文档内容
专题3 二次根式分母有理化与分子有理化的技巧（解析版）
第一部分 典例精析+变式训练
类型一 分母有理化
技巧1 一般法：如果分母只含一个根号，先把分母化为最简二次根式，再将分子分母同乘分母的根号部分
即可。
√3a
典例1（2021秋•曲阳县期末）把 化去分母中的根号后得（ ）
√12ab
1 √b
A．4b B．2√b C． √b D．
2 2b
思路引领：根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可．
解：∵a＞0，ab＞0，即a＞0，b＞0；
√3a √3⋅√a 1 √b
∴ = = = ．
√12ab 2√3⋅√a⋅√b 2√b 2b
故选：D．
总结提升：本题主要考查了二次根式的乘除法运算．二次根式的运算法则：乘法法则√a⋅√b=√ab
（a≥0，b≥0），除法法则√b √b（a＞0，b≥0）．当结果的分母中含有根式时，需分母有理化．
=
a √a
变式训练
1
1．（2022春•东莞市期中）化简： = ．
√8
思路引领：分子、分母同乘√8，再根据二次根式的性质进行化简．
1 1×√8 √8 2√2 √2
解： = = = = ．
√8 √8×√8 8 8 4
√2
故答案为： ．
4
总结提升：本题主要考查分母有理数，熟练掌握分母有理化的方法以及二次根式的化简是解决本题的关
键．
√12
2．（2021春•龙山县期末）把 化成最简二次根式，结果是 ．
√2a
思路引领：如果一个二次根式符合下列两个条件：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．据此即可求出答案．
2√3 √6a
解：原式= = ，
√2a a
√6a
故答案为： ．
a
总结提升：本题考查二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型．
技巧2 平方差公式法：如果分母是两个根号的和或差，可以利用平方差公式有理化分母
典例2（2022春•乳山市期末）【材料阅读】
把分母中的根号化去，将分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．
1
例如：化简 ．
√2+1
解： 1 1×(√2-1) ．
= =√2-1
√2+1 (√2+1)(√2-1)
上述化简的过程，就是进行分母有理化．
【问题解决】
1
（1）化简 的结果为： ；
2-√3
1
（2）猜想：若n是正整数，则 进行分母有理化的结果为： ；
√n+1+√n
a b
（3）若有理数a，b满足 + =2√2-1，求a，b的值．
√2-1 √2+1
思路引领：（1）分子分母同乘以2+√3，化简即可．
（2）分子分母同乘以√n+1-√n，化简即可．
（3）先化简右式，其结果应等于左式，解方程即可．
1 2+√3 2+√3
解：（1） = = = 2+√3，
2-√3 (2-√3)(2+√3) 4-3
故答案为：2+√3；
1 √n+1-√n √n+1-√n
（2） = = =√n+1-√n，
√n+1+√n (√n+1+√n)(√n+1-√n) n+1-n
故答案为：√n+1-√n；
a b
（3）化简得， + =（a+b）√2-（b﹣a），
√2-1 √2+1
a b
∵ + =2√2-1，
√2-1 √2+1{a+b=2
∴ ，
a-b=-1
1
{a=
得 2．
3
b=
2
总结提升：本题考查二次根式的分母有理化，掌握分母有理化的方法是解题关键．
变式训练
1
1．（2022秋•宝山区期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，化简： = ．
2+√5
思路引领：分子和分母都乘√5-2，再根据平方差公式进行计算，最后求出答案即可．
1
解：
2+√5
√5-2
=
(√5+2)(√5-2)
√5-2
=
5-4
=√5-2．
故答案为：√5-2．
总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化和平方差公式等知识点，能找出分母的有理化
因式是解此题的关键．
1
2．（2022秋•牡丹区期末）若 的整数部分是a，小数部分是b，则a2+（1+√7）ab＝ ．
3-√7
1
思路引领：先将 分母有理化并根据√7的大小确定出取值范围，然后求出a、b的值，再代入代数
3-√7
式进行计算即可得解．
1 3+√7 3+√7
解： = = ，
3-√7 (3-√7)(3+√7) 2
∵2＜√7＜3，
∴5＜3+√7＜6，
3+√7
∴2.5＜ ＜3，
21
∵ 的整数部分是a，小数部分是b，
3-√7
∴a＝2，
3+√7 √7-1
b= -2= ，
2 2
√7-1
所以，a2+（1+√7）ab＝22+（1+√7）×2× =4+（7﹣1）＝4+6＝10．
2
故答案为：10．
总结提升：本题考查了二次根式的化简求值，估算无理数的大小，分母有理化，难点在于将所给二次根
式分母有理化并确定出取值范围从而求出a、b的值．
技巧3 分解因式法：提取分子分母中的公因式，然后约分化简
典例3 化简：
提取分母中的公因式，然后约分化简
思路引领：
解：
