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专题28.19 锐角三角函数（挑战综合（压轴）题分类专题）
（专项练习）
【知识点一】三角函数的运算➽➼计算✭ ✭ 化简✭ ✭ 求值
【类型①】三角函数的运算➼➻直接计算
1．（2022·湖南岳阳·中考真题）计算： ．
2．（2016·贵州毕节·中考真题）计算：
3．（2021·山东菏泽·中考真题）计算： ．【类型②】三角函数的运算➼➻化解★✭求值
4．（2022·山东滨州·中考真题）先化简，再求值： ，其中
5．（2021·辽宁营口·中考真题）先化简，再求值： ，其中
．
6．（2020·黑龙江黑龙江·中考真题）先化简，再求值： ，
其中 ．【知识点二】三角函数在几何问题中的应用
【类型①】三角函数的应用➼➻三角形
7．（2016·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在 中， ， ，垂
足分别为 ， ， 与 相交于点 ．
（1）求证： ∽ ；
（2）当 ， 时，求 的长．
8．（2020·四川眉山·中考真题）如图， 和 都是等边三角形，点 、 、
三点在同一直线上，连接 ， ， 交 于点 ．
（1）若 ，求证： ；
（2）若 ， ．
①求 的值；
②求 的长．9．（2021·四川阿坝·中考真题）如图， 中， ，将 绕点C顺
时针旋转得到 ，点D落在线段AB上，连接BE．
（1）求证：DC平分 ；
（2）试判断BE与AB的位置关系，并说明理由：
（3）若 ，求 的值．
【类型②】三角函数的应用➼➻平行四边形
10．（2018·广西百色·中考真题）平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=2AD，BD的
中垂线分别交AB，CD于点E，F，垂足为O．
（1）求证：OE=OF；
（2）若AD=6，求tan∠ABD的值．11．（2019·江苏扬州·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，已
知CE=6，BE=8，DE=10.
（1）求证：∠BEC=90°；
（2）求cos∠DAE.
12．（2019·辽宁沈阳·中考真题）如图，在四边形ABCD中，点E和点F是对角线AC
上的两点，AE＝CF，DF＝BE，且DF∥BE，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若tan∠CAB＝ ，∠CBG＝45°，BC
＝4 ，则▱ABCD的面积是 ．【类型③】三角函数的应用➼➻矩形
13．（2022·湖北荆门·中考真题）如图，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝x（0＜x＜
8），将△ACB沿AC对折到△ACE的位置，AE和CD交于点F．
(1) 求证：△CEF≌△ADF；
(2) 求tan∠DAF的值（用含x的式子表示）．
14．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，已知四边形ABCD为矩形 ， ，点E在BC上， ，将△ABC沿AC翻折到△AFC，连接EF．
(1) 求EF的长；
(2) 求sin∠CEF的值．
15．（2022·四川成都·中考真题）如图，在矩形 中， ，点 是
边上一动点（点 不与 ， 重合），连接 ，以 为边在直线 的右侧作矩形
，使得矩形 矩形 ， 交直线 于点 ．
(1) 【尝试初探】在点 的运动过程中， 与 始终保持相似关系，请说明
理由．
(2) 【深入探究】若 ，随着 点位置的变化， 点的位置随之发生变化，当 是
线段 中点时，求 的值．
(3) 【拓展延伸】连接 ， ，当 是以 为腰的等腰三角形时，求
的值（用含 的代数式表示）．【类型④】三角函数的应用➼➻菱形
16．（2021·吉林长春·中考真题）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点
O， ， ，点E在边AD上， ，连结BE交AC于点M．
（1）求AM的长．
（2） 的值为 ．17．（2020·吉林·中考真题）能够完全重合的平行四边形纸片 和 按图①方
式摆放，其中 ， ．点 ， 分别在边 ， 上， 与 相交于
点 ．
【探究】求证：四边形 是菱形．
【操作一】固定图①中的平行四边形纸片 ，将平行四边形纸片 绕着点
顺时针旋转一定的角度，使点 与点 重合，如图②，则这两张平行四边形纸片未重叠部
分图形的周长和为______．
【操作二】四边形纸片 绕着点 继续顺时针旋转一定的角度，使点 与点 重
合，连接 ， ，如图③若 ，则四边形 的面积为______．
18．（2019·北京·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在
AB，AD上，BE=DF，连接EF．
（1）求证：AC⊥EF；
（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O，若BD=4，tanG= ，求
AO的长．【类型⑤】三角函数的应用➼➻正方形
19．（2018·宁夏·中考真题）已知点E为正方形ABCD的边AD上一点，连接BE，过
点C作CN⊥BE，垂足为M，交AB于点N.
（1）求证：△ABE≌△BCN；
（2）若N为AB的中点，求tan∠ABE.
20．（2016·湖南株洲·中考真题）已知正方形ABCD中，BC=3，点E、F分别是CB、
CD延长线上的点，DF=BE，连接AE、AF，过点A作AH⊥ED于H点．
（1）求证：△ADF≌△ABE；
（2）若BE=1，求tan∠AED的值．21．（2016·浙江杭州·中考真题）如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，
点E在线段DC上，点A，D，G在同一直线上，且AD＝3，DE＝1，连接AC，CG，AE，
并延长AE交CG于点H.
