文档内容
培优专题 02 配方法的五种常见应用
◎应用一 根据配方法来确定未知系数的取值
配方法在求值中的应用，将原等式右边变为 0 ，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待
定字母的取值．
1．（2022·全国·九年级课时练习）已知代数式x2﹣5x+7，当x＝m时，代数式有最小值q．则m和q的值分
别是（ ）
A．5和3 B．5和 C．﹣ 和 D． 和
【答案】D
【分析】利用配方法得到：x2﹣5x+7＝（x﹣ ）2+ ，利用偶数次幂的非负性作答．
【详解】解：∵x2﹣5x+7＝（x﹣ ）2+7﹣ ＝（x﹣ ）2+ ，
∴当x＝ 时，q有最小值 ，
∴m和q的值分别是 和 ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用，偶数次幂的非负性．配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝
（a±b）2．
2．（2020·浙江杭州·八年级期末）若 ，则m，n的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】已知等式左边变形后，配方得到结果，即可确定出m与n的值．
【详解】解：∵-2x2+4x-7=-2（x2-2x+1）-5=-2（x-1）2-5=-2（x+m）2+n，
∴m=-1，n=-5．
故选：B．
【点睛】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3．（2022·山东烟台·八年级期末）把一元二次方程 化成 的形式，则 的值为
________．
【答案】14
【分析】将一元二次方程进行配方，即可对应得到m和n的值．
【详解】解： ，即 ，
∴ ，即 ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：14．
【点睛】本题考查配方法，利用完全平方公式对方程进行配方时，注意运算准确．
4．（2022·湖北荆州·中考真题）一元二次方程 配方为 ，则k的值是______．
【答案】１
【分析】将原方程 变形成与 相同的形式，即可求解．
【详解】解：
∴
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键．5．（2021·四川·广汉市金轮第一中学九年级期末）若关于x的一元二次方程 有两个不等
实数根，
(1)求m的取值范围．
(2)若m取最大整数，把 分别化成 和 的形式．
【答案】(1) 且
(2) ，
【分析】（1）根据一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，根据题意令 ，即可求解；
（2）根据（1）中 的最大值，求得一元二次方程的解，进而化为 和
的形式．
（1）
解：∵一元二次方程 有两个不等实数根，
∴ ，且
解得 且
（2）
解：∵ ，且
∴ 的最大整数为0，
∴
令 ，即 ，
解得
即
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，公式法解一元二次方程，配方法解一元二次方程，掌握以
上知识是解题的关键．◎应用二 用配方法解一元二次方程
6．（2022·宁夏·隆德县隆湖中学九年级期末）用配方法解关于x的一元二次方程x2－2x－3＝0，配方后的
方程可以是（ ）
A．（x＋1）2＝4 B．（x－1）2＝4 C．（x－1）2＝2 D．（x＋1）2＝2
【答案】B
【分析】把常数项-3移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-2的一半的平方．
【详解】解：把方程x2-2x-3=0的常数项移到等号的右边，得到x2-2x=3，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2-2x+1=3+1，
配方得（x-1）2=4．
故选：B．
【点睛】本题考查了配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项
的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
7．（2022·全国·九年级期中）用配方法解方程 ，下列配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】观察方程的特点，两边加上一次项系数一半的平方即可解答．