本题考查了二次根式的化简求值，把分母提取公因式，用因式分解的方法，再约分，比较简便。
总结提升：
变式训练：化简：
提取分子分母中的公因式，然后约分化简
思路引领：解:
本题考查了二次根式的化简求值，把分子、分母提取公因式，用因式分解的方法，再约分，比
总结提升：
较简便。
技巧4 分解因式法：利用平方差公式和完全平方公式因式分解，然后约分化简。
x- y x-2√xy+ y 1
典例4 （2022秋•浦东新区校级月考）先化简，再求值 + ，其中x＝5，y= ．
√x+√y √x-√y 5
思路引领：利用二次根式的相应的法则进行化简，再代入相应的值运算即可．
x- y x-2√xy+ y
解： +
√x+√y √x-√y
(√x+√y)(√x-√y) (√x-√y) 2
= +
√x+√y √x-√y
=√x-√y+√x-√y
＝2√x-2√y，
1
当x＝5，y= 时，
5
√1
原式＝2√5-2
5
2√5
＝2√5-
5
8√5
= ．
5
总结提升：本题主要考查二次根式的化简求值，分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌
握．
针对训练：化简：
（1） （2）
思路引领：把分子分母用平方差公式，用因式分解的方法，再约分，比较简便解：（1）
（2）
总结提升：本题考查了二次根式的化简求值，把分子分母用平方差公式，用因式分解的方法，再约分，比
较简便。
技巧5 裂项相消法：将分子化为分母中两式子的和或差的形式，在约分。
24．观察下面式子的化简过程：
2√6 (2+2√6+3)-5 (√2+√3) 2-(√5) 2 ．
= = =√2+√3-√5
√2+√3+√5 √2+√3+√5 √2+√3+√5
4√10
化简 ，并将这一问题作尽可能的推广．
√5+√13+√8
思路引领：根据题意把原式的分子化为平方差的形式，再约分即可．
2√40
解：原式=
√5+√13+√8
(5+2√40+8)-13
=
√5+√13+√8
(√5+√8) 2-(√13) 2
=
√5+√13+√8
=√5+√8-√13．
总结提升：本题考查的是分母有理化，根据题意找出有理化因式是解答此题的关键．
变式训练：
．化简：
1
思路引领：将分子化为分母中两式子的和或差的形式，在约分。解：
本题考查的是分母有理化，用裂项法比较简单。
总结提升：
类型二 分子有理化
典例6（2020秋•梁平区期末）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：
(√7-√6)(√7+√6) 1
√7-√6= = ．
√7+√6 √7+√6
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
1
比 较 √7-√6和 √6-√5的 大 小 ． 可 以 先 将 它 们 分 子 有 理 化 ． 如 下 ： √7-√6= ，
√7+√6
1
√6-√5= ．
√6+√5
因为√7+√6＞√6+√5，所以√7-√6＜√6-√5．
再例如：求y=√x+2-√x-2的最大值．做法如下：
4
解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y=√x+2-√x-2= ．
√x+2+√x-2
当x＝2时，分母√x+2+√x-2有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
（1）比较3√2-4和2√3-√10的大小；
（2）求y=√1+x-√x的最大值．
2 2
思路引领：（1）利用分母有理化得到3√2-4= ，2√3-√10= ，利用 3√2+4＞2
3√2+4 2√3+√10
√3+√10可判断3√2-4＜2√3-√10；
1
（2）根据二次根式有意义的条件得到由1+x≥0，x≥0，则x≥0，利用分母有理化得到y=
√1+x+√x
，由于x＝0时，√1+x+√x有最小值1，从而得到y的最大值．
(3√2+4)(3√2-4) 2
解：（1）∵3√2-4= = ，
3√2+4 3√2+4(2√3+√10)(2√3-√10) 2
2√3-√10= = ，
2√3+√10 2√3+√10
而3√2＞2√3，4＞√10，
∴3√2+4＞2√3+√10，
∴3√2-4＜2√3-√10；
（2）由1+x≥0，x≥0得x≥0，
1
而y=√1+x-√x= ，
√1+x+√x
∵x＝0时，√1+x+√x有最小值1，
∴y的最大值为1．
总结提升：本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去．也考查了平方差公式．
针对训练
1．（2013秋•青羊区校级期中）已知 a=√2-1，b＝3﹣2√2，c=√3-√2，则 a，b，c的大小关系是
（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b
思路引领：求出abc的倒数，根据已知知道a＞0，b＞0，c＞0，根据倒数的大小比较即可．
1 1 1 1 1 1
解： = =√2+1， = =3+2√2， = =√3+√2，
a √2-1 b 3-2√2 c √3-√2
∵√2+1＜√3+√2＜3+2√2，a＞0，b＞0，c＞0，