(1) 求sin∠EAC的值；
(2) 求线段AH的长．
【知识点三】三角函数在实际生产生活中的应用
【类型①】三角函数的应用➼➻仰角★✭俯角
22．（2022·广东广州·中考真题）某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆
测量旗杆的高度．如图，在某一时刻，旗杆的AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标
杆CD，标杆CD的影子为CE， CD = 1.6m，BC =5CD．(1) 求BC的长；
(2) 从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，
求旗杆AB的高度．
条件①：CE = 1.0m； 条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角 为54.46°．
注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．参考数据：
sin54.46°≈0.81， cos54.46°≈0.58， tan54.46°≈1.40 ．
23．（2022·辽宁阜新·中考真题）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数
学知识测量居民楼的高度 ，在居民楼前方有一斜坡，坡长 ，斜坡的倾斜角为
， ．小文在 点处测得楼顶端 的仰角为 ，在 点处测得楼顶端 的仰角
为 （点 ， ， ， 在同一平面内）．
(1) 求 ， 两点的高度差；
(2) 求居民楼的高度 ．（结果精确到 ，参考数据： ）24．（2022·辽宁朝阳·中考真题）某数学兴趣小组准备测量校园内旗杆顶端到地面的
高度（旗杆底端有台阶）．该小组在C处安置测角仪CD，测得旗杆顶端A的仰角为30°，
前进8m到达E处，安置测角仪EF，测得旗杆顶端A的仰角为45°（点B，E，C在同一直
线上），测角仪支架高CD＝EF＝1.2m，求旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度．（结果
精确到1m．参考数据： ≈1.7）
【类型②】三角函数的应用➼➻方位角
25．（2022·湖北襄阳·中考真题）位于岘山的革命烈士纪念塔是襄阳市的标志性建筑，
是为纪念“襄樊战役”中牺牲的革命烈士及第一、第二次国内革命战争时期为襄阳的解放
事业献身的革命烈士的而兴建的，某校数学兴趣小组利用无人机测量纪念塔的高度．无人
机在点A处测得纪念塔顶部点B的仰角为45°，纪念塔底部点C的俯角为61°，无人机与纪念塔的水平距离AD为10m，求纪念塔的高度．（结果保留整数．参考数据：
sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80）
26．（2022·四川资阳·中考真题）小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走
向的隧道 进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏
东 方向上，他沿西北方向前进 米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，
端点B在他的北偏西 方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）
(1) 求点D与点A的距离；
(2) 求隧道 的长度．（结果保留根号）
27．（2022·贵州安顺·中考真题）随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日
趋完善．某市政府为了实现5G网络全覆盖，2021~2025年拟建设5G基站3000个，如图，
在斜坡 上有一建成的5G基站塔 ，小明在坡脚 处测得塔顶 的仰角为 ，然后
他沿坡面 行走了50米到达 处， 处离地平面的距离为30米且在 处测得塔顶 的
仰角 ．（点 、 、 、 、 均在同一平面内， 为地平线）（参考数据：， ， ）
(1) 求坡面 的坡度；
(2) 求基站塔 的高．
【类型③】三角函数的应用➼➻坡度★✭坡比
28．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头
C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这
艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方
向航行20海里到达码头C．求货轮从A到B航行的距离（结果精确到0.1海里．参考数据：
sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）．
29．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB，其旁边
有一个坡面 ，坡角 ．在阳光下，小明观察到在地面上的影长为 ，在
坡面上的影长为 ．同一时刻，小明测得直立于地面长60cm的木杆的影长为90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度．
30．（2022·湖南郴州·中考真题）如图是某水库大坝的横截面，坝高 ，背水
坡BC的坡度为 ．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人
员准备把背水坡的坡度改为 ，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离．（参考
数据： ， ．结果精确到0.1m）
【知识点四】三角函数在函数中的应用【类型①】三角函数的应用➼➻一次函数
31．（2013·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的对角
线AC=12，tan∠ACO= ，
（1）求B、C两点的坐标；
（2）把矩形沿直线DE对折使点C落在点A处，DE与AC相交于点F，求直线DE的
解析式；
（3）若点M在直线DE上，平面内是否存在点N，使以O、F、M、N为顶点的四边
形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
32．（2021·天津东丽·一模）在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，把 绕原点O顺时针旋转，得到 ，记旋转角为 ．
（Ⅰ）如图①，当 时，求点 的坐标．
（Ⅱ）设直线 与直线 相交于点M，如图②，当 时，求 的面积．
33．（2020·河北石家庄·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中A（0，2），点B
（﹣3，0）．△AOB绕点O逆时针旋转30°得到△AOB．
1 1
（1）直接写出点B 的坐标；
1
（2）点C（2，0），连接CA 交OA于点D，求点D的坐标．
1
【类型②】三角函数的应用➼➻反比例函数34．（2021·山东泰安·中考真题）如图，点P为函数 与函数 图
象的交点，点P的纵坐标为4， 轴，垂足为点B．
（1）求m的值；
（2）点M是函数 图象上一动点，过点M作 于点D，若
，求点M的坐标．
35．（2014·江西南昌·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Rt△PBD的斜边PB落
在y轴上，tan∠BPD= ．延长BD交x轴于点C，过点D作DA⊥x轴，垂足为A，OA=4，
OB=3．
（1）求点C的坐标；
（2）若点D在反比例函数y= （k＞0）的图象上，求反比例函数的解析式．36．（2022·四川宜宾·中考真题）如图，一次函数 的图象与x轴交于点
，与y轴交于点B，与反比例函数 的图象交于点C、D．若 ，
．
(1) 求一次函数和反比例函数的表达式；
(2) 求 的面积．参考答案
1．1
【分析】根据特殊角的三角函数值，零指数幂，实数的运算，有理数的乘方，绝对值
等计算法则求解即可．
解：
．
【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，实数的运算，有理数的乘方，
绝对值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
2．1-
解：试题分析：首先根据绝对值、0次幂、负指数次幂、三角函数以及-1的偶数次幂
的计算法则求出各式的值，然后进行求和得出答案.
