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专题 06 二次函数中的面积问题
类型一、面积最值问题
例1．已知抛物线 与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），顶点为D，且过C（－4，m）．
(1)求点A，B，C，D的坐标；
(2)点P在该抛物线上（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值，
②连接BD，当∠PCB＝∠CBD时，求点P的坐标．
例2．如图，直线 与抛物线 相交于点 和点 ，抛物线与
轴的交点分别为 、 （点 在点 的左侧），点 在线段 上运动（不与点A、 重合），过点 作直
线 轴于点 ，交抛物线于点 ．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，连接 ，是否存在点 ，使 是直角三角形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请
说明理由；
(3)如图2，过点 作 于点 ，当 的周长最大时，求点 坐标，并求出此时 的面积．【变式训练1】如图，抛物线与x轴交于点 、 两点，与y轴交于点 ；
(1)求出此抛物线的解析式；
(2)如图1，在直线AC上方的抛物线上有一点M，求 的最大值；
(3)如图2，将线段OA绕x轴上的动点 顺时针旋转90°得到线段 ，若线段 与抛物线只有一个
公共点，请结合函数图象，求m的取值范围；
【变式训练2】在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴的交点为 ，
两点，与y轴交于点 ，顶点为D，其对称轴与x轴交于点E．(1)求二次函数的解析式；
(2)点P为第三象限内抛物线上一点， 的面积记为S，求S的最大值及此时点P的坐标．
类型二、面积定值问题
例1.已知抛物线 与x轴交于点A和点 ，与y轴交于点 ，P是线段BC上一点，
过点P作 轴交x轴于点N，交抛物线于点M．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)如果点P的横坐标为2，点Q是第一象限抛物线上的一点，且 和 的面积相等，求点Q的
坐标．
【变式训练1】如图，等腰直角三角形 的直角顶点 在坐标原点，直角边 ， 分别在 轴和 轴
上，点 的坐标为 ，且 平行于 轴．(1)求直线 的解析式；
(2)求过 ， 两点的抛物线 的解析式；
(3)抛物线 与 轴的另一个交点为 ，试判定 与 的大小关系；
(4)若点 是抛物线上的动点，当 的面积与 的面积相等时，求点 的坐标．
【变式训练2】如图，已知抛物线 经过点 ， ， ．
(1)求抛物线和直线 的解析式；
(2)点 是直线 上方抛物线上一动点．
①当 的面积最大时，直接写出点 的坐标________；
②过点 作 轴交 于点 ，是否存在一点 ，使 的面积最大？若存在，求出最大面积及此
时点 的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在 下方的抛物线上是否存在点 ，使得 ？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，
请说明理由．