∴a＞c＞b．
故选：D．
总结提升：本题考查了实数的大小比较，比较两根式的大小方法有：①直接比较：√2＜√3；②平方
后比较；③倒数比较．
2．（2020秋•武侯区校级月考）计算：
（1）比较√15-√14和√14-√13的大小；
（2）求y=√x+1-√x-1+3的最大值．
思路引领：（1）将两个式子分别化为分子相同的形式即可解决；
（2）先由二次根式的非负性求出x的范围，再将此式化为分子为有理数的形式即可解决．
1 1
解：（1）∵√15-√14= ，√14-√13= ，
√15+√14 √14+√13
且√15＞√13，
∴√15+√14＞√14+√13，∴√15-√14＜√14-√13；
（2）∵x+1≥0，x﹣1≥0，
∴x≥1，
2
∵y=√x+1-√x-1+3= +3，
√x+1+√x-1
∴当x＝1时，分母有小值√2，
∴y=√x+1-√x-1+3的最大值为3+√2．
总结提升：此题主要考查了二次根式的计算，熟悉分子有理化是解决此题的关键．
第二部分 专题提优训练
√21
1．（2022秋•绥化期末）化简 的结果是 ．
√3
思路引领：根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案．
√21
解：原式= =√7，
3
故答案为：√7．
总结提升：本题考查二次根式的乘除运算，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于
基础题型．
√8
2．（2021秋•阳城县期末）化简 的结果是 ．
√20
思路引领：原式利用二次根式除法法则计算即可求出值．
√ 8 √2 √10
解：原式= = = ，
20 5 5
√10
故答案为：
5
总结提升：此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
1
3．（2021秋•徐汇区校级期中）化简： = ．
√x-3-1
思路引领：分子、分母同乘以（√x-3+1），利用平方差公式进行计算即可．
√x-3+1 √x-3+1 √x-3+1
解：原式= = = ，
(√x-3-1)(√x-3+1) x-3-1 x-4
√x-3+1
故答案为： ．
x-4
总结提升：本题考查二次根式的化简，根据分式的性质，分子、分母同乘以（√x-3+1）是正确计算的关键．
√1 1
4．（2021春•宁阳县期末）化简 = ， = ．
2 √2-1
1
思路引领：先由二次根式的性质可化为 ，再给分子分母同时乘以√2，即可得出答案；给分子分母同
√2
时乘以√2+1，分母应用平方差公式可化为（√2）2﹣1＝1，即可得出答案．
解：√1 1 √2 √2；
= = =
2 √2 √2×√2 2
1 √2+1 √2+1 ．
= = =√2+1
√2-1 (√2-1)(√2+1) (√2) 2-1
总结提升：本题主要考查了分母有理化，二次根式的性质，熟练应用分母有理化的方法及二次根式的性
质进行求解是解决本题的关键．
1
5．（2012秋•珙县校级月考）化简： = ．
2-√3
思路引领：分子和分母同时乘以2+√3即可．
1
解： ，
2-√3
2+√3
= ，
(2-√3)(2+√3)
＝2+√3；
故答案为：2+√3．
总结提升：本题考查了分母有理化，找对有理化因式，再相乘，分母有理化常常是乘二次根式本身（分
母只有一项）或与原分母组成平方差公式的式子．
-3√2
6．（2021春•江城区期末）化简 的结果是 ．
√27
思路引领：分子、分母同乘以有理化因式√3，即可分母有理化使式子最简．
-3√2 3√2×3 3√6 √6
解： =- =- =- ．
√27 √27×3 9 3
√6
故答案为：- ．
3
总结提升：此题考查分母有理化，关键是确定有理化因式√3．
√3+√2 √3-√2
7．（2022秋•宝山区校级期中）已知：x= ，y= ，求x2+xy+y2的平方根．
√3-√2 √3+√2思路引领：先将x、y化简，然后即可得到x+y、xy的值，从而可以求得所求式子的值．
√3+√2 √3-√2
解：∵x= =（√3+√2）2＝5+2√6，y= =5﹣2√6，
√3-√2 √3+√2
∴x+y＝10，xy＝1，
∴x2+xy+y2
＝（x+y）2﹣xy
＝102﹣1
＝100﹣1
＝99．
∴x2+xy+y2的平方根为±3√11．
总结提升：本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
10 4
8．（2022春•普陀区校级期末）计算： - ．
√5 √5-1
思路引领：先根据分母有理化化简各式，再合并即可．
10 4
解： -
√5 √5-1
=2√5-1-√5
=√5-1．
总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．
1-√3 4
9．（2021秋•浦东新区校级月考）计算： - ．
2+√3 1+√3
思路引领：先分母有理化，再进行二次根式加减．
解：原式 (1-√3)(2-√3) 4(1-√3)
= -
(2+√3)(2-√3) (1+√3)(1-√3)
2-2√3-√3+3 4-4√3
= -
4-3 1-3
