文档内容
期末重难点真题特训之易错必刷题型（126题37个考点）
【精选最新考试题型专训】
易错必刷题一、认识一元二次方程
1．（24-25九年级上·江西九江·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·福建漳州·期中）m是方程 的根，则式子 的值为 ．
3．（24-25九年级上·湖南永州·期中）定义新运算：对于任意实数a，b，c，d有 ，其
中等式右边是常用的乘法和减法运算．如： ．
(1)求 的值；
(2)已知关于x的方程 的一个根为2，求m的值．
易错必刷题二、用配方法求解一元二次方程
1．（24-25九年级上·广东珠海·阶段练习）解一元二次方程 ，配方后得到 ，则p
的值是（ ）
A．13 B．9 C．5 D．4
2．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）新定义：关于 的一元二次方程 与
称为“同族二次方程”．如 与 是“同族二次方程”．现有关于 的一元二次方程 与 是“同族二次方程”，那么代数式
能取的最小值是 ．
3．（24-25九年级上·辽宁营口·期中）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．
观察下列式子：
① ，
．因此．代数式 有最小值−2；
② ．
．
因此，代数式 有最大值4；
阅读上述材料并完成下列问题：
(1)代数式 的最小值为____________；代数式 的最大值为____________．
(2)求代数式 的最小值．
易错必刷题三、用公式法求解一元二次方程
1．（24-25九年级上·广东东莞·期中）若 是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方
程可以是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25九年级上·福建三明·期中）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确
答案小1，则正数a的值为 ．
3．（24-25九年级上·贵州毕节·期中）按要求解下列方程：(1) ；（公式法）
(2) ．（配方法）
易错必刷题四、用因式分解法求解一元二次方程
1．（24-25九年级上·辽宁铁岭·期中）方程 的根是（ ）
A． ， B． ，
C． D．
2．（24-25九年级上·广东河源·期中）定义新运算： ，例如：
．若 ，则x的值为 ．
3．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）解下列方程：
(1)
(2)
易错必刷题五、一元二次方程的根与系数的关系
1．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）若m、n是关于x的方程 的两个根，则 的
值为（ ）
A．4 B． C． D．
2．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）一元二次方程 的两根和为 ．
3．（24-25九年级上·贵州毕节·期中）若关于x的一元二次方程 有两个实数根 ，且 ，则称这样的方程为“伴根方程”．例如：一元二次方程 的两个根是 ，
且 ，则方程 是“伴根方程”，
(1)方程 ______“伴根方程”；（填“是”或“不是”）
(2)已知关于x的一元二次方程 （m是常数）是“伴根方程”，求m的值；
(3)若关于x的一元二次方程 是“伴根方程”，证明： ．
易错必刷题六、一元二次方程的应用（营销、数字、传播）问题
1．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）化学是一门以实验为基础的学科，小华在化学老师的帮助下，学会
了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，第一节课手把手教会了同一个学习小组的 名同学做该实验，
第二节课小华因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了 名同学，这样全班43
名同学恰好都会做这个实验了．求 的值．
2．（24-25九年级上·江西南昌·期中）据统计，某红色博物馆开馆的第一个月进馆75000人次，由于红色
文化深入人心，进馆人次逐月增加，第三个月进馆108000人次．若进馆人次的月平均增长率相同．
(1)求进馆人次的月平均增长率；
(2)因条件限制，该红色博物馆月接纳能力不能超过120000人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件
下，该红色博物馆能否接纳第四个月的进馆人次？并说明理由．
3．（24-25九年级上·四川成都·期中）某商场以每件 元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品
每天的销售量 （件）与每件售价 （元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．设该商场销售这种
商品每天获利 （元）．(1)求 与 之间的函数关系式；
(2)该商场规定这种商品每件售价不得高于40元，商品要想获得 元的利润，每件商品的售价应定为多少
元？
易错必刷题七、一元二次方程的应用（图形、动态几何、行程）问题
1．（24-25九年级上·山西阳泉·期中）如图，设计修建一个矩形花坛，已知花坛长150米，宽80米．设计
在花坛中修建一条横向通道和两条纵向通道，各通道的宽度相等且为x米．
(1)用含x的式子表示横向通道的面积；
(2)当三条通道的面积是矩形面积的八分之一时，求通道的宽．
2．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速
