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2022-2023 学年人教版数学九年级上册压轴题专题精选汇编
专题 06 二次函数与一元二次方程
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2021秋•望城区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值见表
格，则下列结论：①c＝2；②b2﹣4ac＞0；③方程ax2+bx＝0的两根为x＝﹣2，x＝0；④7a+c＜0．
1 2
其中正确的有（ ）
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 …
y … 1.875 3 m 1.875 0 …
A．①④ B．②③ C．③④ D．②④
【思路引导】由表格可以得到二次函数图象经过点点（﹣3，1.875）和点（1，1.875），这两点关于对
称轴对称，由此得到对称轴直线，设出二次函数顶点式，代入两点，求解出二次函数解析式，得到a，
b，c的值，依次代入到①②③④中进行判断即可解决．
【完整解答】解：由表格可以得到，二次函数图象经过点（﹣3，1.875）和点（1，1.875），
∵点（﹣3，1.875）与点（1，1.875）是关于二次函数对称轴对称的，
∴二次函数的对称轴为直线x＝ ＝﹣1，
∴设二次函数解析式为y＝a（x+1）2+h，
代入点（﹣2，3），（2，0）得，
，
解得 ，
∴二次函数的解析式为： ，
∵ ，
∴c＝3，
∴①是错误的，∵b2﹣4ac＝ ＞0，
∴②是正确的，
方程ax2+bx＝0为 ，
即为x2+2x＝0，
∴x＝﹣2，x＝0，
1 2
∴③是正确的，
∵7a+c＝ ＝ ＞0，
∴④是错误的，
∴②③是正确的，
故选：B．
2．（2分）（2019•长沙县校级开学）将二次函数y＝x2﹣5x﹣6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，
图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为（
）
A．﹣ 或﹣12 B．﹣ 或2 C．﹣12或2 D．﹣ 或﹣12
【思路引导】如图所示，过点B作直线y＝2x+b，将直线向下平移到恰在点C处相切，则一次函数y＝
2x+b在这两个位置时，两个图象有3个交点，即可求解．
【完整解答】解：如图所示，过点B的直线y＝2x+b与新图象有三个公共点，将直线向下平移到恰在点
C处相切，此时与新图象也有三个公共点，
令y＝x2﹣5x﹣6＝0，解得：x＝﹣1或6，即点B坐标（6，0），将一次函数与二次函数表达式联立得：x2﹣5x﹣6＝2x+b，整理得：x2﹣7x﹣6﹣b＝0，
△＝49﹣4（﹣6﹣b）＝0，解得：b＝﹣ ，
当一次函数过点B时，将点B坐标代入：y＝2x+b得：0＝12+b，解得：b＝﹣12，
综上，直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为﹣12或﹣ ；
故选：A．
3．（2分）（2021春•天心区校级月考）已知抛物线y＝x2+bx+c过A（m，n），B（m﹣4，n），且它与x
轴只有一个公共点，则n的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．6 D．16
【思路引导】根据点A、B的坐标易求该抛物线的对称轴是直线x＝m﹣2．根据抛物线与x轴只有一个公
共点可设抛物线解析式为y＝（x﹣m+2）2，直接将A（m，n）代入，通过解方程来求n的值．
【完整解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c过点A（m，n）、B（m﹣4，n），
∴对称轴是直线x＝m﹣2．
又∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，
∴顶点为（m﹣2，0），
∴设抛物线解析式为y＝（x﹣m+2）2
把A（m，n）代入，得n＝（m﹣m+2）2＝4，
即n＝4．
故选：A．
4．（2分）（2021秋•长沙期中）二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2（a＜b）与x轴的两个交点的横坐标
分别为m和n，且m＜n，下列结论正确的是（ ）
A．m＜a＜n＜b B．a＜m＜b＜n C．m＜a＜b＜n D．a＜m＜n＜b
【思路引导】依照题意画出二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）及y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2的大致图象，观
察图象即可得出结论．
【完整解答】解：二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）与x轴交点的横坐标为a、b，将其图象往下平移2个
单位长度可得出二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2的图象，如图所示．
观察图象，可知：m＜a＜b＜n．
故选：C．5．（2分）（2021•岳麓区校级开学）已知m＞0，关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为
x，x（x＜x），则下列结论正确的是（ ）
1 2 1 2
A．x＜﹣1＜2＜x B．﹣1＜x＜2＜x C．﹣1＜x＜x＜2 D．x＜﹣1＜x＜2
