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2022-2023 学年人教版数学九年级上册压轴题专题精选汇编
专题 01 一元二次方程
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2021九上·遂宁期末）已知 是关于 的方程 的两根，则
的值是（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
【答案】D
【完整解答】解：∵ 是关于 的方程 的两根，
∴ ，
∴ ，
∴
=
=
=2009+12
=2021
故答案为：D.
【思路引导】根据一元二次方程根的概念可得a2=2009-3a，根据根与系数的关系可得a+b=-3，然后代入
待求式中计算即可.
2．（2分）（2021九上·内江期末）已知方程 的两根分别为m、n，则
的值为（ ）
A．1 B． C．2021 D．
【答案】B【完整解答】解：∵方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为m，n，
∴mn＝1，m2﹣2021m+1＝0，
∴m2＝2021m-1，
∴m2﹣ ＝2021m-1-2021m=-1.
故答案为：B.
【思路引导】根据一元二次方程根的概念可得m2-021m+1＝0，根据根与系数的关系可得mn=1，则m2＝
2021m-1，m= ，接下来代入待求式中计算即可.
3．（2分）（2021九上·讷河期末）若关于 的一元二次方程为 有一个根为
，那么 的值是（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】B
【完整解答】把 代入方程
-5=0 即 =5
故答案为B
【思路引导】将x=2代入 可得 -5=0，再化简即可得到 =5。
4．（2分）（2021九上·南海期末）已知 是一元二次方程 的一个根，则方程的另外
一根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【完整解答】解： 是一元二次方程 的一个根，设方程的另一个根为n，
∵两根的和为： ，
∴ ，解得： ，
故答案为：C．
【思路引导】设方程的另一个根为n，根据一元二次方程根与系数的关系可得 ，所以
，再求出n的值。
5．（2分）（2020九上·惠城期末）已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则下列选项不正确的
是（ ）
A．m+n＝﹣2 B．mn＝﹣5 C．m2+2m﹣5＝0 D．m2+2n﹣5＝0
【答案】D
【完整解答】解：∵m、n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，
∴mn＝﹣5，m+n＝﹣2，m2+2m﹣5＝0，n2+2n﹣5＝0，
∴选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意；
故答案为：D．
【思路引导】利用一元二次方程的根及一元二次方程根与系数的关系逐项判断即可。
6．（2分）（2021九上·岳阳期末）下列命题正确的是（ ）
A．已知：线段 ， ， ， ，则a，b，c，d是比例线段
B．已知关于x的方程 是一元二次方程
C．已知点 、 是函数 图象上的两点，则D．位似图形一定是相似图形，相似图形也一定是位似图形
【答案】B
【完整解答】解：A、1×4≠2×3，不是比例线段，本选项错误；
B、无论m为何值时， >0，所以 是一元二次方程，本选项正确；
C、函数 中，k=-5<0，函数图象的两个分支分别位于二、四象限，在每一个象限内y随x的增
大而增大，而0＞-1>-2，所以 ，本选项错误；
D、位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形，本选项错误.
故答案为：B.
【思路引导】如果a、b、c、d四条线段成比例，则这四条线段中最长线段与最短线段的乘积等于另两条
线段的乘积，据此可判断A；含有一个未知数，未知数项的最高次数是2，且二次项的系数不为0的整式方
程就是一元二次方程，根据偶次幂的非负性结合一元二次方程的概念可判断B；根据反比例函数
中，当k＜0时，函数图象的两个分支分别位于二、四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大，据此可
判断C；形状相同的两个图形就是相似图形；位似图形不但形状相同，而且对应点的连线相交于同一点，
据此可判断D.
