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专题 01 韦达定理的四种考法
【基础知识点】
b c
根与系数的关系：若x，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x+x =− ，xx = ．
1 2 1 2 1 2
a a
类型一、直接运用韦达定理求代数式的值
例1.已知 是一元二次方程 的两个实数根，则 的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．-3
【答案】A
【详解】解：∵ 是一元二次方程 的两个实数根，
∴ ， ，∴ = =0，
故选：A．
【变式训练1】若x ，x 是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根，则x 2﹣2017x ﹣2018x 的值为（ ）
1 2 1 1 2
A．2020 B．2019 C．2018 D．2017
【答案】B
【详解】 x ，x 是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根， ， ，
1 2
．
故选B．
【变式训练2】已知关于x的一元二次方程x2－kx＋k－3＝0的两个实数根分别为 ，且 ，则
k的值是（ ）
A．－2 B．2 C．－1 D．1
【答案】D
【解析】 关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为 ， ，
， ， ， ，
，整理得出： ，解得： ，
故选：D．
【变式训练3】设α、β是方程x2+x﹣2018＝0的两个实数根，则α2+2α+β的值为_____．【答案】2017
【详解】解：∵α是方程x2+x﹣2018＝0的根，
∴α2+α﹣2018＝0，∴α2＝﹣α+2018，
∴α2+2α+β＝﹣α+2018+2α+β＝α+β+2018，
∵α、β是方程x2+x﹣2018＝0的两个实数根，∴α+β＝﹣1，
∴α2+2α+β＝﹣1+2018＝2017．
故答案为2017．
类型二、降幂思想求值
例1.已知 ， 是方程 的两根，则代数式 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵a与b是方程 的两根
∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0，∴a2=a+1，b2=b+1
∵ ，同理：
∴
故选：D．
【变式训练1】若 ，则 的值为_________________．
【答案】
【详解】 ， ①．
①等式两边同乘 得， 代回原式．
．
故答案为 ．
【变式训练2】若a2+a﹣1=0，则代数式a4+3a的值为_____．
【答案】2
【详解】∵ ，∴ ， ，
∴ .
【变式训练3】若 ，那么代数式 的值是_________.
【答案】- 6
【详解】由已知条件得到x2+x=1；再将所求的代数式变形为：x（x2+x）+x2-7，然后将其整体代入求值即可．
解：∵ ，
∴x2+x=1，
∴x3+2x2−7=x3+x2+x2−7=x(x2+x)+x2−7=x+x2−7=1-7=−6.
故答案为−6.
类型三、构造方程思想求值
例1.已知mn≠1，且5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，则 的值为（ ）
A．﹣402 B． C． D．
【答案】C
【详解】将9n2+2010n+5=0方程两边同除以n2，变形得：5×（ ）2+2010× +9=0，,又5m2+2010m+9=0，
∴m与 为方程5x2+2010x+9=0的两个解，则根据一元二次方程的根与系数的关系可得m• = = ．
故选C
【变式训练1】已知实数 ， 满足等式 ， ，则 的值是______．
【答案】
【详解】解：∵实数 ， 满足等式 ， ，
∴m，n是方程 的两实数根，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：
【变式训练2】若m2+mn＝－1，n2－3mn＝10，则代数式m2+7mn－2n2的值为_______．【答案】−21
