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专题 05 二次函数的应用（综合题）
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易错点拨
知识点01：列二次函数解应用题
列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，
表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：
(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等
量关系 ( 即函数关系 )．
(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．
(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．
(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。
(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．
(6)写出答案．
细节剖析:
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系
式 .
知识点02：建立二次函数模型求解实际问题
一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关
系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．
细节剖析:
(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存
在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际
问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：
①首先必须了解二次函数的基本性质；
②学会从实际问题中建立二次函数的模型；
③借助二次函数的性质来解决 实际问题 .
易错题专训
一．选择题
1．（2022•碑林区校级模拟）一身高1.8m的篮球运动员在距篮板AB＝4m（DE与AB的水平距离）处跳起投
篮，球在运动员头顶上方0.25m处出手，在如图所示的直角坐标系中，球在空中运行的路线可以用y＝
﹣0.2x2+3.5来描述，那么球出手时，运动员跳离地面的高度为（ ）
A．0.1 B．0.15 C．0.2 D．0.25
【易错思路引导】当y＝3.05时，代入解析式3.05＝﹣0.2x2+3.5，解得x＝1.5m，求得4﹣1.5＝2.5，
当x＝﹣2.5时，y＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5＝2.25，即可得到结论．【规范解答】解：当y＝3.05时，
即3.05＝﹣0.2x2+3.5，
解得：x＝1.5m，
∴4﹣1.5＝2.5，
当x＝﹣2.5时，y＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5＝2.25，
∴2.25﹣0.25﹣1.8＝0.2m，
答：球出手时，他跳离地面的高度为0.2m．
故选：C．
【考察注意点】本题考查了二次函数的应用，求出球出手时，对应的横坐标，代入表达式是解题关键．
2．（2021秋•鄞州区校级月考）小明发现，将二次函数y＝ax2﹣6ax的图象在x轴及其上方的部分C向右
1
平移得到C，这两部分组成的图案酷似某快餐品牌的logo．经测量，该图案两个顶点间的距离BB与底
2 1
部跨度OA的比值为 2：5，点P是C与C的交点，若△BBP恰好为等腰直角三角形，则a的值为
1 1 2 1
（ ）
A．﹣0.5 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣2.5
【易错思路引导】根据二次函数解析式得到点A坐标，对称轴，根据平移的性质得到OO＝BB＝AA，设
1 1 1
BB＝2m，求出x值，得到平移距离，可得C的解析式，令y＝y，求出点P坐标，根据等腰直角三角形
1 2 1 2
的性质得到BP2＝ BB2＝ ×42＝4+16a2，求出a值，根据开口方向得到结果．
1
【规范解答】解：∵y＝ax2﹣6ax＝ax（x﹣6），
∴A（6，0），对称轴为直线x＝3，
∴y＝9a﹣18a＝﹣9a，
∴B（3，﹣9a），
∵BB：OA＝2：5，
1 1
∴设BB＝2m，则OA＝5m，
1 1
∵OO＝BB＝AA，
1 1 1∴OO＝2m＝AA，
1 1
∵OA＝5m，
1
∴OA＝m，
1
∴OA＝3m＝6，
∴m＝2．
∴移动的距离为2m＝4，
∴C：y＝a（x﹣4）2﹣6a（x﹣4）＝ax2﹣14ax+40a，
2