1 2 1 2 1 2 1 2
【思路引导】可以将关于x的方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x，x看作直线y＝m与二次函数y＝
1 2
（x+1）（x﹣2）交点的横坐标，而与x轴交点坐标可以通过二次函数的关系式求得，结合图象可以求
出x与x的取值范围，进而做出判断．
1 2
【完整解答】解：二次函数y＝（x+1）（x﹣2）的图象如图所示：
它与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（2，0），
关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x，x，可以看作是直线y＝m（m＞0）与二次函
1 2
数y＝（x+1）（x﹣2）交点的横坐标，
由图象可知x＜﹣1，x＞2；
1 2
∴x＜﹣1＜2＜x，
1 2
故选：A．
6．（2分）（2022春•长沙期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的自变量x与函数值
y的部分对应值如下表：
x … ﹣1 0 1 2 …
y … m 2 2 n …
且当x＝ 时，对应的函数值y＜0．有以下结论：①abc＞0；②m+n＜﹣ ；③关于x的方程
ax2+bx+c＝0的负实数根在﹣ 和0之间；④P（t﹣1，y）和P（t+1，y）在该二次函数的图象上，
1 1 2 2
则当实数t＞ 时，y＞y．
1 2其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
【思路引导】根据待定系数法得到二次函数为：y＝ax2﹣ax+2，根据题意代入x＝ 时，得到 a﹣
a+2＜0，解不等式求得a＜﹣ ，进一步求得b＞0，c＞0，即可判断①；由表格数据可知m＝2a+2，n＝
42a+2，即可得出m+n＝4a+4，由a＜﹣ ，即可得出m+n＜﹣ ，即可判断②；根据抛物线的对称性可
知抛物线与x轴负半轴交点横坐标在﹣ 和0之间，即可判断③；由y＞y，根据图象上点的坐标特征
1 2
求得t 即可判断④．
【完整解答】解：将（0，2），（1，2）代入y＝ax2+bx+c得： ，
解得 ，
∴二次函数为：y＝ax2﹣ax+2，
∵当x＝ 时，对应的函数值y＜0，
∴ a﹣ a+2＜0，
∴a＜﹣ ，
∴﹣a＞ ，即b＞ ，
∴a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①不正确；
∵x＝﹣1时y＝m，x＝2时y＝n，
∴m＝a+a+2＝2a+2，n＝4a﹣2a+2＝2a+2，
∴m+n＝4a+4，
∵a＜﹣ ，
∴m+n＜﹣ ，故②正确；∵抛物线过（0，2），（1，2），
∴抛物线对称轴为x＝ ，
又∵当x＝ 时，对应的函数值y＜0，
∴根据对称性：当x＝﹣ 时，对应的函数值y＜0，
而x＝0时y＝2＞0，
∴抛物线与x轴负半轴交点横坐标在﹣ 和0之间，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在﹣ 和0之间，故③正确；
∵P（t﹣1，y）和P（t+1，y）在该二次函数的图象上，
1 1 2 2
∴y＝a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）+2，y＝a（t+1）2﹣a（t+1）+2，
1 2
若y＞y，则a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）+2＞a（t+1）2﹣a（t+1）+2，
1 2
即a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）＞a（t+1）2﹣a（t+1），
∵a＜0，
∴（t﹣1）2﹣（t﹣1）＜（t+1）2﹣（t+1），
解得t＞ ，故④正确，
故选：D．
7．（2分）（2021春•岳麓区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个
结论：
①abc＞0；
②b2＜4ac；
③2c＜3b；
④a+b＞m（am+b）（m≠1）；
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2．
其中正确的结论有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【思路引导】由二次函数图象性质知，开口向下，则a＜0．再结合对称轴 ＞0，得b＞0．据二次函
数图象与y轴正半轴相交得c＞0．由于二次函数图象与x轴交于不同两点，则b2﹣4ac＞0．
【完整解答】解：①二次函数图象性质知，开口向下，则a＜0．再结合对称轴 ＞0，得b＞0．据二
次函数图象与y轴正半轴相交得c＞0．
∴abc＜0．
①错．
②二次函数图象与x轴交于不同两点，则b2﹣4ac＞0．
∴b2＞4ac．
②错．
③∵ ，
∴b＝﹣2a．
又当x＝﹣1时，y＜0．
即a﹣b+c＜0．
∴2a﹣2b+2c＜0．
∴﹣3b+2c＜0．
2c＜3b．
∴③正确．
④∵x＝1时函数有最大值，
∴当x＝1时的y值大于当x＝m（m≠1）时的y值，
即a+b+c＞m（am+b）+c
∴a+b＞m（am+b）（m≠1）成立，
∴④正确．
⑤将x轴下方二次函数图象翻折到x轴上方，则与直线y＝1有四个交点即可．由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为4．故⑤错．
综上：③④正确，故选：A．
8．（2分）（2020•雨花区校级一模）对于函数y＝x2﹣2|x|﹣3，下列说法正确的有（ ）个
