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专题 22.3 二次函数的实际应用-抛物线问题
（专项训练）
1．（2021秋•信都区期末）如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款
高OD为14的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线y＝ +5的一部分，则杯口的口径AC
为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
2．（2021秋•南昌县期末）如右图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为
，当水面离桥顶的高度为 时，水面的宽度为（ ）米．
A．8 B．9 C．10 D．11
3.（2021秋•临海市期末）一位运动员在离篮筐水平距离 4m处起跳投篮，球运行路线可看
作抛物线，当球离开运动员的水平距离为 1m时，它与篮筐同高，球运行中的最大高度
为3.5m，最后准确落入篮筐，已知篮筐到地面的距离为3.05m，该运动员投篮出手点距
离地面的高度为（ ）A．1.5 m B．2m C．2.25 m D．2.5 m
4．（2021秋•峄城区期末）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小
球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，下列结论：
①小球在空中经过的路程是40m；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；
③小球抛出3秒时速度为0；
④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s．
其中正确的是（ ）
A．①④ B．①② C．②③ D．②③④
5．（2022•江西开学）如图，从 m高的某建筑物窗口A用水管向外给公园草坪喷水，喷
出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），已知喷出的水（抛物线）的最高
点M离墙1m时最大高度为8m，求水流落地点B离墙的距离OB．
6．（2022•浦江县模拟）把一个抛物线形的拱形桥洞放在如图所示的直角坐标系中，桥洞
离水面的最大高度为4m，跨度为12m．
（1）求这条抛物线的解析式．
（2）一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能否从桥下通过？并说明理由．7．（2022•丰台区一模）某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，
在水管的顶端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物
线的一部分．若记水柱上某一位置与水管的水平距离为 d米，与湖面的垂直高度为h
米．下面的表中记录了d与h的五组数据：
d（米） 0 1 2 3 4
h（米） 0.5 1.25 1.5 1.25 0.5
根据上述信息，解决以下问题：
（1）在下面网格（图1）中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示
h与d函数关系的图象；
（2）若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则m＝ ；
（3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使
得游船能从水柱下方通过．如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方
中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于 0.5米．已知游船顶棚宽度为
3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不
计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）．8．（2022•长安区模拟）如图，在某中学的一场篮球赛中，小明在距离篮圈中心7.3m（水
平距离）远处跳起投篮，已知球出手时离地面 m，当篮球运行的水平距离为4m时达到
离地面的最大高度4m．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面3m．
（1）建立如图的平面直角坐标系，求篮球运行路线所在抛物线的函数表达式；
（2）场边看球的小丽认为：小明投出的此球不能命中篮圈中心．
①请通过计算说明小丽判断的正确性；
②若球出手的角度和力度都不变，小明应该向前走或向后退多少米才能命中篮圈中
心？
（3）在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽，但球到达最高点
后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守方球
员小亮前来盖帽，已知小亮的最大摸球高度为3.19m，则他应在小明前面多少米范围处
跳起拦截才能盖帽成功？9．（2022•朝阳区一模）某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面的立柱
上安装喷头，从喷头喷出的水柱的形状可以看作是抛物线的一部分．安装后，通过测量获
得如下数据，喷头高出湖面3米，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h
米．
d（米） 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00
h（米） 3.75 4.00 3.75 3.00 1.75 0
请解决以下问题：
（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连
接；
（2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度；
（3）求h关于d的函数表达式；
（4）公园希望游船能从喷泉拱门下穿过，已知游船的宽度约为 2米，游船的平顶棚到
湖面的高度约为1米，从安全的角度考虑，要求游船到立柱的水平距离不小于 1米，顶
棚到水柱的竖直距离也不小于1米．工人想只通过调整喷头距离湖面的高度（不考虑其
他因素）就能满足上述要求，请通过计算说明应如何调整．10．（2022•武汉模拟）某公司有一个抛物线形蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的直角坐