令ax2﹣14ax+40a＝ax2﹣6ax，
解得x＝5，
∴P（5，﹣5a），
∴BP2＝（5﹣3）2+[﹣5a﹣（﹣9a）]2＝4+16a2，
∵△BBP是等腰直角三角形，
1
∴BP2＝ BB2＝ ×42＝4+16a2，
1
解得a＝± ，
∵抛物线开口朝下，
∴a＜0，
∴a＝﹣ ．
故选：A．
【考察注意点】本题考查了二次函数图像的平移，二次函数的图像和性质，等腰直角三角形的性质，解
题的关键是注意结合图像，求出平移距离．
3．（2021秋•鹿邑县月考）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现某次铅球行进高度y（m）与水平
距离x（m）之间的关系为y＝﹣ （x﹣4）2+3，由此可知，小明这次的推铅球的成绩为（ ）
A．3m B．4m C．8m D．10m
【易错思路引导】根据抛物线的解析式即可求出铅球达到的最大高度；再根据铅球落地时，高度y＝
0，把实际问题可理解为当y＝0时，求x的值即可．
【规范解答】解：∵y＝﹣ （x﹣4）2+3，
∴抛物线的顶点坐标为（4，3），∴当x＝4时，铅球达到的最大高度为3米，
令函数式y＝﹣ （x﹣4）2+3中，y＝0，
0＝﹣ （x﹣4）2+3，
解得x＝10，x＝﹣2（舍去），
1 2
答：铅球推出的距离是10m．
故选：D．
【考察注意点】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，
取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
4．（2022•自贡）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边
靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠
墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（ ）
A．方案1 B．方案2
C．方案3 D．方案1或方案2
【易错思路引导】分别计算三个方案的菜园面积进行比较即可．
【规范解答】解：方案1：设AD＝x米，则AB＝（8﹣2x）米，
则菜园面积＝x（8﹣2x）＝﹣2x2+8x＝﹣2（x﹣2）2+8，
当x＝2时，此时菜园最大面积为8米2；
方案2：当∠BAC＝90°时，菜园最大面积＝ ×4×4＝8米2；方案3：半圆的半径＝ 米，
∴此时菜园最大面积＝ ＝ 米2＞8米2；
故选：C．
【考察注意点】本题考查了计算几何图形的面积的问题，根据题意计算三个方案的边长及半径是解本题
的关键．
5．（2019•南通）如图是王阿姨晚饭后步行的路程S（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象，其中
曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分．下列说法不正确的是（ ）
A．25min～50min，王阿姨步行的路程为800m
B．线段CD的函数解析式为S＝32t+400（25≤t≤50）
C．5min～20min，王阿姨步行速度由慢到快
D．曲线段AB的函数解析式为S＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）
【易错思路引导】根据函数图象中的信息，利用数形结合及求相关线段的解析式解答即可．
【规范解答】解：A、25min～50min，王阿姨步行的路程为2000﹣1200＝800m，故A没错；
B、设线段CD的函数解析式为s＝kt+b，
把（25，1200），（50，2000）代入得，
解得： ，
∴线段CD的函数解析式为S＝32t+400（25≤t≤50），故B没错；C、在A点的速度为 ＝105m/min，在A﹣B点的速度为 ＝ ＝45m/min，故C错误；
D、当t＝20时，由图象可得s＝1200m，将t＝20代入S＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）得S＝
1200，故D没错．
故选：C．
【考察注意点】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，正确的识别图象、数形结合是解题的关
键．
二．填空题
6．（2022•石家庄模拟）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从点A向四周喷水，喷出的水柱为抛
物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的
点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣ （x﹣5）2+6．
（1）雕塑高OA的值是 m；
（2）落水点C，D之间的距离是 2 2 m．
