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专题 04 二次函数与一元二次方程（综合题）
知识互联网
易错点拨
知识点01：二次函数与一元二次方程的关系
1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况
求二次函数 (a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求 中x
的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与 x轴的交
点的个数，它们的关系如下表：
判别式 一元二次方程
二次函数图象 与x轴的交点坐标 根的情况
抛物线 与 x 一元二次方程
轴交于 ， 两
△＞0 有两个不相等的实数根
点，且 ，
此时称抛物线与x轴相交
一元二次方程
抛物线 与 x
△＝0 有两个相等的实数根
轴交切于 这一点，此时称
抛物线与x轴相切
一元二次方程
抛物线 与 x
△＜0
轴无交点，此时称抛物线与x轴相
在实数范围内无解（或
离
称无实数根）
细节剖析:
二次函数图象与x轴的交点的个数由 的值来确定的.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时， ，方程有两个不相等的实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时， ，方程有两个相等的实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时， ，方程没有实根.
2.抛物线与直线的交点问题
抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线
(a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数 的交点问题．抛物线 (a≠0)与y轴的交点是(0，c)．
抛物线 (a≠0)与一次函数 (k≠0)的交点个数由方程组 的
解的个数决定．
当方程组有两组不同的解时 两函数图象有两个交点；
当方程组有两组相同的解时 两函数图象只有一个交点；
当方程组无解时 两函数图象没有交点．
总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题．
细节剖析:
求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求
方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题．
知识点02：利用二次函数图象求一元二次方程的近似解
用图象法解一元二次方程 的步骤：
1.作二次函数 的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；
2. 确定一元二次方程 的根的取值范围．即确定抛物线
与x轴交点的横坐标的大致范围；
3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表
格的形式求出 相应的 y 值．
4.确定一元二次方程 的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二
次方 的近似根．
细节剖析:求一元二次方程 的近似解的方法（图象法）：
(1)直接作出函数 的图象，则图象与 x 轴交点的横坐标 就是方程 的根；
(2)先将方程变为 再在同一坐标系中画出抛物线 和直线 图象交点的
横坐标就是方程的根；
(3)将方程化为 ，移项后得 ，设 和 ，在同一坐标
系中画出抛物线 和直线 的图象，图象交点的横坐标即为方程 的根.
知识点03：抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式
当△＞0时，设抛物线 与x轴的两个交点为A( ，0)，B( ，0)，则 、 是一元
二次方程 的两个根．由根与系数的关系得 ， ．
∴
即 （△＞0）．
知识点04：抛物线与不等式的关系
二次函数 (a≠0)与一元二次不等式 (a≠0)及 (a≠0)
之间的关系如下 ：
判别式
抛物线 与 不等式 的解集 不等式 的解x轴的交点 集
△＞0
或
△＝0 无解
（或 ）
△＜0 全体实数 无解
注：a＜0的情况请同学们自己完成．
细节剖析:
抛物线 在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的 x 的所有值 就是不等式
的解集；在 x 轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的 x 的所有值就是不等式
的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号．
易错题专训
一．选择题
1．（2022•海曙区校级开学）已知抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+mx＝n2+1的
根可能是（ ）
