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专题01运算能力课之分式的化简求值综合专练（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．（2021·山西八年级期末）先化简： ÷（a＋1）＋ ，然后让a在－
1、1、5三个数中选一个合适的数代入求值．
【答案】 ；当a＝5时，原式值为2
【分析】
先化除法为乘法，然后利用提取公因式、完全平方公式、平方差公式进行因式分解，
通过约分对已知分式进行化简，最后代入求值．
【详解】
解：原式
由题意可知：
解得a≠±1．
所以当a＝5时，原式＝ ．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值．分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求
值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了
解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．就本节内容而言，分式
求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后
将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．
2．（2021·辽宁阜新市·八年级期末）（1）因式分解： ．
（2）解不等式组 ．
1（3）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】
（1）先提公因式，再用公式法因式分解；
（2）分别解不等式①②，再求不等式组的解集；
（3）先化简分式，再将 的值代入求解
【详解】
（1）原式
（2）
由①得， ，由②得， ，
∴原不等式组解集为 ．
（3）原式
当 时，原式 ．
【点睛】
本题考查了多项式的因式分解，解一元一次不等式组，分式的化简求值，熟练运用以
上知识是解题的关键．
3．（2021·甘肃）先化简，再求值： ，请在 、0、2中选择
一个适合的x的值，代入求值．
【答案】 ；-2
【分析】
2把括号内通分，把除法转化为乘法约分化简，然后取一个使原分式有意义的数代入计
算．
【详解】
解：原式
，
∵当x=2或-2时原分式无意义，
∴x=0，
∴原式 ．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．分式的混
合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先算乘除，再算加减，有
括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最
简分式或整式．
4．（2021·安徽七年级期末）先化简，再求值： ，其中x＝4．
【答案】 ，
【分析】
先算括号内的减法，同时把除法变成乘法，再算乘法，最后代入求出答案即可．
【详解】
解：
＝
，
3当x＝4时，原式＝ ＝ ．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则，正确进行化简是解题关
键．
5．（2021·安徽七年级期末）先化简，再求值： ，其中x是16的算术
平方根．
【答案】 ， ．
【分析】
先求出x的值，再运用分式的四则混合运算法则进行化简，将x的值代入计算即可．
【详解】
解：∵ ＝4，
∴x＝4．
＝
＝
＝ ．
当x=4时，原式＝ ＝ ．
【点睛】
本题主要考查了算术平方根、分式的化简求值，正确的运用分式的四则混合运算法则
进行化简是解答本题的关键．
6．（2021·安徽七年级期末）观察以下等式：① ；② ；
③ …，按以上规律解决下列问题：
（1）第⑤个等式是 ．
（2）探究： …+ ＝ （用含的等式表示）；
4（3）计算：若 +… ＝ ，求n的值．
【答案】（1） ；（2） ；（3）16
【分析】
（1）根据规律写出第5个等式即可；
（2）根据规律裂项相消即可；
（3）根据（2）的规律整理出n的方程，解出n值即可．
【详解】
解：（1）根据规律可知，第⑤个等式是
故答案为： ；
（2）由规律可得，
故答案为： ；
（3）∵ ， ，
∴可以得到
∴
∵
5∴
解得n＝16，
经检验n＝16，是该分式方程的解，
故n的值为16．
【点睛】
本题主要考查了数字的变化规律，利用规律化简分式是解题的关键.