【易错思路引导】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，进而可得出雕塑高OA的
值；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，进而可得出OD的长度，由喷出的水柱为抛
物线且形状相同，可得出OC的长，结合CD＝OC+OD即可求出落水点C，D之间的距离．
【规范解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣ ×（0﹣5）2+6＝ ，
∴点A的坐标为（0， ），
∴雕塑高 m．
故答案为： ．
（2）当y＝0时，﹣ （x﹣5）2+6＝0，解得：x＝﹣1（舍去），x＝11，
1 2
∴点D的坐标为（11，0），
∴OD＝11m．
∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
∴OC＝OD＝11m，
∴CD＝OC+OD＝22m．
故答案为：22．
【考察注意点】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征
求出点A的坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点D的坐标．
7．（2021春•曾都区校级月考）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平
距离x（m）之间的关系
为y＝﹣ （x﹣4）2+4，由此可知铅球推出的距离 （ 4+ 4 ） m．
【易错思路引导】根据铅球落地时，高度y＝0，实际问题可理解为当y＝0时，求x的值即可．
【规范解答】解：令函数式y＝﹣ （x﹣4）2+4中，y＝0，
0＝﹣ （x﹣4）2+4，
解得x＝4+4 ，x＝4﹣4 （舍去），
1 2
即铅球推出的距离是（4+4 ）m．
故答案为：（4+4 ）．
【考察注意点】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，
取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
8．（2018秋•思明区校级期中）汽车刹车后的距离y（单位：m）与行驶的时间x（单位：s）的函数关系
式是：y＝10x﹣x2，那么汽车刹车后到静止滑行了 2 5 m．
【易错思路引导】根据二次函数的顶点坐标的纵坐标即可求解．
【规范解答】解：y＝10x﹣x2
＝﹣（x﹣5）2+25．
所以汽车刹车后到静止滑行了25m．
故答案为25．
【考察注意点】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是运用二次函数的最值解决问题．
9．（2022•南充）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，
水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高 8 m时，水柱落点距O点
4m．
【易错思路引导】由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高 2.5m
时，可设y＝ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出 2.5a+b+1＝0；喷头高 4m时，可设y＝
ax2+bx+4；将（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0，联立可求出a和b的值，设喷头高为h时，水柱落点
距O点4m，则此时的解析式为y＝ax2+bx+h，将（4，0）代入可求出h．
【规范解答】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，
当喷头高2.5m时，可设y＝ax2+bx+2.5，
将（2.5，0）代入解析式得出6.25a+2.5b+2.5＝0，
整理得2.5a+b+1＝0①；
喷头高4m时，可设y＝ax2+bx+4；
将（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0②，
联立可求出a＝﹣ ，b＝ ，
设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，
∴此时的解析式为y＝﹣ x2+ x+h，
将（4，0）代入可得﹣ ×42+ ×4+h＝0，
解得h＝8．
故答案为：8．
【考察注意点】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二
次函数的平移性质是解题关键．10．（2021秋•鹿城区校级期中）图1是世界第一高桥—北盘江大桥，其桥底呈抛物线，主桥底部跨度OA
＝500米，以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），桥面BF∥OA，抛物线