①图象关于y轴对称；②有最小值﹣4；③当方程x2﹣2|x|﹣3＝m有两个不相等的实数根时，m＞﹣3；
④直线y＝x+b与y＝x2﹣2|x|﹣3的图象有三个交点时，﹣ ＜b≤﹣3．
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路引导】①根据a2﹣2|a|﹣3＝（﹣a）2﹣2|﹣a|﹣3进行判断；
②化为顶点式y＝x2﹣2|x|﹣3＝（|x|﹣1）2﹣4，进而判断；
③用反例法，如当m＝﹣4时，解方程得出解的情况，再进行判断；
④由方程x2﹣2|x|﹣3＝x+b，即x2﹣2|x|﹣x﹣3﹣b＝0有3个解，求出b的取值．
【完整解答】解：①∵a2﹣2|a|﹣3＝（﹣a）2﹣2|﹣a|﹣3，
∴y＝x2﹣2|x|﹣3的图象关于y轴对称，
故①正确；
②∵y＝x2﹣2|x|﹣3＝（|x|﹣1）2﹣4，
∴当|x|＝1即x＝±1时，y有最小值为﹣4，
故②正确；
③当m＝﹣4时，方程x2﹣2|x|﹣3＝m为x2﹣2|x|﹣3＝﹣4，可化为（|x|﹣1）2＝0，解得x＝±1，有
两个不相等的实数根，此时m＝﹣4＜﹣3，
故③错误；
④∵直线y＝x+b与y＝x2﹣2|x|﹣3的图象有三个交点，
∴方程x2﹣2|x|﹣3＝x+b，即x2﹣2|x|﹣x﹣3﹣b＝0有3个解，
∴方程x2﹣3x﹣3﹣b＝0（x≥0）与方程x2+x﹣3﹣b＝0（x＜0）一共有3个解，
∴当方程x2﹣3x﹣3﹣b＝0（x≥0）有两个不相等的非负数根，则方程x2+x﹣3﹣b＝0（x＜0）有两个相
等的负数根；或当方程x2﹣3x﹣3﹣b＝0（x≥0）有两个不相等的非负数根，则方程x2+x﹣3﹣b＝0（x
＜0）有一个负数根；或方程x2﹣3x﹣3﹣b＝0（x≥0）有一个非负数根或两个相等的非负数根，则方程
x2+x﹣3﹣b＝0（x＜0）有两个不相等的负数根．
即 或 或 ，解得，b＝﹣ ，或b＝﹣3，
∴当b＝﹣ 或b＝﹣3时，直线y＝x+b与y＝x2﹣2|x|﹣3的图象有三个交点，
故④错误；
故选：B．
9．（2分）（2021•雨花区校级模拟）能使分式方程 +2＝ 有非负实数解且使二次函数y＝x2+2x﹣k
﹣1的图象与x轴无交点的所有整数k的积为（ ）
A．﹣20 B．20 C．﹣60 D．60
【思路引导】①解分式方程，使x≥0且x≠1，求出k的取值；
②因为二次函数y＝x2+2x﹣k﹣1的图象与x轴无交点，所以Δ＜0，列不等式，求出k的取值；
③综合①②求公共解并求其整数解，再相乘．
【完整解答】解： +2＝ ，
去分母，方程两边同时乘以x﹣1，
﹣k+2（x﹣1）＝3，
x＝ ≥0，
∴k≥﹣5①，
∵x≠1，
∴k≠﹣3②，
由y＝x2+2x﹣k﹣1的图象与x轴无交点，则4﹣4（﹣k﹣1）＜0，
k＜﹣2③，
由①②③得：﹣5≤k＜﹣2且k≠﹣3，
∴k的整数解为：﹣5、﹣4，乘积是20；
故选：B．
10．（2分）（2020•雨花区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点M（﹣1，2）和点N
（1，﹣2），交x轴于A，B两点，交y轴于C．则：①b＝﹣2； ②该二次函数图象与y轴交于负半轴；
③存在这样一个a，使得M、A、C三点在同一条直线上； ④若a＝1，则OA•OB＝OC2．以上说法正确的
有（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
【思路引导】①根据二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点M（﹣1，2）和点N（1，﹣2），代入可得a、b、c的关系，然后通过变形可以得到b的值，即可判断①是否正确；
②根据二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点M（﹣1，2）和点N（1，﹣2），代入可得a、b、c的关系，
通过变形可以得到a、c的关系，由a＞0，即可判断c的正负，从而可以判断②是否正确；
③求出过点M、C的直线解析式，然后令y＝0，求出相应的x的值，然后将x的值代入二次函数的解析
式，看是否有a的值使得二次函数的值等于0，注意a的值必须大于0，从而可以判断③是否正确；
④根据a的值可以得到二次函数的解析式，从而可以推出结论是否正确．
【完整解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点M（﹣1，2）和点N（1，﹣2），
∴
②﹣①，得2b＝﹣4，
解得b＝﹣2，故①b＝﹣2正确；
②+①，得2（a+c）＝0，
∴a+c＝0，
∵a＞0，
∴c＝﹣a＜0，故②正确；
设过点M（﹣1，2），点C（0，c）的直线的解析式为y＝kx+m
∴ ，
解得，
∴y＝（c﹣2）x+c，
∵c＝﹣a，
∴y＝（﹣a﹣2）x﹣a，
当y＝0时，x＝ ，
将x＝ 代入y＝ax2﹣2x﹣a，得y＝ ，
令 ＝0，得a＝0，
∵a＞0，∴a＝0不符题意，故③错误；
当a＝1时，二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣1，
∴当y＝0时，设x2﹣2x﹣1＝0的两根为x，x，
1 2∴ ，
∴OA•OB＝|x|•|x|＝|﹣1|＝1＝（﹣1）2＝OC2，故④正确；
1 2
故选：C．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2019秋•岳麓区校级月考）已知二次函数y＝x2﹣2x+k的部分图象如图所示，若关于x的一
元二次方程x2﹣2x+k＝0的一个解为x＝3，则另一个解x＝ ﹣ 1 ．
