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专题 05 二次函数的应用（综合题）
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易错点拨
知识点01：列二次函数解应用题
列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，
表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：
(1)审清题意，弄清题中 ，已知量有几个， 之间的基本关系
是什么，找出 ．
(2)设出两个变量，注意分清 ，同时还要注意所设变量的单位要准确．
(3)列 ，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次
函数．
(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。
(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．
(6)写出答案．
细节剖析:常见的问题：求最大(小)值(如求 等)、 的模型
问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为 ，列出相关的 .
知识点02：建立二次函数模型求解实际问题
一般步骤：(1)恰当地建立 ；(2)将已知条件转化为 ；(3)合理地
设出所求 ；(4)代入 ，求出关系式；(5)利用 求解
问题．
细节剖析:
(1)利用二次函数解决实际问题，要建立 ，即把实际问题转化为 问题，
利用题中存在的 等相等关系，建立 ，再利用函数的图象及性质去
研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：
①首先必须了解
②学会从实际问题中建立 ；
③借助二次函数的性质来解决 .
易错题专训
一．选择题
1．（2022•碑林区校级模拟）一身高1.8m的篮球运动员在距篮板AB＝4m（DE与AB的水平距离）处跳起投
篮，球在运动员头顶上方0.25m处出手，在如图所示的直角坐标系中，球在空中运行的路线可以用y＝
﹣0.2x2+3.5来描述，那么球出手时，运动员跳离地面的高度为（ ）
A．0.1 B．0.15 C．0.2 D．0.25
2．（2021秋•鄞州区校级月考）小明发现，将二次函数y＝ax2﹣6ax的图象在x轴及其上方的部分C向右
1平移得到C，这两部分组成的图案酷似某快餐品牌的logo．经测量，该图案两个顶点间的距离BB与底
2 1
部跨度OA的比值为 2：5，点P是C与C的交点，若△BBP恰好为等腰直角三角形，则a的值为
1 1 2 1
（ ）
A．﹣0.5 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣2.5
3．（2021秋•鹿邑县月考）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现某次铅球行进高度y（m）与水平
距离x（m）之间的关系为y＝﹣ （x﹣4）2+3，由此可知，小明这次的推铅球的成绩为（ ）
A．3m B．4m C．8m D．10m
4．（2022•自贡）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边
靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠
墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（ ）
A．方案1 B．方案2
C．方案3 D．方案1或方案2
5．（2019•南通）如图是王阿姨晚饭后步行的路程S（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象，其中
曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分．下列说法不正确的是（ ）A．25min～50min，王阿姨步行的路程为800m
B．线段CD的函数解析式为S＝32t+400（25≤t≤50）
C．5min～20min，王阿姨步行速度由慢到快
D．曲线段AB的函数解析式为S＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）
二．填空题
6．（2022•石家庄模拟）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从点A向四周喷水，喷出的水柱为抛
物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的
点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣ （x﹣5）2+6．
（1）雕塑高OA的值是 m；
（2）落水点C，D之间的距离是 m．
7．（2021春•曾都区校级月考）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平
距离x（m）之间的关系
为y＝﹣ （x﹣4）2+4，由此可知铅球推出的距离 m．
8．（2018秋•思明区校级期中）汽车刹车后的距离y（单位：m）与行驶的时间x（单位：s）的函数关系
式是：y＝10x﹣x2，那么汽车刹车后到静止滑行了 m．
9．（2022•南充）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，
抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，
水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高 m时，水柱落点距O点
4m．10．（2021秋•鹿城区校级期中）图1是世界第一高桥—北盘江大桥，其桥底呈抛物线，主桥底部跨度OA
＝500米，以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），桥面BF∥OA，抛物线
最高点E离桥面距离EF＝12米，BC＝150米，桥面BF上点C作CD⊥BF交抛物线于点D．若O，D，B三
点恰好在同一直线上，则CD＝ 米．
11．（2019秋•厦门期末）某日6时至10时，某交易平台上一种水果的每千克售价、每千克成本与交易时
间之间的关系分别如图1、图2所示（图1、图2中的图象分别是线段和抛物线，其中点P是抛物线的顶
点）．在这段时间内，出售每千克这种水果收益最大的时刻是 ，此时每千克的收益是 ．
12．（2022•金东区三模）一个玻璃杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线AD，BC为同一抛