＝5﹣3√3+2﹣2√3
＝7﹣5√3．
总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，掌握分母有理化及二次根式的运算法则是解决本题的关键．
10．（2021秋•赫山区期末）“分母有理化”是我们常见的一种化简的方法．
如：√2+1 (√2+1)(√2+1) 3+2 ．
= = √2
√2-1 (√2-1)(√2+1)除此之外，我们也可以平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数．
如：化简√2+√3-√2-√3．
解：设x=√2+√3-√2-√3，易知√2+√3＞√2-√3，故x＞0．
由于x2＝（ ）2＝2 2 2 2．
√2+√3-√2-√3 +√3+ -√3- √(2+√3)(2-√3)=
解得x=√2，即√2+√3-√2-√3=√2
3-2√2
根据以上方法，化简： +√3-√5-√3+√5．
3+2√2
3-2√2
思路引领：根据题目提供的方法先计算√3-√5-√3+√5．再计算 ，进而进行计算即可．
3+2√2
解：设x=√3-√5-√3+√5，易知√3-√5＜√3+√5，故x＜0，
由于x2＝（ ）2＝3 3 2 2，
√3-√5-√3+√5 -√5+ +√5- √(3-√5)(3+√5)=
所以x=-√2，即√3-√5-√3+√5=-√2，
所以原式 (3-2√2)(3-2√2)
= -√2
(3+2√2)(3-2√2)
＝17﹣12√2-√2
＝17﹣13√2．
总结提升：本题考查分母有理化，平方差公式以及二次根式的化简和性质，掌握分母有理化，平方差公
式以及二次根式的化简和性质是正确解答的前提．
11．（2022春•大连月考）阅读材料：
黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，
取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：（2+√3）（2-√3）＝1，（
√5+√2）（√5-√2）＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是
1 1×√3 √3
另 一 个 的 有 理 化 因 式 ． 于 是 ， 二 次 根 式 除 法 可 以 这 样 理 解 ： 如 = = ，
√3 √3×√3 3
2+√3 (2+√3)(2+√3) ．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或
= =7+4√3
2-√3 (2-√3)(2+√3)
把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
解决问题：2
（1）4+√7的有理化因式可以是 ， 分母有理化得 ．
3√2
（2）计算：
1 1 1 1
① + + +⋯+ ．
1+√2 √2+√3 √3+√4 √1999+√2000
√3-1 √3+1
②已知：x= ，y= ，求x2+y2的值．
√3+1 √3-1
思路引领：（1）找出各式的分母有理化因式即可；
（2）①原式各项分母有理化，合并即可得到结果；
②将x与y分母有理化后代入原式计算即可得到结果．
2 √2
解：（1）4+√7的有理化因式可以是4-√7， 分母有理化得： ；
3√2 3
√2
故答案为：4-√7；
3
（2）①原式=√2-1+√3-√2+⋯+√2000-√1999=√2000-1＝20√5-1；
√3-1 √3+1
②∵x= =2-√3，y= =2+√3，
√3+1 √3-1
∴x2+y2＝7﹣4√3+7+4√3=14．
总结提升：此题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的
关键．
12．（2022春•钢城区期末）阅读下列解题过程：
1 1×(√2-1) √2-1 1；
= = =√2-
√2+1 (√2+1)×(√2-1) (√2) 2-12
1 1×(√3-√2) √3-√2 ．
= = =√3-√2
√3+√2 (√3+√2)(√3-√2) (√3) 2-(√2) 2
请回答下列问题：
（1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．
1 1
① = ；② = ；
√7+√6 √n+√n-1
1 1 1 1 1
（2）应用：求 + + + +⋯+ 的值；
√2+1 √3+√2 √4+√3 √5+√4 √10+√9
1 1 1 1
（3）拓广： - + - = ．
√3-1 √5-√3 √7-√5 √9-√7思路引领：（1）①直接利用找出分母有理化因式进而化简求出答案；
②直接利用找出分母有理化因式进而化简求出答案；
（2）直接利用找出分母有理化因式进而化简求出答案；
（3）直接利用找出分母有理化因式进而化简求出答案．
解：（1）① 1 1×(√7-√6) ；
= =√7-√6
√7+√6 (√7+√6)(√7-√6)
② 1 1×(√n-√n-1) ；
= =√n-√n-1
√n+√n-1 (√n+√n-1)(√n-√n-1)
故答案为：√7-√6；√n-√n-1；