1 2
【思路引导】函数的对称轴为：x＝1，则另外一个交点在：（﹣1，0），即可求解．
【完整解答】解：函数的对称轴为：x＝1，则另外一个交点在：（﹣1，0），
故答案为：﹣1；
12．（2分）（2021•天心区开学）对于任意实数a，抛物线y＝x2+2ax+a+b与x轴都有公共点，则b的取值
范围是 b ≤﹣ ．
【思路引导】根据题意得到4a2﹣4（a+b）≥0，求得a2﹣a的最小值，即可得到b的取值范围．
【完整解答】解：∵对于任意实数a，抛物线y＝x2+2ax+a+b与x轴都有交点，
∴△≥0，则（2a）2﹣4（a+b）≥0，
整理得b≤a2﹣a，
∵a2﹣a＝（a﹣ ）2﹣ ，
∴a2﹣a的最小值为﹣ ，
∴b≤﹣ ，
故答案为b≤﹣ ．
13．（2分）（2020秋•长沙期末）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为
x、x，一元二次方程x2+b2x+14＝0的两实根为x、x，且x﹣x＝x﹣x＝3，则二次函数的顶点坐标
1 2 3 4 2 3 1 4为 （ ， ） ．
【思路引导】根据题意，得到x＝x+3，x＝x+3，进而可得x+x＝x+x+6，根据二次函数与x轴有两
1 4 2 3 1 2 3 4
个交点和一元二次方程有两个实数根，得到x+x＝﹣b，x+x＝﹣b2，x•x＝c，进而可得b的值，将其
1 2 3 4 1 2
代入一元二次方程，求出两个实数根，即可求得c的值，最后利用二次函数的顶点坐标公式，求得顶点
坐标即可．
【完整解答】解：∵x﹣x＝x﹣x＝3，
2 3 1 4
∴x＝x+3，x＝x+3，
1 4 2 3
∴x+x＝x+x+6，
1 2 3 4
∵二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴有两个交点，一元二次方程x2+b2x+14＝0的两实根为x、x，
3 4
∴x+x＝﹣b，x+x＝﹣b2，x•x＝c，
1 2 3 4 1 2
∴﹣b＝﹣b2+6，解得：b＝3或b＝﹣2，
当b＝3时，一元二次方程x2+9x+14＝0有两实根为x＝﹣2，x＝﹣7，
3 4
当b＝﹣2时，一元二次方程x2+4x+14＝0无解，不合题意，故b＝﹣2舍去，
∴x＝﹣4，x＝1，
1 2
∴c＝﹣4，
∴二次函数的解析式为：y＝x2+3x﹣4，
∴顶点坐标为（﹣ ， ），
即（ ， ）．
故答案为：（ ， ）．
14．（2分）（2021秋•雨花区月考）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣
2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为 x ＝﹣ 2 ， x ＝ 1 ．
1 2
【思路引导】根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组 的解为 ，，于是易得关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解．
【完整解答】解：∵抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），
∴方程组 的解为 ， ，
即关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为x＝﹣2，x＝1．
1 2
故答案为x＝﹣2，x＝1．
1 2
15．（2分）（2019春•天心区校级月考）抛物线y＝2（x﹣2）2﹣6的顶点为C，已知直线y＝﹣kx+3过点
C，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 1 ．
【思路引导】首先把点C的坐标代入直线y＝﹣kx+3，求出k的值，再求出一次函数与x轴，y轴的交点
坐标，然后利用三角形面积公式即可求得一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积．
【完整解答】解：由抛物线y＝2（x﹣2）2﹣6，得顶点C（2，﹣6），
把C（2，﹣6）代入y＝﹣kx+3中，得：
﹣6＝﹣2k+3，解得k＝4.5，
则直线解析式为y＝﹣4.5x+3，
当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x＝ ，
所以一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积为： × ×3＝1，
故答案为：1．
16．（2分）（2021春•开福区校级月考）已知二次函数y＝a（x+b）2+3（a≠0）的图象如图，有下列4个
结论：①顶点坐标为（1，3）；②b＝1；③（﹣3，y）、（0，y）、（3，y）是抛物线上三点，则y
1 2 3 1
＜y＜y；④抛物线与x轴的右交点为（x，0），则2＜x＜3．其中正确的结论有 3 个．
3 2 2 2
【思路引导】根据抛物线的对称轴和顶点坐标可以判断①②；根据抛物线的开口向下且对称轴为直线x＝﹣1知图象上离对称轴水平距离越小函数值越大，可判断③；根据抛物线的对称轴以及与x轴的交点
可以判断④．
【完整解答】解：根据图象可得抛物线顶点坐标为（1，3），b＝﹣1，
故①正确，②不正确；
∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线x＝1，
∴抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大，
∴y＜y＜y，故③正确；
1 3 2
∵抛物线对称轴为x＝1，