最高点E离桥面距离EF＝12米，BC＝150米，桥面BF上点C作CD⊥BF交抛物线于点D．若O，D，B三
点恰好在同一直线上，则CD＝ 21. 6 米．
【易错思路引导】先根据题意设出函数解析式，再求出个点坐标，从而求出CD＝﹣10000a+12，再根据
O，D，B三点恰好在同一直线上，BF∥OA，得出 ＝ ，把BC，CD，AO，AB代入得出关于a的方程，
解方程求出a的值，再把a代入CD＝﹣10000a+12，即可．
【规范解答】解：根据题意，设抛物线为y＝ax（x﹣500）（a＜0），
∵OA＝500m，EF＝12m，
∴E（250，﹣62500a），F（250，﹣62500a+12），
∴B（500，﹣62500a+12），
∵BC＝150m，
∴x＝500﹣150＝350，
D
y＝350a×（350﹣500）＝﹣52500a，
D
∴CD＝﹣62500a+12﹣（﹣52500a）＝（﹣10000a+12）（m），
∵O，D，B三点恰好在同一直线上，BF∥OA，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
则150（﹣62500a+12）＝500（﹣10000a+12）．
解得：a＝﹣ ，
经检验，a＝﹣ 是原方程的根，∴CD＝21.6（m）．
故答案为：21.6．
【考察注意点】本题考查二次函数在实际生活中的应用，关键是根据题意设出函数解析式，求各点坐标．
11．（2019秋•厦门期末）某日6时至10时，某交易平台上一种水果的每千克售价、每千克成本与交易时
间之间的关系分别如图1、图2所示（图1、图2中的图象分别是线段和抛物线，其中点P是抛物线的顶
点）．在这段时间内，出售每千克这种水果收益最大的时刻是 9 时 ，此时每千克的收益是 元 ．
【易错思路引导】根据两个函数图象分别求出两个函数解析式，再根据收益＝售价﹣成本列出二次函数
即可求解．
【规范解答】解：设图1中交易时间y与每千克售价x的函数关系式为：
1 1
y＝kx+b，
1 1
将（5，10）（6，8）代入解得k＝﹣2，b＝20，
所以y＝﹣2x+20
1 1
设每千克成本y与交易时间x的函数关系式为：
2 2
y＝a（x﹣10）2+3
2 2
将（6，7）代入，解得a＝
所以y＝ （x﹣10）2+3
2 2
＝ x2﹣5x+28
2 2
设在这段时间内，出售每千克这种水果的收益为w元，
根据题意，得
y＝ x2﹣5x+28
2 2 2
＝ （﹣2x+20）2﹣5（﹣2x+20）+28
1 1＝x2﹣10x+28
1 1
w＝x﹣y
1 2
＝x﹣（x2﹣10x+28）
1 1 1
＝﹣x2+11x﹣28
1 1
＝﹣（x﹣ ）2+
1
当x＝ 时，y＝﹣11+20＝9，
1 1
w取得最大值，最大值为 ．
答：在这段时间内，出售每千克这种水果收益最大的时刻为9时，
此时每千克的收益是 元．
故答案为：9时， 元．
【考察注意点】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是综合利用两个函数图象．
12．（2022•金东区三模）一个玻璃杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线AD，BC为同一抛
物线的一部分，AB，CD都与水平地面平行，当杯子装满水后AB＝4cm，CD＝8cm，液体高度12cm，将杯
子绕C倾斜倒出部分液体，当倾斜角∠ABE＝45°时停止转动．如图2所示，此时液面宽度BE为 5
cm，液面BE到点C所在水平地面的距离是 7 cm．
【易错思路引导】以AB的中点为原点，直线AB为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，
得出A，B，C，D的坐标用待定系数法求抛物线的解析式；将杯子绕C倾斜倒出部分液体，当倾斜角
∠ABE＝45°时停止转动，所以旋转前BE与水平方向的夹角为45°，即∠ABE＝45°，求出BE与y轴的
交点坐标P，把点B、P代入求出直线BE的解析式，水面BE到平面的距离实际就是点C到直线BE的距
离，过点C作BP的垂线交BP于点M，过点C作y轴的平行线，交直线BP于点N，根据题意可得△CMN是
等腰直角三角形，由此可得出点M的坐标，用两点间的距离公式求出C点到BE的距离．
【规范解答】解：如图1，以AB的中点为原点，直线AB为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，
由题意得：A（﹣2，0），B（2，0），C（4，﹣12），D（﹣4，﹣12），
设抛物线的解析式为：y＝ax2+b，
将B（2，0），C（4，﹣12），代入得： ，
解得： ，
∴y＝﹣x2+4；
根据题意可知，∠ABE＝45°，设BE与y轴的交点坐标P，
∴△OBP是等腰直角三角形，
∴OB＝OP＝2，
∴P（0，﹣2），
∴直线BP的解析式为：y＝x﹣2，
令﹣x2+4＝x﹣2，解得x＝2（舍）或x＝﹣3，