7．（2021·山东八年级期末）先化简再求值： ，已知 ．
【答案】 ，-2
【分析】
先将括号内两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约
分得到最简结果，把 代入计算即可就求出值．
【详解】
解：原式 ．
∵ ，∴a-b=-4．
∴原式=-2．
【点睛】
本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
8．（2021·无锡市天一实验学校八年级期中）先化简再求值： ，其
中 ．
【答案】 ，
【分析】
先把除法化为乘法，再进行约分，然后算分式的减法，再代入求值，即可求解．
【详解】
解：原式=
=
6=
= ，
当x=-2时，原式= = ．
【点睛】
本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的约分和通分是解题的关键．
9．（2021·安徽）先化简，再求值（1﹣ ）÷（1 ），其中m＝2．
【答案】 ，
【分析】
根据分式的混合运算法则把原式化简，把m的值代入计算即可．
【详解】
解：
把 代入上式中
原式
【点睛】
本题考查分式的化简求值．注意运算顺序和约分法则．还需注意分式的分母不能为
0．
10．（2021·云南）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．
7第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
第六步
任务一 填空 在以上化简步骤中，其中有一步是根据分式的基本性质：“分式的分子
与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，”对分式进行通分．这
是第__________步；
任务二 订正 请写出该分式化简的正确过程；
任务三 求值 当 时，求该分式的值．
【答案】任务一：三；任务二：见解析；任务三：
【分析】
任务一：根据分式的基本性质即可判断；
任务二：依据分式的加减运算法则计算可得；
任务三：将x的值化简代入计算即可．
【详解】
解：任务一：
以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质，
故答案为：三；
任务二：
解：原式
8．
任务三：
解：当 时，
原式 ．
【点睛】
本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及
分式的基本性质．
11．（2021·苏州市景范中学校九年级二模）先化简，再求值：
，其中 ．
【答案】 ； ．
【分析】
根据分式的运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
【详解】
解：原式=
=
=
=
= ；
当 时，
原式= ．
9【点睛】
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
12．（2021·山东）化简和化简求值
（1） ；
（2）先化简 ，再从-1，0，1中选择合适的 值代入求值．
【答案】（1） （2） ；当 时，原式
【分析】
（1）先将括号里通分计算，再算除法；
（2）先运用通分法则计算括号内部分，然后将除法转换为乘法计算化简后，挑一个使
分式有意义的值代入计算即可．
【详解】
解：（1）原式
；
（2）原式
，
，
由分式可知： ，
当 时，原式 ．
【点睛】
本题主要考查分式的化简求值以及分式有意义的条件，熟练掌握分式的混合运算法则
是解答本题的关键．
13．（2021·江苏八年级期末）化简或解方程：
（1）化简： ；
（2）先化简再求值： ，其中a＝ ．
10（3）解分式方程： ．
【答案】（1） ；（2） ， ；（3）原方程无解．
【分析】
（1）先把分式的分母分解因式，再通分，最后根据同分母的分式相加的法则求出答案
即可；
（2）先算括号内的加法，把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可；
（3）方程两边都乘以x﹣2得出方程1＝x﹣1﹣3（x﹣2），求出方程的解，再进行检
验即可．
【详解】
解：（1）解：原式＝ ，
＝ ，
＝ ，
＝ ，
＝ ；
（2）
解：原式＝ ，
＝ ，
＝ ，
＝ ，
11当a＝ 时，原式＝ ＝ ；
（3） ，
解：方程两边都乘以x﹣2，得1＝x﹣1﹣3（x﹣2），
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，x﹣2＝0，所以x＝2是增根，
即原方程无解．
【点睛】
本题主要考查分式化简求值和解分式方程，解决本题的关键是要熟练掌握分式化简求
值和解分式方程的方法.
14．（2021·湖北八年级期末）先化简，再求值： ，其中a＝
+1，b＝ ﹣1．
【答案】
【分析】
根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a、b的值代入化简后的式子即
可解答本题．
【详解】
解：
=
=
=
当a＝ +1，b＝ ﹣1时，
原式＝ ．
12【点睛】
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键，代值计算要仔细．
15．（2021·福建莆田二中）先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，其中 ．
【答案】 ，2
【分析】
利用通分,因式分解,运算法则细心计算即可．
【详解】
解：原式=
=
= ，
当 时，原式 ．
【点睛】
本题考查了分式的化简，熟练运用分式的通分，因式分解，约分进行化简是解题的关