直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平
均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动．
(1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？
(2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1， ， ）
3．（23-24九年级上·甘肃平凉·阶段练习）如图，在 中， ， ， ，点P从点A开始沿 边向点B以 的速度移动，点Q从点B开始沿 边向点C以 的度移动．当
点Q到达C点时，点P，点Q停止运动．
(1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后， 的长度等于 ？
(2)在（1）中，当 的面积等于 时，求P点的运动时间．
易错必刷题八、二次函数的概念
1．（23-24九年级上·上海·阶段练习）下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24九年级上·上海松江·期末）某件商品原价为100元，经过两次涨价后的价格为 元，如果每次
涨价的百分率都是 ，那么 关于 的函数关系式为 ．
3．（23-24九年级·上海·假期作业）下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，
请指出二次项、一次项系数及常数项．
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．易错必刷题九、二次函数的图像
1．（23-24九年级上·山西晋城·期末）如图，二次函数 的图象是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25九年级上·上海·期中）如果二次函数 的图象在它对称轴左侧部分是上升的，那么a
的取值范围是 ．
3．（23-24九年级·上海·假期作业）将函数 、 与函数 的图像进行比较，函数
、 的图像有哪些特征？完成下表．
开口方
抛物线 对称轴 顶点坐标
向易错必刷题十、二次函数图象与各项系数符号
1．（24-25九年级上·上海·期中）已知二次函数 的图象如图所示，那么a、b、c的符号为
（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
2．（2024·上海虹口·一模）已知抛物线 如图所示，那么点 在第 象限．
3．（23-24九年级上·吉林·期末）已知抛物线 ，如图所示，直线 是其对称轴．
(1)确定a、b、c的符号；
(2)当x取何值时， ；当x取何值时， ．易错必刷题十一、二次函数图象综合判断
1．（2024·上海闵行·一模）已知反比例函数y＝ ，当x＞0时，y的值随x的值增大而增大，下列四个选
项中，可能是二次函数y＝2kx2﹣x﹣k图象的选项是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24九年级上·浙江温州·开学考试） 如图，已知抛物线 （a，b均不为0）与双曲线
的图象相交于 ， ， 三点．则不等式 的解是 ．
3．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）如图，抛物线 与直线 相交于点A(−2,0)和点
．
(1)求 和 的值；(2)求点 的坐标，并结合图象写出不等式 的解集．
易错必刷题十二、抛物线与x轴的交点问题
1．（23-24九年级上·上海·阶段练习）二次函数 的图像如图所示，现有以下结论：
① ；
② ；
③ ；
④ ；其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）抛物线 与x轴的两个交点之间的距离为 ．
3．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴、y轴分别交于
A，B两点．抛物线 经过点A且交线段 于点C．
(1)求k的值．
(2)求点C的坐标．(3)直接写出当x在何范围时， ．
易错必刷题十三、待定系数法求二次函数解析式
1．（2024·上海奉贤·一模）已知二次函数 的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对
应值如下表：
x … 0 1 3 4 5 …
y … …
关于它的图象，下列判断正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．一定经过点 D．在对称轴左侧部分自左至右是下降的
2．（24-25九年级上·上海宝山·期中）二次函数 中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，
则m的值为 ．
0 1 2 3 4
7 2 2 7
3．（2024·浙江·模拟预测）如图，已知二次函数 图象经过点 和 ．
(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
(2)当 时，请根据图象直接写出x的取值范围．易错必刷题十四、利用不等式求自变量或函数值的范围
1．（2024·甘肃武威·二模）抛物线 的部分图象如图所示，其与x轴时的一个交点为
，对称轴为直线 ，将抛物线 沿着x轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线 ，则当
时， 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24九年级上·上海·自主招生）不等式 对于一切实数 都成立，则 的最大值为 ．