抛物线与x轴的左交点（x，0），且﹣1＜x＜0，
1 1
∴抛物线与x轴的右交点（x，0），则2＜x＜3，
2 2
故④正确．
故答案为：3．
17．（2分）（2019秋•宁乡市期末）如图，点A、B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线的顶点在
线段AB上运动（抛物线随顶点一起平移），与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点D的横坐标的
最大值为8，则点C的横坐标的最小值为 ﹣ 3 ．
【思路引导】利用待定系数法求出点D的横坐标的最大值为8时的抛物线的解析式，由题意可得当抛物
线的顶点在点A处时，点C的横坐标取最小值；利用抛物线平移过程中a的值不变，写出抛物线的顶点
移动到点A出时的抛物线的解析式，令y＝0，即可求得结论．
【完整解答】解：∵抛物线的顶点在线段AB上运动，点D的横坐标的最大值为8，
∴抛物线的顶点为B（4，4），此时点D（8，0）．
设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣4）2+4，
∴a（8﹣4）2+4＝0，
解得：a＝﹣ ．
由题意可得当抛物线的顶点在点A处时，点C的横坐标取最小值．
∵抛物线平移过程中a的值不变，∴抛物线的顶点移动到点A出时的抛物线的解析式为y＝﹣ ，
令y＝0，则﹣ ＝0，
解得：x＝﹣3或5．
∵C在D的左侧，
∴点C的横坐标的最小值为﹣3．
故答案为：﹣3．
18．（2分）（2019秋•望城区期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣3，0）、（1，0），
则这条抛物线的对称轴是直线 x ＝﹣ 1 ．
【思路引导】根据抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣3，0）、（1，0），可以求得这条抛物线
的对称轴，本题得以解决．
【完整解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣3，0）、（1，0），
∴这条抛物线的对称轴是直线x＝ ＝﹣1，
故答案为：x＝﹣1．
19．（2分）（2019秋•岳麓区校级月考）已知二次函数y＝kx2+（2k﹣1）x﹣1的图象与x轴交点的横坐
标为x，x（x＜x），那么下列结论：①方程kx2+（2k﹣1）x﹣1＝0的两根为x，x；②当x＞x时，
1 2 1 2 1 2 2
y＞0；③x＜﹣1，x＞﹣1；④x﹣x＝ ．其中正确结论的序号是 ①③ （多填或错填的得
1 2 2 1
0分，少填的酌情给分）．
【思路引导】①根据一元二次方程和二次函数之间的联系即可判断；②由于k值不确定，所以抛物线的
开口方向不确定，所以该题的结论不一定成立；③可以判断（x+1）（x+1）的符号；④根据一元二次
1 2
方程的根与系数的关系以及完全平方公式进行分析．
【完整解答】解：①二次函数y＝kx2+（2k﹣1）x﹣1的图象与x轴交点的横坐标，即为令y＝0方程的
两个根，故该结论正确；
②由于k值不确定，所以抛物线的开口方向可能向下，故该结论不一定成立；
③根据一元二次方程根与系数的关系，得x+x＝ ，xx＝﹣ ，
1 2 1 2
则（x+1）（x+1）＝xx+x+x+1＝﹣ + +1＝﹣1＜0，所以x＜﹣1，x＞﹣1，故该结论成立；
1 2 1 2 1 2 1 2④x﹣x＝ ＝ ，由于k的符号不确定，故该选项错误．
2 1
故答案为①③．
20．（2分）（2021春•长沙期末）若函数y＝mx2+2（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值
为 ﹣ 或 0 ．
【思路引导】当m＝0时，函数y＝4x+1的图象与x轴有一个交点，当m≠0时，抛物线y＝mx2+2（m+2）
x+m+1的图象与x轴只有一个交点，即方程mx2+2（m+2）x+m+1＝0只有一个根，根据根的判别式为0求
出m的值．
【完整解答】解：当m＝0时，函数y＝4x+1的图象与x轴有一个交点，
当m≠0时，函数y＝mx2+2（m+2）x+m+1的图象是抛物线，
若抛物线的图象与x轴只有一个交点，
则方程mx2+2（m+2）x+m+1＝0只有一个根，
即4（m+2）2﹣4m（m+1）＝0，
解得m＝﹣ ，
综上可得m的值为﹣ 或0，
故答案为﹣ 或0．
三．解答题（共8小题，满分61分）
21．（8分）（2018秋•芙蓉区校级期末）已知：关于x的方程mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3＝0．
（1）求证：m取任何实数，方程总有实数根；
（2）若二次函数y＝mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3的图象关于y轴对称；
1
①求二次函数y的解析式；
1
②已知一次函数y＝2x﹣2，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值
2
y≥y均成立；
1 2
（3）在（2）条件下，若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣5，0），且在实数范围内，对于x的
3
同一个值，这三个函数所对应的函数值y≥y≥y均成立，求二次函数y＝ax2+bx+c的解析式．
1 3 2 3
【思路引导】（1）首先此题的方程并没有明确是一次方程还是二次方程，所以要分类讨论：
①m＝0，此时方程为一元一次方程，经计算可知一定有实数根；
