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专题 14 概率（综合题）
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易错点拨
知识点：概率的意义
概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.一般地，在大量重复试验中，如果事
件A发生的频率 会稳定在某个常数 附近，那么这个常数 就叫做事件A的概率(probability)，
记为 .
细节剖析：
(1)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；
(2)概率反映了随机事件发生的可能性的大小；
(3) 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，，即 ，其中P(必然事件)=1，
P(不可能事件)=0，0<P(随机事件)<1.易错题专训
一．选择题
1．（2022秋•奉贤区月考）天气预报显示“上海明天下雨的概率为 85%”．下列说法中，正确的是
（ ）
A．上海明天将有85%的时间下雨
B．上海明天将有85%的地区下雨
C．上海明天下雨的可能性很大
D．上海明天下雨的可能性很小
【思路引导】根据概率是反映事件发生机会的大小，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生
即可得出答案．
【完整解答】解：上海明天下雨的概率为85%，表示上海明天下雨的可能性很大，但是不是将有85%的
地区下雨，不是85%的时间下雨，也不是明天肯定下雨．
故选：C．
2．（2022•东营）如图，任意将图中的某一白色方块涂黑后，能使所有黑色方块构成的图形是轴对称图形
的概率是（ ）
A． B． C． D．
【思路引导】根据轴对称图形的概念、概率公式计算即可．
【完整解答】解：如图，当涂黑1或2或3或4区域时，所有黑色方块构成的图形是轴对称图形，
则P（是轴对称图形）＝ ＝ ，
故选：A．3．（2022春•城阳区期末）下列事件为必然事件的是（ ）
A．一名射击运动员射击一次，中靶
B．彩票的中奖率是15%，那么买100张彩票必有15张中奖
C．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是质数
D．一个三角形，其任意两边之和大于第三边
【思路引导】根据概率的意义，随机事件，必然事件，不可能事件的定义，逐一判断即可解答．
【完整解答】解：A、一名射击运动员射击一次，中靶，是随机事件，故A不符合题意；
B、彩票的中奖率是15%，那么买100张彩票不一定有15张中奖，故B不符合题意；
C、掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是质数，是随机事件，故C不符合题意；
D、一个三角形，其任意两边之和大于第三边，是必然事件，故D符合题意；
故选：D．
4．（2022•黔东南州）如图，已知正六边形ABCDEF内接于半径为r的 O，随机地往 O内投一粒米，
落在正六边形内的概率为（ ） ⊙ ⊙
A． B．
C． D．以上答案都不对
【思路引导】求出正六边形的面积占圆面积的几分之几即可．
【完整解答】解：圆的面积为 r2，
π
正六边形ABCDEF的面积为 r× r×6＝ r2，
所以正六边形的面积占圆面积的 ＝ ，
故选：A．
5．（2022•温州）9张背面相同的卡片，正面分别写有不同的从1到9的一个自然数．现将卡片背面朝上，从中任意抽出一张，正面的数是偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【思路引导】让正面的数字是偶数的情况数除以总情况数9即为所求的概率．
【完整解答】解：因为1到9共9个自然数．是偶数的有4个，
所以正面的数是偶数的概率为 ．
故选：C．
6．（2022春•东平县期末）分别向如图所示的四个区域投掷一个小球，小球落在阴影部分的概率最小的是
（ ）
A． B． C． D．
【思路引导】分别确定小球落在阴影部分的可能性，然后比较大小即可．