3．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，已知抛物线 经过 两点，与y轴
交于点C．
(1)求抛物线解析式；
(2)观察图象：当 时，直接写出y的取值范围_______．易错必刷题十五、已知二次函数的函数值求自变量的值
1．（2024·山西阳泉·三模）数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具，撑开后如图1所示，由此发现
数学知识——抛物线．如图2，以伞柄所在的直线为 轴，以伞骨 ， 的交点 为坐标原点建立平面
直角坐标系．点 为抛物线的顶点，点 ， 在抛物线上， ， 关于 轴对称．抛物线的表达式为
，若点A到 轴的距离是 ，则 ， 两点之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24九年级上·宁夏石嘴山·期中）抛物线图象如图所示，求解一元二次方程．
（1）方程ax2+bx+c=0的根为 ；
（2）方程 的根为 ；
（3）方程 的根为 ；
3．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，已知抛物线的顶点为 ，矩形 的顶点
C、F在抛物线上，点D、E在x轴上， 交y轴于点 ，且矩形面积为8．(1)求此抛物线的解析式；
(2)求当 时，y的取值范围；
(3)直接写出当 时，x的取值范围．
易错必刷题十六、二次函数（销售、增长、图形）问题
1．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为 ，
预计今年比去年的年增长率为 ，设今年的总产值为 万元．
(1)求 与 的关系式；
(2)当 时，求今年的总产值为多少万元？
2．（24-25九年级上·广东广州·期中）某商店销售一种商品，平均每天可以销售20件，每件盈利12元．
为了扩大销售量，增加盈利，该商店决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件商品降价1元，平
均每天可以多卖5件．
(1)若每件商品降价5元，每件商品盈利_____元，则平均每天可卖_____件商品，所得利润是_____元；
(2)该商店想要一天的盈利最大，应降价多少元？所得的最大利润是多少？
3．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在 中， ，P点在BC上，
从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为 ；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括
A点），速度为 ．若点P、Q分别从B、C同时运动，且运动时间记为t秒，请解答下面的问题，并
写出探索的主要过程．(1)当t为何值时，P、Q两点的距离为 ？
(2)当t为何值时， 的面积为 ？
(3)请用配方法说明，点P运动多少时间时，四边形 的面积最小？最小面积是多少？
易错必刷题十七、二次函数（拱桥、喷水、投球）问题
1．（24-25九年级上·广东东莞·期中）在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，
发现实心球飞行高度 （米）与水平距离 （米）之间的关系式为 ，小宇此次实心球训
练的成绩为多少米．
2．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是拋物线的一部分，
如图2是棚顶的竖直高度 （单位： ）与距离停车棚支柱 的水平距离 （单位： ）近似满足函数关
系 的图象，点 在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看
作长 ，高 的矩形，（1） ________；
（2）可判定货车________完全停到车棚内（填“能”或“不能”）．
3．（2024·陕西西安·模拟预测）陕西八大怪之一的“房子半边盖”包含了节约土地、节约建材、邻里和睦
相处的理念．当下雨时雨水流向自己的院子，不仅避免了邻里纠纷，而且可以将水收集起来缓解缺水的问
题．如图为陕西某古建筑景点处一栋房屋的侧面示意图，下雨时，雨水顺着房顶 流下，呈抛物线型落
到院中地面上 点．以地面为 轴，过点 且垂直于地面的直线为 轴建立平面直角坐标系，雨水落下的
图象可近似看作二次函数 的部分图象．已知屋檐 高为 ，雨水落点距屋檐的水平距
离 为 ．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)若墙面与屋檐下端 的水平距离 为 ，现计划在院中安装一个高为 的圆柱形洗手池，洗
手池下面连接储水装置，为了使下雨时雨水正好可以落在洗手池的顶部中心点处，请按设计求出洗手池的
顶部中心到墙面的水平距离．
易错必刷题十八、找旋转中心、旋转角、对应点1．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，点 ， ， ， ， 都在方格纸的格点上，若 可以
由 旋转得到，则正确的旋转方式是（ ）
A．绕点 逆时针旋转 B．绕点 顺时针旋转
C．绕点 逆时针旋转 D．绕点 逆时针旋转
2．（24-25九年级上·内蒙古通辽·阶段练习）如图，E是正方形 中 边上的点，以点A为中心，把
顺时针旋转，得到 ，其中 ．那么旋转角的度数是
3．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，将将 绕点 顺时针旋转一定角度得到 ，且点
落在线段 上
(1)旋转中心是点______，旋转角是________和_____；
(2)当旋转角为 时，求 的度数．
易错必刷题十九、根据旋转的性质求解
1．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图， 中， ，将 绕点C逆时