②m≠0，此时方程为一元二次方程，可表示出方程的根的判别式，然后结合非负数的性质进行证明．（2）①由于抛物线的图象关于y轴对称，那么抛物线的一次项系数必为0，可据此求出m的值，从而确
定函数的解析式；
②此题可用作差法求解，令y﹣y，然后综合运用完全平方式和非负数的性质进行证明．
1 2
（3）根据②的结论，易知y、y的交点为（1，0），由于y≥y≥y成立，即三个函数都交于（1，
1 2 1 3 2
0），结合点（﹣5，0）的坐标，可用a表示出y的函数解析式；已知y≥y，可用作差法求解，令y＝
3 3 2
y﹣y，可得到y的表达式，由于y≥y，所以y≥0，可据此求出a的值，即可得到抛物线的解析式．
3 2 3 2
【完整解答】解：（1）分两种情况：
当m＝0时，原方程可化为3x﹣3＝0，即x＝1；
∴m＝0时，原方程有实数根；
当m≠0时，原方程为关于x的一元二次方程，
∵△＝[﹣3（m﹣1）]2﹣4m（2m﹣3）＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2≥0，
∴方程有两个实数根；
综上可知：m取任何实数时，方程总有实数根．
（2）①∵关于x的二次函数y＝mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3的图象关于y轴对称；
1
∴3（m﹣1）＝0，即m＝1；
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣1．
1
②∵y﹣y＝x2﹣1﹣（2x﹣2）＝（x﹣1）2≥0，
1 2
∴y≥y（当且仅当x＝1时，等号成立）．
1 2
（3）由②知，当x＝1时，y＝y＝0，即y、y的图象都经过（1，0）；
1 2 1 2
∵对应x的同一个值，y≥y≥y成立，
1 3 2
∴y＝ax2+bx+c的图象必经过（1，0），
3
又∵y＝ax2+bx+c经过（﹣5，0），
3
∴y＝a（x﹣1）（x+5）＝ax2+4ax﹣5a；
3
设y＝y﹣y＝ax2+4ax﹣5a﹣（2x﹣2）＝ax2+（4a﹣2）x+（2﹣5a）；
3 2
对于x的同一个值，这三个函数对应的函数值y≥y≥y成立，
1 3 2
∴y﹣y≥0，
3 2
∴y＝ax2+（4a﹣2）x+（2﹣5a）≥0；
根据y、y的图象知：a＞0，
1 2
∴（4a﹣2）2﹣4a（2﹣5a）≤0，即（3a﹣1）2≤0，而（3a﹣1）2≥0，故a＝
∴抛物线的解析式为：y＝ x2+ x﹣ ．
22．（8分）（2022春•长沙期末）定义：如果抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（x，0），B
1
（x，0），那么我们把线段AB叫做雅礼弦，AB两点之间的距离l称为抛物线的雅礼弦长．
2
（1）求抛物线y＝x2﹣2x﹣3的雅礼弦长；
（2）求抛物线y＝x2+（n+1）x﹣1（1≤n＜3）的雅礼弦长的取值范围；
（3）设m，n为正整数，且m≠1，抛物线y＝x2+（4﹣mt）x﹣4mt的雅礼弦长为l，抛物线y＝﹣x2+
1
（t﹣n）x+nt的雅礼弦长为l，s＝l2﹣l2，试求出s与t之间的函数关系式，若不论t为何值，s≥0
2 1 2
恒成立，求m，n的值．
【思路引导】（1）通过理解题意令x2﹣2x﹣3＝0，解出两个解进而求得该抛物线的雅礼弦长．
（2）令x2+（n+1）x﹣1＝0，用含n的式子表示AB，通过n的范围得出该抛物线雅礼弦长的取值范围．
（3）令x2+（4﹣mt）x﹣4mt＝0，得出x+x＝mt﹣4，xx＝﹣4mt，通过逻辑运算结合题意，即可求解
1 2 1 2
m，n的值．
【完整解答】解：（1）x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x＝3，x＝﹣1，
1 2
∴雅礼弦长AB＝4；
（2）x2+（n+1）x﹣1＝0，A（x，0）B（x，0），
1 1
∴AB＝|x﹣x|＝ ，
1 2
∵Δ＝（n+1）2+4＞0， ，
∴AB＝ ，∵1≤n＜3，
∴当n＝1时，AB最小值为 ，
当n＝3时，AB最大值小于 ，
∴ ≤AB＜ ；
（3）由题意，令y＝x2+（4﹣mt）x﹣4mt＝0，
∴x+x＝mt﹣4，xx＝﹣4mt，
1 2 1 2
则l2＝（x﹣x）2＝（x+x）2﹣4xx＝（mt+4）2，
1 1 2 1 2 1 2
同理l2＝（n+t）2，
2
s＝（mt+4）2﹣（n+t）2＝（m2﹣1）t2+（8m﹣2n）t+（16﹣n2），
∵m2﹣1≠0，
∴要不论t为何值，S≥0恒成立，
即：（m2﹣1）t2+（8m﹣2n）t+（16﹣n2）≥0恒成立，
由题意得：m2﹣1＞0，Δ＝（8m﹣2n）2﹣4（m2﹣1）（16﹣n2）≤0，
解得：（mn﹣4）2≤0，mn＝4
∵m，n为正整数，且m≠1，
则m＝2，n＝2或m＝4，n＝1．
23．（6分）（2019秋•长沙县期末）如图，已知抛物线 的对称轴是直线x＝3，且与x轴相
交于A，B两点（B点在A点右侧），与y轴交于C点（0，4）．
（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；
（2）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求出M点的坐
标．
【思路引导】（1）根据函数的对称轴：x＝﹣ ＝3解得：a＝﹣ ，即可求解；（2）先求出直线BC的解析式，再设点M（x，﹣ x2+ x+4），则点N（x，﹣ x+4），则MN＝﹣ x2+
x+4+ x﹣4＝±3，即可求解．
【完整解答】解：（1）函数的对称轴：x＝﹣ ＝﹣ ＝3，解得：a＝﹣ ，