1 1 1 1 1
（2） + + + +⋯+
√2+1 √3+√2 √4+√3 √5+√4 √10+√9
=√2-1+√3-√2+√4-√3+⋯+√10-√9
=√10-1；
1 1 1 1
（3） - + -
√3-1 √5-√3 √7-√5 √9-√7
√3+1 √5+√3 √7+√5 √9+√7
= - + -
(√3-1)(√3+1) (√5-√3)(√5+√3) (√7-√5)(√7+√5) (√9-√7)(√9+√7)
√3+1 √5+√3 √7+√5 √9+√7
= - + -
2 2 2 2
√3+1-√5-√3+√7+√5-√9-√7
=
2
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
总结提升：此题主要考查了分母有理化，正确找出分母有理化因式是解题关键．
13．（2021春•广饶县期中）【阅读材料】
材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化，通常把分子、分母乘以
同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的．
1
例如：化简
√3+√2解： 1 1×(√3-√2)
= =√3-√2
√3+√2 (√3+√2)(√3-√2)
材料二：化简√a+2√b的方法：如果能找到两个实数 m，n，使 m2+n2＝a，并且 mn＝b，那么
m±n．
√a±2√b=√m2+n2±2mn=√(m±n) 2=
例如：化简√3±2√2
解： 1
√3±2√2=√ (√2) 2+12+2√2=√ (√2+1) 2=√2+
【理解应用】
√5+√3
（1）填空：化简 的结果等于 4+√15 ．
√5-√3
（2）计算：
①√7-2√10；
1 1 1 1 1
② + + +⋯+ + ．
√2+1 √3+√2 2+√3 √2020+√2019 √2021+√2020
思路引领：（1）根据材料一方法，把分母有理化化简即可得出答案；
（2）根据材料一、二方法化简即可得出答案．
√5+√3
解：（1）
√5-√3
(√5+√3) 2
=
(√5-√3)(√5+√3)
8+2√15
=
5-3
＝4+√15；
故答案为：4+√15；
（2）① ；
√7-2√10=√(√5-√2) 2=√5-√2
1 1 1 1 1
② + + +⋯+ +
√2+1 √3+√2 2+√3 √2020+√2019 √2021+√2020
√2-1 √3-√2 2-√3 √2020-√2019 √2021+√2020
= + + +⋯+ +
2-1 3-2 4-3 2020-2019 2021-2020
＝﹣1+√2021．
总结提升：本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，探索二次根式计算中的规律，将第一个多项式的每项分母有理化，裂项相消是解题的关键．
14．（2020春•安庆期中）阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一
个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．
(√7-√6)(√7+√6) 1
比如：√7-√6= = ．
√7+√6 √7+√6
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较
1 1
√7-√6和√6-√5的大小可以先将它们分子有理化如下：√7-√6= ，√6-√5= ．
√7+√6 √6+√5
因为√7+√6＞√6+√5，所以，√7-√6＜√6-√5．
再例如，求y=√x+2-√x-2的最大值、做法如下：
4
解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y=√x+2-√x-2= ．
√x+2+√x-2
当x＝2时，分母√x+2+√x-2有最小值2．所以y的最大值是2．
利用上面的方法，完成下述两题：
（1）比较√15-√14和√14-√13的大小；
（2）求y=√x+1-√x-1+3的最大值．
1 1
思路引领：（1）先将两数变形为 、 ，再由√15＞√13知√15+√14＞√14+√13，
√15+√14 √14+√13
从而得出答案；
（2）根据二次根式有意义的条件得出 x≥1，据此知√x+1+√x-1有最小值√2，从而得到 y
2
=√x+1-√x-1+3= +3的最大值．
√x+1+√x-1
1
解：（1）√15-√14= ，
√15+√14
1
√14-√13= ，
√14+√13
而√15＞√13，
∴√15+√14＞√14+√13，
∴√15-√14＜√14-√13；
（2）∵x+1≥0，x﹣1≥0，
∴x≥1，
2
∵y=√x+1-√x-1+3= +3，
√x+1+√x-1当x＝1时，分母√x+1+√x-1有最小值√2，
2
∴y= +3有最大值是√2+3．
√x+1+√x-1
总结提升：本题主要考查分母有理化，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件及二次根式分母有理化的
能力