针旋转到 的位置，当 时，连接 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
2．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，将线段 绕点O顺时针旋转 ，得到线段 ．若
，则 ．
3．（23-24九年级上·北京海淀·期末）如图，在 中， ，将 绕点A逆时针旋转得到
，使点 在 的延长线上．求证： ．
易错必刷题二十、坐标与旋转规律问题
1．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形 绕点 顺
时针旋转 后得到正方形 ，依此方式，绕点O连续旋转2024次得到正方形 ，那么
点 的坐标是（ ）A． B．(1,0) C． D．(0,1)
2．（23-24九年级上·广东佛山·期中）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形 绕点顺时
针旋转 后得到正方形 ，依此方式，绕点 连续旋转 次得到正方形 ，那么点
的坐标是 ．
3．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，在方格纸中，已知顶点在格点处的△ABC，请画出将△ABC
绕点C旋转180°得到的△A'B'C'．（需写出△A'B'C'各顶点的坐标）．易错必刷题二十一、旋转综合题
1．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，分别以正方形 的边 和 为直径画两个半圆交于点
，若正方形的边长为 ，求阴影部分的面积．
2．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期中）已知四边形 中， ， ， ，
， ， 绕B点旋转，它的两边分别交 ， （或它们的延长线）于E，
F．当 绕B点旋转到 时，如图1，易证 ．（不用证明）(1)当 绕B点旋转到 时，如图2，（1）中结论是否成立？若成立，请给予证明；
(2)当 绕B点旋转到 时，如图3，（1）中结论是否成立？若不成立，线段 ， ，
又有怎样的数量关系？请给予证明．
3．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）已知在△ABC中， ，AC＝BC＝ ．
（1）如图1，以点A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，直接写出点B，C的坐标；
（2）如图2，过点C作∠MCN＝45°交AB于点M，N，且AM=1，求MN的长度；
（3）如图3，过点C作∠MCN＝45°，当点M，N分布在点B异侧时，线段AM，BN和MN满足怎样的数
量关系？并给予证明．
易错必刷题二十二、中心对称
1．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图， 与 关于点 中心对称，则下列结论不一定正确
的是（ ）A． B．
C． D．
2．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，在 中， ，B(−2,1)，若 与 关于
某点成中心对称，且 的对应点 的坐标为 ，则 的对应点 的坐标为 ．
3．（24-25九年级上·云南昭通·阶段练习）已知 ．
(1)在图中画出 ；
(2) 与 关于原点对称，画出 ．
易错必刷题二十三、中心对称图形
1．（24-25九年级上·湖北咸宁·阶段练习）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期中）如图，已知矩形的长为 ，宽为 ，则图中阴影部分的面积
为 ．3．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，正六边形 是由边长为2厘米的六个等边三角形拼成，
那么图中
(1)三角形 沿着___________方向平移_________厘米能与三角形 重合；
(2)三角形 绕着点______顺时针旋转________度后能与三角形 重合；
(3)三角形 沿着BE所在直线翻折后能与________重合；
(4)写一对中心对称的三角形：_________．
易错必刷题二十四、关于原点对称的点的坐标
1．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，已知点 的坐标为 ，菱形 的对角线交于坐标
原点 ，则点 的坐标为( )
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·云南昭通·阶段练习）点 关于原点的对称点为点B，则点B的坐标为
．3．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系， 的
三个顶点均在格点上．
(1)画出 关于原点对称的 ；
(2)画出 绕点A逆时针旋转 得到的 ，并写出点 的坐标．
易错必刷题二十五、圆的周长和面积问题
1．（23-24九年级上·北京海淀·期中）计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百
分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：若圆半径为1，当任务完成的百分比为x时，
线段MN的长度记为d（x）．下列描述正确的是（ ）
A． B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
2．（2024·河北秦皇岛·一模）某校社团实践活动中，有若干个同学参加．先到的 个同学均匀围成一个以