试题解析：原式=1+ -1- -2× +1=1-
考点：实数的计算
3．0
【分析】根据零指数幂,绝对值的化简,负整数指数幂,特殊角的函数值计算即可
解：
=1+3
=0.
【点拨】本题考查了零指数幂 ,负整数指数幂,特殊角的函数值,二次根式的化简,绝对值
的化简,熟练掌握各种运算的基本法则是解题的关键．
4． ，0
【分析】先算括号内的减法，再将除法变成乘法进行计算，然后根据锐角三角函数，负指数幂和零次幂的性质求出a，最后代入计算．
解：
；
∵ ，
∴原式 ．
【点拨】本题考查了分式的化简求值，锐角三角函数，负指数幂和零次幂的性质，熟
练掌握运算法则是解题的关键．
5． ，
【分析】先约分，再算分式的减法以及除法运算，进行化简，再代入求值，即可．
解：原式=
=
=
= ，
当 = =2时，原式= ．
【点拨】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则以及特殊角三角函数值，是解题的关键．
6． ,
【分析】括号内先通分进行分式的减法运算，然后进行分式的除法运算，将特殊角的
三角函数值代入 求出x的值，然后代入化简后的结果进行计算即可．
解：原式=
=
=
= ，
当 时，
原式 ．
【点拨】本题考查了分式的混合运算——化简求值，涉及了分式的减法、乘除法运算，
特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．
7．（1）见分析；（2）3
【分析】（1）由 ， ，推出 ，由此
即可证明；
（2）先证明 ，由 ∽ ，得 ，即可解决问题．
解：（1）证明：∵ ， ，
∴ ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ∽ ．
（2）∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ∽ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查相似三角形的判定和性质、三角函数等知识，解题的关键是熟练掌
握相似三角形的判定和性质，属于中考常考题型．
8．（1）见分析；（2）① ；②
【分析】（1）先根据两边对应成比例且夹角对应相等得出 ，再根据
ASA得出 即可．
（2）①过点 作 于点 ，根据直角三角形 角所对直角边是斜边的一半
可得 ，从而得出 ，由BE=6得出 ， ，根据勾股定理得
出 ，然后根据 即可．
②在Rt 中，根据勾股定理得出BD的长，再根据 得出 即
可得出DF的长．解：（1）证明： ，
又 ， ， ．
和 均为等边三角形，
， ，
， ，
， ．
（2）① ， ， ，
， ，
， ．
， ， ，
过点 作 于点 ，
为等边三角形，
， ．
在Rt 中， ，
．
②在Rt 中， ，
， ， ，
， ， ．
【点拨】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，直角三角形的性
质，以及锐角三角函数，熟练掌握相关的知识是解题的关键．9．（1）见分析；（2）BE⊥AB，理由见分析；（3） ．
【分析】（1）根据旋转的性质可得AC=CD，∠A=∠CDE，再由等腰三角形的性质得
到∠A=∠ADC即可证明∠ADC=∠CDE；
（2）根据旋转的性质得到∠ACD=∠BCE，CB=CE，AC=CD，从而得出
∠CAD=∠ADC=∠CBE=∠CEB，再根据∠ACB=90°即可得到∠ABE=90°；
（3）设BD=BE=a，根据勾股定理计算出AB=DE= ，表达出AD，再证明
△ACD∽△BCE，得到 即可．
解：（1）由旋转可知：AC=CD，∠A=∠CDE，
∴∠A=∠ADC，
∴∠ADC=∠CDE，即DC平分∠ADE；
（2）BE⊥AB，
理由：由旋转可知，∠ACD=∠BCE，CB=CE，AC=CD，
∴∠CAD=∠ADC=∠CBE=∠CEB，
又∵∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠ABC=90°，
∴∠CBE+∠ABC=90°，
即∠ABE=90°，
∴BE⊥AB；
（3）∵∠ABE=90°，BD=BE，
∴设BD=BE=a，则 ，
又∵AB=DE，
∴AB= ，则AD= ，
由（2）可知，∠ACD=∠BCE，∠CAD=∠ADC=∠CBE=∠CEB，
∴△ACD∽△BCE，
∴ ，∴tan∠ABC= ．
【点拨】本题考查了旋转的综合应用以及相似三角形的性质与判定、锐角三角函数的
定义，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，并熟记锐角三角函数的定义．
10．（1）证明见分析（2）
【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质证明即可；
（2）作DG⊥AB，根据勾股定理和三角函数解答即可．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠1=∠2．
∵EF是BD的中垂线，
∴OD=OB，∠3=∠4=90°，
∴△DOF≌△BOE，
∴OE=OF；
（2）作DG⊥AB，垂足为G．
∵∠A=60°，AD=6，
∴∠ADG=30°，
∴AG= AD=3，
∴DG= ．
∵AB=2AD，
∴AB=2×6=12，BG=AB﹣AG=12﹣3=9，
∴tan∠ABD= ．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质和正切的定义，关键是根据平行四边形的性质
和全等三角形的判定和性质解答．11．（1）见分析；（2）cos∠DAE=
【分析】(1)先求出BC的长，继而根据勾股定理的逆定理进行证明即可得；
(2)根据平行四边形的性质可求得AB=16，∠ABE=90°，继而根据勾股定理求出AE的
长，然后利用余弦的定义求出cos∠EAB的值，再根据∠DAE=∠EAB即可求得答案.
