文档内容
2018年贵州省铜仁市中考数学试卷
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）本题每小题均有A、B、C、D四个备
选答案，其中只有一个是正确的，请你将正确答案的序号填涂在相应的答题卡上
1．（4分）9的平方根是（ ）
A．3 B．﹣3 C．3和﹣3 D．81
2．（4分）习近平总书记提出了未来五年“精准扶贫”的战略构想，意味着每年要减贫约
11700000人，将数据11700000用科学记数法表示为（ ）
A．1.17×107 B．11.7×106 C．0.117×107 D．1.17×108
3．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+3＝0的解为（ ）
A．x ＝﹣1，x ＝3 B．x ＝1，x ＝﹣3
1 2 1 2
C．x ＝1，x ＝3 D．x ＝﹣1，x ＝﹣3
1 2 1 2
4．（4分）掷一枚均匀的骰子，骰子的6个面上分别刻有1、2、3、4、5、6点，则点数为奇数的概
率是（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）如图，已知圆心角∠AOB＝110°，则圆周角∠ACB＝（ ）
A．55° B．110° C．120° D．125°
6．（4分）已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为
（ ）
A．32 B．8 C．4 D．16
7．（4分）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
8．（4分）在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b的距离为4cm，b与c
的距离为1cm，则a与c的距离为（ ）
A．1cm B．3cm C．5cm或3cm D．1cm或3cm
第1页（共25页）9．（4分）如图，已知一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝ 的图象相交于A（﹣2，y ）、B（1，
1
y ）两点，则不等式ax+b＜ 的解集为（ ）
2
A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣2
C．0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞1
10．（4分）计算 + + + + +……+ 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）分式方程 ＝4的解是x＝ ．
12．（4分）因式分解：a3﹣ab2＝ ．
13．（4分）一元一次不等式组 的解集为 ．
14．（4分）如图，m∥n，∠1＝110°，∠2＝100°，则∠3＝ °．
15．（4分）小米的爸爸为了了解她的数学成绩情况，现从中随机抽取她的三次数学考试成绩，
分别是87，93，90，则三次数学成绩的方差是 ．
16．（4分）定义新运算：a※b＝a2+b，例如3※2＝32+2＝11，已知4※x＝20，则x＝ ．
第2页（共25页）17．（4分）在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D、E是边AB上两点，且CE所在直线垂直平
分线段AD，CD平分∠BCE，BC＝2 ，则AB＝ ．
18．（4分）已知在平面直角坐标系中有两点A（0，1），B（﹣1，0），动点P在反比例函数y＝
的图象上运动，当线段PA与线段PB之差的绝对值最大时，点P的坐标为 ．
三、简答题：（本大题共4个小题，第19题10分，第20、21、22题每小题10分，共40分，要有
解题的主要过程）
19．（10分）（1）计算： ﹣4cos60°﹣（ ﹣3.14）0﹣（ ）﹣1
π
（2）先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，其中x＝2．
20．（10分）已知：如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF，求证：
AE∥FB．
第3页（共25页）21．（10分）张老师为了了解班级学生完成数学课前预习的具体情况，对本班部分学生进行了
为期半个月的跟踪调查．他将调查结果分为四类：A：很好；B：较好；C：一般；D：较差，并
将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）请计算出A类男生和C类女生的人数，并将条形统计图补充完整．
（2）为了共同进步，张老师想从被调查的A类和D类学生中各随机选取一位同学进行“一帮
一”互助学习，请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是一男一女同学的概
率．
22．（10分）如图，有一铁塔AB，为了测量其高度，在水平面选取C，D两点，在点C处测得A
的仰角为45°，距点C的10米D处测得A的仰角为60°，且C、D、B在同一水平直线上，求
铁塔AB的高度（结果精确到0.1米， ≈1.732）
第4页（共25页）四、（本大题满分12分）
23．（12分）学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张，并且每买1张办公桌必须买2把椅
子，椅子每把100元，若学校购进20张甲种办公桌和15张乙种办公桌共花费24000元；
购买10张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费2000元．
（1）求甲、乙两种办公桌每张各多少元？
（2）若学校购买甲乙两种办公桌共40张，且甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3倍，
请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用．