点为圆心， 为半径的圆圈，如图所示（每个同学对应圆周上一个点）．（1）若 ，则相邻两人间的圆弧长是 ．（结果保留 ）
（2）又来了两个同学，先到的同学都沿各自所在半径往后移 米，再左右调整位置，使这 个同学之
间的圆弧长与原来 个同学之间的圆弧长相等．这 个同学排成圆圈后，又有一个同学要加入队伍，
重复前面的操作，则每人须再往后移 米，才能使得这 个同学之间的圆弧长与原来 个同学之间的
圆弧长相同，则 ．
3．（23-24九年级上·广东茂名·期末）综合与实践
【问题背景】“夏至”过后，越来越多的市民喜欢去海边游玩，小明同学发现沙滩上有很多的遮阳伞为游
客带来一丝清凉，如图1是沙滩上的圆形遮阳伞支架张开的状态，为了了解遮阳伞下方的遮阴面积，小明
进行了如下操作调研．
【测量与整理】通过操作发现，小明发现：如图2，当伞完全折叠时，伞顶 与伞柄顶端点 重合，两边
主骨架的端点 与 重合；如图3，在撑开过程中，骨架 的中点 到点 的距离始终等于 的一半，
；如图4，当伞完全张开时， ．
【计算与分析】图1 图2 图3 图4
(1)当伞完全张开后，求 的长度；
(2)当太阳光垂直照到遮阳伞上时，求伞完全张开时，遮挡住的阴影部分的面积．
易错必刷题二十六、利用垂径定理求值
1．（2024·云南昆明·一模）如图，AB是 的直径，弦 于点E，如果 ，那么线
段 的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
2．（2024·云南昆明·一模）如图， 的直径为 ，弦 是弦 上一动点，则 长的取值范
围是 ．
3．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）如图， 是 的直径，弦 于点 ，若 ， ．(1)求线段 的长；
(2)求弦 的长．
易错必刷题二十七、垂径定理的实际应用
1．（24-25九年级上·天津蓟州·阶段练习）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，
为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）
A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块
2．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径 ，
水面宽 ，某天下雨后，水面宽度变为 ，则此时排水管水面上升了 ．
3．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），如图2是根据
某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为 桥的跨度（弧所对的弦长）
，设 所在圆的圆心为 ，半径 ，垂足为 ，拱高（弧的中点到弦的距离） ．求这座石拱桥主桥拱的半径．
易错必刷题二十八、弧、弦、圆心角
1．（24-25九年级上·天津南开·期中）如图所示， 的三个顶点在 上，其中 ， ，
则 等于（ ）
A．72° B． C． D．
2．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，已知 是 的直径，点 是 的中点， ，
则 的度数为 ．
3．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图， ， 是 的半径，且 ，弦 分别经过
， 的中点D，E．(1)求证： ；
(2)求证： ．
易错必刷题二十九、圆周角
1．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，点 、 、 是 上三点， ，则
等于（ ）
A． B． C．60° D．
2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．
点A，B处对读数分别为 ， ，则 的度数是 °．
3．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知，如图，在 中， ，以腰 为直径作半圆
O，分别交 于点D，E．(1)求证： ；
(2)若 ，求圆弧 所对的圆心角的度数．
易错必刷题三十、点和圆的位置关系
1．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）根据尺规作图的痕迹，可以判定点 为 外心的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图， 外接圆的圆心坐标是 ．
3．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在 中， ， ， ， ，
分别是 ， 的中点， 是以 为圆心， 为半径的圆，判断点D，E与 的位置关系，并说明理由．
易错必刷题三十一、切线的应用
1．（2024·四川乐山·模拟预测）如图，点P在抛物线y＝x2﹣3x+1上运动，若以P为圆心的圆与x轴、y轴
都相切，则符合上述条件的所有的点P共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（23-24九年级·浙江杭州·）图1是一种推磨工具模型，图2是它的示意图，已知 ，
，点A在中轴线 上运动，点B在以O为圆心， 长为半径的圆上运动，且
，如图3，当点B按逆时针方向运动到 时， 与 相切，则 ．
3．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，点 为 上一点，点 在直径 的延长线上，且
，过点 作 的切线，交 的延长线于点 .判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
若 ，求:① 的半径，② 的长.