物线的一部分，AB，CD都与水平地面平行，当杯子装满水后AB＝4cm，CD＝8cm，液体高度12cm，将杯
子绕C倾斜倒出部分液体，当倾斜角∠ABE＝45°时停止转动．如图 2所示，此时液面宽度BE为
cm，液面BE到点C所在水平地面的距离是 cm．三．解答题
13．（2022•城厢区校级一模）为了防控新冠疫情，某市计划在体育中考时增设考生进入考点需进行体温
检测的措施．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进
入考点的累计人数y（人）与时间x（分钟）的变化情况，数据如下表：（表中9～15表示9＜x≤15）
时间x（分钟） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9～15
人数y（人） 0 170 320 450 560 650 720 770 800 810 810
（1）根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出y与x
之间的函数关系式；
（2）如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队
测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？
14．（2022•巩义市模拟）春节即将到来，某水果店进了一些水果，在进货单上可以看到：每次进货价格
没有变化，第一次进货苹果400千克和梨500千克，共支付货款6200元；第二次进货苹果600千克和梨
200千克，共支付货款6000元；为了促销，该店推出一款水果礼盒，内有3千克苹果和2千克梨，包装
盒每个4元．市场调查发现：该礼盒的售价是70元时，每天可以销售80盒；每涨价1元，每天少销售
2盒．
（1 ）求每个水果礼盒的成本（成本＝水果成本+盒子成本）；
（2）若每个礼盒的售价是a元（a是整数），每天的利润是w元，求w关于a的函数解析式（不需要写
出自变量的取值范围）；
（3）若每个礼盒的售价不超过m元（m是大于70的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．
15．（2022•江夏区模拟）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进A，B两种型号的低排量汽车，其中A型汽车的进货单价比B型汽车的进货单价多2万元；购进
2台A型汽车，5台B型汽车共花费60万元．
（1）填空A，B两种型号汽车的进货单价分别为 ， 元；
（2）销售过程中发现：A型汽车的每周销售量y（台）与售价x（万元/台）满足函数关系y＝﹣
A A
x+18；B型汽车的每周销售量y（台）与售价z（万元/台）满足函数关系y＝﹣z+14．若B型汽车的利
B B
润比A型汽车的利润高1万元/台，设每周销售这两种车的总利润为w万元．
①当A型汽车售价是多少时，A型汽车的利润率是B型汽车利润率的 （利润率＝ ）；
②填空：当B型汽车的售价为 万元时，每周销售这两种汽车的总利润最大为 万元．
16．（2022•衢州）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线OE为x轴，
铅垂线OD为y轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度v（m/s）从D点滑出，运动轨迹近似抛物线y＝
﹣ax2+2x+20（a≠0）．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡CE上设置点K（与DO相距32m）作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标．
（1）求线段CE的函数表达式（写出x的取值范围）．
（2）当a＝ 时，着陆点为P，求P的横坐标并判断成绩是否达标．
（3）在试跳中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关，进一步探究，测算得7组a与v2的对应数据，
在平面直角坐标系中描点如图3．
①猜想a关于v2的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．
②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到 1m/s）？（参考数据： ≈1.73，
≈2.24）
17．（2022春•青秀区校级期末）2022年广西雨水增多，种植荔枝的果农损失严重，为了增加农民收入，
助力乡村振兴．某驻村干部指导农户进行荔枝种植和销售，已知荔枝的种植成本为 8元/kg，经市场调
查发现，今年端午节期间荔枝的销售量y（单位：kg）与销售单价x（单位：元/kg）（8≤x≤40）满足的函数图象如图所示．
（1）根据图象信息，求y与x的函数关系式；
（2）当销售单价为30元/kg时，销售荔枝获得的利润是多少元？
（3）求端午节期间销售荔枝获得的最大利润．
18．（2022春•拱墅区校级期末）如图，某农户准备围成一个长方形养鸡场，养鸡场靠墙AB（AB＝18米），
另三边利用现有的36米长的篱笆围成，若要在与墙平行的一边开一扇2米宽的门，且篱笆没有剩余．
（1）若围成的养鸡场面积为120平方米，则这个养鸡场与墙垂直的一边和与墙平行的一边各是多少米？
（2）这个养鸡场的面积是否有最大值？若有，求出这个最大值；若没有，请说明理由．19．（2022•六盘水模拟）如图，篮球场上OF的长为25米，篮球运动员小明站在左方的点O处向右抛球，
球从离地面2米的A处抛出，球的运动轨迹可看作一条抛物线，在距O点4米的B处达到最高点，最高
点C距离地面4米；篮球在点D处落地后弹起，弹起后在点E处落地，且弹起后的轨迹与抛出后的轨迹
形状相同，但高度减少为原来最大高度的一半．以点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求抛物线ACD的函数表达式；
（2）求篮球第二次落地点E与点O之间的距离；
（3）若运动员小易在点E处拿球前进到点G处起跳投篮，起跳后篮球在距离地面3米的地方出手，球
出手后的运动轨迹与抛出后的轨迹形状相同，高度相等，并且恰好投入离地面3米的篮筐中，求EG的
长？
20．（2021•孝感二模）某商场销售的一种商品的进价为 30元/件，连续销售100天后，统计发现：在这
100 天内，①该商品每天的销售价格 x（元/件）与时间八（第 t天）满足关系式：．②该商品的日销售量y（件）与时间r（第t天）满足一次函数关系，部分数
据如下表：
时间t（第t 1 2 10 20 …
天）
日销售量y 119 118 110 100 …
（件）
（1）直接写出y与t之间的函数解析式；
（2）设销售该商品的日利润为w（元），请直接写出w与t之间的函数解析式，并求出在这100天内哪
天的日利润最大，最大日利润是多少元？
（3）在这100天内，日利润不低于4000元的共有多少天，请直接写出结果．