∵抛物线与y轴的交点C（0，4），
∴c＝4，
故抛物线的表达式为：y＝﹣ x2+ x+4，
令y＝0，解得：x＝8或﹣2，
故点A、B的坐标分别为：（﹣2，0）、（8，0），
∴抛物线的解析式y＝﹣ x2+ x+4；点A、B的坐标分别为：（﹣2，0）、（8，0）；
（2）将点B、C的坐标代入一次函数y＝kx+b得： ，
解得： ，
直线BC的表达式为：y＝﹣ x+4，
设点M（x，﹣ x2+ x+4），则点N（x，﹣ x+4），
则MN＝﹣ x2+ x+4+ x﹣4＝±3，
解得：x＝2或6或4±2 ，
故点M的坐标为：（2，6）或（6，4）或（4+2 ，﹣1﹣ ）或（4﹣2 ，﹣1+ ）．
24．（6分）（2021春•天心区校级月考）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣8的图象与x轴交于A（2，0）和
B（﹣8，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得△APC的周长最小，请求出点P的坐标．【思路引导】（1）根据待定系数法解求出函数的解析式即可；
（2）分析可知，连接BC交直线x＝﹣3于P，点P就是所求的点．在根据点B和点C的坐标求出直线BC
的解析式，进而求出点P的坐标．
【完整解答】解：（1）将A（2，0）、B（﹣8，0）代入抛物线的解析式，得：
y＝ ，
解得： ，
∴该抛物线的解析式为y＝ x2+3x﹣8；
（2）由（1）知抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，点C（0，﹣8），
连接BC交直线x＝﹣3于P，如图，则PA＝PB，
∵PA+PC＝PB+PC＝BC，
∴此时PA+PC的值最小，△PAC的周长最小．
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
把B（﹣8，0），C（0，﹣8）代入得，，
解得 ．
∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣8．
当x＝﹣3时，y＝3﹣8＝﹣5，此时P点坐标为（﹣3，﹣5）
∴P点坐标为（﹣3，﹣5）时，△PAC的周长最小．
25．（6分）（2020•如皋市二模）已知二次函数y＝﹣x2+bx﹣c的图象与x轴的交点坐标为（m﹣2，0）和
（2m+1，0）．
（1）求b和c（用m的代数式表示）；
（2）若在自变量x的值满足﹣2≤x≤1的情况下，与其对应的函数值y的最大值为1，求m的值；
（3）已知点A（﹣1，﹣2m2﹣3m）和点B（2，﹣2m2+6m）．若二次函数y＝﹣x2+bx﹣c的图象与线段AB
有两个不同的交点，直接写出m的取值范围．
【思路引导】（1）由题意知，方程﹣x2+bx﹣c＝0的两根：x＝m﹣2，x＝2m+1，再通过根与系数的关
1 2
系求得结果；
（2）求得顶点坐标为（ ， ），分三种情况：①当 ；②当﹣2≤ ≤1；
③当 ＞1．根据二次函数的性质与最大值列出m的方程进行解答；
（3）根据题意得到△＝（b﹣3m）2﹣4×（﹣1）•（2m2+c）＞0，﹣1﹣（3m﹣1）﹣（2m2﹣3m﹣2）≤
﹣3m﹣2m2，4+2（3m﹣1）﹣（2m2﹣3m﹣2）≤6m﹣2m2，解不等式组即可求得．
【完整解答】解：（1）由题意知，方程﹣x2+bx﹣c＝0的两根：x＝m﹣2，x＝2m+1，
1 2
∴b＝x+x＝3m﹣1，
1 2
c＝xx＝（m﹣2）（2m+1）＝2m2﹣3m﹣2；
1 2
（2）由题意可知，二次函数图象开口向下，顶点坐标为（ ， ），
①当 ，即m＜﹣1时，在﹣2≤x≤1中，y随x的增大而减小，
∴当x＝﹣2时，y的值最大为：﹣4﹣2（3m﹣1）﹣（2m2﹣3m﹣2）＝﹣2m2﹣3m＝1，解得，m＝﹣1（舍去），或m＝﹣ （舍去）；
②当﹣2≤ ≤1，即﹣1≤m≤1时，y有最大值为y＝ ＝1，
解得，m＝﹣1，或m＝﹣5（舍去）；
③当 ＞1，即m＞1时，在﹣2≤x≤1中，y随x的增大而增大，
∴当x＝1时，y的值最大为：﹣1+（3m﹣1）﹣（2m2﹣3m﹣2）＝﹣2m2+6m＝1，
解得，m＝ ，或m＝ （舍去）．
综上，m＝﹣1或 ．
（3）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣1，﹣2m2﹣3m），B（2，﹣2m2+6m）代入得 ，解得 ，
∴直线AB为：y＝3mx﹣2m2，
∵二次函数y＝﹣x2+bx﹣c的图象与线段AB有两个不同的交点，
∴﹣x2+bx﹣c＝3mx﹣2m2，
△＝（b﹣3m）2﹣4×（﹣1）•（2m2﹣c）＞0，
∴m＞﹣ ，
∵A（﹣1，﹣2m2﹣3m），B（2，﹣2m2+6m），
∴﹣1﹣（3m﹣1）﹣（2m2﹣3m﹣2）≤﹣3m﹣2m2，4+2（3m﹣1）﹣（2m2﹣3m﹣2）≤6m﹣2m2，
∴m ．
∴m的取值范围为 ＜m ．
26．（9分）（2019春•岳麓区校级月考）已知抛物线L：y＝ x2+bx﹣2与x轴相交于A、B两点（点A在
点B的左侧），并与y轴相交于点C．且点A的坐标是（﹣1，0）．
（1）求该抛物线的函数表达式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，并求出△ABC的面积；（3）将抛物线向左或向右平移，得到抛物线L′，L′与x轴相交于A'、B′两点（点A′在点B′的左
侧），并与y轴相交于点C′，要使△A'B′C′和△ABC的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数
表达式．
【思路引导】（1）根据抛物线过点A可以求得抛物线的解析式，然后将抛物线化为顶点式即可得到顶