∴E（﹣3，﹣5）．
∴BE＝ ＝5 ，DE＝7 ，
水面BE到平面的距离实际就是点C到直线BE的距离，如图1，过点C作BP的垂线交BP于点M，过点C
作y轴的平行线，交直线BP于点N，
∴△MNC是等腰直角三角形，
∵C（4，﹣12），
∴N（4，2）．
∴CN＝14．
过点M作MQ⊥CN于点Q，
∴Q是CN的中点，且MQ＝NQ＝CQ，
∴Q（4，﹣5），
∴M（﹣3，﹣5）．
∴CM＝ ＝7 ．
故答案为：5 ；7 ．【考察注意点】本题考查了二次函数，一次函数在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系和待定系
数法求解析式是解题的关键．
三．解答题
13．（2022•城厢区校级一模）为了防控新冠疫情，某市计划在体育中考时增设考生进入考点需进行体温
检测的措施．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进
入考点的累计人数y（人）与时间x（分钟）的变化情况，数据如下表：（表中9～15表示9＜x≤15）
时间x（分钟） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9～15
人数y（人） 0 170 320 450 560 650 720 770 800 810 810
（1）根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出y与x
之间的函数关系式；
（2）如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队
测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？
【易错思路引导】（1）分两种情况讨论，利用待定系数法可求解析式；
（2）设第x分钟时的排队人数为w人，由二次函数的性质和一次函数的性质可求当x＝7时，w的最大
值＝490，当9＜x≤15时，210≤w＜450，可得排队人数最多时是490人，由全部考生都完成体温检测
时间×每分钟检测的人数＝总人数，可求解．
【规范解答】解：（1）由表格中数据的变化趋势可知，
①当0≤x≤9时，y是x的二次函数，
∵当x＝0时，y＝0，
∴二次函数的关系式可设为：y＝ax2+bx，
由题意可得： ，
解得： ，
∴二次函数关系式为：y＝﹣10x2+180x，
②当9＜x≤15时，y＝810，∴y与x之间的函数关系式为：y＝ ；
（2）设第x分钟时的排队人数为w人，
由题意可得：w＝y﹣40x＝ ，
①当0≤x≤9时，w＝﹣10x2+140x＝﹣10（x﹣7）2+490，
∴当x＝7时，w的最大值＝490，
②当9＜x≤15时，w＝810﹣40x，w随x的增大而减小，
∴210≤w＜450，
∴排队人数最多时是490人，
要全部考生都完成体温检测，根据题意得：810﹣40x＝0，
解得：x＝20.25，
答：排队人数最多时有490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟．
【考察注意点】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，一次函数的性质，一元一次不等式的应
用，理解题意，求出y与x之间的函数关系式是本题的关键．
14．（2022•巩义市模拟）春节即将到来，某水果店进了一些水果，在进货单上可以看到：每次进货价格
没有变化，第一次进货苹果400千克和梨500千克，共支付货款6200元；第二次进货苹果600千克和梨
200千克，共支付货款6000元；为了促销，该店推出一款水果礼盒，内有3千克苹果和2千克梨，包装
盒每个4元．市场调查发现：该礼盒的售价是70元时，每天可以销售80盒；每涨价1元，每天少销售
2盒．
（1 ）求每个水果礼盒的成本（成本＝水果成本+盒子成本）；
（2）若每个礼盒的售价是a元（a是整数），每天的利润是w元，求w关于a的函数解析式（不需要写
出自变量的取值范围）；
（3）若每个礼盒的售价不超过m元（m是大于70的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．
【易错思路引导】（1）设苹果进货价格为x元/千克，梨进货价格为y元/千克，根据题意列出方程组
可求出x和y的值，进而得出结论；
（2）根据w＝（售价﹣成本）×数量可得结论；
（3）根据二次函数的性质可直接得出结论．
【规范解答】解：（1）设苹果进货价格为x元/千克，梨进货价格为y元/千克，依题意可列方程组： ，
解得x＝8，y＝6．
∴苹果进货价格为8元/千克，梨进货价格为6元/千克
∴每个礼盒的成本为：8×3+6×2+4＝40（元）．
（2）w＝（a﹣40）[80﹣2（a﹣70）]＝﹣2a2+300a﹣8800．
（3）由（2）知，w＝﹣2（a﹣75）2+3450，
∴当m≥75时，每天的最大利润为2450元；