7．（2分）（2021九上·南沙期末）定义新运算“a⊗b”：对于任意实数a，b，都有a⊗b＝（a﹣b）2﹣
b，其中等式右边是通常的加法、减法和乘法运算，如3⊗2＝（3﹣2）2﹣2＝﹣1．若x⊗k＝0（k为实数）是
关于x的方程，且x＝2是这个方程的一个根，则k的值是（ ）
A．4 B．﹣1或4 C．0或4 D．1或4
【答案】D
【完整解答】解：∵a⊗b＝（a﹣b）2﹣b，
∴关于x的方程x⊗k＝0（k为实数）化为 ，
∵x＝2是这个方程的一个根，
∴4-4k+k2-k=0，解得： ，
故答案为：D．【思路引导】利用题干中计算方法将数据代入计算可得方程，再求解即可。
8．（2分）（2020九上·齐齐哈尔月考）对于一元二次方程 下列说法：①当
时，则方程 一定有一根为 ；②若 则方程
一定有两个不相等的实数根；③若c是方程 的一个根，则一定有
；④若 ，则方程 有两个不相等的实数根．其中正确的是（
）
A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④
【答案】C
【完整解答】解：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），
△＝b2−4ac，
①将x＝−1代入方程ax2＋bx＋c＝0，得a−b＋c＝0，即b＝a＋c．故①符合题意．
②若ab＞0，bc＜0，则ac＜0，则△＝b2−4ac＞0，即方程ax2＋bx＋c＝0一定有两个不相等的实数根．故
②符合题意．
③将x＝c代入方程ax2＋bx＋c＝0，得ac2＋bc＋c＝0，得c＝0或ac＋b＋1＝0．故③不符合题意．
④若b＝2a＋3c，△＝b2−4ac＝（2a＋3c）2−4ac =4（a＋c）2＋5c2＞0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．故④符合题意．
所以正确的是①②④，
故答案为：C．
【思路引导】根据一元二次方程根的意义及根的判别式，逐项分析判断即可．
9．（2分）（2020九上·丹徒期中）已知x=m是一元二次方程x2+2x+n-3=0的一个根，则m+n的最大值等
于（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【完整解答】解：由题意得：此方程的根的判别式 ，解得 ，
是一元二次方程 的一个根，
，即 ，
对于任意实数m， 均成立，
令 ，
整理得： ，
由二次函数的性质可知，当 时，y取得最大值，最大值为 ，
即 的最大值等于 ，
故答案为：A.
【思路引导】由 x=m是方程的根和一元二次方程根的判别式可得m，n的范围和 ，根据
二次函数的性质可得最大值.
10．（2分）有两个一元二次方程M：ax2＋bx＋c=0，N：cx2＋bx＋a＝0，其中a·c≠0，a≠c，下列四个
结论：① 如果M有两个相等的实数根，那么N也有两个相等实数根；② 如果M与N有实数根，则M有一
个根与N的一个根互为倒数；③ 如果M与N有实数根，且有一根相同，那么这个根必是1；④ 如果M的两
根符号相同，那么N的两根符号也相同；其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】B
【完整解答】解：①∵方程M：ax2＋bx＋c=0有两个不等的实数根，则△=b2-4ac＞0，
∴对于方程N：cx2＋bx＋a＝0，△=b2-4ac＞0，即方程N有两个不等的实数根；故正确；
②设x 是方程M的一个根，
1
∴ax2＋bx＋c=0，
1 1
∴c( )2+b +a=0，故 是方程N的一个根；故正确；
③当x=-1时分别代入方程M和方程N得：a-b+c=0和c-b+a=0，故错误；
④∵方程M有两根符号相同，
∴ ＞0，
∴a，c同号，
∵对于方程N，
∵a，c同号，
∴ ＞0，
∴方程N的两根符号也相同；故正确.
故答案为：B.
【思路引导】利用一元二次方程根的判别式，分别求出两方程的b2-4ac，可对①作出判断；利用一元二次
方程根与系数的关系，可对②作出判断；将x=-1分别代入两方程，再进行比较，可对③作出判断；根据两
根的符号相同，可判断出两个方程的a，c同号，可对④作出判断，综上所述，可得出正确结论的序号。
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2022八下·南浔期末）已知ｘ＝1是关于ｘ的一元二次方程ｘ2＋ｍｘ－3＝0的一个解，则
ｍ的值是 ．
【答案】2
【完整解答】解：∵ｘ＝1是关于ｘ的一元二次方程ｘ2＋ｍｘ－3＝0的一个解，
∴1+m-3=0
解之：m=2.
故答案为：2.
【思路引导】将x=1代入方程，可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
12．（2分）（2022八下·香坊期末）已知 是方程 的一个根．则m的值是
．
【答案】-1【完整解答】解：∵ 是方程 的一个根
∴ ，
解得m=-1．
故答案为：-1．
【思路引导】先求出 ，再解方程即可。
13．（2分）（2022·连云港）若关于 的一元二次方程 的一个解是 ，
则 的值是 .
