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专题3 平行线中的“拐点”模型研究（原卷版）
第一部分 典例精析+变式训练
类型一 基本模型：M型，U型，Z型结论探究
典例1 如图，已知平面内有两条直线AB、CD，且AB∥CD，P为一动点．
（1）当点P移动到AB、CD之间时，如图（1），这时∠P与∠A、∠C有怎样的关系？证明你的结论；
（2）当点P移动到图（2）、图（3）的位置时，∠P、∠A、∠C又有怎样的关系？请分别写出你的结
论．
类型二 基本模型简单变式
典例2 （2021秋•沈阳期末）如图，AD∥CE，∠ABC＝110°，则∠2﹣∠1的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．110°
变式训练
1．（2022春•南京期中）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC＝
30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上．若∠1＝40°，则∠2的度数为 ．
2．（2021春•福州期中）如图，AB∥DE，∠1＝26°，∠2＝116°，则∠BCD＝ °．类型三 “M”型套“M”型
1 1
典例3（2021春•奉化区校级期末）如图，已知 AB∥CD，∠AFC＝120°，∠EAF= ∠EAB，∠ECF=
3 3
∠ECD，则∠AEC＝ 度．
变式训练
1 1
1．（2021春•海淀区校级期末）如图，已知AB∥CD，∠EAF= ∠EAB，∠ECF= ∠ECD，则∠AFC与
4 4
∠AEC之间的数量关系是 ．
类型四 “M”型叠“M”型
典例4 （2019春•老河口市期中）如图，AB∥CD，∠E＝35°，∠F＝∠G＝30°，则∠A+∠C的度数为
．
变式训练
1．（2022春•鄞州区校级期中）如图，AB∥CD，∠E+∠G＝∠H，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠F的度数为．类型五 过拐点作平行线——“Z”型图形研究
典例5（2020春•硚口区期末）已知AB∥CD
（1）如图1，求证：∠ABE+∠DCE﹣∠BEC＝180°
（2）如图2，∠DCE的平分线CG的反向延长线交∠ABE的平分线BF于F
①若BF∥CE，∠BEC＝26°，求∠BFC．②若∠BFC﹣∠BEC＝74°，则∠BEC＝ °．
变式训练
1．（静安区期中）（1）如图 示，AB∥CD，且点E在射线AB与CD之间，请说明∠AEC＝∠A+∠C的
理由． α
（2）现在如图b示，仍有AB∥CD，但点E在AB与CD的上方，
①请尝试探索∠1，∠2，∠E三者的数量关系．
②请说明理由．
类型六 过拐点作平行线——“U”型图形研究
典例6（2022春•沭阳县月考）（1）如图①，MA ∥NA ，则∠A +∠A ＝ ；
1 2 1 2
如图②，MA ∥NA ，则∠A +∠A +∠A ＝ ，请你说明理由；
1 3 1 2 3
（2）如图③，MA ∥NA ，则∠A +∠A +∠A +∠A ＝ ；
1 4 1 2 3 4
（3）利用上述结论解决问题：如图④，AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F，∠E＝130°，
求∠BFD的度数．变式训练
1．（2022春•丛台区校级期末）如图为一台灯示意图，其中灯头连接杆 DE始终和桌面FG平行，灯脚AB
始终和桌面FG垂直．
（1）当∠EDC＝∠DCB＝120°时，求∠CBA；
（2）连杆BC、CD可以绕着B、C和D进行旋转，灯头E始终在D左侧，设∠EDC，∠DCB，∠CBA
的度数分别为 ， ， ，请画出示意图，并直接写出示意图中 ， ， 之间的数量关系．
（1）解：过点αC作β CγP∥DE，延长CB交FG于点H， α β γ
∵DE∥FG，∴PC∥FG（ ）．
∴∠PCD＝180°﹣∠D＝60°（ ）．
∴∠PCH＝120°﹣∠PCD＝60°．∴∠CHA＝∠PCH＝60°（ ）．
又∵AB⊥FG，∴∠ABH＝30°，∴∠ABC＝180°﹣∠ABH＝ °．
2．（2022春•奉贤区期中）已知：AB∥DE．
（1）如图1，点C是夹在AB和DE之间的一点，当AC⊥CD时，垂足为点C，你知道∠A+∠D是多少
吗？这一题的解决方法有很多，
例如（i）过点C作AB的平行线；（ii）过点C作DE的平行线；（iii）联结AD；（iv）延长AC、DE
相交于一点．请你选择一种方法（可以不选上述四种），并说明理由．
（2）如图2，点C 、C 是夹在AB和DE之间的两点，请想一想：∠A+∠C +∠C +∠D＝ 度，并
1 2 1 2
说明理由．
（3）如图3，随着AB与CD之间点增加，那么∠A+∠C +∠C +……+∠C +∠D＝ 度．（不必说
1 2 n+1
明理由）
类型七 几种基本图形的组合典例7 （2021春•金坛区期末）将一根铁丝AF按如下步骤弯折：
第一步，在点B，C处弯折得到图1的形状，其中AB∥CF；
第二步，将CF绕点C逆时针旋转一定角度，在点D，E处弯折，得到图2的形状，其中AB∥EF．
解答下列问题：
（1）如图①，若∠C＝3∠B，求∠B的度数；
（2）如图②，求证：∠B+∠C＝∠D+∠E；