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC ，
∴∠AED=∠EAB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB，
∴∠AED=∠DAE，
∴AD=DE=10，
∴BC=10，
又∵BE=8，CE=6，
∴BE2+CE2=BC2，
∴△BEC为直角三角形，
∴∠BEC=90°；
(2)∵ DE=10，CE=6，
∴CD=DE+CE=16，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD=16，
∴∠ABE=∠BEC=90°，
∴AE= ，
∴cos∠EAB= ，
∵∠DAE=∠EAB，
∴cos∠DAE== .
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，余弦等知识，熟练掌握
相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的应用.
12．（1）见分析；（2）24．
【分析】（1）根据已知条件得到AF＝CE，根据平行线的性质得到∠DFA＝∠BEC，根据全等三角形的性质得到AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，于是得到结论；
（2）根据已知条件得到△BCG是等腰直角三角形，求得BG＝CG＝4，解直角三角形
得到AG＝10，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
解：（1）证明：∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
即AF＝CE，
∵DF∥BE，
∴∠DFA＝∠BEC，
∵DF＝BE，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，
∴AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：∵CG⊥AB，
∴∠G＝90°，
∵∠CBG＝45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∵BC＝4 ，
∴BG＝CG＝4，
∵tan∠CAB＝ ，
∴AG＝10，
∴AB＝6，
∴▱ABCD的面积＝6×4＝24，
故答案为24．
【点拨】本题考查了平行相交线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三
角形，正确的识别图形是解题的关键．
13．(1)证明见分析(2)tan∠DAF＝
【分析】（1）根据矩形的性质得到∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根据折叠的性质得到BC＝CE，∠E＝∠B＝90°，等量代换得到∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，根据AAS证明三
角形全等即可；
（2）设DF＝a，则CF＝8﹣a，根据矩形的性质和折叠的性质证明AF＝CF＝8﹣a，
在Rt△ADF中，根据勾股定理表示出DF的长，根据正切的定义即可得出答案．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根据折叠的性质得：BC＝CE，∠E＝∠B＝90°，
∴∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，在△CEF与△ADF中， ，
∴△CEF≌△ADF（AAS）；
（2）解：设DF＝a，则CF＝8﹣a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD＝BC＝x，
∴∠DCA＝∠BAC，根据折叠的性质得：∠EAC＝∠BAC，
∴∠DCA＝∠EAC，
∴AF＝CF＝8﹣a，在Rt△ADF中，
∵AD2+DF2＝AF2，
∴x2+a2＝（8﹣a）2，
∴a＝ ，
∴tan∠DAF＝ ＝ ．
【点拨】本题考查了锐角三角函数，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折变
换（折叠问题），根据矩形的性质和折叠的性质证出AF＝CF是解题的关键．
14．(1) (2)
【分析】(1)先由 可求得 的长度，再由角度关系可得 ，即可求得
的长;
(2)过F作 于 ，利用勾股定理列方程，即可求出 的长度，同时求出
的长度，得出答案.
解：（1）设 ，则 ，∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由折叠可知 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， .