【答案】1
【完整解答】解：把x=1代入方程得：m+n-1=0， ∴m+n=1.
故答案为：1.
【思路引导】把x=1代入方程得出m+n-1=0，即可得出m+n=1.
14．（2分）（2022·临淄模拟）若实数 ，且a、b满足 ， ，则
代数式 的值为 ．
【答案】-5
【完整解答】解：∵实数a，b满足 ， ，且
∴a、b是关于x的一元二次方程 的两个实数根，
则a＋b=5， ab=3，
∴原式=
=
=
=
= ，
故答案为：−5．
【思路引导】根据一元二次方程根与系数的关系可得a＋b=5， ab=3， 再将原式变形为 ，最后将a＋b=5， ab=3代入计算即可。
15．（2分）（2022·德城模拟）若直角三角形的两边长分别是一元二次方程x2－7x＋12＝0的两个实数根，
则该直角三角形的面积是 ．
【答案】6或
【完整解答】解：解方程 得，
， ，
当3和4是直角三角形的两条直角边时，直角三角形的面积为 ；
当3是直角三角形的直角边，4是直角三角形的斜边时，另一条直角边为 ，直角三角形的
面积为 ；
故答案为：6或 ．
【思路引导】求出方程的解可确定三角形两边，分类讨论直角边和斜边
16．（2分）（2020九上·达拉特旗月考）等腰三角形的三边的长是a 、b、4，其中a、b是方程x2-
6x+c=0两个根，则此三角形的三边长是 ．
【答案】2，4，4或3，3，4
【完整解答】解： 是方程 的两个根，
，
由等腰三角形的定义，分以下三种情况：（1）若 ，这个三角形是等腰三角形，
则 ，
此时三角形的三边长是 ，满足三角形的三边关系定理；（2）若 ，这个三角形是等腰三角形，
则 ，
此时三角形的三边长是 ，满足三角形的三边关系定理；（3）若 ，这个三角形是等腰三角
形，
则 ，
此时三角形的三边长是 ，满足三角形的三边关系定理；
综上，此三角形的三边长是 或 ，
故答案为： 或 ．
【思路引导】先根据一元二次方程的根与系数的关系可得a+b=6，再根据等腰三角形的定义、三角形的三
边关系求解即可。
17．（2分）设m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2018＝0的两个实数根，则m2＋3m＋n＝ .
【答案】2016
【完整解答】解：由题意得：m+n=-2, m2＋2m－2018＝0 ,即m2＋2m=2018
则 m2＋3m＋n＝m2+2m+m+n =2018-2=2016.
故答案为：2016.
【思路引导】 因为m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2018＝0的两个实数根， 则m、n代入方程满足方
程，由根与系数的关系求得m+n的值，则原式经过简单变形值可求.
18．（2分）（2018·河南模拟）若关于x的三个方程x2+4mx+4m2+2m+3=0，x2+（2m+1）x+m2=0，（m﹣1）
x2+2mx+m﹣1=0中至少有一个方程有实根，则m的取值范围是 ．
【答案】m≤﹣ 或m≥﹣
【完整解答】解：设关于x的三个方程都没有实根．
对于方程x2+4mx+4m2+2m+3=0，则有△＜0，即△=16m2﹣4（4m2+2m+3）＜0，解得：m＞﹣ ；
1 1对于方程x2+（2m+1）x+m2=0，则有△＜0，即△=（2m+1）2﹣4m2=4m+1＜0，解得：m＜﹣ ；
2 2
对于方程（m﹣1）x2+2mx+m﹣1=0，当m=1时，方程变为2x=0，方程有解，所以m≠1，则有△＜0，即
3
△=4m2﹣4（m﹣1）2=8m+4＜0，解得：m＜ ．
3
综合所得：当﹣ ＜m＜﹣ ，且m≠1时，关于x的三个方程都没有实根．
所以若关于x的三个方程x2+4mx+4m2+2m+3=0，x2+（2m+1）x+m2=0，（m﹣1）x2+2mx+m﹣1=0中至少有一个
方程有实根，则m的取值范围是 m≤﹣ 或m≥﹣ ．
故答案为：m≤﹣ 或m≥﹣ ．
【思路引导】对于至少或至多的问题我们都从它们的反面来求解，所以先求得三个方程都没有实根时m的
取值范围，那么m在这个范围之外则为三个方程至少有一个实根时m的取值范围.