A．0，4 B．1，5 C．1，﹣5 D．﹣1，5
【易错思路引导】根据二次函数的性质求出m的值，再根据一元二次方程根与系数的关系判断即可．【规范解答】解：∵抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，
∴﹣ ＝2，
解得：m＝﹣4，
则方程为：x2﹣4x﹣（n2+1）＝0，
设方程两根为x、x，
1 2
则x+x＝4，xx＝﹣（n2+1），
1 2 1 2
∵n2+1＞0，
∴﹣（n2+1）＜0，
∴方程x2+mx＝n2+1的根可能是﹣1，5，
故选：D．
【考察注意点】本题考查的是二次根式的性质、一元二次方程根与系数的关系，根据二次函数的性质求
出m的值是解题的关键．
2．（2022•双流区模拟）在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝ax2（a≠0）不动，把x轴向上平移2个单
位长度，y轴向右平移2个单位长度，那么关于新坐标系下的抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．新坐标系下的抛物线的对称轴为直线x＝
B．新坐标系下的抛物线与y轴的交点纵坐标为4a+2
C．新坐标系下的抛物线的顶点在第三象限
D．新坐标系下的抛物线与x轴一定有两个交点
【易错思路引导】把移动坐标系转化为移动抛物线，进而求解．
【规范解答】解：将x轴向上平移2个单位长度、y轴向右平移2个单位长度相当于将抛物线向下移动2
个单位，向左移动2个单位，
∴移动后抛物线解析式为y＝a（x+2）2﹣2，
∴对称轴为直线x＝﹣2，故A不正确；
抛物线与y轴的交点纵坐标为：4a﹣2，故B不正确；
抛物线顶点坐标为（﹣2，﹣2），故C正确；
当a＞0时，抛物线与x轴一定有两个交点，当a＜0时，抛物线与x轴无交点；故D不正确；
故选：C．
【考察注意点】本题考查二次函数图象的几何变换，解题关键是掌握二次函数图象平移的规律．
3．（2021秋•南关区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，可知方程ax2+bx+c＝0的所
有解的积为（ ）A．﹣4 B．4 C．﹣5 D．5
【易错思路引导】根据抛物线的对称轴的定义、抛物线的图象来求该抛物线与x轴的两交点的横坐标．
【规范解答】解：由图象可知对称轴x＝2，与x轴的一个交点横坐标是5，它到直线x＝2的距离是3个
单位长度，所以另外一个交点横坐标是﹣1．
所以x＝﹣1，x＝5，
1 2
∴xx＝﹣1×5＝﹣5，
1 2
故选：C．
【考察注意点】考查抛物线与x轴的交点，抛物线与x轴两个交点的横坐标的和除以2后等于对称轴．
4．（2021秋•房县期末）二次函数y＝﹣x2+2x+1与坐标轴交点情况是（ ）
A．一个交点 B．两个交点 C．三个交点 D．无交点
【易错思路引导】根据题目中的函数解析式可以求得这个二次函数的图象与坐标轴的交点个数．
【规范解答】解：当x＝0时，y＝1，
当y＝0时，0＝﹣x2+2x+1，
∴△＝b2﹣4ac
＝22﹣4•（﹣1）•1
＝8＞0．
∴与x轴有两个交点
∴即该函数图象与坐标轴共有三个交点．
故选：C．
【考察注意点】本题考查抛物线与x轴的交点、与y轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次
函数的性质解答．
5．（2022•宝安区校级模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A（﹣1，0），点B（m，
0），点C（0，﹣m），其中 2＜m＜3，下列结论：① ＞0，② 2a+c＜0，③ 2a+b＞0，④方程
ax2+bx+c+m＝0有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数为（ ）个．A．1 B．2 C．3 D．4
【易错思路引导】①根据二次函数开口向上，与y轴交点在负半轴上先判断a、c的取值范围，再根据
对称轴及m的取值范围确定b的取值范围，最后判断①的结果；
②根据①的结论求出a+b＜0，进而得出②的结论；
③根据①的结论求出2a+b＞0，进而得出③的结论；
④先把方程变形，再把方程的问题转化为函数的问题，通过两函数交点情况判断方程的跟的情况．
【规范解答】解：①∵二次函数开口向上，与y轴交点在负半轴上，∴a＞0，c＜0，
∵二次函数的对称轴是直线：x＝ ，2＜m＜3，
∴1＜﹣1+m＜2，
∴ ＜ ＜1，
∴
∴二次函数的对称轴在y轴右边，
∴b＜0，
∴ ＞0，
∴①正确；
②∵二次函数的图象经过点A（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴b＝a+c，
∵﹣ ，
∴﹣b＞a，
∴a+b＜0，∴2a+c
＝a+a+c
＝a+b＜0，
∴2a+c＜0，
∴②正确；
③∵﹣ ＜1，
∴2a+b＞0，
∴③正确；
④∵ax2+bx+c+m＝0，
∴ax2+bx+c＝﹣m，
∵y＝﹣m与y＝ax2+bx+c有两个交点，
∴方程ax2+bx+c+m＝0有两个不相等的实数根，
∴④正确；
故选：D．
【考察注意点】此题考查了二次函数的图象与x轴有交点、二次函数图象上点的坐标特征，掌握这几个