五、（本大题满分12分）
24．（12分）如图，在三角形ABC中，AB＝6，AC＝BC＝5，以BC为直径作 O交AB于点D，
交AC于点G，直线DF是 O的切线，D为切点，交CB的延长线于点⊙E．
（1）求证：DF⊥AC； ⊙
（2）求tan∠E的值．
第5页（共25页）六、（本大题满分14分）
25．（14分）如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x
轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P做x轴的垂线l交抛物
线于点Q，交直线BD于点M．
（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
（2）已知点F（0， ），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边
形？
（3）点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD
相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
第6页（共25页）2018 年贵州省铜仁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）本题每小题均有A、B、C、D四个备
选答案，其中只有一个是正确的，请你将正确答案的序号填涂在相应的答题卡上
1．（4分）9的平方根是（ ）
A．3 B．﹣3 C．3和﹣3 D．81
【考点】21：平方根．
【专题】1：常规题型．
【分析】依据平方根的定义求解即可．
【解答】解：9的平方根是±3，
故选：C．
【点评】本题主要考查的是平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键．
2．（4分）习近平总书记提出了未来五年“精准扶贫”的战略构想，意味着每年要减贫约
11700000人，将数据11700000用科学记数法表示为（ ）
A．1.17×107 B．11.7×106 C．0.117×107 D．1.17×108
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【专题】1：常规题型．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要
看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数
绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：11700000＝1.17×107．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|
a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+3＝0的解为（ ）
A．x ＝﹣1，x ＝3 B．x ＝1，x ＝﹣3
1 2 1 2
C．x ＝1，x ＝3 D．x ＝﹣1，x ＝﹣3
1 2 1 2
【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】34：方程思想．
第7页（共25页）【分析】利用因式分解法求出已知方程的解．
【解答】解：x2﹣4x+3＝0，
分解因式得：（x﹣1）（x﹣3）＝0，
解得：x ＝1，x ＝3，
1 2
故选：C．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关
键．
4．（4分）掷一枚均匀的骰子，骰子的6个面上分别刻有1、2、3、4、5、6点，则点数为奇数的概
率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】X4：概率公式．
【专题】11：计算题．
【分析】根据题意和题目中的数据可以求得点数为奇数的概率．
【解答】解：由题意可得，
点数为奇数的概率是： ，
故选：C．
【点评】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，利用概率的知识解答．
5．（4分）如图，已知圆心角∠AOB＝110°，则圆周角∠ACB＝（ ）
A．55° B．110° C．120° D．125°
【考点】M5：圆周角定理．
【专题】55：几何图形．
【分析】根据圆周角定理进行求解．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
【解答】解：根据圆周角定理，得
∠ACB＝ （360°﹣∠AOB）＝ ×250°＝125°．
故选：D．
第8页（共25页）【点评】此题考查了圆周角定理．
注意：必须是一条弧所对的圆周角和圆心角之间才有一半的关系．
6．（4分）已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为
（ ）
A．32 B．8 C．4 D．16
【考点】S7：相似三角形的性质．
【专题】1：常规题型；55D：图形的相似．
【分析】由△ABC∽△DEF，相似比为2，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可
得△ABC与△DEF的面积比为4，又由△ABC的面积为16，即可求得△DEF的面积．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为2，
∴△ABC与△DEF的面积比为4，
∵△ABC的面积为16，
∴△DEF的面积为：16× ＝4．
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的面积的比等于
相似比的平方的性质的应用．
7．（4分）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【考点】L3：多边形内角与外角．