19．（2分）（2021九上·郑州期末）已知实数a是一元二次方程x2﹣2016x+1＝0的根，求代数式a2﹣
2015a﹣ 的值为 .
【答案】
【完整解答】解： 是方程 的根，
，
，
原式.
故答案为： .
【思路引导】根据方程解的概念可得a2=2016a-1，然后代入代数式中化简即可.
20．（2分）（2021九上·大石桥期末）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的
实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】 且
【完整解答】解： 关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴△=（-4）2-4（k-1）×（-1）＞0，且 ，
解得： 且 ，
故答案为： 且 ．
【思路引导】由于关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，可得△＞0且
，据此解答即可.
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（5分）（2022九下·鄂州月考）化简求值：已知a是方程 x2＋3x－2＝0的一个根，求代数式
的值.
【答案】解：代数式 ，
∵a是方程 的一个根，
∴ ，
∴ .
【思路引导】对括号中的式子进行通分，然后将除法化为乘法，再进行约分即可对原式进行化简，根据方
程解的概念可得a2+3a=2，接下来代入计算即可.
22．（5分）（2021九上·揭西期末）等腰三角形的三边长分别为 、 、 ，若 ， 与 是方程
的两根，求此三角形的周长．
【答案】解：①若 是三角形的腰，则b与c中至少有一边长为6，代入方程得： ，
解得 或 ，
∴当 时，
方程可化为 ，
解得 ， ，
∴三角形三边长分别为4、6、6，
周长为： ；
当 时，
方程可化为 ，
解得 ， ；
三角形三边长分别为6、6、10，
周长为： ；
∴三角形的周长为16或22；
②若 是三角形的底边，则b、c为腰，即 ，则方程有两个相等的实数根，
∴ ，
解得 ，
∴原方程可化为 ，
解得 ，
此时， ， ，不能构成三角形，舍去；
综上所述，三角形的周长为16或22．
【思路引导】分类讨论，利用等腰三角形的性质，列方程求解即可。
23．（5分）（2021九上·临江期末） 已知关于x的方程x2﹣2016x+m2﹣3m＝0的一个根与关于x的方程
x2+2016x﹣m2+3m＝0的一个根互为相反数，求m的值
【答案】解：设这两个方程的根分别为a和﹣a
把x＝a代入方程x2﹣2016x+m2﹣3m＝0，得a2﹣2016a+m2﹣3m＝0 ①
再把x＝﹣a代入方程x2+2016x﹣m2+3m＝0，得a2﹣2016a﹣m2+3m＝0 ②①﹣②消去a 得：2m2﹣6m＝0
解得m＝3或m＝0
【思路引导】 设这两个方程的根分别为a和-a，得出a2-2016a+m2-3m＝0，a2-2016a-m2+3m＝0，两式相减
得出2m2-6m＝0 ，解方程即可得出m的值，
24．（5分）（2021九上·阆中期中）先化简，再求值： ，其中a是方程
x2+x﹣3=0的解.
【答案】解：
=
=
=
=
∵a是方程x2+x﹣3=0的解，
∴a2+a﹣3=0，即a2+a=3，
∴原式= .
【思路引导】首先通分计算括号内异分母分式的减法，然后将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分
解因式，同时将除法转变为乘法，然后约分化简，由a是方程的解可得a2+a=3，然后代入进行计算.
25．（8分）（2022九下·内江开学考）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0.
（1）（4分）求证：方程恒有两个不相等的实数根.
（2）（4分）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的面
积.
【答案】（1）证明： ，其中： ， ， ，
∴ ，
∴在实数范围内，m无论取何值， ，
即 ，
∴关于x的方程 恒有两个不相等的实数根；
（2）解：根据题意得：将 代入方程可得：
，
解得 ，
∴方程为 ，
解得： 或 ，
∴方程的另一个根为 ；
①当该直角三角形的两直角边是1、3时，
该直角三角形的面积为： ；
②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，
由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为 ，
则该直角三角形的面积为 ；
综上可得，该直角三角形的面积为 或 .