【详解】 ，
配方，得 ，
即 ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题的关键．
8．（2020·浙江杭州·八年级期中）填空：（1） ________ ；（2） _______=（x-
____）2
【答案】 49【分析】运用配方法的运算方法填写即可．
【详解】解：（1）x2+14x+49=（x+7）2
故答案为：49；
（2）x2-9x+ =（x- ）2，
故答案为： ， ．
【点睛】此题主要考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是关键．
9．（2020·全国·九年级课时练习）如果一元二次方程x2﹣4x+k＝0经配方后，得（x﹣2）2＝1，那么k＝
__．
【答案】3
【分析】先移项得到x2﹣4x＝﹣k，再把方程两边加上4得到（x﹣2）2＝4﹣k，从而得到4﹣k＝1，然后解
关于k的方程即可．
【详解】解：x2﹣4x＝﹣k，
x2﹣4x+4＝4﹣k，
（x﹣2）2＝4﹣k，
所以4﹣k＝1，解得k＝3．
故答案为3．
【点睛】此题考查的是配方法，掌握完全平方公式是解决此题的关键．
10．（2021·甘肃武威·九年级期中）解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣12＝0．
（2）4（x﹣2）2＝36．
（3）x2+2x﹣7＝0．
【答案】（1）x＝6，x＝﹣2；（2）x＝5，x＝﹣1；（3）x＝﹣1+2 ，x＝﹣1﹣2
1 2 1 2 1 2
【分析】（1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解后求解可得；
（2）利用直接开平方法求解即可；
（3）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
【详解】解：（1）∵x2﹣4x﹣12＝0，
∴（x﹣6）（x+2）＝0，
则x﹣6＝0或x+2＝0，
解得x＝6，x＝﹣2；
1 2（2）∵4（x﹣2）2＝36，
∴（x﹣2）2＝9，
则x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，
解得x＝5，x＝﹣1；
1 2
（3）∵x2+2x﹣7＝0，
∴x2+2x＝7，
∴x2+2x+1＝7+1，即（x+1）2＝8，
∴x+1＝±2 ，
∴x＝﹣1+2 ，x＝﹣1﹣2 ．
1 2
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方
法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
◎应用三 用配方法求最值
“ 配方法 ” 在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值 ．
11．（2021·河北·九年级专题练习）关于代数式 −x2+4x-2 的取值，下列说法正确的是（ ）
A．有最小值-2 B．有最大值2 C．有最大值−6 D．恒小于零
【答案】B
【分析】先把代数式−x2+4x-2化成 的形式，再根据一个数的平方非负即可得到答案；
【详解】解：−x2+4x-2=
∵ ，
∴ ，当且仅当 时等号成立，
∴−x2+4x-2有最大值2
故选B．
【点睛】本题主要考查已知代数式的最值问题，在做题时，要进行适当的转化，掌握一个数的平方的非负
性是解题的关键．
12．（2019·福建莆田·九年级期中）代数式5x2﹣4xy+y2﹣6x+10的最小值是（ ）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【答案】B
【分析】先通过配方法将代数式配方，然后再根据偶次方的非负性，可得答案．
【详解】解：5x2﹣4xy+y2﹣6x+10
＝4x2﹣4xy+y2+x2﹣6x+9+1
＝（2x﹣y）2+（x﹣3）2+1
∵（2x﹣y）2≥0，（x﹣3）2≥0
∴（2x﹣y）2+（x﹣3）2+1≥1
∴代数式5x2﹣4xy+y2﹣6x+10的最小值是1．
故选B．
【点睛】本题考查了配方法在代数式求最值中的应用，解答关键是应用配方法和偶次方的非负性．
13．（2022·江苏·九年级阶段练习）若实数x，y满足条件2x2﹣6x＋y2＝0，则x2＋y2＋2x的最大值是____．
【答案】15