标系中，抛物线可以用函数y＝ax2+bx来表示．已知大棚在地面上的宽度OA为4米，距
离O点1米处的棚高BC为 米．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求蔬菜大棚离地面的最大高度是多少米？
（3）为了扩大经营规模，公司决定将原来的蔬菜大棚进行改造，新建的大棚与原来大
棚的形状保持不变，但使地面的宽度增加到6米．求身高为1.68米的工作人员在不弯腰
的情况下，在大棚内横向活动的范围是多少米？
11．（2021秋•全椒县期末）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为 x轴，点O为原点建立直
角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C、D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一
象限部分）的函数表达式为y＝﹣ （x﹣5）2+6．
（1）求落水点C、D之间的距离；
（2）若需在OD上离O点10米的E处竖立雕塑EF，EF⊥OD，且雕塑的顶部刚好碰到
水柱，求雕塑EF的高．
12．（2021秋•海州区期末）如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度 6米，底部
宽度OM为12米，现以O点为原点，OM所在的直线为x轴建立直角坐标系．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若要搭建一个由AD﹣DC﹣CB组成的矩形“支撑架”，已知支架的高度为 4米，
则这个“支撑架”总长是多少米？
13．（2022•立山区一模）2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热
情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线C ：y＝﹣
1
x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑
出后沿一段抛物线C ：y＝﹣ +bx+c运动．
2
（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线
C 的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；
2
（2）在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡
的竖直距离为1米？
专题 22.3 二次函数的实际应用-抛物线问题
（专项训练）1．（2021秋•信都区期末）如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款
高OD为14的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线y＝ +5的一部分，则杯口的口径AC
为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解答】解：OD为14，14＝ x2+5，解得x＝± ，
∴A（﹣ ，14），C（ ，14），
∴AC＝ ﹣（﹣ ）＝9，
故选：C．
2．（2021秋•南昌县期末）如右图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为
，当水面离桥顶的高度为 时，水面的宽度为（ ）米．
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C【解答】解：将y＝﹣ 代入 得﹣ ＝﹣ x2，
解得x＝5或x＝﹣5，
∴水面宽度＝5﹣（﹣5）＝10．
故选：C．
3.（2021秋•临海市期末）一位运动员在离篮筐水平距离 4m处起跳投篮，球运行路线可看
作抛物线，当球离开运动员的水平距离为 1m时，它与篮筐同高，球运行中的最大高度
为3.5m，最后准确落入篮筐，已知篮筐到地面的距离为3.05m，该运动员投篮出手点距
离地面的高度为（ ）
A．1.5 m B．2m C．2.25 m D．2.5 m
【答案】C
【解答】解：以地面所在的直线为X轴，过抛物线的顶点C垂直于x轴的直线为y轴建
立如图所示坐标系：
∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5），
∴可设抛物线的函数关系式为y＝ax2+3.5．
∵篮球中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得 3.05＝a×1.52+3.5，
∴a＝﹣ ，
∴y＝﹣ x2+3.5．当x＝﹣2.5时，y＝﹣ ×（﹣2.5）2+3.5＝﹣1.25+3.5＝2.25（m），
该运动员投篮出手点距离地面的高度为2.25m．
故选：C．
4．（2021秋•峄城区期末）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小
球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，下列结论：
①小球在空中经过的路程是40m；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；
③小球抛出3秒时速度为0；
④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s．
其中正确的是（ ）
A．①④ B．①② C．②③ D．②③④
【答案】C
【解答】解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m；故①错误；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点，速度为0，故③正确；
④设函数解析式为：h＝a（t﹣3）2+40，
把O（0，0）代入得0＝a（0﹣3）2+40，解得a＝﹣ ，
∴函数解析式为h＝﹣ （t﹣3）2+40，
把h＝30代入解析式得，30＝﹣ （t﹣3）2+40，
解得：t＝4.5或t＝1.5，
∴小球的高度h＝30m时，t＝1.5s或4.5s，故④错误；
故选：C．
5．（2022•江西开学）如图，从 m高的某建筑物窗口A用水管向外给公园草坪喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），已知喷出的水（抛物线）的最高
点M离墙1m时最大高度为8m，求水流落地点B离墙的距离OB．
【答案】5米
【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+8，
代入A（0， ）得 ＝a+8，