当70＜m＜75时，每天的最大利润为﹣2m2+300m﹣8800．
【考察注意点】本题主要考查二次函数的应用，涉及二元一次方程组的应用，二次函数的性质等知识，
关键是根据题意得出相关函数式．
15．（2022•江夏区模拟）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经
销商购进A，B两种型号的低排量汽车，其中A型汽车的进货单价比B型汽车的进货单价多2万元；购进
2台A型汽车，5台B型汽车共花费60万元．
（1）填空A，B两种型号汽车的进货单价分别为 1 0 万 ， 8 万 元；
（2）销售过程中发现：A型汽车的每周销售量y（台）与售价x（万元/台）满足函数关系y＝﹣
A A
x+18；B型汽车的每周销售量y（台）与售价z（万元/台）满足函数关系y＝﹣z+14．若B型汽车的利
B B
润比A型汽车的利润高1万元/台，设每周销售这两种车的总利润为w万元．
①当A型汽车售价是多少时，A型汽车的利润率是B型汽车利润率的 （利润率＝ ）；
②填空：当B型汽车的售价为 1 3 万元时，每周销售这两种汽车的总利润最大为 1 7 万元．
【易错思路引导】（1）设A型汽车的进货单价为a万元，B型汽车的进货单价为b万元．根据题意，得
出二元一次方程组，解之即可；
（2）设A型号的汽车利润为t万元/台，则B型汽车的售价为（t+1）万元/台，
①根据题意列出关于t的方程，即可得答案．
②根据题意写出w关于t的函数关系式，由二次函数的性质可得答案．
【规范解答】解：（1）设A型汽车的进货单价为a万元，B型汽车的进货单价为b万元．
根据题意， ，
解得 ．
故答案为：10万；8万；（2）设A型号的汽车利润为t万元/台，则B型汽车的售价为（t+1）万元/台，
①∵A型汽车的利润率是B型汽车利润率的 ，
∴ ＝ × ，
解得t＝5，
∴t+1＝6，
∴A型汽车售价是5+10＝15（万元/台）．
∴当A型汽车售价是15万元/台时，A型汽车的利润率是B型汽车利润率的 ．
②根据题意可知，z＝x+1，
∴得：w＝（x﹣10）（﹣x+18）+（x+1﹣8）[﹣（x+1）+14]
＝﹣2x2+48x﹣271
＝﹣2（x﹣12）2+17，
∵﹣2＜0，
∴当x＝12时，w有最大值为17．
∴z＝12+1＝13（万元）．
故答案为：13；17．
【考察注意点】本题考查了二元一次方程组的应用和二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关
系并明确二次函数的性质是解题的关键．
16．（2022•衢州）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线OE为x轴，
铅垂线OD为y轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度v（m/s）从D点滑出，运动轨迹近似抛物线y＝
﹣ax2+2x+20（a≠0）．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡CE上设置点K（与DO相距32m）作为
标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标．
（1）求线段CE的函数表达式（写出x的取值范围）．（2）当a＝ 时，着陆点为P，求P的横坐标并判断成绩是否达标．
（3）在试跳中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关，进一步探究，测算得7组a与v2的对应数据，
在平面直角坐标系中描点如图3．
①猜想a关于v2的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．
②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到 1m/s）？（参考数据： ≈1.73，
≈2.24）
【易错思路引导】（1）由图2可知：C（8，16），E（40，0），利用待定系数法可得出结论；
（2）当 时， ，联立 ，可得出点P的横坐标，比较jke
得出结论；
（3）①猜想a与v2成反比例函数关系．将（100，0.250）代入表达式，求出m的值即可．将（150，
0.167）代入 进行验证即可得出结论；
②由K在线段 上，得K（32，4），代入得y＝﹣ax2+2x+20，得 ．由 得v2＝
320，比较即可．
【规范解答】解：（1）由图2可知：C（8，16），E（40，0），
设CE：y＝kx+b（k≠0），
将C（8，16），E（40，0）代入得： ，解得 ，
∴线段CE的函数表达式为 （8≤x≤40）．
（2）当 时， ，
由题意得 ，
解得x＝0（舍去），x＝22.5．
1 2
∴P的横坐标为22.5．
∵22.5＜32，
∴成绩未达标．（3）①猜想a与v2成反比例函数关系．
∴设 ，
将（100，0.250）代入得 ，解得m＝25，
∴ ．