【分析】先将2x2﹣6x+y2＝0，变形为y2＝﹣2x2+6x，代入所求代数式并化简为x2+y2+2x＝﹣（x﹣4）2+16，
利用非负数性质可得x2+y2+2x≤16，再因为y2＝﹣2x2+6x≥0，求得0≤x≤3，即可求解．
【详解】解：∵2x2﹣6x+y2＝0，
∴y2＝﹣2x2+6x，
∴x2+y2+2x＝x2﹣2x2+6x+2x＝﹣x2+8x＝﹣（x2﹣8x+16）+16＝﹣（x﹣4）2+16，
∵（x﹣4）2≥0，
∴x2+y2+2x≤16，
∵y2＝﹣2x2+6x≥0，
解得0≤x≤3，
当x＝3时，x2+y2+2x取得最大值为15，
故答案为：15．
【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法以及完全平方式的非负性是解决本题的关键．
14．（2022·四川凉山·中考真题）已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是
________．
【答案】6
【分析】根据a－b2＝4得出 ，代入代数式a2－3b2＋a－14中，通过计算即可得到答案．
【详解】∵a－b2＝4∴
将 代入a2－3b2＋a－14中
得：
∵
∴
当a=4时， 取得最小值为6
∴ 的最小值为6
∵
∴ 的最小值6
故答案为：6．
【点睛】本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，从而完成求解．
15．（2022·福建·福州十八中八年级期末）请阅读下列材料：
我们可以通过以下方法求代数式 +6x+5的最小值． +6x+5＝ +2•x•3+ ﹣ +5＝ ﹣4
∵ ≥0
∴当x＝﹣3时， +6x+5有最小值﹣4．
请根据上述方法，解答下列问题：
(1)x2+5x﹣1＝ +b，则ab的值是_______．
(2)求证：无论x取何值，代数式 的值都是正数；
(3)若代数式2 +kx+7的最小值为2，求k的值．
【答案】(1) ；
(2)见解析；(3)
【分析】（1）利用配方法根据一次项的系数求出a与b的值，再相乘即可；
（2）先进行配方，然后根据偶次方的非负性求出代数式的取值范围即可；
（3）先将代数式中的二次线系数提出来化为1，再进行配方，根据最小值为2求出k的值即可．
（1）
解：
解得a= ，b=- ，
∴ab=- ．
（2）
∵ ，
∴ ，
∴代数式 的值都是正数；
（3）∵ ，
∴代数式 有最小值为 ．
∵代数式 的最小值为2，
∴ ．
解得：k= ．
【点睛】本题考查的是将多项式进行配方化为完全平方式的形式，再利用偶次方的非负性求代数式的最大
或最小值，准确的进行配方是解题的关键．
◎应用四 用配方法构造“非负数之和”解决问题
通过配完全平方式，利用“非负性”解决问题
16．（2018·浙江·七年级阶段练习）已知 ，那么 （ ）
A．－16 B．16 C．－8 D．8
【答案】B
【分析】利用配方法把已知条件变形为（x+2）2+（y-4）2=0，再根据非负数的性质得x+2=0，y-4=0，即可
求出x与y的值，进一步代入求得答案即可．
【详解】∵x2+4x+y2-8y+20=0，
∴x2+4x+4+y2-8y+16=0，
∴（x+2）2+（y-4）2=0，
∴x+2=0，y-4=0，
∴x=-2，y=4，
∴xy=16．
故选B.
【点睛】此题考查配方法的应用，非负数的性质，掌握完全平方公式是解决问题的关键．17．（2022·山东烟台·八年级期中）不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+9的值（ ）
A．总不小于4 B．总不小于9
C．可为任何实数 D．可能为负数
【答案】A
【分析】要把代数式x2+y2+2x-4y+9进行拆分重组凑完全平方式，来判断其值的范围即可．
【详解】x2+y2+2x-4y+9=（x2+2x+1）+（y2-4y+4）+4=（x+1）2+（y-2）2+4，
∵（x+1）2≥0，（y-2）2≥0，
∴（x+1）2+（y-2）2+4≥4，
∴x2+y2+2x-4y+9≥4．
故选A．
【点睛】主要利用拆分重组的方法凑完全平方式，把未知数都凑成完全平方式，就能判断该代数式的值的
范围．要求掌握完全平方公式，并会熟练运用．
18．（2020·全国·九年级专题练习）设a、b为实数，那么 的最小值为_______．
【答案】-1
【分析】观察a2+ab+b2-a-2b式子要求其最小值，只要将所有含有a、b的式子转化为多个非负数与常数项的
和的形式．一般常数项即为所求最小值．
【详解】解：
=
=
= .