a＝﹣0.5．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣0.5（x﹣1）2+8．
当y＝0时，0＝﹣0.5（x﹣1）2+8，
解得：x ＝﹣3（舍去），x ＝5．
1 2
∴OB＝5米．
答：水流落地点B离墙距离OB为5米．
6．（2022•浦江县模拟）把一个抛物线形的拱形桥洞放在如图所示的直角坐标系中，桥洞
离水面的最大高度为4m，跨度为12m．
（1）求这条抛物线的解析式．
（2）一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能否从桥下通过？并说明理由．
【答案】（1）y＝﹣ （x﹣6）2+4 （2）能通过
【解答】解：（1）由图象可知，
抛物线的顶点坐标为（6，4），
设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣6）2+4，过点（12，0），
则0＝a（12﹣6）2+4，
解得a＝﹣ ．
即这条抛物线的解析式为：y＝﹣ （x﹣6）2+4．
（2）货船能顺利通过此桥洞．理由：
当x＝ （12﹣4）＝4时，
y＝﹣ （4﹣6）2+4＝ ＞3，所以能通过此桥洞
7．（2022•丰台区一模）某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，
在水管的顶端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物
线的一部分．若记水柱上某一位置与水管的水平距离为 d米，与湖面的垂直高度为h
米．下面的表中记录了d与h的五组数据：
d（米） 0 1 2 3 4
h（米） 0.5 1.25 1.5 1.25 0.5
根据上述信息，解决以下问题：
（1）在下面网格（图1）中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示
h与d函数关系的图象；
（2）若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则m＝ ；
（3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使
得游船能从水柱下方通过．如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方
中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于 0.5米．已知游船顶棚宽度为
3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不
计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）．【答案】（1）略 （2）1.5 （3）3.8（米）
【解答】解：（1）以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角
坐标系，如图1所示：
（2）根据题意可知，该抛物线的对称轴为x＝2，此时最高，
即m＝1.5，
故答案为：1.5．
（3）根据图象可设二次函数的解析式为：h＝a（d﹣2）2+1.5，
将（0，0.5）代入h＝a（d﹣2）2+1.5，得a＝﹣ ，
∴抛物线的解析式为：h＝﹣ d2+d+0.5，
设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：h＝﹣ d2+d+0.5+m，
由题意可知，当横坐标为2+ ＝ 时，纵坐标的值大于2+0.5＝2.5，
∴﹣ ×（ ）2+ +0.5+m≥2.5，
解得m≥3.3，
∴水管高度至少向上调节3.3米，∴0.5+3.3＝3.8（米），
∴公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到3.8米才能符合要求．
8．（2022•长安区模拟）如图，在某中学的一场篮球赛中，小明在距离篮圈中心7.3m（水
平距离）远处跳起投篮，已知球出手时离地面 m，当篮球运行的水平距离为4m时达
到离地面的最大高度4m．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面
3m．
（1）建立如图的平面直角坐标系，求篮球运行路线所在抛物线的函数表达式；
（2）场边看球的小丽认为：小明投出的此球不能命中篮圈中心．
①请通过计算说明小丽判断的正确性；
②若球出手的角度和力度都不变，小明应该向前走或向后退多少米才能命中篮圈中
心？
（3）在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽，但球到达最高点
后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守方球
员小亮前来盖帽，已知小亮的最大摸球高度为3.19m，则他应在小明前面多少米范围处
跳起拦截才能盖帽成功？
【答案】（1）y＝﹣ （x﹣4）2+4（2）此球不能投中，小丽的判断是正确的；
（3）1.3米范围处跳起拦截才能盖帽成功
【解答】解：（1）∵抛物线顶点坐标为（4，4），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+4，
把（0， ）代入，得a＝﹣ ，
所以篮球运行路线所在抛物线的函数表达式为y＝﹣ （x﹣4）2+4；
（2）①把x＝7.3代入抛物线解析式得：y＝﹣ （7.3﹣4）2+4＝2.79，∵2.79＜3，
∴此球不能投中，小丽的判断是正确的；
②当y＝3时，3＝﹣ （x﹣4）2+4，
解得x＝7或1（舍去），
7.3﹣7＝0.3（米），
所以小明应该向前走0.3米才能命中篮圈中心；
（3）当y＝3.19时，3.19＝﹣ （x﹣4）2+4，
解得x＝1.3或6.7，
∵6.7＞4，
∴x＝1.3，
答：他应在小明前面1.3米范围处跳起拦截才能盖帽成功．
9．（2022•朝阳区一模）某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面的立柱
上安装喷头，从喷头喷出的水柱的形状可以看作是抛物线的一部分．安装后，通过测量
获得如下数据，喷头高出湖面3米，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高
度为h米．
d（米） 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00
h（米） 3.75 4.00 3.75 3.00 1.75 0
请解决以下问题：
（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连
接；
（2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度；
