， ．
，
．
，．设点 的坐标为 ．
， ，
，
，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 最大，
∴此时 ；
点 的坐标是 或 ．
（3）解：∵ ，
∴ 或 ，
∵点 在抛物线对称轴的右侧，即在直线 的右侧，
∴点 ；
如图所示，取 ，作点T关于直线 的对称点K，连接 ，设直线 与x轴，y轴分
别交于 、H，连接 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
由轴对称的性质可得 ， ，
∴ ，
∴ ；
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵动点 从 出发，沿 运动到终点 ，
∴点Q的运动路程 ，
∴当 三点共线时， 的值最小，即此时点Q的运动路程最小，
同理可得直线 解析式为 ，
联立 ，解得 ，
∴ ；
设 ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴ ．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，一次函数的图像和性质，待定系数法求一次函数和二次函数的解
析式，轴对称的性质，平移，解二元一次方程组，平行四边形的判定和性质，勾股定理，交点坐标等问题，
根据平移和轴对称做辅助线，利用方程求交点坐标是解交本题的关键．
14．（23-24九年级上·天津·期中）已知如图，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于
两点，点 在点 的左侧，点 的坐标为(1,0)，点 的坐标(1)求抛物线的解析式；
(2)若点 是线段 下方抛物线上的动点，求四边形 面积的最大值；
(3)若点 在 轴上，点 在抛物线上，是否存在以 为顶点，且以 为一边的平行四边形呢？
若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)存在，点 的坐标为 或 或 ．
【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、求一次
函数解析式
【分析】（ ）利用待定系数法即可求解；
（ ）求出直线 的函数解析式为 ，过点 作 轴，交 于点 ，交 轴于点 ，设
，则 ，可得 ，得到当 时，
有最大值 ，又得 ，可知当 时，四边形 面积的最大，
代入计算即可求解；
（ ）分点 在 轴上方和下方两种情况，画出图性质解答即可求解；
本题考查了二次函数的几何问题，待定系数法求二次函数的解析式，掌握数形结合思想和分类讨论思想是
解题的关键．
【详解】（1）解：把 、C(0,−3)代入 得，
，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；（2）解：由 得， ， ，
∴ ，
设直线 的函数解析式为 ，把 、C(0,−3)代入得，
，
∴ ，
∴直线 的函数解析式为 ，
如图，过点 作 轴，交 于点 ，交 轴于点 ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 有最大值 ，
∵ ， ，C(0,−3)，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴当 时，四边形 面积的最大，
此时， ；
（3）解：存在．
①如图，过点 作 轴交抛物线于点 ，过点 作 交 轴于点 ，则四边形 为平行
四边形，
∵C(0,−3)，
把 代入 得， ，解得 ， ，
∴ ；
②平移直线 交 轴于点 ，交 轴上方的抛物线于点 ，
当 时，四边形 为平行四边形，
∵C(0,−3)，
∴点 的纵坐标为 ，
把 代入 得， ，
解得 ， ，
∴ ， ；
综上，点 的坐标为 或 或 ．
15．（22-23九年级上·海南海口·期中）如图①，已知二次函数 与 轴相交于 、
两点，与 轴相交于点 ．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图②，连结 、 ．
①求直线 的表达式；
②在对称轴上是否存在一个点 ，使 的周长最小？若存在，请求出点 的坐标和此时 的周长；
若不存在，请说明理由；
③点 为抛物线在第四象限内图象上一个动点，是否存在点 ，使得 的面积最大？若存在，请求出点 的坐标和此时 面积的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①直线 为 ；②存在一个点 ，使 的周长最小， ， 的周长最小值为
；③存在 ，此时 面积的最大值为 ．
【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、求一次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、待定系数
法求二次函数解析式
【分析】(1)运用待定系数法计算即可．
(2) ①运用待定系数法计算即可；②判定 、 是对称点，确定直线 的解析式，计算当
时的函数值即可确定坐标，进而确定最小周长．③设 ，过点 作 交直线 于
点 ，则 ，根据面积法构造二次函数，根据二次函数的最值计算即可．
【详解】（1）解：∵二次函数 与 轴相交于 、 两点，
∴ ，
解得 ，
∴该抛物线的解析式为 ．
（2）解：① 中，当x=0时， ，
∴C(0,−3)，
设直线 为 ，
把 ，C(0,−3)代入 得，
，
解得k=1， ，
∴直线 为 ；
②存在，点 ．理由如下：
∵抛物线 与 轴交于 、 两点，C(0,−3)，
∴ 、 关于二次函数对称轴对称，
∴ ， ， ，