键．
16．（2021·河南八年级期末）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完
成相应任务：
＝ …第一步
＝ …第二步
＝ …第三步
＝ …第四步
＝ …第五步
＝ …第六步
13任务一：填空：
（1）以上化简步骤中，第一步进行的运算是 ．
A．整式乘法
B．因式分解
（2）以上化简步骤中，第 步是进行分式的通分，通分的依据： ．
（3）第 步开始出现错误，这一步错误的原因： ．
任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果，并从不等式组 的解集中选
择一个合适的整数作为x的值，代入求值；
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的
事项给其他同学提一条建议．
【答案】任务一：（1）B；（2）四，分式的基本性质；（3）五，去括号没有变号；
任务二： ， 或0；任务三：分式化简时需要注意分母的取值不为零．
【分析】
任务一：分式化简的要先因式分解，再通分；
任务二：解不等式组，求得解集，选取合适的值，代入计算即可；
任务三：在运算时，去括号要注意变号，代入求值时，注意分母的取值．
【详解】
解：（1）第一步进行因式分解，
故选：B；
（2）第四步分式通分，通分根据分式的基本性质，
故答案为：四，分式的基本性质；
（3）第五步出现错误，
原式
，
在去括号时符号错误，
故答案为：五，去括号没有变号；
任务二：
14，
解不等式组 ，
由①得，x≥﹣1，
由②得，x＜2，
∴不等式组的解集为﹣1≤x≤2，
∵x≠﹣1，
∴x可以取0，1，
当x=0时，原式= ，
当x=1时，原式=0；
任务三：分式化简时需要注意分母的取值不为零．
【点睛】
本题考查了分式的化简，解不等式组，熟练掌握分式化简的方法，掌握分式的基本性
质，注意分母的取值不为零的情况是解题的关键．
17．（2021·贵州八年级期末）先化简，再求值：（x﹣2 ） ，其中x＝5．
【答案】﹣x﹣4，﹣9．
【分析】
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．
【详解】
解：(x﹣2 )
•
•
15•
＝﹣(x+4)
＝﹣x﹣4，
当x＝5时，原式＝﹣5﹣4＝﹣9．
【点睛】
本题主要考查分式的化简求值，解题关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
18．（2021·湖南师大附中博才实验中学八年级期末）先化简，再求值：（1﹣ ）÷
，其中x＝3．
【答案】 ．
【分析】
先将括号里的分式通分，然后按照分式减法法则计算，再根据分式除法法则进行运算
即可将分式化简，最后代入字母取值进行计算即可求解.
【详解】
解：原式＝ ，
= ，
＝ ，
当x＝3时，
原式＝ ．
【点睛】
本题主要考查分式化简求值，解决本题的关键是要熟练掌握分式的通分和分式的运算
法则.
19．（2021·浙江七年级期末）先化简，再求值： ÷（ ），其中x＝ ，y＝
﹣ ．
16【答案】 ，6
【分析】
根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将x与y的值代入原式即可求
出答案．
【详解】
解：原式＝
＝
＝
＝ ，
当x＝ ，y＝﹣ 时，
原式＝ ＝6．
【点睛】
本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则
进行计算，本题属于基础题型．
20．（2021·辽宁八年级期末）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】
根据分式的运算法则及运算顺序进行化简，再代入求值即可．
【详解】
解：
17，
当 时，
原式
．
【点睛】
此题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
21．（2021·四川成都市·九年级期末）先化简，再求值： ÷（a+2﹣ ），其
中a2+3a﹣1＝0．
【答案】 ，1
【分析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约
分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
【详解】
解：原式＝
＝
＝
＝ ，
∵a2+3a﹣1＝0，
∴a2+3a＝1，
则原式＝1．
18【点睛】
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．（2021·山西临汾市·八年级期中）计算：
（1） ．
（2） ，其中 ．
【答案】（1） ；（2） ，
【分析】
（1）利用零指数幂，负正数指数幂，绝对值的性质化简计算即可；
（2）先将括号内的分式通分计算，同时将除法转化为乘法，约分化简计算即可；
【详解】
解：（1）原式 ．
（2）原式
．
当 时，原式 ．
【点睛】
本题主要考查实数的混合运算及分式的混合运算，熟练运用零指数幂，负整数指数幂
及绝对值的运算性质和分式的混合运算法则计算是解题的关键．
23．（2021·重庆实验外国语学校八年级期末）化简求值：
，其中x＝ ．
【答案】 ，﹣1﹣ ．
【分析】
先利用完全平方公式和提取公因式法和平方差公式分解因式，然后根据分式的运算法
19则进行化简，然后将x与y的值代入原式即可求出答案．
【详解】
解：
把 ， 代入上式中
原式＝﹣1﹣ ＝﹣1﹣ ．
【点睛】
本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键在于能够熟练掌握分式的混合运算的相
关方法.
