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专题 01 韦达定理的四种考法
【基础知识点】
b c
根与系数的关系：若x，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x+x =− ，xx = ．
1 2 1 2 1 2
a a
类型一、直接运用韦达定理求代数式的值
例1.已知 是一元二次方程 的两个实数根，则 的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．-3
【变式训练1】若x ，x 是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根，则x 2﹣2017x ﹣2018x 的值为（ ）
1 2 1 1 2
A．2020 B．2019 C．2018 D．2017
【变式训练2】已知关于x的一元二次方程x2－kx＋k－3＝0的两个实数根分别为 ，且 ，则
k的值是（ ）
A．－2 B．2 C．－1 D．1
【变式训练3】设α、β是方程x2+x﹣2018＝0的两个实数根，则α2+2α+β的值为_____．
类型二、降幂思想求值
例1.已知 ， 是方程 的两根，则代数式 的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1】若 ，则 的值为_________________．【变式训练2】若a2+a﹣1=0，则代数式a4+3a的值为_____．
【变式训练3】若 ，那么代数式 的值是_________.
类型三、构造方程思想求值
例1.已知mn≠1，且5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，则 的值为（ ）
A．﹣402 B． C． D．
【变式训练1】已知实数 ， 满足等式 ， ，则 的值是______．
【变式训练2】若m2+mn＝－1，n2－3mn＝10，则代数式m2+7mn－2n2的值为_______．
【变式训练3】若实数 、 满足 ， ，则代数式 的值为
______．【变式训练4】设实数s、t分别满足 ，并且st≠1，求 ____
类型四、根的取值范围问题
例1．方程 的两根分别为 ， ，且 ，则 的取值范围是____．
【变式训练1】已知x，x 是关于x的方程ax2﹣（a+1）x+1＝0的两个实数根．
1 2
（1）若x≠x，求实数a的取值范围；
1 2
（2）是否存在实数a使得x2＝x2成立？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
1 2
【变式训练2】已知 、 是关于 的一元二次方程 的两实数根．
（1）若 ，求n的值；
（2）已知等腰三角形 的一边长为7，若 、 恰好是 另外两边的长，求这个三角形的周长．
△
【变式训练3】关于x的方程 有两个不相等的实数根，求分别满足下列条件的取值范围：
（1）两根都小于0；
（2）两根都大于1；
（3）方程一根大于1，一根小于1．【变式训练4】设关于 的一元二次方程 有两个实数根 ， ．
（1）求 的值；
（2）求证： ，且 ；
（3）若 ，试求 的最大值．