易错必刷题三十二、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系
1．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图， 的内切圆与斜边 相切于点D， ，
，则 的面积为（ ）
A．8 B． C． D．
2．（2024·四川绵阳·一模）如图，在 中， 为 的内切圆，
则图中阴影部分的面积为（结果保留 ） ．3．（23-24九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，在 中， ，⊙ 是 的内切圆，
半径为 ，切点为 、 、 ，连接 ， ， ．
(1)若 ， ，则 ；
(2)若 的周长为 ，面积为 ，则 ， ， 之间有什么数量关系，并说明理由．
易错必刷题三十三、圆的综合问题
1．（2024·安徽六安·三模）如图，已知AB为 的直径，CD为 的弦（不是直径）且交AB于点F，F
为CD的中点，四边形 为矩形， 为矩形的对角线，延长 交BD于点H．
(1)求证： ；
(2)若点F是 的中点， ，求 的半径．2．（2024·广东广州·一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB = 6，BC = 8，∠ABC = 90°，
弧AD = 弧DC．
(1)求边CD的长；
(2)已知△ABE与△ABD关于直线AB对称．
①尺规作图:作△ABE；（保留作图痕迹，不写作法）
②连接DE，求线段DE的长．
3．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）抛物线 与 轴交于 两点（ 在 的左
侧），与 轴交于点 ，顶点为 ．
(1)若 ，求 三点的坐标；
(2)如图1，若 ，求 的值；
(3)如图2，过点C作 交抛物线于另一点E，以CE为直径作 ，求证：直线 与 相切．
易错必刷题三十四、正多边形和圆1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，正五边形 内接于 ，P为 上的一点（点P不与点
D重合），则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图， 是 的内接正 边形的一边，点 在 上，
，则 ．
3．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期末）如图，正六边形 的顶点都在以原点为圆心、以2为半径的
圆上，点B在y轴正半轴上．求正六边形 各顶点的坐标．
易错必刷题三十五、弧长和扇形面积
1．（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均
相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（ ）A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·山西大同·阶段练习）山西民居砖雕的起源可以追溯到隋朝，其制作技艺花样繁多，
套路复杂，画工精细，刀工别致，为国家级非物质文化遗产．如图 是一块扇面形的山西砖雕作品，它的
部分设计图如图 所示，其中扇形 和扇形 有相同的圆心 ，且圆心角 ．若 ，
，则阴影部分的面积为 ．（结果用含 的代数式表示）
3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在 中，以边 为直径作 分别交 ， 于点
D，E．若点D是中点，连接 ．
(1)求证： 是等腰三角形．
(2)若 ，求弧 的长和扇形 的面积．
易错必刷题三十六、随机事件与概率
1．（24-25九年级上·云南昭通·阶段练习）在一个不透明的布袋中装有4个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率是 ，则n为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
2．（24-25九年级上·天津·阶段练习）一个不透明的袋中装有除颜色外无其他任何差别的12个红球和 个
黄球，从中随机摸出一个，摸到红球的概率是 ，则 ．
3．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）某校运动会田赛部分由 、 、 、 四个项目组成，学生可以任
选一项参加．为了了解学生参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)补全条形统计图；
(2)求 区域扇形圆心角的度数；
(3)已知每项比赛获奖取前3名，小丽和小杰都参加了 项目的比赛，小丽取得了第一名的好成绩，求小杰
获奖的概率．
易错必刷题三十七、用列举法求概率与用频率估计概率
1．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）如图，小丽在操场上做游戏，她在沙滩上画了一个面积为
的矩形，并在矩形的四个角上画上面积不等的图形，在不远处的固定位置向矩形内部投掷石子（假
设石子落在矩形内各点的概率相同），石子落在空白部分的记录如下表所示（石子未落在矩形外面和各区
域边缘），由此估计空白部分的面积为（ ）投掷次数 50 100 150 500 1000
石子落在空白部分的频率 0.60 0.62 0.68 0.64 0.64