24．（2021·辽宁鞍山市·八年级期中）已知 ，求 的
值．
【答案】
【分析】
结合 值先化简分式，再将 的值代入化简后的式子求解即可．
【详解】
．
20，
，
原式 ．
【点睛】
本题考查了分式的化简，二次根式的性质，分母有理化，正确的计算是解题的关键．
25．（2021·辽宁葫芦岛市·八年级期中）给出以下式子： ，
先简化，然后从 ，2， 三个数中，选个合适的数代入求值．
【答案】 ， 时，
【分析】
先根据分式的运算法则及运算顺序进行化简，再将使原式有意义的未知数的值代入计
算即可．
【详解】
解：原式
，
由题意得， ， ， ，
∴ ， ， ，
∴当 时，
原式
21．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值和二次根式的化简求值，熟练掌握分式和二次根式的运算
法则是解决本题的关键．
26．（2021·河南南阳市·八年级期中）已知a2+a＝1，求代数式
的值．
【答案】 ，-2
【分析】
先根据分式的运算法则进行化简，然后整体代入 即可求解．
【详解】
解：原式＝
＝
＝
原式
【点睛】
本题考查分式的化简求值，掌握整体代入思想是解题的关键．
27．（2021·胶州市初级实验中学九年级一模）（1）计算：
（2）解不等式组：
（3）关于 的方程 有两个实数根，求 的取值范围
22【答案】（1） ；（2）不等式组的解集为 ；（3） 的取值范围为 且
．
【分析】
（1）由分式的加减乘除混合运算进行化简，即可得到答案；
（2）分别求出每个不等式的解集，然后取公共部分，即可得到答案；
（3）根据根的判别式 ，即可求出m的取值范围．
【详解】
解：（1）
=
=
= ；
（2）
解不等式①，得 ；
解不等式②，得 ；
∴不等式组的解集为 ；
（3）∵关于 的方程 有两个实数根，
∴ ，
∴ ；
当 ，即 时，原方程是一元一次方程，只有一个解，不符合题意；
∴ ；
∴ 的取值范围为 且 ．
【点睛】
本题考查了分式的加减乘除混合运算，分式的化简，解不等式组，一元二次方程根的
23判别式，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行计算．
28．（2021·浙江七年级期末）按条件求值：
①若分式 的值是整数，求非负整数x的值．
②已知分式 可以写成 ，利用上述结论解决；若分式 表示一个整数，
求整数x的值．
③化简： ，再从0， ， 五个数中，选择一个你最喜欢的数
代入并求值．
【答案】①3；②3或5或9或-1；③ ，1
【分析】
①根据分式的值是整数可得x+2=±5，从而求出x；
②将分式变形为 ，参照①中方法即可求出x；
③首先通分，计算括号里面分式的减法，然后再计算括号外的除法，化简后，再根据
分式有意义的条件确定x的值，然后代入x的值即可．
【详解】
解：①分式 的值是整数，
∴x+2=±5，
∴x=3或x=-7，
∵x为非负整数，
∴x=3；
② = = ，
∴x-4=±1或±5，
∴x=3或5或9或-1；
③
=
=
24=
=
∵x不能取0，3，2，-3，
∴x=-2时，
原式= =1．
【点睛】
此题主要考查了分式的化简求值，关键是掌握分式的除法和减法计算法则，正确把分
式进行化简．
29．（2021·山西八年级期中）阅读材料，完成任务．
一道习题引发的思考
小明在学习第16章《分式》时，遇到了一道习題，并对有关内容进行了研究：
习题再现：
己知 ，求 的值；
解题过程：
解：
，即 ，
．
通过以上的解题思路，小明可以总结出论：已知形如 （m，n为常数，
），
我们可以利用完全平方公式计算求出 的值．
任务：
（1）请你帮小明计算 的值；
（2）①若 ，求 的值；
25②在①的基础上，求 的值．
【答案】（1） ；（2）① ；② ．
【分析】
（1）根据阅读材料中的方法配成完全平方式即可求解；
（2）①根据阅读材料中的方法将多项式变形，求出值即可；
②对 两边平方后，利用①的结论计算即可．
【详解】
解：（1）∵ （m，n为常数， ），
∴
；
（2）①∵ ，
∴
；
②
，
∵ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了配方法的应用，分式的化简求值，利用完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2配
方是解题关键．
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