（2）过F作FM⊥BC于M，
∴∠FME=∠FMC=90°，
设EM=a,则EC=3-a，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【点拨】此题考查了锐角三角函数，勾股定理，矩形的性质，通过添加辅助线构建直
角三角形是解题的关键．
15．(1)见分析(2) 或 (3) 或
【分析】（1）根据题意可得∠A=∠D=∠BEG=90°，可得∠DEH=∠ABE，即可求证；
（2）根据题意可得AB=2DH，AD=2AB，AD=4DH，设DH=x，AE=a，则AB=2x，
AD=4x，可得DE=4x-a，再根据△ABE∽△DEH，可得 或 ，即可求解；
（3）根据题意可得EG=nBE，然后分两种情况：当FH=BH时，当FH=BF=nBE时，
即可求解．
（1）解：根据题意得：∠A=∠D=∠BEG=90°，
∴∠AEB+∠DEH=90°，∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠DEH=∠ABE，
∴△ABE∽△DEH；
（2）解：根据题意得：AB=2DH，AD=2AB，∴AD=4DH，
设DH=x，AE=a，则AB=2x，AD=4x，
∴DE=4x-a，
∵△ABE∽△DEH，
∴ ，
∴ ，解得： 或 ，
∴ 或 ，
∴ 或 ；
（3）解：∵矩形 矩形 ， ，
∴EG=nBE，
如图，当FH=BH时，
∵∠BEH=∠FGH=90°，BE=FG，
∴Rt△BEH≌Rt△FGH，
∴EH=GH= ，
∴ ，
∵△ABE∽△DEH，
∴ ，即 ，∴ ，
∴ ；
如图，当FH=BF=nBE时，
，
∴ ，
∵△ABE∽△DEH，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ；
综上所述， 的值为 或 ．
【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，
勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，
勾股定理等知识是解题的关键．
16．（1） ；（2）
【分析】（1）根据菱形的性质，结合 ，可求得 的长．
（2）根据 ， ，在 中即可求出 的值．
解：（1） 是菱形，，
即
，
（2） 是菱形，
， ，
在 中，
【点拨】本题考查了菱形的基本性质，相似三角形的判定和性质，以及解直角三角形，
熟练掌握菱形的性质是解题关键．
17．探究：证明见分析；操作一：56；操作二：72．
【分析】探究：先根据平行四边形的性质可得 ，再根据平行四边形
的判定可得四边形 是平行四边形，然后根据菱形的判定即可得证；
操作一：先根据菱形的性质得出 ，再根据三角形全等的判定定理与
性质可得 ，然后根据全等三角形的性质、三角形的周长公式即可得；
操作二：先根据平行四边形的性质、等腰三角形的判定可得 是等腰三角形，且
平分 ，再根据等腰三角形的三线合一可得 ， ，然后
利用正弦三角函数可求出DN的长，从而可得DG的长，最后根据矩形的判定可得四边形
是矩形，据此利用矩形的面积公式即可得．
解：探究： 四边形 和 都是平行四边形
，即
四边形 是平行四边形
又
平行四边形 是菱形；操作一：如图，设AE与DF相交于点H，AB与FG相交于点M
四边形 和 是两个完全重合的平行四边形
，
在 和 中，
， 和 的周长相等
同理可得：
、 、 、 的周长均相等
又
的周长为
则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为
故答案为：56；
操作二：如图，设AB与DG相交于点N
四边形 和 是两个完全重合的平行四边形
是等腰三角形，且 平分
，
在 中， ，即
解得
又四边形 是平行四边形
，即
平行四边形 是矩形
则四边形 的面积为
故答案为：72．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、菱形的判
定、矩形的判定、正弦三角函数等知识点，熟记并灵活运用各判定定理与性质是解题关键．
18．（1）证明见分析；（2）AO=1．
【分析】（1）由菱形的性质得出AB=AD，AC平分∠BAD，再根据等腰三角形的三
线合一即可；
（2）根据菱形的性质和已知条件得出四边形EBDG为平行四边形，得出
∠G=∠ABD，再根据tanG= 即可求出AO的长．
解：（1）证明：∵四边形ABCD为菱形
∴AB=AD，AC平分∠BAD
∵BE=DF，
∴ ，
∴AE=AF
∴△AEF是等腰三角形，
∵AC平分∠BAD，
∴AC⊥EF
（2）解：如图2所示：∵四边形ABCD为菱形，
∴CG∥AB，BO= BD=2，
∵EF∥BD
∴四边形EBDG为平行四边形，
∴∠G=∠ABD，
∴tan∠ABD=tan∠G=
∴tan∠ABD= ，
∴AO=1
【点拨】本题考查了菱形的性质、平行线的判定与性质、解直角三角形，等腰三角形
的性质等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
19．（1）证明见分析；（2） .
【分析】（1）根据正方形的性质得到AB＝BC，∠A＝∠CBN＝90°，∠1＋∠2＝
90°，根据垂线和三角形内角和定理得到∠2＋∠3＝90°，推出∠1＝∠3，根据ASA推出
△ABE≌△BCN；（2）tan∠ABE＝ ，根据已知求出AE与AB的关系即可求得tan∠ABE.
解：（1）证明：如图，
四边形 为正方形， ，
， ，
在 和 中
；
（2） 为 中点，
又 ，
在 中， ．
【点拨】本题主要考查正方形的性质、三角形的内角和定理、垂线、全等三角形的性
质和判定以及锐角三角函数等知识点的掌握和理解，证出△ABE≌△BCN是解此题的关键.
20．（1）证明见分析；（2） ．
【分析】（1）根据辅助线的性质得到AD=AB，∠ADC=∠ABC=90°，由邻补角的定义
得到∠ADF=∠ABE=90°，于是得到结论；
（2）过点A作AH⊥DE于点H，根据勾股定理得到AE= ，ED= =5，
根据三角形的面积S AED= AD×BA= ，S ADE= ED×AH= ，求得AH=1.8，由三角函
△ △
数的定义即可得到结论．
解：（1）正方形ABCD中，∵AD=AB，∠ADC=∠ABC=90°，
∴∠ADF=∠ABE=90°，在△ADF与△ABE中，
∵AD=AB，∠ADF=∠ABE，DF=BE，
∴△ADF≌△ABE；
（2）如图，过点A作AH⊥DE于点H，在Rt△ABE中，∵AB=BC=3，BE=1，
∴AE= ，ED= =5，
∵S AED= AD×BA= ，S ADE= ED×AH= ，解出AH=1.8，
△ △
在Rt△AHE中，EH=2.6，
∴tan∠AED= = = ．
【点拨】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是
解题的关键．
21．（1） ；（2）
试题分析：（1）如图，过点E作EM⊥AC于点M，则∠EMA=∠EMC=90°，△EMC
为等腰直角三角形，在Rt△ADE中易得AE= ，在Rt△EMC中易得EM= ，
∴sin∠EAM= ；（2）由已知易证△ADE≌△CDG，从而可得GC=AE= ，
∠DAE=∠DCG，由此可证得AH⊥CG，最后利用S = 可解得AH
AGC
△
的长.