【完整解答】解：A、小球落在阴影部分的可能性为 ；
B、小球石子落在阴影部分的可能性为 ；
C、小球落在阴影部分的可能性为 ；
D、小球落在阴影部分的可能性为 ＝ ；
∵ ＞ ＞ ＞ ，
∴最小的为 ，
故选：A．
二．填空题
7．（2022春•李沧区期末）小明抛掷一枚质地均匀的硬币，连续抛掷9次，7次正面朝上，则他抛掷第10
次时，正面朝上的概率是 ．
【思路引导】根据概率的意义，概率公式，即可解答．
【完整解答】解：小明抛掷一枚质地均匀的硬币，连续抛掷9次，7次正面朝上，则他抛掷第10次时，正面朝上的概率是 ，
故答案为： ．
8．（2022•达拉特旗一模）下列说法中：
①一个不透明的口袋中有3个白球和2个红球（每个球除颜色外都相同），则从中任意摸出一个球是红
球的概率为 ；
②一个抽奖活动的中奖概率为 ，则抽奖2次就必有1次中奖；
③统计甲，乙两名同学在若干次检测中的数学成绩发现： ＝ ， ＞ ，说明甲同学的数学
成绩比乙同学的数学成绩稳定；
④要了解一个班有多少同学知道“杂交水稻之父”袁隆平的事迹，宜采用普查的调查方式；
其中不正确的有 ②③ （只填序号）．
【思路引导】根据概率的意义，全面调查与抽样调查，算术平均数，方差，概率公式，逐一判断即可解
答．
【完整解答】解：①一个不透明的口袋中有3个白球和2个红球（每个球除颜色外都相同），则从中任
意摸出一个球是红球的概率为 ，故①正确；
②一个抽奖活动的中奖概率为 ，则抽奖2次不一定有1次中奖，故②不正确；
③统计甲，乙两名同学在若干次检测中的数学成绩发现： ＝ ， ＞ ，说明乙同学的数学
成绩比甲同学的数学成绩稳定，故③不正确；
④要了解一个班有多少同学知道“杂交水稻之父”袁隆平的事迹，宜采用普查的调查方式，故④正确；
所以，上列说法中，其中不正确的有：②③，
故答案为：②③．
9．（2020春•顺德区月考）从一副拿掉大、小王的扑克牌中，抽取一张，这张牌是红桃的概率是 ．
【思路引导】由一副拿掉大、小王的扑克牌共有52张，红桃的有13张，直接利用概率公式求解即可求
得答案．
【完整解答】解：∵一副拿掉大、小王的扑克牌共有52张，红桃的有13张，∴抽取一张，这张牌是红桃的概率是： ＝ ．
故答案为： ．
10．（2019•泰兴市一模）一只不透明的布袋中有三种小球（除颜色外没有任何区别），分别是2个红球，
3个黄球和5个蓝球，每一次只摸出一只小球，观察后放回搅匀，在连续9次摸出的都是蓝球的情况下
第10次摸出蓝球的概率是 ．
【思路引导】根据概率的意义解答．
【完整解答】解：∵共有2+3+5＝10个小球，5个蓝球，
∴第10次摸出蓝球的概率是： ＝ ．
故答案为： ．
11．（2020•金华一模）某航班每次约有100名乘客，一次飞行中飞机失事的概率为P＝0.00005．一家保险
公司要为乘客保险，许诺飞机一旦失事，向每位乘客赔偿 40万人民币．平均来说，保险公司为了不亏
本，至少应该收取保险费 2 0 元每人．
【思路引导】先求出飞机失事时保险公司应赔偿的金额，再根据飞机失事的概率求出赔偿的钱数即可解
答．
【完整解答】解：每次约有100名乘客，如飞机一旦失事，每位乘客赔偿40万人民币，共计4000万元，
一次飞行中飞机失事的概率为P＝0.00005，
故赔偿的钱数为40000000×0.00005＝2000元，
故至少应该收取保险费每人 ＝20元．
12．（2017春•青羊区期末）从﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3这7个数中任意选一个数作为m的值，则使关
于x的分式方程： 的解是负数，且关于x的一次函数y＝（m﹣3）x﹣4的图象不经过第一象限
的概率为 ．
【思路引导】直接利用分式方程有解的意义以及一次函数图象的性质得出m可能的取值，进而得出答案．
【完整解答】解：解分式方程 得：x＝﹣m﹣3，∵方程的解为负数，
∴﹣m﹣3＜0且﹣m﹣3≠﹣1，
解得：m＞﹣3且m≠﹣2，
又∵一次函数y＝（m﹣3）x﹣4的图象不经过第一象限，
∴m﹣3＜0，
∴m＜3，
则﹣3＜m＜3且m≠﹣2，
在﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3这7个数中符合﹣3＜m＜3且m≠﹣2的有﹣1，0，1，2这4个数，
∴使分式方程的解为负数且一次函数图象不过第一象限的概率为 ，
故答案为： ．
三．解答题
13．（2022•丰顺县校级开学）一则广告声称本次活动的中奖率为 20%，其中一等奖的中奖率为1%．小明
看到这则广告后，想：“我抽5张就会有1张中奖，抽100张就会有1张中一等奖．”你认为小明的想
法对吗？
【思路引导】概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发
生．
【完整解答】解：小明的想法不对．
因为小明将本次抽奖活动中奖率为20%，一等奖中奖率为1%，理解错了，其中的20%、1%是针对所有
的奖券而言，而不是任抽几张，这几张的 1%为一等奖，20%都获奖，所抽取的几张，可能都有奖，也
可能都没有中奖．
14．（2019•宽城区一模）在一个不透明的袋子中装有三个小球，分别标有数字﹣2、2、3，这些小球除数
字不同外其余均相同，现从袋子中随机摸出一个小球记下数字后放回，搅匀后再随机摸出一个小球，用
画树状图或列表的方法，求两次摸出的小球上数字之和是正数的概率．
【思路引导】画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次摸出小球上的数字的和为正数的结果
数，然后根据概率公式求解．
【完整解答】解：画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中和为正数的结果有6种，
∴两次摸出的小球上数字之和是正数的概率为 ＝ ．
15．（2022春•渭滨区期末）在一个不透明的口袋里装有4个白球和6个红球，它们除颜色外完全相同．
（1）事件“从口袋里随机摸出一个球是绿球”发生的概率是 0 ；
（2）事件“从口袋里随机摸出一个球是红球”发生的概率是 ；
（3）从口袋里取走x个红球后，再放入x个白球，并充分摇匀，若随机摸出白球的概率是 ，求x的值．
【思路引导】（1）根据口袋中没有绿球，不可能摸出绿球，从而得出发生的概率为0；
（2）用红球的个数除以总球的个数即可；
（3）设放入x个白球，根据概率公式列出算式，求出x的值即可得出答案．
【完整解答】解：（1）∵不透明的口袋里装有4个白球和6个红球，
∴“从口袋里随机摸出一个球是绿球”发生的概率是0；
故答案为：0；
（2）∵不透明的口袋里装有4个白球和6个红球，
∴“从口袋里随机摸出一个球是红球”发生的概率是 ＝ ；
故答案为： ；
（3）根据题意得：
＝ ，
解得x＝4，
则x的值是4．
16．（2022春•宁阳县期末）一只口袋里放着4个红球、8个黑球和若干个白球，这三种球除颜色外没有任
何区别，并搅匀．
（1）取出红球的概率为 ，白球有多少个？
（2）在（1）的条件下，取出黑球的概率是多少？
（3）再在原来的袋中放进多少个红球，能使取出红球的概率达到 ？【思路引导】（1）首先设袋中有白球x个．由题意得：4+8+x＝4×5，解此方程即可求得答案；
（2）由只口袋里放着4个红球、8个黑球和8个白球，这三种球除颜色外没有任何区别，直接利用概率
公式求解即可求得答案；
（3）首先设再在原来的袋中放入y个红球．由题意得：3（4+y）＝20+y，或2（4+y）＝8+8，继而求得
答案．
【完整解答】解：（1）设袋中有白球x个．
由题意得：4+8+x＝4×5，
解得：x＝8，
答：白球有8个；
（2）取出黑球的概率为： ，
答：取出黑球的概率是 ，
（3）设再在原来的袋中放入y个红球．
由题意得：3（4+y）＝20+y，或2（4+y）＝8+8，
解得：y＝4，
答：再在原来的袋中放进4个红球，能使取出红球的概率达到 ．
17．（2022春•榆林期末）如图某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：每购买
500元商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针上对准 500、200、100、50、10的
区域，顾客就可以分别获得500元、200元、100元、50元、10元的购物券一张（转盘等分成20份）．