知识点的综合应用，其中把方程的问题转化为函数的问题是解题关键．
6．（2022•槐荫区一模）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
从表中可知，下列说法中正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴是直线x＝0
B．抛物线与x轴的一个交点为（3，0）
C．函数y＝ax2+bx+c的最大值为6
D．在对称轴右侧，y随x增大而增大
【易错思路引导】先利用待定系数法确定抛物线解析式为y＝﹣x2+x+6，利用函数的对称性可判定A，
B；求得抛物线的对称轴为直线x＝ ，可知函数的最大值不是6，由此判断C；根据二次函数的性质可
得出D选项．
【规范解答】解：设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，把（0，6），（﹣2，0），（﹣1，4）分别代入得 ，
解得 ，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+6，
∵抛物线过点（0，6），（1，6），
∴抛物线的对称轴为直线x＝ ，故A不正确，不符合题意；
∵抛物线过点（﹣2，0），
∴抛物线与x轴的一个交点为（3，0）．故B正确，符合题意．
∵抛物线的最值在x＝ 处取得，不是6，故C不正确，不符合题意；
∵﹣1＜0，
∴在对称轴右侧，y随x增大而减小，故D不正确，不符合题意；
故选：B．
【考察注意点】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析
式，熟知二次函数的性质是解题基础．
7．（2022•娄底一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（3，0）两点，关于x的方程
ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是5．则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有两个
整数根，这两个整数根是（ ）
A．﹣2或4 B．﹣2或0 C．0或4 D．﹣2或5
【易错思路引导】根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（3，0）两点求对称轴，后面两
个方程二次项、一次项系数没变，所以两根的和也不变还是2．
【规范解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（3，0）与（﹣1，0）两点，
∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为3和﹣1，函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，
又∵关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是5．
∴方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）的另一个根为﹣3，函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，
如图，∵0＜n＜m，
∴﹣m＞﹣m，
∵关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有两个整数根，
∴直线y＝﹣n与y＝ax2+bx+c的交点的横坐标为﹣2，4，
∴这关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有两个整数根，是﹣2或4，
故选：A．
【考察注意点】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握这两个知识
点的综合应用，其中二次函数对称轴的确定及函数与方程的关系是解题关键．
二．填空题
8．（2022春•仓山区校级月考）若抛物线y＝mx2﹣6x+1与x轴有公共点，则m的取值范围是 m ≤ 9 ．
【易错思路引导】求出根的判别式≥0，通过解不等式即可得出答案．
【规范解答】解：∵抛物线y＝mx2﹣6x+1与x轴有公共点，
∴△＝（﹣6）2﹣4m×1≥0，
解得m≤9．
故答案为：m≤9．
【考察注意点】考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，解题的关键是根据Δ≥0，求出m的范
围，本题属于基础题型．
9．（2021秋•拜泉县校级月考）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（m﹣2，0）和点B，与y轴
相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为（m，c），则点B的坐标是 （ 2 ， 0 ） ．【易错思路引导】先求C（0，c），从而得到D、C是关于抛物线对称轴的对称点，从而求出抛物线对称
轴是直线x＝ ，再根据对称性求出点B的横坐标．