当 ，b-1=0，即a=0,b=1时
上式等号成立，故所求的最小值为－1，
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了完全平方公式、非负数的性质．解决本题的关键是将所有含有a、b的式子都转化为多
个非负数与常数项的和形式．
19．（2020·重庆江津·八年级期中）已知x，y是实数， ＋y2－6y＋9＝0，则 的值是_____
【答案】9【分析】利用配方法由 ＋y2－6y＋9＝0，得出 ，再利用二次根式和平方的非负
数性质求得x、y的数值，进一步代入求得答案即可．
【详解】 ＋y2－6y＋9＝0，
，
，
解得 ，
．
故答案为：9
【点睛】本题考查了配方法及二次根式和平方的非负性知识点，熟练应用配方法，然后利用非负性列方程
是解题的关键．
20．（2022·山东泰安·八年级期中）在学了乘法公式“ ”的应用后，王老师提出问题：
求代数式 的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．
同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法；
解： ，
∵ ，∴ ．
当 时， 的值最小，最小值是1．
∴ 的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
(1)直接写出 的最小值为_____．
(2)求代数式 的最小值．(3)你认为代数式 有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值．
(4)若 ，求x＋y的最小值．
【答案】(1)3
(2) 的最小值是7；
(3) 有最大值，最大值是8；
(4)x+y的最小值是2．
【分析】（1）根据偶次方的非负性可求得；
（2）根据题意用配方法和偶次方的非负性可直接求得；
（3）根据题意用配方法和偶次方的非负性可直接求得；
（4）根据7x－x2+y－11=0，用x表示出y，写出x+y，先根据题意用配方法和偶次方的非负性可求．
（1）
解： ，
当x＝1时， 有最小值，是3；
故答案为：3；
（2）
解： ．
∵ ，
∴ ，
当 时， 的值最小，最小值是7．
∴ 的最小值是7；
（3）
解： 有最大值，理由如下：∵
=
．
当 时， 有最大值，最大值是8，
∴ 有最大值，最大值是8；
（4）
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
当 时， 的值最小，最小值是2．
∴x+y的最小值是2．
【点睛】本题考查了配方法的应用和偶次方为非负数，解题的关键是能够将代数式配成完全平方式的形式．
◎应用五 用配方法比较大小
在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比
较出大小 .21．（2021·全国·九年级专题练习）若代数式 ， ，则 的值（
）
A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定不是负数 D．一定不是正数
【答案】B
【分析】此题可直接用多项式 减去多项式 ，然后化简，最后把得出的结果与零比较确定 的正
负．
【详解】解：由于 ， ，
则
所以 一定是正数．
故选： ．
【点睛】本题考查了整式的加减，解题的关键是需注意整式的加减运算；另外题中含有的配方得完全平方
式的思想，同学们也需要灵活掌握．
22．（2019·广西·来宾市第四中学一模）已知M=a﹣1，N=a2﹣a（a为任意实数），则M、N的大小关系为
（ ）
A．M≤N B．M=N C．M＞N D．不能确定
【答案】A
【分析】根据作差法以及配方法即可求出答案．
【详解】
∴M≤N
故选A．
【点睛】本题考查配方法的应用，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．
23．（2020·江苏·泰兴市济川初级中学七年级期中）若M＝ ，N＝ ，则M、N的大小关系为
M ____N．（填“＞”、“＜” 、“ ”或“ ”）
【答案】＜【分析】利用作差法可得N﹣M=( )﹣( )，再对其进行化简，利用平方式的非负性判断化简结
果的正负即可解答．
【详解】N﹣M=( )﹣( )
=
= ，
∵ ，
∴ ﹥0
∴N﹣M﹥0，
即M﹤N，
故答案为：﹤．
【点睛】本题考查整数的加减运算、完全平方公式、平方式的非负性，会借助作差法、配方法和平方式的
非负性比较代数式的大小是解答的关键．
24．（2020·江苏·泰兴市洋思中学九年级阶段练习）设A＝2a2﹣a+3，B＝a2+a，则A与B的大小关系为
_____．
【答案】A＞B
【分析】先利用整式的加减法则求出A﹣B的值，然后配方，再判断即可．
【详解】解：∵A＝2a2﹣a+3，B＝a2+a，
∴A﹣B，
＝（2a2﹣a+3）﹣（a2+a）
＝a2﹣2a+3
＝（a﹣1）2+2>0，
∴A＞B，
故答案为：A＞B．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算和配方法的应用，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
25．（2022·江苏·九年级专题练习）我们知道，对于任意一个实数a， 具有非负性，即“ ”．这个结论在数学中非常有用．很多情况下我们需要将代数式配成完全平方式，然后利用“ ”来解决问题．
例如：
∵
∴
∴
(1)填空： _______；
(2)请用作差法比较 与 的大小，并写出解答过程；
(3)填空： 的最大值为_______．
【答案】(1)
(2)
(3) 的最大值为4
【分析】（1）由 ，再配方即可；
（2）由 ，再利用非负数的性质可得答案；
（3）由 ，再利用非负数的性质可得答案．
(1)
解：
故答案为：
(2)
解：(3)
解：
∴ 的最大值为4．
【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握“配方法的步骤与非负数的性质”是解本题的关键．