∴ 的周长为 ，根据两点之间线段最短得，当 在直线 上时， 最短，即 的周长最小，
∵直线 的解析式为 ，
∴当x=1时， ，
∴点 ，
∴ 的周长最小值为 ；
③存在，设 ，过点 作 交直线 于点 ，则 ，
∵ ，C(0,−3)，
∴ ，
故当 时， 取得最大值，且为 ，
当 时， ，
∴ ．
∴存在 ，此时 面积的最大值为 ．
【点睛】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，一次函数的解析式，构造二次函数计算三角形的
最值，熟练掌握待定系数法，灵活构造二次函数是解题的关键．
16．（22-23九年级上·贵州黔南·期中）已知，如图抛物线 与 轴交于点 ，与
轴交于A(−4,0)、 两点．(1)求抛物线的解析式；
(2)若点 是线段 下方抛物线上的动点，求四边形 面积的最大值．
(3)点 是抛物线对称轴上一动点，点 是直线 上一动点，且以点 为顶点的四边形是平行
四边形，请直接写出点 的坐标．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) 或 或 ．
【知识点】面积问题(二次函数综合)、利用平行四边形的性质求解、特殊四边形(二次函数综合)、待定系数
法求二次函数解析式
【分析】（ ）利用待定系数法解答即可求解；
（ ）过点 作 轴于点 ，设 ，则 ， ，
，由 可得 ，再利用二次函数的性质
即可求解；
（ ）利用待定系数法求出直线 的解析式为 ，由A(−4,0)、 得 ，设点 的坐标
为 ，分AB为平行四边形的边和对角线两种情况，画出图形，结合平行四边形的性质解答即可求
解；
本题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的几何应用，平行四边形的性质，掌握二次函数的性质
并运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】（1）解：把A(−4,0)、 、 代入 得，
，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：过点 作 轴于点 ，
设 ，则 ， ， ，
∴
，
，
，
∵ ，
∴当 时，四边形 面积的最大，最大值为 ．
（3）解：设直线 的解析式为 ，把A(−4,0)、 代入得，
，
解得 ，
∴设直线 的解析式为 ，
∵ ，
∴抛物线对称轴为直线 ，
∴点P横坐标为 ，
∵A(−4,0)， ，∴ ，
设点 的坐标为 ，
当AB为平行四边形的边时，如图，
∵ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ 或 ；
当AB为对角线时，点 即为直线 与抛物线对称轴的交点，
把 代入 得， ，
∴ ；
综上，点 的坐标为 或 或 ．17．（23-24九年级上·湖北襄阳·期中）如图，抛物线 经过点B(−2,0)和点 ，与
轴交于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点 是第四象限内抛物线上的动点，求四边形 的面积的最大值和此时点 的坐标；
(3)点 是 轴上的一个动点，将线段 绕点 顺时针旋转 ，得到线段 ，若线段 与抛物
线有一个公共点，结合函数图像，请直接写出 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2)6， ；
(3) 或 ．
【知识点】y=ax²+bx+c的最值、面积问题(二次函数综合)、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标、待
定系数法求二次函数解析式
【分析】（1）将 、 代入 ，列方程组并且解该方程组求出 、 的值，
即得到抛物线的解析式为 ；
（2）连接 ，作 轴于点 ，设 ，则 ，由 ，
求得 ，则四边形 的面积的最大值为 ，此时 ；
（3）先由线段 绕点 顺时针旋转 ，得到线段 ，得 ， ，再分两种
情况讨论，一是 ，即点 在 轴的正半轴上，将 、 分别代入 ，
求出线段 与抛物线有一个公共点时， 的最小值和最大值，即得到此时 的取值范围；二是 ，即
点 在 轴的负半轴上，将 、 分别代入 ，求出线段 与抛物线有
一个公共点时， 的最小值和最大值，即得到此时 的取值范围．【详解】（1）解：∵抛物线 经过点 、点 ，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ．
（2）如图 ，连接 ，作 轴于点 ，设 ，则 ，
当 时，由 ，得 ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵点 在第四象限内抛物线上，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴当 时，四边形 的面积最大，最大值为 ，此时 ．
（3）∵将线段 绕点 顺时针旋转 ，得到线段 ，
∴ ， ，
当 时，如图 ，当点 在抛物线 上，则 ，
解得 ， （不符合题意，舍去），
当点 在抛物线 上，则 ，
解得 ， （不符合题意，舍去），
∴当 时，线段 与抛物线有一个公共点；
当 时，如图 ，
当点 在抛物线 上，则 ，
解得 ， （不符合题意，舍去），
当点 在抛物线 上，则 ，
解得 ， （不符合题意，舍去），
∴当 时，线段 与抛物线有一个公共点，
综上所述， 的取值范围是 或 ．
【点睛】此题重点考查二次函数的图像与性质、用待定系数法求函数解析式、一元二次方程的解法、旋转
的性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，第（2）小问关键在于运用函数解析式，第
（3）小问关键在于确定 ， 点的位置和坐标．