【规范解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与y轴相交于点C，
∴C（0，c），
∵点D（m，c），
∴抛物线对称轴是直线x＝ ，
∵A（m﹣2，0）与点B关于x＝ 对称，
设点B的横坐标为x得： ，
解得x＝2，
∴点B（2，0）．
故答案为：（2，0）．
【考察注意点】本题主要考查了二次函数的图象与x轴有交点、二次函数图象上点的坐标特征，掌握这
两个知识点的应用，其中求出抛物线对称轴是解题关键．
10．（2022•大庆）已知函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为 1 或﹣
．
【易错思路引导】函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，分情况讨论，①过坐标原点，
m﹣1＝0，m＝1，②与x、y轴各一个交点，得出Δ＝0，m≠0．
【规范解答】解：当m＝0时，y＝﹣1，与坐标轴只有一个交点，不符合题意．
当m≠0时，∵函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，
①过坐标原点，m﹣1＝0，m＝1，
②与x、y轴各一个交点，
∴Δ＝0，m≠0，
（3m）2﹣4m（m﹣1）＝0，
解得m＝0（舍去）或m＝﹣ ，
综上所述：m的值为1或﹣ ．
【考察注意点】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，掌握函数的图象与坐标轴恰有两个公共点的情况，看清题意，分情况讨论是解题关键．
11．（2022•合肥一模）直线y＝﹣x+3与x轴交于点A、与y轴交于点B，经过A、B两点的二次函数y＝﹣
x2+2x+c的图象与x轴的另一个交点为点C，P是抛物线上第一象限内的点，连接OP，交直线AB于点Q，
设点P的横坐标为m，PQ与OQ的比值为n．
（1）c＝ 3 ；
（2）n的最大值为 ．
【易错思路引导】（1）令x＝0，则y＝3，则点B（0，3），即可求解；
（2）过点P作PH∥y轴交AB于点H，根据平行线分线段成比例定理得： ＝ ＝n，代入可得n的最
大值．
【规范解答】解：（1）对于y＝﹣x+3，
令x＝0，则y＝3，
故B的坐标（0，3），
∴c＝3，
故答案为：3；
（2）c＝3，则抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，
过点P作PH∥y轴交AB于点H，
设点P（m，﹣m2+2m+3），则点H（m，﹣m+3），
∴PH＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∵PH∥y轴，
∴ ＝ ＝n，即n＝ ＝﹣ （m﹣ ）2+ ，
∴ ＜0，
∴当m＝ 时，n有最大值是 ．
故答案为： ．
【考察注意点】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，涉及到平行线
分线段成比例，有一定的综合性，难度适中．
12．（2020•长春模拟）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝x2﹣2x与x轴正半轴交于
点A，点B的坐标为（0，3）．C是该抛物线第一象限图象上的一点，A，B，C三点均在某一个正方形的
边上，且该正方形的任何一条边均与某条坐标轴平行，设点C的横坐标为m，若这个正方形的面积最小，
则m的取值范围是 2 ＜ m ≤ 3 ． ．
【易错思路引导】根据抛物线y＝x2﹣2x与x轴正半轴交于点A，易得点A坐标为（2，0），点B的坐标
为（0，3），可得最小正方形的边长为3，最小正方形的面积为9，根据题意可得A、B、C中任意两个
点不能重合，故此可以确定点C的横坐标的取值范围．
【规范解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x与x轴正半轴交于点A，
∴点A的坐标为（2，0），
如图所示：
当A，B，C三点均在某一个正方形的边上，
且该正方形的任何一条边均与某条坐标轴平行，
∵点B的坐标为（0，3），
正方形的面积最小时，此时正方形的边长为3，
∴过点A、B、C的正方形的面积最小值为9，
∴S≥9．
当y＝3时，
x2﹣2x＝3，
解得x＝﹣1，x＝3，
1 2
∴当2＜m≤3，时，
正方形面积有最小值；
当m＝﹣1时，
正方形最小边长也为3，
正方形面积也有最小值，
∵C在第一象限，m＞0，
综上所述：点C的横坐标m的取值范围是：
2＜m≤3．
故答案为：2＜m≤3．
【考察注意点】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、正
方形的性质，解决本题的关键是综合利用正方形和二次函数的知识．
13．（2019秋•温州期中）如图，抛物线y的顶点在y轴上，y由y平移得到，它们与x轴的交点为A、
1 2 1
B、C，且2BC＝3AB＝4OD＝6，若过原点的直线被抛物线y、y所截得的线段长相等，则这条直线的解析
1 2
式为 y ＝ x ．
【易错思路引导】解法一：先求出两个函数的顶点坐标，根据函数平移的特点，原点平移后的点求出来，
