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专题 04 二次函数的三种实际应用问题
类型一、图形运动问题
例1．如图，矩形 中， ， ，动点 和 同时从点 出发，点 以每秒 的速
度沿 的方向运动，到达点 时停止，点 以每秒 的速度沿 的方向运动，到达
点 时停止．设点 运动 （秒）时， 的面积为 ，则 关于 的函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1】如图，矩形 中， ，动点P沿着 的路径匀速运动，过点P作
，垂足为Q，设点P的运动路程为x，以B，C，P，Q为顶点的四边形的面积为y，则y与x的大
致函数图象为（ ）A． B． C． D．
【变式训练2】如果 ABC和 DEF都是边长为2的等边三角形，他们的边BC，EF在同一条直线l上，点
C，E重合，现将 A△BC沿着直△线l向右移动，直至点B与点F重合时停止移动，在此过程中，设点B移动
的距离为x，两个△三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图像大致为( )
A． B． C． D．
类型二、拱桥问题
例1．2022年2月，在北京冬奥会跳台滑雪中，中国选手谷爱凌、苏翊鸣夺金，激起了人们对跳台滑雪运
动的极大热情．某跳台滑雪训练场的横截面如图所示，以某一位置的水平线为 轴，过跳台终点 作水平
线的垂线为 轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线 近似表示滑雪场地上的一座
小山坡，某运动员从点 正上方4米处的点 滑出，滑出后沿抛物线 运动．当运动员
从点 滑出运动到离 处的水平距离为4米时，距离水平线的高度恰好为8米．
(1)求抛物线 的解析式（不要求写自变量 的取值范围）；(2)运动员从 点滑出后，当运动员距离点 的水平距离为多少米时，运动员达到最大高度，此时，距离水
平线的高度是多少米？
(3)运动员从 点滑出后，当运动员距离点 的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离达到最大
值，最大值是多少米？
【变式训练1】鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预
测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交
于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．已知OB=28m，AB=8m，足球飞
行的水平速度为15m/s，水平距离s（水平距离=水平速度×时间）与离地高度h的鹰眼数据如下表：
s/m … 9 12 15 18 21 …
h/m … 4.2 4.8 5 4.8 4.2 …
(1)根据表中数据预测足球落地时，s= m；
(2)求h关于s 的函数解析式；
(3)守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的
最大防守高度视为防守成功．已知守门员面对足球后退过程中速度为2.5m/s，最大防守高度为2.5m；背对
足球向球门前进过程中最大防守高度为1.8m．
①若守门员选择面对足球后退，能否成功防守？试计算加以说明；
②若守门员背对足球向球门前进并成功防守，求此过程守门员的最小速度．【变式训练2】图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向出击时，小球的飞行路线将是一条抛
物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 （单位： ）与飞行时间 （单位： ）之间具有二次函数
关系．小明在一次击球过程中测得一些数据，如下表所示．
根据相关信息解答下列问题．
飞行时间 0 1 2
飞行高度 0 15 20
(1)求小球的飞行高度 （单位： ）关于飞行时间 （单位： ）的二次函数关系式；
(2)小球从飞出到落地要用多少时间？
(3)小球的飞行高度能否达到 ？如果能，请求出相应的飞行时间；如果不能，请说明理由．【变式训练3】如图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分。据《范蠡
兵法》记载：“飞石重二十斤，为机发，行三百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．
在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡OA的底部（原点O处），石块从投石机竖直方向
上的点C处被投出，在斜坡上的点A处建有垂直于水平面的城墙AB．已知，石块运动轨迹所在抛物线的
顶点坐标是 ， ， ， ， ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)通过计算说明石块能否飞越城墙AB；
(3)分别求出 和 时，石块与斜坡OA在竖直方向上的最大距离．
【变式训练4】如图，篮球场上OF的长为25米，篮球运动员小明站在左方的点O处向右抛球，球从离地
面2米的A处抛出，球的运动轨迹可看作一条抛物线，在距O点4米的B处达到最高点，最高点C距离地
面4米；篮球在点D处落地后弹起，弹起后在点E处落地，且弹起后的轨迹与抛出后的轨迹形状相同，但
高度减少为原来最大高度的一半．以点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求抛物线ACD的函数表达式；
(2)求篮球第二次落地点E与点O之间的距离；(3)若运动员小易在点E处拿球前进到点G处起跳投篮，起跳后篮球在距离地面3米的地方出手，球出手后
的运动轨迹与抛出后的轨迹形状相同，高度相等，并且恰好投入离地面3米的篮筐中，求EG的长？
类型三、销售利润问题
例1．某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，
每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如表：
售价x（元/件） 55 65 75
销售量y（件） 1500 1300 1100
(1)求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围）
(2)该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利30000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
(3)物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，设销售这种衬衫每月的总利润为w（元），
求w与x之间的函数关系式，x为多少时，w有最大值，最大利润是多少？
【变式训练1】端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上豆沙粽的进价比肉粽的进价每盒便宜10元，
某商家用8000元购进的肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现肉粽每盒售价50
元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒，设肉粽每盒售价x元，y表示该商家每
天销售肉棕的利润（单位：元）．
(1)肉粽和豆沙粽每盒的进价分别为多少元
(2)若每盒利润率不超过50%，问肉粽价格为多少元时，商家每天获利1350元？
(3)若x满足 ，求商家每天的最大利润．【变式训练2】某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一
次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：
售价x（元/件） 60 70 80
周销售量y（件） 100 80 60
周销售利润w（元） 2000 2400 2400
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)直接写出该商品的进价，并求出该商品周销售利润的最大值；
(3)由于某种原因，该商品进价提高了m元/件 ，物价部门规定该商品售价不得超过70元/件，该商
品在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是2000元，求m的
值．
【变式训练3】冰墩墩和雪容融是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，据反馈冰墩墩、雪容融玩偶一经上市，
非常畅销，小许选两款玩偶各50个，决定在网店进行销售．售后统计，一个冰墩墩玩偶利润为30元/个，
一个雪容融玩偶利润为5元/个，调研发现：冰墩墩的数量在50个的基础上每增加3个，平均每个利润减
少1元；而雪容融的利润始终不变；小许计划第二次购进两种玩偶共100个进行售卖．设冰墩墩的数量比
第一次增加 个，第二次冰墩墩售完后的利润为 元．
(1)用含 的代数式表示第二次冰墩墩售完后的的利润 ；
(2)如何安排购买方案，使得第二次售卖两种玩偶的销售利润最大，最大利润是多少？【变式训练4】某商贸公司购进某种水果的成本为20元/ ，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的
销售单价p（元/千克）与时间t（天）之间的函数关系式为 （ 为整数），已知日
销售量y（千克）与时间t（天）之间的变化规律符合一次函数关系，且y与t的关系如表：
时间t（天） 1 3 6 10 20 40 …
日销售量 118 114 108 100 80 40 …
(1)试求在第30天的日销售量是多少？
(2)问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