（3）求h关于d的函数表达式；
（4）公园希望游船能从喷泉拱门下穿过，已知游船的宽度约为 2米，游船的平顶棚到
湖面的高度约为1米，从安全的角度考虑，要求游船到立柱的水平距离不小于 1米，顶
棚到水柱的竖直距离也不小于1米．工人想只通过调整喷头距离湖面的高度（不考虑其
他因素）就能满足上述要求，请通过计算说明应如何调整．【答案】（1）略 （2）4米 （3）h＝﹣（d﹣1）2+4；（4）至少向上调整2米
【解答】解：（1）如图，
（2）水柱最高点距离湖面的高度是4米；
（3）由图象可得，顶点（1，4），
设二次函数的关系式为h＝a（d﹣1）2+4，
把（2，3）代入可得a＝﹣1，
所以h＝﹣（d﹣1）2+4；
（4）设水枪高度向上调整m米，
设平移后二次函数关系式为h′＝﹣（d﹣1）2+4+m，
当d＝1+2＝3时，h′＝﹣4+4+m＝m，
∴m≥2，
答：水枪高度至少向上调整2米．
10．（2022•武汉模拟）某公司有一个抛物线形蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的直角坐
标系中，抛物线可以用函数y＝ax2+bx来表示．已知大棚在地面上的宽度OA为4米，距
离O点1米处的棚高BC为 米．（1）求该抛物线的解析式；
（2）求蔬菜大棚离地面的最大高度是多少米？
（3）为了扩大经营规模，公司决定将原来的蔬菜大棚进行改造，新建的大棚与原来大
棚的形状保持不变，但使地面的宽度增加到6米．求身高为1.68米的工作人员在不弯腰
的情况下，在大棚内横向活动的范围是多少米？
【答案】（1）y＝﹣ x2+3x （2）3米 （3）在大棚内横向活动的范围是5.2米．
【解答】解：（1）由题意可得，抛物线经过（1， ），（4，0），
故 ，
解得： ，
故抛物线解析式为：y＝﹣ x2+3x；
（2）y＝﹣ x2+3x，
＝﹣ （x﹣2）2+3，
故蔬菜大棚离地面的最大高度是3米；
（3）设新大棚的解析式为y＝﹣ x2+nx，由题意得抛物线过点（6，0），
则﹣ ×36+6n＝0，
∴n＝ ，
∴y＝﹣ x2+ x，将y＝1.68代入得﹣ x2+ x＝1.68，
x2﹣6x＝﹣2.24，
∴x ＝5.6，x ＝0.4，
1 2
由5.6﹣0.4＝5.2（米）．
∴在大棚内横向活动的范围是5.2米．
∴货船能顺利通过此桥洞．
11．（2021秋•全椒县期末）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷
水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为 x轴，点O为原点建立直
角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C、D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一
象限部分）的函数表达式为y＝﹣ （x﹣5）2+6．
（1）求落水点C、D之间的距离；
（2）若需在OD上离O点10米的E处竖立雕塑EF，EF⊥OD，且雕塑的顶部刚好碰到
水柱，求雕塑EF的高．
【答案】（1）22m （2） m
【解答】解：（1）当y＝0时，﹣ （x﹣5）2+6＝0，
解得：x ＝﹣1（舍去），x ＝11，
1 2
∴点D的坐标为（11，0），
∴OD＝11m．
∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
∴OC＝OD＝11m，
∴CD＝OC+OD＝22m．
（2）由雕塑的顶部刚好碰到水柱且EF⊥OD，可知点F在抛物线上，且横坐标为10．
当x＝10时，y＝﹣ （10﹣5）2+6＝ ，∴点F（10， ），
∴EF＝ ．
∴雕塑EF的高 m．
12．（2021秋•海州区期末）如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度 6米，底部
宽度OM为12米，现以O点为原点，OM所在的直线为x轴建立直角坐标系．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若要搭建一个由AD﹣DC﹣CB组成的矩形“支撑架”，已知支架的高度为 4米，
则这个“支撑架”总长是多少米？
【答案】（1） y＝﹣ （x﹣6）2+6（2）（8+8 ）米．
【解答】解：（1）∵某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度6米，底部宽度OM为
12米，
∴P（6，6）．
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+6．
∵抛物线y＝a（x﹣6）2+6经过点（0，0），
∴0＝a（0﹣6）2+6，解得a＝﹣ ，
∴抛物线解析式为：y＝﹣ （x﹣6）2+6；
（2）当y＝4时，4＝﹣ （x﹣6）2+6；
解得x＝6±2 ，
∴AD＝4，AB＝（6+2 ）﹣（6﹣2 ）＝4 ，所以“支撑架”总长是2×（4+4 ）＝（8+8 ）米．
13．（2022•立山区一模）2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热
情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终
点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线C ：y＝﹣
1
x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑
出后沿一段抛物线C ：y＝﹣ +bx+c运动．
2
（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线
C 的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；
2
（2）在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡
的竖直距离为1米？
【答案】（1） y＝﹣ x2+ x+4（2）为12米
【解答】解：（1）由题意可知抛物线C ：y＝﹣ x2+bx+c过点（0，4）和（4，8），
2
将其代入得：
，
解得： ，
∴抛物线C 的函数解析式为：y＝﹣ x2+ x+4；
2（2）设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意
得：
﹣ m2+ m+4﹣（﹣ m2+ m+1）＝1，
整理得：（m﹣12）（m+4）＝0，
解得：m ＝12，m ＝﹣4（舍去），
1 2
故运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米．