（3）将另一根铁丝弯折成∠G，如图③摆放，其中∠ABC＝3∠CBG，∠CDE＝3∠CDG．若∠C＝
88°，∠E＝130°，直接写出∠G的度数．
变式训练
1．（2022春•无棣县期末）如图1，已知∠BAE＝∠AEC﹣∠ECD，点E在直线AB，CD之间．
（1）求证：AB∥CD；（2）若AH平分∠BAE，FG∥CE．
①如图2，若∠AEC＝84°，FH平分∠DFG，求∠AHF的度数；
②如图3，若FH平分∠CFG，试判断∠AHF与∠AEC的数量关系并说明理由．第二部分 专题提优训练
1．（2020•钟山区模拟）把一块等腰直角三角尺和直尺如图放置，如果∠1＝29°，则∠2的度数为（ ）
A．18° B．16° C．14° D．12°
2．（2020•碑林区校级模拟）如图，AB∥CD，∠E＝40°，∠A＝120°，则∠C的度数为（ ）
A．60° B．80° C．75° D．70°
3．（2022春•怀集期末）如图，已知直线l ∥l ，∠A＝125°，∠B＝85°，且∠1比∠2大4°，那么∠1＝
1 2
．
4．（2022春•高青县期末）已知：点A、C、B不在同一条直线上，AD∥BE
（1）如图①，当∠A＝58°，∠B＝118°时，求∠C的度数；
（2）如图②，AQ、BQ分别为∠DAC、∠EBC的平分线所在直线，试探究∠C与∠AQB的数量关系；
（3）如图③，在（2）的前提下，且有AC∥QB，QP⊥PB，直接写出∠DAC：∠ACB：∠CBE的值．5．（2020春•固安县期末）如图1，已知点A是BC外一点，连接AB、AC．
（1）求∠BAC+∠B+∠C的度数．
阅读并补充下面的推理过程
解：过点A作ED∥BC．∴∠B＝ ，∠C＝∠DAC（ ）
又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°∴∠B+∠BAC+∠C＝180°
（2）如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数（提示：过点C作CF∥AB）；
（3）如图3，已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝70°，点B在点A的左侧，∠ABC＝50°，
BE、DE分别为∠ABC、∠ADC的角平分线，且交于点E，点E在直线AB与CD之间，求∠BED的度
数．
6．（2021春•肥东县期末）（1）如图1，已知点A是BC上方的一点，连接AB，AC，求∠B+∠BAC+∠C
的度数．
阅读并补充下面的求解过程，
解：过点A画ED∥BC．
根据“ ”，可以得到∠B＝ ，∠C＝∠DAC．
而∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，所以∠B+∠BAC+∠C＝180°．
（2）如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数（提示：过点C画CF∥AB）．
（3）如图3，AB∥EF，BC⊥DC于点C，设∠B＝x，∠D＝y，∠E＝z，请用一个含x，y，z的等式表
示∠B，∠D，∠E三者之间的数量关系．（直接写出结果）7．（2021春•渝北区期末）已知，AB∥CD．直线MN分别与AB，CD交于点E．F．
（1）如图1．∠AEF和∠EFC的角平分线交于点G，∠AEG的角平分线EH与∠CFG的角平分线FH交
于点H．
①填空：∠G＝ °．
②求出∠EHF的度数；
（2）如图2，∠AEF 和∠EFC的角平分线交于点G．点H、K在直线AB、CD之间，且满足∠AEG＝
m∠AEH，∠CFG＝m∠CFH，∠BEG＝n∠BEK．∠DFG＝n∠DFK（其中m，n为常数且m＞1，n＞
1），请用m，n的代数式直接表示∠EKF与∠EHF的数量关系．
8．已知，AB∥CD，点E在两条平行线之间、连接AE、CE，作AF平分∠BAE，CF平分∠DCE．
（1）如图1，求证∠AEC＝2∠AFC；
（2）如图2，当∠AEC＝60°时，求∠AFC的度数；
（3）如图3，延长CF交AB于点G．当AE∥CG，∠AEC+∠BAF＝180°时，过点G作GH⊥GC交
3
∠GCD的角平分线于点H，在射线GH上取点K、连接CK、已知3∠DCK+ ∠K=∠CHG，求∠K
4
的度数．9．（2021春•沧县期中）引入
在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，如图是一个
“美味”的模型﹣﹣“猪蹄模型”．如图所示，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连接AE、CE，
求证：∠AEC＝∠BAE+∠DCE．
嘉琪想到了下面的思路，请根据思路继续完成求证：
证明：如图，过点E作EF∥AB．
思考
当点E在如图所示的位置时，其他条件不变，写出∠BAE，∠AEC，∠DCE三者之间的数量关系并说明
理由．
应用
如图，延长线段AE交直线CD于点M，已知∠BAE＝132°，∠DCE＝118°，求∠MEC的度数．
提升
点E、F、G在直线AB与CD之间，连接AE、EF、FG和CG，其他条件不变，如图．若∠EFG＝m°，
直接写出∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG的总度数．