【专题】1：常规题型；555：多边形与平行四边形．
【分析】根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．
【解答】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：
180°•（n﹣2）＝3×360°
解得n＝8．
故选：A．
【点评】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程
的问题来解决．
8．（4分）在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b的距离为4cm，b与c
的距离为1cm，则a与c的距离为（ ）
A．1cm B．3cm C．5cm或3cm D．1cm或3cm
第9页（共25页）【考点】JC：平行线之间的距离．
【专题】1：常规题型．
【分析】分类讨论：当直线c在a、b之间或直线c不在a、b之间，然后利用平行线间的距离的
意义分别求解．
【解答】解：当直线c在a、b之间时，
∵a、b、c是三条平行直线，
而a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，
∴a与c的距离＝4﹣1＝3（cm）；
当直线c不在a、b之间时，
∵a、b、c是三条平行直线，
而a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，
∴a与c的距离＝4+1＝5（cm），
综上所述，a与c的距离为5cm或3cm．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线之间的距离，从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂
线段的长度叫两条平行线之间的距离．平行线间的距离处处相等．注意分类讨论．
9．（4分）如图，已知一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝ 的图象相交于A（﹣2，y ）、B（1，
1
y ）两点，则不等式ax+b＜ 的解集为（ ）
2
A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣2
C．0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞1
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】53：函数及其图象．
第10页（共25页）【分析】根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等
式的解集．
【解答】解：观察函数图象，发现：当﹣2＜x＜0或x＞1时，一次函数图象在反比例函数图象的
下方，
∴不等式ax+b＜ 的解集是﹣2＜x＜0或x＞1．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是根据两函数图象的上
下位置关系解不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据两函数图象
的上下位置关系结合交点坐标得出不等式的解集是关键．
10．（4分）计算 + + + + +……+ 的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】19：有理数的加法．
【专题】1：常规题型．
【分析】直接利用分数的性质将原式变形进而得出答案．
【解答】解：原式＝ + + + +…+
＝1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣
＝1﹣
＝ ．
故选：B．
【点评】此题主要考查了有理数的加法，正确分解分数将原式变形是解题关键．
二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）分式方程 ＝4的解是x＝ ﹣ 9 ．
【考点】B3：解分式方程．
【专题】11：计算题；522：分式方程及应用．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分
第11页（共25页）式方程的解．
【解答】解：去分母得：3x﹣1＝4x+8，
解得：x＝﹣9，
经检验x＝﹣9是分式方程的解，
故答案为：﹣9
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
12．（4分）因式分解：a3﹣ab2＝ a （ a + b ）（ a ﹣ b ） ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】44：因式分解．
【分析】观察原式a3﹣ab2，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣b2是平方差公式，利用平方
差公式继续分解可得．
【解答】解：a3﹣ab2＝a（a2﹣b2）＝a（a+b）（a﹣b）．
【点评】本题是一道典型的中考题型的因式分解：先提取公因式，然后再应用一次公式．
本题考点：因式分解（提取公因式法、应用公式法）．
13．（4分）一元一次不等式组 的解集为 x ＞﹣ 1 ．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
【专题】1：常规题型．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．
【解答】解： ，
由 得：x＞﹣1，
由①得：x＞﹣2，
所②以不等式组的解集为：x＞﹣1．
故答案为x＞﹣1．
【点评】主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式的一般步骤和确
定不等式组解集的公共部分．