解：(1)作EM⊥AC于M.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AD＝DC＝3，∠DCA＝45°.
在Rt△ADE中，∵∠ADE＝90°，AD＝3，DE＝1，∴AE＝ .
在Rt△EMC中，∵∠EMC＝90°，∠ECM＝45°，EC＝2，
∴EM＝CM＝ .
∴在Rt△AEM中，sin∠EAM＝ ；
(2)在△GDC和△EDA中， ，
∴△GDC≌△EDA，
∴∠GCD＝∠EAD，GC＝AE＝ .
又∵∠AED＝∠CEH，
∴∠EHC＝∠EDA＝90°，
∴AH⊥GC.
∵S ＝ AG·DC＝ GC·AH，
AGC
△
∴ ×4×3＝ ×AH，
∴AH＝ .
考点：（1）正方形的性质；（2）勾股定理的应用；（3）锐角三角形函数；（4）全
等三角形的判定和性质；
22．(1) ；(2)① ；②旗杆AB高度约 ．
【分析】（1）根据BC =5CD，求解即可；
（2）①CE=1.0m时，连接DE，则有△DEC∽△ACB，根据相似的性质求解即可；②当时，作点D到AB的垂线段DF，在Rt△ADF中， ，求出
，进一步可求出AB=AF+FB≈11.20m+1.6m≈12.8m．
（1）解： ．
（2）解：①CE=1.0m时，连接DE，则有△DEC∽△ACB，
∴ ，
∴ ，
②当 时，作点D到AB的垂线段DF，
则四边形BCDF是矩形，FB=DC=1.6m，FD=BC=8.0m，
Rt△ADF中， ，
∴ ．
∴AB=AF+FB≈11.20m+1.6m≈12.8m．
∴旗杆AB高度约12.8m．
【点拨】本题考查相似三角形的性质，解直角三角形，近似运算．解题的关键是掌握相似三角形的性质，解直角三角形．
23．(1)9m(2)24m
【分析】（1）过点 作 ，交 的延长线于点 ，在 中，可得
，再利用勾股定理可求出 ，即可得出答案．
（2）过点 作 于 ，设 ，在 中，
，解得 ，在 中， ，
， ，求出 的值，即可得出答案．
（1）解：过点 作 ，交 的延长线于点 ，
在 中， ， ，
．
．
答： ， 两点的高度差为 ．
（2）过点 作 于 ，
由题意可得 ， ，
设 ，
在 中， ，
解得 ，
在 中， ，，
，
解得 ，
．
答：居民楼的高度 约为 ．
【点拨】本题考查解直角三角形的应用 仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐
角三角函数的定义是解答本题的关键．
24．旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度约为12m
【分析】延长DF交AB于点G，根据题意可得：DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝
1.2m，∠AGF＝90°，然后设AG＝xm，在Rt△AFG中，利用锐角三角函数的定义求出FG
的长，从而求出DG的长，再在Rt△ADG中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，
进行计算即可详解．
解：延长DF交AB于点G，
由题意得：
DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°，
设AG＝xm，
在Rt△AFG中，∠AFG＝45°，
∴FG x（m），
∴DG＝DF+FG＝（x+8）m，
在Rt△ADG中，∠ADG＝30°，
∴tan30° ，∴x＝4 4，
经检验：x＝4 4是原方程的根，
∴AB＝AG+BG≈12（m），
∴旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度约为12m．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结
合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
25．烈士塔的高度约为28m．
【分析】在Rt ABD中，∠BAD=45°，AD=10m，则BD=AD=10m，在Rt ACD中，
△ △
tan∠DAC=tan61°= ≈1.80，解得CD≈18m，由BC=BD+CD可得出答案．
解：由题意得，∠BAD=45°，∠DAC=61°，
在Rt ABD中，∠BAD=45°，AD=10m，
∴BD=△AD=10m，
在Rt ACD中，∠DAC=61°，
△
tan61°= ≈1.80，
解得CD≈18，
∴BC=BD+CD=10+18=28（m）．
∴纪念塔的高度约为28m．
【点拨】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义
是解答本题的关键．
26．(1)点D与点A的距离为300米(2)隧道 的长为 米
【分析】（1）根据方位角图，易知 ， ，解 即可求
解；
（2）过点D作 于点E．分别解 ， 求出 和 ，即可求
出隧道 的长
解：（1）由题意可知： ，
在 中，
∴ （米）答：点D与点A的距离为300米．
（2）过点D作 于点E．
∵ 是东西走向
∴
在 中，
∴
在 中，
∴
∴ （米）
答：隧道 的长为 米
【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角的概念、熟记特
殊角的三角函数值是解题的关键．
27．(1) (2)基站塔 的高为 米
【分析】（1）过点 、 分别作 的垂线，交 的延长线于点 、 ，过点 作