那这个点必在直线上，可得结论；
解法二：由2BC＝3AB＝4OD＝6，可求出：A、B、D、C点的坐标，把A、B、D三点坐标代入函数表达式，
即可求出y的方程，同样可以求出y的表达式；设过原点的直线方程为：y＝kx，（k＞0），联立抛物
1 2线y的方程，得：3x2+2kx﹣3＝0，则：x+x＝﹣ ，xx＝﹣1，则：G、F两点横坐标差＝x﹣x，同
1 1 2 1 2 2 1
理可以求出K、H两点横坐标差，由AG＝KH，即可求解．
【规范解答】解：解法一：∵2BC＝3AB＝4OD＝6，
∴BC＝3，AB＝2，OD＝ ，
则：A（﹣1，0）、B（1，0）、D（0， ）、C（4，0），
把A（﹣1，0）、B（1，0）、D（0， ）三点坐标代入：y＝ax2+bx+c，
解得：y＝﹣ x2+ ，顶点D（0， ），
1
同理可得：y＝﹣ x2+ x﹣6＝﹣ （x﹣ ）2+ ，顶点E（ ， ），
2
由平移可知：y向右平移了 个单位，再向上平移了 个单位，得到y，
1 2
所以过原点的直线被抛物线y、y所截得的线段长相等，则这条直线一定经过点（ ， ），
1 2
设过原点的直线方程为：y＝kx，（k＞0），
则 k＝ ，
∴k＝ ，
故：直线的解析式为y＝ x．
解法二：∵2BC＝3AB＝4OD＝6，
∴BC＝3，AB＝2，OD＝ ，
则：A（﹣1，0）、B（1，0）、D（0， ）、C（4，0），
把A（﹣1，0）、B（1，0）、D（0， ）三点坐标代入：y＝ax2+bx+c，
解得：y＝﹣ x2+ …①，
1
同理可得：y＝﹣ x2+ x﹣6…②；
2设：过原点的直线方程为：y＝kx，（k＞0）…③，
联立①、③得：3x2+2kx﹣3＝0，
则：x+x＝﹣ ，xx＝﹣1，
1 2 1 2
则：G、F两点横坐标差＝x﹣x＝ ＝ ＝ ，
2 1
同理：K、H两点横坐标差＝ ，
∵AG＝KH，
∴ ＝ ，
解得：k＝ ，
故：直线的解析式为y＝ x．
【考察注意点】本题考查的是二次函数与x轴的交点，涉及到函数几何变换、一次函数的运用、根与系
数关系的运用，是一道综合性较强的题目，有难度．
三．解答题
14．（2021秋•玄武区期末）已知二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣2）（a为常数，且a≠﹣1）．
（1）求证：无论a取何值，二次函数的图象与x轴总有两个交点；
（2）点P（m，y），Q（m+3，y）在二次函数的图象上，且y＞y，直接写出m的取值范围．
1 2 1 2
【易错思路引导】（1）令y＝0，解方程，即可解答；
（2）先计算其对称轴，根据点P，Q在对称轴左铡或对称轴两铡列不等式可得结论．
【规范解答】（1）证明：由题意得：令y＝0时，（x+a）（x﹣a﹣2）＝0，
∴x＝﹣a，x＝a+2，
1 2
∵a≠﹣1，∴﹣a≠a+2，
∴无论a取何值，二次函数的图象与x轴总有两个交点；
（2）解：对称轴是：x＝ ＝1，
∵点P（m，y），Q（m+3，y）在二次函数的图象上，且y＞y，
1 2 1 2
∴m+3≤1或1﹣m＞m+3﹣1，
∴m≤﹣2或m＜﹣ ；
综上，m的取值是：m＜﹣ ．
【考察注意点】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查二次函数的增减性，计算二次函数的对称
轴是解题的关键．
15．（2021秋•鄞州区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ x+2与x轴交于点A，与y轴交
于点C，抛物线y＝﹣ x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一个交点为点B．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点，连接BC，CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为
S，△BCE的面积为S，求 的最大值．
1 2
【易错思路引导】（1）由题意可得，A（﹣4，0），C（0，2），代入抛物线y＝﹣ x2+bx+c，组成二
元一次方程，解之即可；
（2）根据题意可知，B（1，0）．过点D作DM⊥x轴交AC于点M，过点B作BN⊥x轴交AC于点N，所以DM∥BN，所以 ＝ ＝ ．设点D的横坐标为a，则D（a，﹣ a2﹣ a+2），M（a， a+2），由此
表达DM和BN的长，再解之二次函数的性质可得出结论．
【规范解答】解：（1）∵直线y＝ x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴A（﹣4，0），C（0，2），
∵抛物线y＝﹣ x2+bx+c经过A，C两点，
∴ ，
解得 ．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣ x2﹣ x+2．
（2）令y＝0，
∴﹣ x2﹣ x+2＝0，
解得x＝﹣4或x＝1，
∴B（1，0）．
如图，过点D作DM⊥x轴交AC于点M，过点B作BN⊥x轴交AC于点N，
∴DM∥BN，
∴△DME∽△BNE，
∴ ＝ ，∴ ＝ ＝ ．