14．（4分）如图，m∥n，∠1＝110°，∠2＝100°，则∠3＝ 15 0 °．
第12页（共25页）【考点】JA：平行线的性质．
【专题】1：常规题型；551：线段、角、相交线与平行线．
【分析】两直线平行，同旁内角互补，然后根据三角形内角和为180°即可解答．
【解答】解：如图，
∵m∥n，∠1＝110°，
∴∠4＝70°，
∵∠2＝100°，
∴∠5＝80°，
∴∠6＝180°﹣∠4﹣∠5＝30°，
∴∠3＝180°﹣∠6＝150°，
故答案为：150．
【点评】本题主要考查平行线的性质，两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的
关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．
15．（4分）小米的爸爸为了了解她的数学成绩情况，现从中随机抽取她的三次数学考试成绩，
分别是87，93，90，则三次数学成绩的方差是 6 ．
【考点】W7：方差．
【专题】17：推理填空题．
【分析】根据题目中的数据可以求得相应的平均数，从而可以求得相应的方差，本题得以解决．
【解答】解： ，
∴ ＝6，
故答案为：6．
第13页（共25页）【点评】本题考查方差，解答本题的关键是明确方差的计算方法．
16．（4分）定义新运算：a※b＝a2+b，例如3※2＝32+2＝11，已知4※x＝20，则x＝ 4 ．
【考点】1G：有理数的混合运算．
【专题】17：推理填空题；521：一次方程（组）及应用．
【分析】根据新运算的定义，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值．
【解答】解：∵4※x＝42+x＝20，
∴x＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了有理数的混合运算以及解一元一次方程，依照新运算的定义找出关于x
的一元一次方程是解题的关键．
17．（4分）在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D、E是边AB上两点，且CE所在直线垂直平
分线段AD，CD平分∠BCE，BC＝2 ，则AB＝ 4 ．
【考点】KG：线段垂直平分线的性质；T5：特殊角的三角函数值．
【专题】55E：解直角三角形及其应用．
【分析】由CE所在直线垂直平分线段AD可得出CE平分∠ACD，进而可得出∠ACE＝
∠DCE，由CD平分∠BCE利用角平分线的性质可得出∠DCE＝∠DCB，结合∠ACB＝
90°可求出∠ACE、∠A的度数，再利用余弦的定义结合特殊角的三角函数值，即可求出
AB的长度．
【解答】解：∵CE所在直线垂直平分线段AD，
∴CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE．
∵CD平分∠BCE，
∴∠DCE＝∠DCB．
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝ ∠ACB＝30°，
∴∠A＝60°，
第14页（共25页）∴AB＝ ＝ ＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及特殊角的三角函数值，通过
角的计算找出∠A＝60°是解题的关键．
18．（4分）已知在平面直角坐标系中有两点A（0，1），B（﹣1，0），动点P在反比例函数y＝
的图象上运动，当线段PA与线段PB之差的绝对值最大时，点P的坐标为 （ 1 ， 2 ）或（﹣
2 ，﹣ 1 ） ．
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】1：常规题型；534：反比例函数及其应用．
【分析】由三角形三边关系知|PA﹣PB|≥AB知直线AB与双曲线y＝ 的交点即为所求点P，
据此先求出直线AB解析式，继而联立反比例函数解析式求得点P的坐标．
【解答】解：如图，
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
将A（0，1）、B（﹣1，0）代入，得：
，
解得： ，
第15页（共25页）∴直线AB的解析式为y＝x+1，
直线AB与双曲线y＝ 的交点即为所求点P，此时|PA﹣PB|＝AB，即线段PA与线段PB之差
的绝对值取得最大值，
由 可得 或 ，
∴点P的坐标为（1，2）或（﹣2，﹣1），
故答案为：（1，2）或（﹣2，﹣1）．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据三角形三边关系
得出点P的位置
三、简答题：（本大题共4个小题，第19题10分，第20、21、22题每小题10分，共40分，要有
解题的主要过程）
19．（10分）（1）计算： ﹣4cos60°﹣（ ﹣3.14）0﹣（ ）﹣1
π
（2）先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，其中x＝2．
【考点】2C：实数的运算；6D：分式的化简求值；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角
的三角函数值．
【专题】11：计算题；511：实数；513：分式．
【分析】（1）先计算立方根、代入三角函数值、计算零指数幂和负整数指数幂，再分别计算乘
法和加减运算可得；
（2）先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【解答】解：（1）原式＝2﹣4× ﹣1﹣2
＝2﹣2﹣1﹣2
＝﹣3；
（2）原式＝（ ﹣ ）÷
＝ •
＝ ，
第16页（共25页）当x＝2时，原式＝ ＝1．
【点评】本题主要考查分式的化简求值与实数的混合运算，解题的关键是掌握立方根、零指数
幂和负整数指数幂及分式混合运算顺序和运算法则．
20．（10分）已知：如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF，求证：