【详解】∵ ， ，
∴原式=(m2＋mn)−2(n2−3mn)=−1−20=−21，
故答案为：−21．
【变式训练3】若实数 、 满足 ， ，则代数式 的值为
______．
【答案】98
【解析】∵实数 、 满足 ， ，
∴ 、 是方程 的两个根，∴ ， ，
∴ = = ，
故答案是：98．
【变式训练4】设实数s、t分别满足 ，并且st≠1，求 ____
【答案】-5
【详解】由题意得s与 是方程 的两个根，由根与系数的关系分别求出两根的和与两根
的积，代入代数式即可求出结果．
把方程 转化为
∴s与 是方程 的两个根
∴ ，
∴
类型四、根的取值范围问题例1．方程 的两根分别为 ， ，且 ，则 的取值范围是____．
【答案】
【详解】根据根与系数的关系得到x +x =﹣m，x x =m﹣3，
1 2 1 2
∵x ＜0＜x ＜1，
1 2
∴x x ＜0，x ﹣1＜0，x ﹣1＜0，
1 2 1 2
∴m﹣3＜0，（x ﹣1）（x ﹣1）＞0，
1 2
x x ﹣（x +x ）+1＞0，即m﹣3+m+1＞0，解得m＞1，
1 2 1 2
∴1＜m＜3．
【变式训练1】已知x，x 是关于x的方程ax2﹣（a+1）x+1＝0的两个实数根．
1 2
（1）若x≠x，求实数a的取值范围；
1 2
（2）是否存在实数a使得x2＝x2成立？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
1 2
【答案】（1） 且 ；（2）存在，a的值为1或-1
【详解】解：（1）由题意得 ，
解得：a≠0且a≠1．
故实数a的取值范围是：a≠0且a≠1；
（2）存在；
①若x＝x，则 ，
1 2
解得：a＝1；
②若x+x＝0，则 ，
1 2
解得：a＝﹣1．
综上所述，a＝1或﹣1．
【变式训练2】已知 、 是关于 的一元二次方程 的两实数根．
（1）若 ，求n的值；（2）已知等腰三角形 的一边长为7，若 、 恰好是 另外两边的长，求这个三角形的周长．
△
【答案】（1）6；（2）17.
【详解】解：（1）由题意得： ，
∴
解得：
∵ 、 是关于 的一元二次方程 的两实数根，
∴ 得：
∴
（2）①当7为底，即 时，则 ，
即
解得
把n=2代入方程得
∴
∵3+3＜7（舍去）
②当7为腰，，即 时，将x = 7 代入方程得49-14(n+1)+n2+5=0，
解得
当 时， =22，
解得 ，
∴三角形的周长为3+7+7=17；
当 时， =10，解得
∵7+7＜15（舍去）
综上，三角形的周长为17．
【变式训练3】关于x的方程 有两个不相等的实数根，求分别满足下列条件的取值范围：
（1）两根都小于0；
（2）两根都大于1；
（3）方程一根大于1，一根小于1．
【答案】（1）-2＜a＜-1；（2）2＜a＜3；（3）a＞3
【详解】解：∵关于x的方程x2-2ax+a+2=0有两个不相等的实根，
∴△=（-2a）2-4（a+2）＞0，
∴a＜-1或a＞2．
设方程x2-2ax+a+2=0的两根为α，β，
α+β=2a，αβ=a+2．
（1）∵两根都小于0，
∴α+β=2a＜0，αβ=a+2＞0，
解得：-2＜a＜0，
又 ，a＜0；
∵a＜-1或a＞2，
∴-2＜a＜-1；
（2）∵两根都大于1，
∴（α-1）（β-1）＞0，
∴αβ-（α+β）+1＞0，
∴a+2-2a＞-1，
∴a＜3，
又 ，a＞1；
又a＜-1或a＞2，
∴2＜a＜3；
（3））∵一根大于1，一根小于1，∴（α-1）（β-1）＜0，
∴αβ-（α+β）+1＜0，
∴a+2-2a＜-1，
∴a＞3.
【变式训练4】设关于 的一元二次方程 有两个实数根 ， ．
（1）求 的值；
（2）求证： ，且 ；
（3）若 ，试求 的最大值．
【答案】（1） ；（2）见解析；（3） 取最大值 ．
【详解】（1）解：∵关于 的一元二次方程 有两个实数根 ， ，
∴ ，
∴
（2）证明：∵关于 的一元二次方程 有两个实数根，
∴Δ=1-4a≥0,
∴ ，即 ，
∴ ， ，
由此可知： 且
∴ 且
命题得证．
（3）解：由题 ，当 时， 取最大值 ，
又∵ ，
∴ 满足条件．
即当 时， 取最大值 ．
