文档内容
培优专题 04 一元二次方程问题的实际应用
◎应用一：传播问题
技巧： 公式 a ( 1 +x ) n = M 其中 a 为传染源（一般 a= 1 ）， n 为传染轮数， M 为最后得病总人数
1．（2021·河南周口·九年级阶段练习）2021年7月来，新冠病毒的变异毒株“德尔塔”病毒影响全国人民
的生活，有研究表明，“德尔塔”病毒具有较强的传染性，当一个人感染了“德尔塔”病毒后，在没有防
控的情况下，经过两轮传染后共有25人感染，那么，每轮传染中平均一个人传染了（ ）
A．3人 B．4人 C．5人 D．6人
2．（2022·全国·九年级专题练习）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有225人患了流感，设每轮传染
中平均每人传染的人数为x人，则可列方程（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·山东烟台·八年级期中）一次座谈会上，每两个参加会议的人都互相握手一次，经统计，一共握
手36次，则这次会议与会人数是共_________人．
4．（2022·全国·九年级专题练习）2019年元旦节期间班上数学兴趣小组的同学互发微信祝贺，每两个同学
都互相发一次，小明统计全组共互发了90次微信，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数
为x人，则可列方程为____________．
5．（2022·全国·九年级专题练习）某种病毒传播非常快，如果1人被感染，经过2轮感染后就会有81人被
感染．
(1)每轮感染中平均1人会感染几人？
(2)若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会不会超过700人？
◎应用二：平均增长率问题
技巧： b=a(1±x ) n ， n 为增长或降低次数 , b 为最后产量， a 为基数， x 为平均增长率或降低率
6．（2022·安徽安庆·八年级期中）某经济开发区，今年一月份工业产值达 亿元，第一季度总产值为
亿元，二月、三月平均每月的增长率是多少？若设平均每月的增长率为 ，根据题意，可列方程为
（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·安徽·合肥市五十中学新校八年级期中）某口罩厂八月份的口罩产量为100万只，由于市场需求
量增加，十月份的产量比八月份增加了44万只，设该厂九、十月份的口罩产量的月平均增长率为x，可列
方程为（ ）
A．（1+ x）2 =4400 B．10000（1+x）2=4400
C．（1+ x）2 =1.44 D．10000（1+2x）=14400
8．（2022·全国·九年级单元测试）某种药品的价格经过两次连续降价后，由每盒100元下调至64元，假
设每次降价的百分率相等，这种药品每次降价的百分率是________．
9．（2022·上海市复旦初级中学九年级期中）某单位10月份的营业额为100万元，12月份的营业额为200
万元，假设该公司11、12两个月的增长率都为x，那么可列方程是 _____．
10．（2022·山东泰安·八年级期末）东平湖景区在2021年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计
在2023年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．
(1)求景区2021至2023年春节长假期间接待游客人次的平均增长率；
(2)景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则
平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，店家决定进行降价促销活动，
则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利
润额？
◎应用三：形积问题
技巧：根据图形的性质和面积公式，联系一元二次方程的根，注意涉及到面积的和差，切勿
混淆
11．（2022·浙江绍兴·八年级期末）如图，一块长方形绿地长10m，宽5m．在绿地中开辟三条道路后，绿
地面积缩小到原来的78%，则可列方程为（ ）A． B．
C． D．
12．（2022·广西崇左·八年级期中）如图，在长为30m，宽为15m的长方形地面上修筑同样宽的道路（图
中阴影部分），其余部分铺设草坪，要使草坪的面积为406m2，则小路的宽度应为多少（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．4
13．（2022·浙江·温州市南浦实验中学八年级期中）如图，在一块长为60米，宽为40米的长方形空地内
修建一间正方形凉亭和两条宽度相等的小路，且小路的宽度是正方形凉亭边长的 ，其余部分种植草坪，
若草坪面积为2328平米，设小路宽为x米，依题意可列方程为______．
14．（2022·河北承德·八年级期末）如图，矩形ABCD中， ， ．
（1）矩形ABCD的周长为______；（2）若一正方形的面积与矩形ABCD的面积相等，则这个正方形的边长为______．
15．（2021·内蒙古通辽·九年级期末）如图，有一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边利用长为 米的墙，
另外三边用 米长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边 上留一个 米宽的门，
(1)若 ，问矩形的边长分别为多少时，鸡舍面积为 平方米
(2)若住房墙的长度足够长，问鸡舍面积能否达到 平方米？
◎应用四：数字问题
技巧：注意个位和十位数字的表示，特别是涉及到互换位置的时候，根据题意直接列出方程
即可
16．（2022·全国·九年级课时练习）一个两位数的两个数字的和为9，把这个两位数的个位数字与十位数字
互换得到一个新的两位数，它与原两位数的积为1458，设原两位数的个位数字为x，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
17．（2022·全国·九年级课时练习）如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以按图示形状圈出位置
相邻的6个数(如：8，14，15，16，17，24)．如果圈出的6个数中，最大数x与最小数的积为225，那么
根据题意可列方程为( )
A．x(x+8)=225 B．x(x+16)=225
C．x(x﹣16)=225 D．(x+8)(x﹣8)=225
18．（2021·江苏·九年级专题练习）有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和是8，如果把十位数字与
个位数字调换后，所得的两位数乘原来的两位数就得1855，则原来的两位数是_________．