AE∥FB．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质．
【专题】55：几何图形．
【分析】可证明△ACE≌△BDF，得出∠A＝∠B，即可得出AE∥BF；
【解答】证明：∵AD＝BC，∴AC＝BD，
在△ACE和△BDF中， ，
∴△ACE≌△BDF（SSS）
∴∠A＝∠B，
∴AE∥BF；
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质以及平行线的判定问题，关键是 SSS证明
△ACE≌△BDF．
21．（10分）张老师为了了解班级学生完成数学课前预习的具体情况，对本班部分学生进行了
为期半个月的跟踪调查．他将调查结果分为四类：A：很好；B：较好；C：一般；D：较差，并
将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
第17页（共25页）（1）请计算出A类男生和C类女生的人数，并将条形统计图补充完整．
（2）为了共同进步，张老师想从被调查的A类和D类学生中各随机选取一位同学进行“一帮
一”互助学习，请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是一男一女同学的概
率．
【考点】VB：扇形统计图；VC：条形统计图；X6：列表法与树状图法．
【专题】1：常规题型；54：统计与概率．
【分析】（1）由B类人数及其所占百分比求得总人数，再用总人数分别乘以A、C类别对应百
分比求得其人数，据此结合条形图进一步得出答案；
（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到所选两位同学恰好是一男一女同学的结果数，
利用概率公式求解可得．
【解答】解：（1）∵被调查的总人数为（7+5）÷60%＝20人，
∴A类别人数为20×15%＝3人、C类别人数为20×（1﹣15%﹣60%﹣10%）＝3，
则A类男生人数为3﹣1＝2、C类女生人数为3﹣1＝2，
补全图形如下：
（2）画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的有3种情况，
∴所选两位同学恰好是一男一女同学的概率为 ．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的知识．用到的
知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
第18页（共25页）22．（10分）如图，有一铁塔AB，为了测量其高度，在水平面选取C，D两点，在点C处测得A
的仰角为45°，距点C的10米D处测得A的仰角为60°，且C、D、B在同一水平直线上，求
铁塔AB的高度（结果精确到0.1米， ≈1.732）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】554：等腰三角形与直角三角形．
【分析】根据AB和∠ADB、AB和∠ACB可以求得DB、CB的长度，根据CD＝CB﹣DB可以求
出AB的长度，即可解题．
【解答】解：在Rt△ADB中，DB＝ ＝ AB，
Rt△ACB中，CB＝ ＝AB，
∵CD＝CB﹣DB，
∴AB＝ ≈23.7（米）
答：电视塔AB的高度约23.7米．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，考查了三角函数在直角三角形中的应用，本题中求
DB、CB的长度是解题的关键．
四、（本大题满分12分）
23．（12分）学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张，并且每买1张办公桌必须买2把椅
子，椅子每把100元，若学校购进20张甲种办公桌和15张乙种办公桌共花费24000元；
购买10张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费2000元．
（1）求甲、乙两种办公桌每张各多少元？
（2）若学校购买甲乙两种办公桌共40张，且甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3倍，
请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用．
【考点】9A：二元一次方程组的应用；C9：一元一次不等式的应用；FH：一次函数的应用．
【专题】12：应用题；521：一次方程（组）及应用；524：一元一次不等式(组)及应用；533：一次
函数及其应用．
第19页（共25页）【分析】（1）设甲种办公桌每张x元，乙种办公桌每张y元，根据“甲种桌子总钱数+乙种桌
子总钱数+所有椅子的钱数＝24000、10把甲种桌子钱数﹣5把乙种桌子钱数+多出5张桌
子对应椅子的钱数＝2000”列方程组求解可得；
（2）设甲种办公桌购买a张，则购买乙种办公桌（40﹣a）张，购买的总费用为y，根据“总费
用＝甲种桌子总钱数+乙种桌子总钱数+所有椅子的总钱数”得出函数解析式，再由“甲
种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3倍”得出自变量a的取值范围，继而利用一次
函数的性质求解可得．
【解答】解：（1）设甲种办公桌每张x元，乙种办公桌每张y元，
根据题意，得： ，
解得： ，
答：甲种办公桌每张400元，乙种办公桌每张600元；
（2）设甲种办公桌购买a张，则购买乙种办公桌（40﹣a）张，购买的总费用为y，
则y＝400a+600（40﹣a）+2×40×100
＝﹣200a+32000，
∵a≤3（40﹣a），
∴a≤30，
∵﹣200＜0，
∴y随a的增大而减小，
∴当a＝30时，y取得最小值，最小值为26000元．
【点评】本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式及一次函数的应用，解题的关键是