【思路引导】（1）首先求出判别式的值，然后根据其结果的正负即可确定方程根的情况；
（2）将x=1代入方程中可得m的值，据此可得关于x的方程，然后求出方程的解，分①该直角三角形的两
直角边是1、3，利用三角形的面积公式可得面积；②该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3，利用勾股
定理求出另一直角边的长，然后利用三角形的面积公式进行计算.26．（10分）（2021九上·三水期末）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0．
（1）（5分）若该方程的一个根为1，求a的值；
（2）（5分）若a的值为3时，请解这个方程．
【答案】（1）解：将x=1代入原方程，得：1+a+a-2=0，
解得：a= ．
（2）解：把a=3代入原方程得，x2+3x+1=0，
∴Δ=32-4×1×1=5，
∴ ，
∴ ．
【思路引导】（1）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2＝0，求出a的值即可；
（2）将a=3代入方程，再利用公式法求解一元二次方程即可。
27．（10分）（2021九上·南沙期末）已知关于x的方程ax2﹣（2a+1）x+a﹣2＝0．
（1）（3分）若方程有两个实数根，求a的取值范围．
（2）（3分）若x＝2是方程的一个根，求另一个根．
（3）（4分）在（1）的条件下，试判断直线y＝（2a﹣3）x﹣a+5能否过点A（﹣1，3），并说明理由．
【答案】（1）解：关于x的方程ax2﹣（2a+1）x+a﹣2＝0有两个实数根，
则 ，
a的取值范围为： 且
（2）解： x＝2是方程的一个根，
解得
设另一根为 ，则另一个根为
（3）解：若y＝（2a﹣3）x﹣a+5过点A（﹣1，3），
则
解得
且
y＝（2a﹣3）x﹣a+5能经过点A（﹣1，3），
【思路引导】（1）根据方程有两个实数根，得出根的判别式大于等于零，求出a的范围即可；
（2）把x=2代入方程求出a的值，进而求出另一个根即可；
（3）把A坐标代入直线解析式求出a的值，根据（1）的范围判断即可。
28．（12分）（2021九上·高港月考）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，
且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”.例如，一元二次方程的两个根是2和
4，则方程x2﹣6x+8＝0就是“倍根方程”.
（1）（3分）若一元二次方程x2﹣3x+c＝0是“倍根方程”，求c的值；
（2）（3分）若（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式4m2﹣5mn+n2的值；
（3）（3分）若点（p，q）在反比例函数y＝ 的图象上，请说明关于x的方程px2+3x+q＝0是“倍
根方程”；
（4）（3分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“倍根方程”，请说明2b2＝9ac.
【答案】（1）解：设一元二次方程x2﹣3x+c=0的一个根为x，则另一个根为2x，
1 1
由根与系数的关系得：x+2x=3，∴x=1，即一个根为1，而另一个根为2，∴c=1×2=2，
1 1 1
答：c的值为2.
（2）解：方程（x﹣2）（mx﹣n）=0的一个根为2，则另一个根为1或4，
当另一个根为1时，则﹣1×（m﹣n）=0，∴m﹣n=0，
当另一个根为4时，则2×（4m﹣n）=0，∴4m﹣n=0，∴4m2﹣5mn+n2=（m﹣n）（4m﹣n）=0，答：代数式4m2﹣5mn+n2的值为0.
（3）解：∵点（p，q）在反比例函数y 的图象上，∴pq=2，
关于x的方程px2+3x+q=0的根为x ，
即：x ，x ，∴x=2x，
1 2 1 2
因此是“倍根方程”.
（4）解：设方程两根为x，2x，根据根与系数的关系得到：x+2x= ，x•2x= ，∴x=
1 1 1 1 1 1 1
， ，∴ ，∴2b2=9ac.
【思路引导】（1）由“倍根方程”的意义可设一元二次方程x2﹣3x+c=0的一个根为x，则另一个根为
1
2x，再由一元二次方程的根与系数的关系可求解；
1
（2）由题意易得方程有一个根为x=2，根据“倍根方程”的意义知另一个根为1或4，然后把这两个根分
别代入原方程可求解；
（3）将点（p，q）代入反比例函数解析式可得pq=2，再利用求根公式求出方程 px2+3x+q＝0 的两个根，
进而根据“倍根方程”的定义进行判断即可；
（4）根据“倍根方程”的定义， 设方程两根为x，2x ，根据根与系数的关系得出 x+2x= ，
1 1 1 1
x•2x= ，据此即可得出结论.
1 1