（1）小华购物450元，他获得购物券的概率是多少？
（2）小丽购物600元，那么：
①她获得50元购物券的概率是多少？
②她获得100元以上（包括100元）购物券的概率是多少？【思路引导】（1）由于每购买500元商品，才能获得一次转动转盘的机会，所以小华购物450元，不
能获得转动转盘的机会，故获得购物券的概率为0；
（2）①找到50元的份数占总份数的多少即为获得50元购物券的概率；
②找到100元及以上的份数占总份数的多少即为获得100元以上（包括100元）购物券的概率．
【完整解答】解：（1）∵450＜500，
∴小华购物450元，不能获得转动转盘的机会，
∴小华获得购物券的概率为0；
（2）小丽购物600元，能获得一次转动转盘的机会．
①她获得50元购物券的概率是 ＝ ；
②她获得100元以上（包括100元）购物券的概率是 ．
18．（2022春•锦州期末）如图，是一个材质均匀的转盘，转盘分成8个全等的扇形，颜色分为红、绿、
黄三种，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，（若指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边
的扇形），转动一次转盘：
（1）求指针指向绿色扇形的概率；
（2）指针指向红色扇形的概率大，还是绿色扇形概率大？为什么？
【思路引导】（1）将所用可能结果和指针指向绿色的结果列举出来，后者除以前者即可；
（2）将所用可能结果和指针指向红色的结果列举出来，求出指针指向红色扇形的概率，进而比较即可．
【完整解答】解：按颜色把8个扇形分为2红、3绿、3黄，所有可能结果的总数为8，（1）指针指向绿色的结果有3个，
∴P（指针指向绿色）＝ ；
（2）指针指向红色的结果有2个，
则P（指针指向红色）＝ ＝ ，
由（1）得：指针指向绿色扇形的概率大．
19．（2021春•济南期末）一圆盘被平均分成10等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个
数字，转盘上有指针，转动转盘，当转盘停止，指针指向的数字即为转出的数字，现有两人参与游戏，
一人转动转盘另一人猜数，若猜的数与转盘转出的数相符，则猜数的获胜，否则转动转盘的人获胜，猜
数的方法从下面三种中选一种：
（1）猜“是奇数”或“是偶数”；
（2）猜“是3的倍数”或“不是3的倍数”；
（3）猜“是大于4的数”或“是不大于4的数”．若你是猜数的游戏者，为了尽可能获胜，应选第几
种猜数方法？并请你用数学知识说明理由．
【思路引导】由一圆盘被平均分成10等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字，
利用概率公式即可求得“是奇数”或“是偶数”，“是3的倍数”或“不是3的倍数”，“是大于4的
数”或“是不大于4的数”的概率．
【完整解答】解：选第2种猜数方法．
理由：P（是奇数） ＝0.5，P（是偶数） ＝0.5；
P（是3的倍数） ＝0.3，P（不是3的倍数） ＝0.7；
P（是大于4的数） ＝0.6，P（不是大于4的数） ＝0.4．
∵P（不是3的倍数） 最大，
∴选第2种猜数方法，并猜转盘转得的结果不是3的倍数．
20．（2021春•富平县期末）如图，把一个木制正方体的表面涂上颜色，然后将正方体分割成 27个大小相
同的小正方体，从这些小正方体中任意取出一个，求取出的小正方体；
（1）只有一面涂有颜色的概率；
（2）至少有两面涂有颜色的概率；
（3）各个面都没有颜色的概率．【思路引导】（1）得出一面涂有颜色的小正方体有6个，再根据概率公式解答即可；
（2）得出至少有两面涂有颜色的小正方体有20个，再根据概率公式解答即可；
（3）得出各个面都没有涂颜色的小正方体共有1个，再根据概率公式解答即可．
【完整解答】解：（1）因为一面涂有颜色的小正方体有6个，
所以P（一面涂有颜色）＝ ＝ ；
（2）因为至少两面涂有颜色的小正方体有12+8个，
所以P（至少两面涂有颜色）＝ ＝ ；
（3）因为各个面都没有涂颜色的小正方体共有1个，
所以P（各个面都没有涂颜色）＝