理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程和函数解析式，特别注意不能忽略每
张桌子配套的椅子所产生的费用．
五、（本大题满分12分）
24．（12分）如图，在三角形ABC中，AB＝6，AC＝BC＝5，以BC为直径作 O交AB于点D，
交AC于点G，直线DF是 O的切线，D为切点，交CB的延长线于点⊙E．
（1）求证：DF⊥AC； ⊙
（2）求tan∠E的值．
第20页（共25页）【考点】KH：等腰三角形的性质；M5：圆周角定理；MC：切线的性质；T7：解直角三角形．
【专题】55A：与圆有关的位置关系．
【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理得∠BDC＝90°，由等腰三角形三线合一的性质得：D
为AB的中点，所以OD是中位线，由三角形中位线性质得：OD∥AC，根据切线的性质可
得结论；
（2）如图，连接BG，先证明EF∥BG，则∠CBG＝∠E，求∠CBG的正切即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵BC是 O的直径，
∴∠BDC⊙＝90°，
∴CD⊥AB，
∵AC＝BC，
∴AD＝BD，
∵OB＝OC，
∴OD是△ABC的中位线
∴OD∥AC，
∵DF为 O的切线，
∴OD⊥D⊙F，
∴DF⊥AC；
（2）解：如图，连接BG，
∵BC是 O的直径，
∴∠BGC⊙＝90°，
∵∠EFC＝90°＝∠BGC，
∴EF∥BG，
∴∠CBG＝∠E，
Rt△BDC中，∵BD＝3，BC＝5，
第21页（共25页）∴CD＝4，
S△ABC ＝ ，
6×4＝5BG，
BG＝ ，
由勾股定理得：CG＝ ＝ ，
∴tan∠CBG＝tan∠E＝ ＝ ＝ ．
【点评】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定和性质及勾股定理的应用；
把所求角的正切进行转移是基本思路，利用面积法求BG的长是解决本题的难点．
六、（本大题满分14分）
25．（14分）如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x
轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P做x轴的垂线l交抛物
线于点Q，交直线BD于点M．
（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
（2）已知点F（0， ），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边
形？
（3）点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD
相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
第22页（共25页）【考点】HF：二次函数综合题．
【专题】15：综合题；537：函数的综合应用．
【分析】（1）待定系数法求解可得；
（2）先利用待定系数法求出直线BD解析式为y＝ x﹣2，则Q（m，﹣ m2+ m+2）、M（m，
m﹣2），由QM∥DF且四边形DMQF是平行四边形知QM＝DF，据此列出关于m的方程，
解之可得；
（3）易知∠ODB＝∠QMB，故分 ∠DOB＝∠MBQ＝90°，利用△DOB∽△MBQ得 ＝
①
＝ ，再证△MBQ∽△BPQ得 ＝ ，即 ＝ ，解之即可得此时m的值；
∠BQM＝90°，此时点Q与点A重合，△BOD∽△BQM′，易得点Q坐标．
【解②答】解：（1）由抛物线过点A（﹣1，0）、B（4，0）可设解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），
将点C（0，2）代入，得：﹣4a＝2，
解得：a＝﹣ ，
则抛物线解析式为y＝﹣ （x+1）（x﹣4）＝﹣ x2+ x+2；
（2）由题意知点D坐标为（0，﹣2），
设直线BD解析式为y＝kx+b，
将B（4，0）、D（0，﹣2）代入，得： ，
第23页（共25页）解得： ，
∴直线BD解析式为y＝ x﹣2，
∵QM⊥x轴，P（m，0），
∴Q（m，﹣ m2+ m+2）、M（m， m﹣2），
则QM＝﹣ m2+ m+2﹣（ m﹣2）＝﹣ m2+m+4，
∵F（0， ）、D（0，﹣2），
∴DF＝ ，
∵QM∥DF，
∴当﹣ m2+m+4＝ 时，四边形DMQF是平行四边形，
解得：m＝﹣1或m＝3，
即m＝﹣1或m＝3时，四边形DMQF是平行四边形；
（3）如图所示：
∵QM∥DF，
∴∠ODB＝∠QMB，
分以下两种情况：
当∠DOB＝∠MBQ＝90°时，△DOB∽△MBQ，
①
第24页（共25页）则 ＝ ＝ ＝ ，
∵∠MBQ＝90°，
∴∠MBP+∠PBQ＝90°，
∵∠MPB＝∠BPQ＝90°，
∴∠MBP+∠BMP＝90°，
∴∠BMP＝∠PBQ，
∴△MBQ∽△BPQ，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得：m ＝3、m ＝4，
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当m＝4时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去，
∴m＝3，点Q的坐标为（3，2）；
当∠BQM＝90°时，此时点Q与点A重合，△BOD∽△BQM′，
②此时m＝﹣1，点Q的坐标为（﹣1，0）；
综上，点Q的坐标为（3，2）或（﹣1，0）时，以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似．
【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、平
行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及分类讨论思想的运用．
第25页（共25页）