19．（2021·湖北黄冈·九年级阶段练习）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小3，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小27，则原来的两位数是___．
20．（2021·江苏·九年级专题练习）李先生乘出租车去某公司办事，下车时，打出的电子收费单为“里程
11千米，应收 元” 该城市的出租车收费标准如下表所示，请求出起步价 ．
里程 千米
价格 N元
元 千米 元 千米
◎应用五：商品销售问题
技巧：销售总额＝单件售价 × 数量
总利润：单件利润 × 数量＝（售价－进价） × 数量
利润＝成本 × 利润率
21．（2022·全国·九年级单元测试）将进价为 元/个的某种商品按 元/个出售时，能卖出500个，
已知这种商品每个每涨价1元，其销售数量就减少 个，若想使利润达到 元，售价应是多少？设售
价为 元/个，则可列方程（ ）
A．
B．
C．
D．
22．（2022·全国·九年级专题练习）某超市销售一种商品，其进价为每千克30元，按每千克45元出售，
每天可售出300千克，为让利于民，超市采取降价措施，当售价每千克降低1元时，每天销量可增加50千
克，若每天的利润要达到5500元，则实际售价应定为多少元？设售价每千克降低x元，可列方程为（
）
A．（45-30-x）（300+50x）=5500 B．（x-30）（300+50x）=5500
C．（x-30）[300+50（x-45）]=5500 D．（45-x）（300+50x）=5500
23．（2022·全国·九年级专题练习）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，
由于疫情，为了扩大销售量，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫
每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天销售这种衬衫的盈利要达到1200元，则每件衬衫应降价多少元？设每件衬衫降价x元，由题意列得方程______．
24．（2022·全国·九年级课时练习）某商店以30元的价格购进了一批服装，若按每件50元出售，一个月
内可销售100件；当售价每提价1元时，其月销售量就减少5件．当利润达到1875元时，设售价提价x元，
则可列方程为____________．
25．（2022·山东烟台·八年级期末）某商场以每件220元的价格购进一批商品共900件，起初，商场按每
件280元的价格销售该商品，每天可售出30件，销售两天后，为庆祝“618购物节”，商场决定开展降价
促销活动，经调查发现：该商品每降价1元，平均每天可多售出3件．
(1)若要使该商品每天的销售利润达到降价前的两倍，则每件商品应降价多少元？
(2)在（1）的条件下，要使该商品尽快售完，需开展几天的降价促销活动？
◎应用六：动点几何问题
技巧：先把动点走过的路程用时间表示出来，再把剩余的路长用时间表示出来，根据题意列
方程
26．（2022·河北沧州·九年级期末）如图，在 中， ，AB= ，BC= ．点 从点 开始
沿边 向点 以 的速度移动，同时点 从点 开始沿边 向点 以 的速度移动，当其中一
点到达终点时，另一点随即停止．当四边形 的面积为 时，点 的运动时间为( )
A． B． 或 C． D． 或
27．（2022·全国·九年级课时练习）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从C出
发沿着CB方向以1cm/s的速度向B运动，另一动点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度向C运动，
P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．当t为（ ）秒时，△PCQ的面积是△ABC面积的 ？A．1.5 B．2 C．3或者1.5 D．以上答案都不对
28．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在矩形 中， ，点 从点 出发沿
以 的速度向点 运动，同时点 从点 出发沿 以 的速度向点 运动，点 到达终点后，
、 两点同时停止运动，则__秒时， 的面积是 ．
29．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A沿边AB
向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，
有一点到终点运动即停止，当t＝___时，S DPQ＝28cm2．
△
30．（2020·辽宁·宽甸满族自治县第一初中九年级阶段练习）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，
BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s速度向点C移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，
设它们的运动时间为t．(1)根据题意知：CQ＝ ，CP＝ ；（用含t的代数式表示）
(2)t为何值时，△CPQ的面积等于△ABC面积的 ？
(3)运动几秒时，△CPQ与△CBA相似？
◎应用七：相互问题（循环、握手、互赠礼品等）
技巧： 循环问题：又可分为单循环问题 n(n-1 ) ，双循环问题 n(n-1) .
31．（2022·黑龙江·中考真题）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环
比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A．8 B．10 C．7 D．9
32．（2022·广西柳州·模拟预测）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛72家，设
参加比赛的球队有 支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
33．（2022·全国·九年级专题练习）某学习小组的成员互赠新年贺卡，共用去72张贺卡，则该学习小组
________有名成员；
34．（2021·江苏·九年级专题练习）某校准备组织一次篮球比赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛
程计划安排7天，每天安排4场比赛，那么共有___个队参加．
35．（2018·湖北·武汉市梅苑学校九年级期中）来自武汉高校的若干个社团参加了“敢为人先，追求卓
越”的城市精神的研讨会，参加研讨会的每两个社团之间都签订了一份合作协议，所有社团共签订了45份
协议，共有多少个社团参加研讨会？