，垂足为 ，利用勾股定理求出 ，然后利用坡度的求解方式求解即可；
（2）设 米，则 米， 米，根据 ，求出
米， 米．在 中，求出 ；再根据
（米 ．
（1）解：如图，过点 、 分别作 的垂线，交 的延长线于点 、 ，过点
作 ，垂足为 ．根据他沿坡面 行走了50米到达 处， 处离地平面的距离为30米，
（米）， （米），
根据勾股定理得： （米）
坡面 的坡度为； ,
即坡面 的坡度比为 ；
（2）解：设 米，则 米， 米，
，
，
米，
米．
在 ，
米， 米， ，
，
解得 ；
（米），
（米 ，
（米）．
答：基站塔 的高为 米．
【点拨】本题考查解直角三角形，通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边
角关系和坡度的意义进行计算是常用的方法．
28．货轮从A到B航行的距离约为30.6海里．【分析】过B作BD⊥AC于D，在Rt BCD中，利用正弦函数求得BD=15.32海里，再
在Rt ABD中，利用含30度角的直角三角△形的性质即可求解．
解△：过B作BD⊥AC于D，
由题意可知∠ABE=30°，∠BAC=30°，则∠C=180°-30°-30°-70°=50°，
在Rt△BCD中，∠C=50°，BC=20(海里)，
∴BD= BCsin50°≈20×0.766=15.32(海里)，
在Rt△ABD中，∠BAD=30°，BD=15.32(海里)，
∴AB=2BD=30.64≈30.6(海里)，
答：货轮从A到B航行的距离约为30.6海里．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三
角形是解题的关键．
29．(170+60 )cm
【分析】延长AD交BN于点E，过点D作DF⊥BN于点F，根据直角三角形的性质求
出DF，根据余弦的定义求出CF，根据题意求出EF，再根据题意列出比例式，计算即可．
解：延长AD交BN于点E，过点D作DF⊥BN于点F，
在Rt CDF中，∠CFD=90°，∠DCF=30°，
△
则DF= CD=90（cm），CF=CD•cos∠DCF=180× =90 （cm），由题意得： = ，即 = ，
解得：EF=135，
∴BE=BC+CF+EF=120+90 +135=(255+90 )cm，
则 = ，
解得：AB=170+60 ，
答：立柱AB的高度为(170+60 )cm．
【点拨】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题、平行投影的应用，解题的关
键是数形结合，正确作出辅助线，利用锐角三角函数和成比例线段计算．
30．背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6m
【分析】通过解直角三角形 和 ，分别求出AD和BD的长，由
求出AB的长．
解：在 中，∵背水坡BC的坡度 ，
∴ ，
∴ ．
在 中，∵背水坡AC的坡度 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
答：背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6m．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解坡度、坡比的含义，
构造直角三角形，利用三角函数表示相关线段的长度．
31．（1）C的坐标是：（6 ，0），B的坐标是（6 ，6）．（2）直线DE的解析式是：y= x﹣6．（3）N的坐标是：（3， ）或（﹣3， ）或（ ，3）．
试题分析：（1）根据三角函数求得OA以及OC的长度，则C、B的坐标即可得到．
解：在直角△OAC中， ，
∴设OA= x，则OC=3x，
根据勾股定理得：（3x）2+（ x）2=AC2，即9x2+3x2=144，解得：x=2 ．
∴C的坐标是：（6 ，0），B的坐标是（6 ，6）．
（2）直线DE是AC的中垂线，应用待定系数法以及锐角三角函数定义即可求得DE
的解析式．
解：∵F是AC的中点，∴根据对折的性质，F的坐标是（3 ，3）．
设D（d，0），则根据对折的性质，E（ ，6）．
如图，过点E作EH⊥OC于点H，则HE=6，DH= ．
易证∠DEH=∠ACO，
∵ ，∴ ，
即 ，解得 ．
∴D（ ，0）
设直线DE的解析式是y=" k" x+b，将点D、F的坐标代入，得，解得
∴直线DE的解析式是：y= x﹣6．
（3）分当FM是菱形的边和当OF是对角线两种情况进行讨论，利用三角函数即可求
得N的坐标：
OF= AC=6．
∵ ，
∴ 30°．∴DE与x轴夹角是60°．
当FM是菱形的边时（如图），ON∥FM，
则∠NOC=60°或120°．
当∠NOC=60°时，过N作NG⊥y轴，
∴NG=ON•sin30°=6× =3，OG=ON•cos30°=6× = ．
∴N的坐标是（3， ）．
当∠NOC=120°时，与当∠NOC=60°时关于原点对称，则N的坐标是（﹣3，
）．
当OF是对角线时（如图），MN关于OF对称．∵F的坐标是（ ，3），∴∠FOD=∠NOF=30°．
在Rt△ONH中，OH= OF=3， ．
作NL⊥y轴于点L，
在Rt△ONL中，∠NOL=30°，
∴NL= ON= ，OL=ON•cos30°=2 × =3．
∴N的坐标是（ ，3）．
综上所述，N的坐标是：（3， ）或（﹣3， ）或（ ，3）．
32．（Ⅰ）点B'的坐标为 ；（Ⅱ） ．
