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专题 07 二次函数中的几何存在性问题
类型一、特殊三角形问题
例1．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点 是线段 上一动点，过点 的直线 平行于 轴并交抛物线于点 ，当线段 取得最大值时，
在 轴上是否存在这样的点 ，使得以点 、 、 为顶点的三角形是以 为腰的等腰三角形？若存在，
请求出所有点 的坐标；若不存在，请说明理由．
例2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y
轴相交于点C，连接 ．
(1)求线段AC的长；
(2)若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当 时，求点P的坐标；(3)若点M为该抛物线上的一个动点，当 为直角三角形时，求点M的坐标．
例3.如图，抛物线 交x轴于 ， 两点，交y轴于点C，点D是抛物线上位于
直线BC上方的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接AC，BD，若 ，求点D的坐标；
(3)在（2）的条件下，将抛物线沿着射线AD平移m个单位，平移后A、D的对应点分别为M、N，在x轴
上是否存在点P，使得 是等腰直角三角形？若存在，请求出m的值：若不存在，请说明理由．
【变式训练1】如图，二次函数 的图象经过点A（ 1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
(1)求二次函数的解析式；
(2)第一象限内的二次函数 图象上有一动点P，x轴正半轴上有一点D，且OD=2，当
S PCD=3时，求出点P的坐标；
△(3)若点M在第一象限内二次函数图象上，是否存在以CD为直角边的 ，若存在，求出点M的坐
标，若不存在，请说明理由．
【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+4x+c与直线AB相交于点A(0，1)和点B(3，
4)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设C为直线AB上方的抛物线上一点，连接AC，BC，以AC，BC为邻边作平行四边形ACBP，求四边形
ACBP面积的最大值；
(3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于
1 1 1 1
点D，是否存在点E使得 ADE是以AD为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存
在，请说明理由． △
类型二、特殊四边形问题
例1．在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ， （点 在点 的左侧），与 轴交
于点 ，且点 的坐标为 ．
(1)求点 的坐标；
(2)如图1，若点 是第二象限内抛物线上一动点，求点 到直线 距离的最大值；(3)如图2，若点 是抛物线上一点，点 是抛物线对称轴上一点，是否存在点 使以 ， ， ， 为
顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
例2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴分别交于点 和点B，与y轴交于
点 ．
(1)求抛物线的解析式及对称轴；
(2)如图，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若 ，求点P的坐标；
(3)点M是抛物线上一动点，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，
若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
例3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于 ，与y轴交于点 ．(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，在直线BC上方的抛物线上有动点P，过点P作 轴，交BC于点Q，当 时，
求点P的坐标；
(3)如图2，若点D坐标为 ， 轴交直线BC于点E，将 沿直线BC平移得到 ，移动
过程中，在坐标平面内是否存在点P，使以点A，C， ，P为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出
所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练1】如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A(﹣1，0）、B（3，0），与
y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF AB
交BC于点F．(1)求抛物线和直线BC的函数表达式，
(2)当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．
(3)若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点
的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴
交于点C，连接BC， ，对称轴为直线 ，点D为此抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式及D点坐标；
(2)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求 面积的最大值；
(3)点P在抛物线的对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出
点Q的坐标．【变式训练3】如图，已知抛物线与 轴交于 两点，与 轴交于点 ，点 是抛物线
上位于直线 下方的一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接 ，过点 作 交 于点 ，求 长度的最大值及此时点 的坐标；
(3)如图2，将抛物线沿射线 的方向平移，使得新抛物线 经过点 ，并记新抛物 的顶点为 ，
若点 为新抛物线 对称轴上的一动点，点 为坐标平面内的任意一点，直接写出所有使得以A、D、
M、N为顶点的四边形是菱形的点 的坐标，并把求其中一个点 的坐标的过程写出来．