设点D的横坐标为a，
∴D（a，﹣ a2﹣ a+2），
∴M（a， a+2），
∵B（1，0），
∴N（1， ），
∴ ＝ ＝ ＝﹣ （a+2）2+ ，
∴当a＝﹣2时， 的最大值为 ．
【考察注意点】本题主要考查待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质与判定，二次函数的性质等
相关内容，关键是将三角形的面积比转化为线段比．
16．（2021秋•南昌期中）（1）解一元二次方程：x2+20x﹣21＝0；
（2）已知抛物线y＝（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．求△ABC的面积．
【易错思路引导】（1）用因式分解法解一元二次方程；
（2）令y＝0，求出A、B两点的坐标，求出AB长，x＝0，求出C点的坐标，表示OC的长，根据三角形
面积公式求出△ABC的面积．
【规范解答】解：（1）x2+20x﹣21＝0，
（x+21）（x﹣1）＝0，
x＝﹣21，x＝1；
1 2
（2）∵y＝（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于A、B两点，
∴令y＝0，（x﹣1）（x﹣3）＝0，
解得x＝1，x＝3，
1 2
∴A（1，0），B（3，0），
AB＝2，
令x＝0，y＝3，∴C（0，3），
∴OC＝3，
∴S ＝ ＝3．
△ABC
【考察注意点】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、解
一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握这四个知识点的综合应用，其中一元二次方程解法的选择及点
A、B、C坐标的确定是解题关键．
17．（2022•碑林区模拟）已知抛物线L：y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B点（A点在B点的左侧），与y
轴交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）把抛物线L关于y轴对称，得到抛物线L'，在抛物线L'上是否存在点P，使得S ＝S ？若存
△ABP △BCP
在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【易错思路引导】（1）令y＝0，x＝0，分别求出x，y的值；
（2）先根据对称的性质求抛物线L'解析式，根据S ＝S ，得出BP∥AC，进而求出直线AC的解析
△ABP △BCP
式，直线BP的解析式，再求直线BP与抛物线L'交点得横坐标．
【规范解答】解：（1）令y＝0，得﹣x2﹣2x+3＝0，
解得x＝﹣3或x＝1，
令x＝0，得y＝3，
∴A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）；
（2）答：存在；
∵抛物线L关于y轴对称，得到抛物线L'，
∴抛物线L'解析式：y＝﹣x2+2x+3，
∵S ＝S ，
△ABP △BCP
∴BP∥AC，设直线AC的解析式：y＝kx+b，
把A（﹣3，0）、C（0，3）代入y＝kx+b，
得b＝3，﹣3k+3＝0，
解得k＝1，
∴直线AC的解析式：y＝x+3，
∵BP∥AC，
∴设直线BP的解析式：y＝x+c，
把B（1，0）代入y＝x+c，
得1+c＝0，
解得c＝﹣1，
∴直线BP的解析式：y＝x﹣1，
把y＝x﹣1代入y＝﹣x2+2x+3，
得x﹣1＝﹣x2+2x+3，
解得x＝ ，
∴在抛物线L'上存在点P，使得S ＝S ；点P的横坐标为 或 ．
△ABP △BCP
【考察注意点】本题主要考查了二次函数的图象与x轴有交点、用待定系数法求函数的解析式、二次函
数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，利用两直线平行一次函数比例系数相同解决问题是解题关键．
18．（2022秋•齐齐哈尔月考）已知：如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A
点坐标为（﹣1，0），点C（0，5），抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△MCB的面积．
【易错思路引导】（1）把（1，8），（﹣1，0）（0，5），分别代入二次函数，列成方程组求出a、
b、c的值；
（2）过点M作ME⊥x轴，交BC于D，先把二次函数配成顶点式求出M（2，9），B（5，0），再求出直线BC：y＝﹣x+5，根据MD∥y轴性质求出D点坐标，根据△MCB的面积＝△MCD的面积+△MDB的面积求
出结果．
【规范解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（0，5），（1，8），（﹣1，0），
∴c＝5，
把（1，8），（﹣1，0）分别代入二次函数，得
，
解得a＝﹣1，b＝4，
∴抛物线的解析式：y＝﹣x2+4x+5；
（2）过点M作ME⊥x轴，交BC于D，如图所示：
∵y＝﹣x2+4x+5
＝﹣（x﹣2）2+9；
∴M（2，9），B（5，0），