【分析】（Ⅰ）当α＝30°时，由正切的定义解得∠ABO＝30°，再根据旋转的性质得到
，∠A'B'O＝∠ABO＝30°，∠B'OA＝60°，继而解得设B'C⊥x轴于点C，由含30°
角的直角三角形的性质解题即可；
（Ⅱ）当 时，得到A'坐标为（0，－1），B'坐标为 ，利用待定系数法，
分别解得直线A A'、B B′的解析式，再联立成方程组，解得两直线的交点，最后根据三角
形面积公式解题．
解：（Ⅰ）当α＝30°时，由已知，得OA＝1， ，
∴ ，
∴∠ABO＝30°，
∵△A'B'O是△ABO旋转得到的，
∴ ，∠A'B'O＝∠ABO＝30°，
∵∠BOB'＝30°，
∴∠B'OA＝60°，设B'C⊥x轴于点C，
∴ ，
．
∴点B'的坐标为 ；
（Ⅱ）当 时，A'坐标为（0，－1），B'坐标为 ，
设A A'解析式为y＝kx＋b，把A、A'坐标代入得，
，
，
A A'解析式为 ，
同理可得B B′解析式为 ，
联立方程组得， ，
解得，点M的坐标为
∴ ．
【点拨】本题考查一次函数、旋转、锐角三角函数、含30°角的直角三角形等知识，
是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
33．（1）（﹣ ，﹣ ）；（2）（0， ）
【分析】（1）过点B 作BE⊥y轴于点E，根据△AOB绕点O逆时针旋转30°得到
1 1
△AOB，即可求出点B 坐标；
1 1 1
（2）根据题意可得OA＝OC＝2，由旋转可得∠AOA ＝30°，进而得∠AOC＝120°，
1 1 1
所以可得∠ACO＝30°．从而可求出OD的长，即可得点D的坐标．
1
解：（1）如图，过点B 作BE⊥y轴于点E，
1 1
∵△AOB绕点O逆时针旋转30°得到△AOB，
1 1
∴∠BOB ＝30°，
1
∴∠BOE＝60°，
1
∵B（﹣3，0），
∴OB＝OB＝3，
1
∴OE＝ ，BE＝ ，
1
∴点B 的坐标为：（﹣ ，﹣ ）；
1
（2）∵点C（2，0），∴OC＝2，
∵A（0，2），
∴OA＝OA＝2，
1
∴OA＝OC＝2，
1
∵∠AOA ＝30°，∠DOC＝90°，
1
∴∠AOC＝120°，
1
∴∠ACO＝30°．
1
∴OD＝OC•tan30°＝2× ．
∴点D的坐标为：（0， ）．
【点拨】此题考查坐标与图形变化-旋转，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
34．（1）24；（2）M点的坐标为
【分析】(1)根据交点坐标的意义，求得点P的横坐标，利用k=xy计算m即可；
（2）利用分类思想，根据正切的定义，建立等式求解即可.
解：（1）∵点P纵坐标为4，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∴ ．
（2）∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
当M点在P点右侧，∴M点的坐标为 ，
∴（6+2t）（4-t）=24，
解得： ， （舍去），
当 时， ，
∴M点的坐标为 ，
当M点在P点的左侧，
∴M点的坐标为 ，
∴（6-2t）（4+t）=24，
解得： ， ，均舍去．
综上，M点的坐标为 ．
【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数解析式的确定，
三角函数，一元二次方程的解法，熟练掌握函数图像交点的意义，灵活运用三角函数的定
义，构造一元二次方程并准确解答是解题的关键．
35．（1）C（6，0）（2）y=
【分析】（1）根据∠DMA人正切值，可得PD的斜率，由PD与BC垂直，可得BD
的斜率，从而可求出直线BC的解析式，根据函数值为0，可得C点坐标；
（2）由OA=4，可知D点横坐标，由于点D在直线BC上，从而可得D坐标，再由待
定系数法，可得反比例函数解析式．
解：（1）Rt△PBD的斜边PB落在y轴上，∴BD⊥PB，
k =tan∠DMA=tan∠OMP= = =2，
PD
k •k =﹣1，
BD PD
k =﹣ ，
BD
直线BD的解析式是y=﹣ x+3，
当y=0时，﹣ x+3=0，
x=6，
C点坐标是（6，0）；
（2）当x=4时，y=﹣ ×4+3=1，
∴D（4，1）．
点D在反比例函数y= （k＞0）的图象上，
∴k=4×1=4，
∴反比例函数的解析式为 y= ．
【点拨】1、直线斜率；2、反比例函数；3、一次函数36．(1) ， (2)8
【分析】（1）根据 ，可得出B点的坐标，运用待定系数法即可求出AB
的解析式；再通过比例关系解出点C的坐标，可得反比例函数表达式；
（2）过D作 轴，垂足为点 ，联列方程组解出点D的坐标，再根据
即可求出 的面积．
解：（1）在 中，∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵A、B两点在函数 上，
将 、 代入 得
解得 ， ，
∴
设 ，过点C作 轴，垂足为E，则 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
即 ， ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴∴ ，
∴ ；
（2）解方程组 ，得 ，
∴ ，
过D作 轴，垂足为点
∵
∴
．
【点拨】本题考查反比例函数的性质，涉及反比例函数与一次函数的交点问题，反比
例函数中的面积问题，熟练运用反比例函数的性质，以及灵活运用面积计算的方法是解题
的关键．