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，任意
闭合A、B、C、D中的两个开关，如果能将灯泡与电源形成一个闭合电路，则小灯泡发光，请问“任意闭
合两个开关使小灯泡发光“的概率为 ．
3．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）下表是某校生物兴趣小组在相同的实验条作下，对某植物种子发芽
率进行研究时所得到的数据：
试验的种子数
100 200 500 1000 2000 5000
发芽的粒数 94 475 954 1906 4748
发芽频率 0.94 0.955 0.95 0.953 0.9496
(1)上表中的 ________， ________．
(2)任取一粒这种植物种子，估计它能发芽的概率是________．（结果精确到0.01）
(3)若该校劳动基地需要这种植物幼苗9500棵，试估计需要准备多少粒种子进行发芽培育？
1．（24-25九年级上·四川绵阳·阶段练习）2024年巴黎奥运会是第三十三届夏季奥林匹克运动会，下面关
于2024年巴黎奥运会的图标中不是中心对称图形的是（ ）A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·河北唐山·期中）关于x的一元二次方程的两个根为 和 ，且 ， ，
则这个一元二次方程可以是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）近年来我国航天事业取得了一系列的伟大成就，现有3张正面
印有航天飞行任务标识的卡片，它们除标识之外其他完全相同，把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽
取一张，放回洗匀后，两次抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，将直角三角板 角的顶点放在圆心O上，斜边和一直
角边分别与 相交于E、F两点，P是优弧EF上任意一点（与E、F不重合），则 的度数是（ ）A． B． C． D．
5．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）一次函数 与二次函数 在同一平面直角坐
标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25九年级上·天津武清·阶段练习）若关于 的一元二次方程 的一个解是 ，
则 的值是 ．
7．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，抛物线 与直线 交于两点，则不等式
的解集为 ．
8．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）如图，把 绕点C按顺时针方向旋转 后能与 重合，
且 交 于点E，若 ，则 的度数是 ．9．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图， 、 是 的切线， 切 于点E， 的周长为
12，则 ．
10．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，抛物线 （其中a为常数）的对称轴为
直线 ，与x轴交于点A，点B，则 的长度为 ．
11．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）已知关于 的一元二次方程 有两个相等的实数
根，求证： 是非负数．
12．（24-25九年级上·天津河东·期中）如图所示的正方形网格中， 的顶点均在格点上，请在所给直
角坐标系中按要求画图和解答下列问题：(1)将 绕点 顺时针旋转90度，得到 ．在图中画出旋转后的 ．
(2)作 关于坐标原点成中心对称的 ．
(3) 的坐标________， 的坐标________．
13．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）某项活动的比赛成绩分为“优秀”，“良好”，“一般”，
“较差”四个等级，为了解该项活动的比赛成绩，抽取了部分同学的成绩进行统计，并根据成绩绘制成如
图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题：
(1)扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为 度，并将条形统计图补充完整．
(2)若参加比赛的共有550名学生，则成绩良好的学生有 人．
(3)此次活动中甲，乙，丙，丁四名同学获得满分，现从这四名同学中随机抽取两名同学参加该项目活动的
展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲和乙的概率．14．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图， 交 于点 是半径，且
于点F．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的半径．
15．（24-25九年级上·湖北咸宁·阶段练习）如图，抛物线 与直线 交于点 和点
B．
(1)求b和m的值及点B的坐标；
(2)结合图象直接写出不等式 的解集．