将（150，0.167）代入 验证： ，
∴ 能相当精确地反映a与v2的关系，即为所求的函数表达式．
②由K在线段 上，得K（32，4），代入得y＝﹣ax2+2x+20，得 ．
由 得v2＝320，
又∵v＞0，
∴ ．
∴当v≈18m/s时，运动员的成绩恰能达标．
【考察注意点】本题属于函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，反比例函数的应用及二次函数
综合应用，熟知待定系数法求函数解析式是解题关键．
17．（2022春•青秀区校级期末）2022年广西雨水增多，种植荔枝的果农损失严重，为了增加农民收入，
助力乡村振兴．某驻村干部指导农户进行荔枝种植和销售，已知荔枝的种植成本为 8元/kg，经市场调
查发现，今年端午节期间荔枝的销售量y（单位：kg）与销售单价x（单位：元/kg）（8≤x≤40）满足
的函数图象如图所示．
（1）根据图象信息，求y与x的函数关系式；
（2）当销售单价为30元/kg时，销售荔枝获得的利润是多少元？
（3）求端午节期间销售荔枝获得的最大利润．【易错思路引导】（1）分为8≤x≤32和32＜x≤40求解析式；
（2）把x＝30代入y＝﹣3x+216中即可求解销售量，利用利润＝销售量×（销售单价﹣成本）得出结
论；
（3）根据“利润＝（售价﹣成本）×销售量”列出利润的表达式，再根据函数的性质求出最大利润．
【规范解答】解：（1）当8≤x≤32时，设y＝kx+b（k≠0），
则 ，解得： ，
∴当8≤x≤32时，y＝﹣3x+216，
当32＜x≤40时，y＝120，
∴y＝ ．
（2）当x＝30时，y＝﹣3×30+216＝126，
∴当荔枝的销售单价定为30元/千克时，荔枝的销售量为126千克，
∴当x＝30时，利润为：126×（30﹣8）＝2772（元）；
（3）设利润为W，则：
当8≤x≤32时，W＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣3x+216）＝﹣3（x﹣40）2+3072，
∵开口向下，对称轴为直线x＝40，
∴当8≤x≤32时，W随x的增大而增大，
∴x＝32时，W ＝2880，
最大
当32＜x≤40时，W＝（x﹣8）y＝120（x﹣8）＝120x﹣960，
∵W随x的增大而增大，
∴x＝40时，W ＝3840，
最大
∵3840＞2880，
∴最大利润为3840元．【考察注意点】本题以利润问题为背景，考查了待定系数法求一次函数的解析式、分段函数的表示、二
次函数的性质，本题解题的时候要注意分段函数对应的自变量x的取值范围和函数的增减性，先确定函
数的增减性，才能求得利润的最大值．
18．（2022春•拱墅区校级期末）如图，某农户准备围成一个长方形养鸡场，养鸡场靠墙AB（AB＝18米），
另三边利用现有的36米长的篱笆围成，若要在与墙平行的一边开一扇2米宽的门，且篱笆没有剩余．
（1）若围成的养鸡场面积为120平方米，则这个养鸡场与墙垂直的一边和与墙平行的一边各是多少米？
（2）这个养鸡场的面积是否有最大值？若有，求出这个最大值；若没有，请说明理由．
【易错思路引导】（1）设这个长方形养鸡场与墙垂直的边长是x米，用总长减去一个2倍的长加上2
即可求得与墙平行的墙长；根据面积为120平方米结合矩形的面积列出方程求解即可．
（2）根据（1）中所列等式，根据二次函数的性质可得出结论．
【规范解答】解：（1）设这个长方形养鸡场与墙垂直的边长是x米，则与墙平行的边长是（36﹣
2x+2）．即（38﹣2x）米．
根据题意得：x（38﹣2x）＝120，
整理，得 2x2﹣38x+120＝0，
解得 x＝15，x＝4．
1 2
当x＝15时，36﹣2x＝6＜18，符合题意．
1
当x＝4时，36﹣2x＝28＞18，不符合题意．
2
答：这个长方形养鸡场与墙垂直的边长为15米，则与墙平行的边长为8米．
（2）存在，理由如下：
根据（1）中条件可知，S＝x（38﹣2x）＝﹣2（x﹣ ）2+ ，
∵38﹣2x≤18，
∴x≥10，
∵﹣2＜0，
∴当x≥10时，S随x的增大而减小，
∴当x＝10时，S的最大值为180，
此时38﹣2x＝18＝18，符合题意，∴当这个长方形养鸡场与墙垂直的边长为10米，则与墙平行的边长为18米时，面积的最大值为180平
方米．
【考察注意点】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的应用，解题的关键是根据题意表示出矩形
的长和宽，难度不大．
19．（2022•六盘水模拟）如图，篮球场上OF的长为25米，篮球运动员小明站在左方的点O处向右抛球，
球从离地面2米的A处抛出，球的运动轨迹可看作一条抛物线，在距O点4米的B处达到最高点，最高
点C距离地面4米；篮球在点D处落地后弹起，弹起后在点E处落地，且弹起后的轨迹与抛出后的轨迹
形状相同，但高度减少为原来最大高度的一半．以点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求抛物线ACD的函数表达式；