设直线BC：y＝kx+b，
把B（5，0），C（0，5），分别代入一次函数，得
，
解得k＝﹣1，
∴直线BC：y＝﹣x+5，
∵ME⊥x轴，
∴MD∥y轴，
∴把x＝2代入y＝﹣x+5，
得y＝3，
∴D（2，3），
∴MD＝6，∴△MCB的面积＝
＝ ×5
＝15．
【考察注意点】此题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函
数的性质、二次函数的图象与x轴有交点，掌握待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，用割补法
求三角形的面积是解题关键．
19．（2022•虞城县一模）如图，平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点为A（2，4），B（2，2），C（5，
2），D（5，4），抛物线y＝ax2+bx交x轴正半轴于点E．
（1）若抛物线经过A，C两点，求抛物线的解析式．
（2）若a＝﹣1；
①抛物线交直线CD于点M，当△OME面积为5时，求b的值；
②当抛物线与矩形ABCD的边有交点时，直接写出b的取值范围．
【易错思路引导】（1）把A（2，4），C（5，2）代入抛物线y＝ax2+bx列方程组解出可得结果；
（2）①计算M和E的坐标，根据△OME的面积＝5列方程可得结果；
②代入边界点B和D的坐标到抛物线的解析式中，可得b的取值范围．
【规范解答】解：（1）把A（2，4），C（5，2）代入抛物线y＝ax2+bx中得：
，
解得： ，∴抛物线的解析式为：y＝﹣ x2+ x；
（2）若a＝﹣1时，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+bx，
①当x＝5时，y＝﹣25+5b，
∴M（5，﹣25+5b），
当y＝0时，﹣x2+bx＝0，
x＝0（舍），x＝b，
1 2
∴E（b，0），
∴S ＝ •OE•y＝ b（﹣25+5b）＝5，
△OME M
解得：b＝ 或b＝ （不符合题意，舍）；
1 2
②∵y＝﹣x2+bx＝﹣（x﹣ ）2+ ，
∴抛物线的顶点坐标为（ ， ），
令 ＝x，则抛物线的顶点所在的图象的解析式为：y＝x2，
当抛物线经过点B时满足题意，
将点B的坐标（2，2）代入y＝﹣x2+bx得：2＝﹣4+2b，
∴b＝3，
当抛物线经过点D时满足题意，
将点D的坐标（5，4）代入y＝﹣x2+bx得：4＝﹣25+5b，
∴b＝ ，
∴3≤b≤ ．
【考察注意点】本题考查二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，待定系数法求解析式，矩形的性质等
知识，解题的关键是学会用边界点求字母的取值范围，学会构建方程解决问题．
20．（2022•曲靖模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A
在点B的左边），与y轴交于点C，直线y＝﹣x+3经过B，C两点．
（1）求该抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一个动点，过点P且垂直于x轴的直线与BC及x轴交于点D，M，设M（m，
0）．点P在抛物线上运动，若P，D，M三点中恰有一点是其他两点所连线段的中点（三点重合除外），
请求出符合条件的m的值．
【易错思路引导】（1）先求出B、C的坐标，然后利用待定系数法求解即可；
（2）分M为PD的中点，D为PM的中点，P为DM的中点，三种情况讨论求解即可．
【规范解答】解：（1）∵B、C分别是直线y＝﹣x+3与x轴，y轴的交点，
∴点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），
∵B、C在抛物线y＝x2+bx+c上，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）如图①所示，当P在AB下方，M为PD的中点时，
∵点M的坐标为（m，0），
∴点D的坐标为（m，﹣m+3），点P的坐标为（m，m2﹣4m+3），
∴DM＝﹣m+3，PM＝﹣m2+4m﹣3，
∵M是PD的中点，∴﹣m+3＝﹣m2+4m﹣3，即m2﹣5m+6＝0，
解得m＝2或m＝3（舍去）；
如图②所示，当点P在B点左侧，点M为PD中点时，
∴DM＝m﹣3，PM＝m2﹣4m+3，
∵M是PD的中点，
∴m﹣3＝m2﹣4m+3，即m2﹣5m+6＝0，
解得m＝2（舍去）或m＝3（舍去），
∴此时没有满足题意的m；
如图③所示，当点P在AC之间，点P为DM的中点时，
∴DM＝﹣m+3，PM＝m2﹣4m+3，
∵P是DM的中点，
∴﹣m+3＝2（m2﹣4m+3），即2m2﹣7m+3＝0，
解得 或m＝3（舍去）；
如图④所示，当点P在C点左侧，D为MP的中点时，∴DM＝﹣m+3，PM＝m2﹣4m+3，
∵D是PM的中点，
∴2（﹣m+3）＝m2﹣4m+3，即m2﹣2m﹣3＝0，
解得m＝﹣1或m＝3（舍去）；
综上所述，m＝2或 或m＝﹣1．
【考察注意点】本题主要考查了一次函数与二次函数综合，待定系数法求函数解析式，利用分类讨论的
思想求解是解题的关键