点D的坐标；
（2）根据（1）中的函数解析式可以求得点A、B、C的坐标，从而可以判断△ABC的形状并求出它的面
积；
（3）根据平移的特点和分类讨论的方法可以求得相应的函数解析式．
【完整解答】解：（1）∵抛物线L：y＝ x2+bx﹣2过点A（﹣1，0），
∴0＝ ×（﹣1）2+b×（﹣1）﹣2，
解得，b＝ ，
∴y＝ x2﹣ x﹣2＝ ，
∴点D的坐标为（ ，﹣ ），
即该抛物线的函数表达式是y＝ x2﹣ x﹣2，顶点D的坐标为（ ，﹣ ）；
（2）当y＝0时，0＝ x2﹣ x﹣2，解得，x＝﹣1，x＝4，当x＝0时，y＝﹣2，
1 2
则点A（﹣1，0），点B（4，0），点C（0，﹣2），
∴AB＝5，AC＝ ，BC＝2 ，
∵AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的面积是： ＝5；
（3）∵抛物线向左或向右平移，
∴平移后A′B′与平移前的AB的长度相等，
∴只要平移后过（0，﹣2）或过（0，2）即满足条件，
当向右平移时，
令y＝ ，当x＝0时，y＝ ＝2，得a＝ ，
此时y＝ ＝ ，
当向左平移时，
令y＝ ﹣ ，当x＝0时，y＝ ﹣ ＝±2，得m＝ 或m＝3，
当m＝ 时，y＝ ，当m＝3时，y＝ ﹣2，
由上可得，所有满足条件的抛物线的函数表达式是y＝ ，y＝ ，y＝
﹣2．
27．（9分）（2020•岳麓区校级模拟）抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）与x轴交于点（x，0）和
1
（x，0），与y轴交于点A，点E为抛物线顶点
2
（Ⅰ）当x＝﹣1，x＝3时，求点A，点E的坐标．
1 2
（Ⅱ）若顶点E在直线y＝x上，当点A位置最高时，求抛物线的解析式；
（Ⅲ）若x＝﹣1，b＞0，当P（1，0）满足PA+PE值最小时，求b的值．
1
【思路引导】（Ⅰ）当x＝﹣1，x＝3时y＝0，代入解析式即可求；
1 2
（Ⅱ）由已知可得E（ ， ），由E在直线y＝x上，得到c＝﹣ b2+ b，所以A（0，﹣ b2+
b），当b＝1时，点A是最高点，此时y＝﹣x2+x+ ；
（Ⅲ）点M（﹣1，0）代入解析式得c＝b+1，则有E（ ， ），A（0，b+1），点E关于x轴的对称点E'（ ，﹣ ）；设过点A，P的直线为y＝kx+t，将点A（0，b+1），P（1，0）代入，
得到y＝﹣（b+1）（x﹣1），把E'代入，得﹣ ＝﹣（b+1）（ ﹣1），即可求b．
【完整解答】解：（Ⅰ）当x＝﹣1，x＝3时y＝0，
1 2
∴b＝2，c＝3，
∴y＝﹣x2+2x+3；
∴A（0，3），E（1，4）；
（Ⅱ）由已知可得E（ ， ），
∵E在直线y＝x上，
∴ ＝ ，
∴c＝﹣ b2+ b，
∴A（0，﹣ b2+ b），
∴当b＝1时，点A是最高点，此时y＝﹣x2+x+ ；
（Ⅲ）∵抛物线经过点M（﹣1，0），
∴﹣1﹣b+c＝0，
∴c＝b+1，
∵E（ ， ），A（0，c），
∴E（ ， ），A（0，b+1），
∴点E关于x轴的对称点E'（ ，﹣ ），
设过点A，P的直线为y＝kx+t，将点A（0，b+1），P（1，0）代入，∴y＝﹣（b+1）（x﹣1），
把E'代入，得﹣ ＝﹣（b+1）（ ﹣1），
∴b2﹣6b﹣8＝0，
解得b＝3 ，
∵b＞0，
∴b＝3+ ．
28．（9分）（2017•岳麓区校级开学）已知二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝3时，y有最小值﹣4，且图象经
过点（﹣1，12）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）该抛物线交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，在抛物线对称轴上有一动点P，
求PA+PC的最小值，并求当PA+PC取最小值时点P的坐标．
【思路引导】（1）由顶点坐标将二次函数的解析式设成y＝a（x﹣3）2﹣4，由该函数图象上一点的坐
标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B、C的坐标，由二次函数图象的对称性可得出连
接BC交抛物线对称轴于点P，此时PA+PC取最小值，最小值为BC，根据点B、C的坐标可求出直线BC的
解析式及线段BC的长度，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标，此题得解．
【完整解答】解：（1）∵当x＝3时，y有最小值﹣4，
∴设二次函数解析式为y＝a（x﹣3）2﹣4．
∵二次函数图象经过点（﹣1，12），
∴12＝16a﹣4，
∴a＝1，
∴二次函数的解析式为y＝（x﹣3）2﹣4＝x2﹣6x+5．
（2）当y＝0时，有x2﹣6x+5＝0，
解得：x＝1，x＝5，
1 2
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（5，0）；
当x＝0时，y＝x2﹣6x+5＝5，
∴点C的坐标为（0，5）．
连接BC交抛物线对称轴于点P，此时PA+PC取最小值，最小值为BC，如图所示．
设直线BC的解析式为y＝mx+n（m≠0），
将B（5，0）、C（0，5）代入y＝mx+n，得：，解得： ，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+5．
∵B（5，0）、C（0，5），
∴BC＝5 ．
∵当x＝3时，y＝﹣x+5＝2，
∴当点P的坐标为（3，2）时，PA+PC取最小值，最小值为5 ．