（2）求篮球第二次落地点E与点O之间的距离；
（3）若运动员小易在点E处拿球前进到点G处起跳投篮，起跳后篮球在距离地面3米的地方出手，球
出手后的运动轨迹与抛出后的轨迹形状相同，高度相等，并且恰好投入离地面3米的篮筐中，求EG的
长？
【易错思路引导】（1）根据顶点坐标为（4，4），可设顶点式，再将点A（0，2）代入可得；
（2）令y＝0可求出x的两个值，可以求出OD的长度，如图可得第二次篮球弹出后的距离为DE，相当
于将抛物线ACD向下平移了2个单位可得2＝﹣ （x﹣4）2解得x的值即可知道DE的值，进而可得答案；
（3）令y＝3，则3＝﹣ （x﹣4）2+4，解方程求出x的值，再用OE﹣x的值即可得出结论．
【规范解答】解：（1）设篮球开始飞出到第一次落地时抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，
∵h＝4，k＝4，
∴y＝a（x﹣4）2+4，
由已知：当x＝0时y＝2，
即2＝16a+4，∴a＝﹣ ，
∴抛物线ACD的函数表达式为y＝﹣ （x﹣4）2+4；
（2）令y＝0，﹣ （x﹣4）2+4＝0，
∴（x﹣4）2＝32，
解得：x＝4 +4≈9.7，x＝﹣4 +4＜0（舍去），
1 2
∴篮球第一次落地距O点约9.7米；
如图，第二次篮球弹出后的距离为DE，
根据题意：DE＝AN，相当于将抛物线ACD向下平移了2个单位，
∴2＝﹣ （x﹣4）2+4，
解得：x＝0，x＝8，
1 2
∴DE＝|x﹣x|＝8，
1 2
∴OE＝OD+DE≈9.7+8＝17.7（米），
∴篮球第二次落地点E距O点的距离约为17.7米；
（3）当y＝3时，3＝﹣ （x﹣4）2+4，
解得：x＝4﹣2 ≈1.2，x＝4+2 ≈6.8，
1 2
∵OF＝25，
∴EG＝OF﹣OE﹣（6.8﹣1.2）＝1.7（米），
∴EG的长为1.7米．
【考察注意点】本题主要考查二次函数应用问题，解题的关键是要有建模思想，将题目中的语句转化为
数学语言，这样才能较好的领会题意并运用自己的知识解决问题．
20．（2021•孝感二模）某商场销售的一种商品的进价为 30元/件，连续销售100天后，统计发现：在这100 天内，①该商品每天的销售价格 x（元/件）与时间八（第 t天）满足关系式：
．②该商品的日销售量y（件）与时间r（第t天）满足一次函数关系，部分数
据如下表：
时间t（第t 1 2 10 20 …
天）
日销售量y 119 118 110 100 …
（件）
（1）直接写出y与t之间的函数解析式；
（2）设销售该商品的日利润为w（元），请直接写出w与t之间的函数解析式，并求出在这100天内哪
天的日利润最大，最大日利润是多少元？
（3）在这100天内，日利润不低于4000元的共有多少天，请直接写出结果．
【易错思路引导】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）依据题意销售利润＝销售量x （售价﹣进价），易得出销售利润为W （元）与t （天）之间的函
数关系式；
（3）根据销售利润为W （元）与t （天）之间的函数关系式，求出利润超过4000元的天数即可．
【规范解答】解：（1）∵销售量y （件）与时间t （第1天）满足一次函数关系，
设y与x的一次函数关系式为：y＝kt+b，
将（1，119），（2，118）代入y＝kt+b，得 ，解得 ，
∴y＝﹣t+120（1≤t≤100）．
（2）根据题意可得，W＝y（x﹣30）
当1≤t＜60时，w＝（﹣t+120）（t+50﹣30）
＝﹣t2+100t+2400，
当60≤t≤100时，w＝（﹣t+120）（110﹣30）
＝﹣80t+9600．
∴w＝ ．
当1≤t＜60时，w＝﹣t2+100t+2400＝﹣（t﹣50）2+4900，
∵﹣1＜0，
∴当1≤t＜50时，w随t的增大而增大；当50＜t＜60时，w随t的增大而减小．∴当t＝50时，w的最大值为4900．
当60≤t≤100时，w＝﹣80t+9600．
∵﹣80＜0，
∴w随t的增大而减小，
∴t＝60时，w的最大值为4800．
∵4800＜4900，
∴第50日时日利润最大，且最大日利润为4900元．
（3）当1≤t＜60时，令w＝﹣t2+100t+2400＝4000，
解得t＝20或t＝80，
∴20≤t＜60时，符合题意；
当60≤t≤100时，w＝﹣80t+9600＝4000，
解得t＝70，
∴60≤t≤70时，符合题意；
∴当20≤t≤70时，日利润不低于4000元；
∴共有70﹣20+1＝51（天），
∴在这100天内，日利润不低于4000元的共有51天．
【考察注意点】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减
性来解答，根据每天的利润＝﹣﹣件的利润x销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二
次函数解决实际问题
