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热点专题 01 一元二次方程（12 个热点）
考点一、一元二次方程的概念 ：
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件：
（1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分
式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程
（是无理方程）；（2）只含有一个未知数；（3）未知数项的最高次数是2。
考点二、一元二次方程的一般形式：
一元二次方程经过整理都可化成一般形式 ，其中 叫作二次项， 是二次项系
数； 叫作一次项， 是一次项系数； 叫作常数项。
注意：（1） 中的 ．因当 时，不含有二次项，即不是一元二次方程
（2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号。
考点三、一元二次方程的解：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根
或解反代回去再进行求解.
考点四、解一元二次方程的方法
（1）直接开方法：方程能化成 的形式,那么 ,进而得出方程的根；
（2）配方法：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同
除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为 的形式；
⑤如果 就可以用两边开平方来求出方程的解；如果 ，则原方程无解．
（3）公式法：①化为一般形式；②求出判别式 的值，判断根的情况；③在
的前提下,把 的值代入公式 进行计算,求出方程的根。
（4）因式分解法：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积；
③令每个因式分别为零；④两个因式分别为零的解就都是原方程的解。
（5）换元法：是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然
有时候要通过变形才能发现，把一些形式复杂的方程通过换元方法变成一元二次方程，从而达到降次的目
的。
考点五、一元二次方程的根与系数
根与系数的关系：即 的两根为 ，则 ， 。利用韦达定理可以求
一些代数式的值（式子变形），如
考点六、列一元二次方程解应用题的具体步骤
①审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．②设：根据题意，可以直接设未知数，
也可以间接设未知数．③列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出
方程．④解：准确求出方程的解．⑤验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．⑥答：写出答案．题型一 一元二次方程的概念
【例1】若 是关于 的一元二次方程，则 的值为（ ）
A．3 B． C．0 D．3或
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的定义，知 且未知数x的系数 ，据此可以求得a的值．
【详解】解：∵ 是关于 的一元二次方程，
∴ ，
解得 ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如 的方程叫做一元二次方
程．掌握定义是解题的关键．
【例2】下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、当 时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、该方程化简后为 ，是一元一次方程，故本选项不符合题意；
C、 是一元一次方程，故本选项不符合题意；
D、 是一元二次方程，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是 （且 ．特别要注意
的条件．
【变式1-1】已知关于 的一元二次方程 ，则常数 满足的条件是（ ）
A． B． C． D．无法确定 的值
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义可得 ，求解即可得到答案．
【详解】解： 是关于 的一元二次方程，
，解得 ，
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，熟记一元二次方程的定义是解决问题的关键．
【变式1-2】下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【详解】解： 、 整理可得 ，是一元一次方程，故本选项不合题意；
、该选项的方程是分式方程，故本选项不符合题意；
、 是关于x的一元二次方程，故本选项符合题意；
、 是二元二次方程，故本选项不符合题意．
故选： ．
【点睛】本题主要考查一元二次方程定义的理解，掌握其概念及表示形式是解题的关键．
【变式1-3】下列关于 的方程中： ， ， ， ，
， 其中，一元二次方程的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程；或能化为的整式方程是一元二次程；据此进行逐一判断，即可求解．
【详解】解： 是一元一次方程，此项错误；
是一元二次方程，此项正确；
是二元二次方程，此项错误；
不是整式方程，此项错误；
是一元二次方程，此项正确；
当 时，不含未知数的二次项，不符合一元二次方程的定义，此项错误；
所以其中一元二次方程的个数为2个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，理解定义是解题的关键．
题型二 一元二次方程的一般形式
【例3】若方程 化为一般式后的二次项为 ，则一次项的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再求出答案即可．
【详解】解： ，
整理得： ，
所以一元二次方程 化为一般式后的一次项系数为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，一元二
次方程的一般形式是 （ 、 、 为常数， ）．
【例4】一元二次方程 化为一般形式是 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程一般形式 ，去括号、移项、合并同类项即可得到答案．【详解】解：一元二次方程 化为一般形式是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查一元二次方程定义，熟记一元二次方程的一般形式是解决问题的关键．
【变式2-1】将一元二次方程 化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数和常数项
分别为（ ）
A．5， B． ， C．5，3 D． ，3
【答案】D
【分析】先把一元二次方程化为一般式，然后问题可求解．
【详解】解： 一元二次方程 化成一般形式之后二次项的系数是2，
可化为： ，
则一次项系数 和常数项分别为3．
故选：D．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
【变式2-2】将一元二次方程 化为一般形式后，它的各项系数的和为（ ）
A．6 B．4 C．2 D．
【答案】D
【分析】把一元二次方程化为一般形式，得到 ，求和即可得到答案．
【详解】解： 化为一般形式得 ，
∴ ，
∴ ，
∴一元二次方程 化为一般形式后，它的各项系数的和为 ．
故选：D
【点睛】此题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
【变式2-3】把一元二次方程 整理成一般形式为______．
【答案】
【分析】先移项合并，整理成一元二次方程一般式即可．【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般式，熟知一元二次方程的一般式为 ，且
a、b、c是常数是解题的关键．
题型三 一元二次方程的解
【例5】若 是方程 的一个根，则m的值是（ ）
A．16 B． C． D．10
【答案】A
【分析】将 代入方程，求解即可．
【详解】解：把 代入 ，得： ，
解得： ；
故选A．
【点睛】本题考查一元二次方程的解．解题的关键是掌握方程的解是使方程成立的未知数的值．
【例6】若 是关于x的一元二次方程 的一个根，则 的值等于 ．
【答案】2021
【分析】将 代入方程得出 ，再整体代入计算可得．
【详解】解：将 代入方程得： ，
则 ，
则原式
．
故答案为：2021．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程的解的概念及整体代入思想的运算．
【变式3-1】关于 的方程 的解是 ， （a、b、c均为常数， ），则方程的解是 ．
【答案】 或者
【分析】令 ，将方程 变为 ，再根据方程 的解
是 ， ，可得 ， ，问题随之得解．
【详解】令 ，将方程 变为 ，
∵关于 的方程 的解是 ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
故答案为： 或者 ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的知识，得到 ， ，是解答本题的关键．
【变式3-2】写出一个两个根分别为1和 的一元二次方程 .
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据一元二次方程根的定义写出对应的方程即可．
【详解】解：由题意得，满足题意的方程可以为 ，
即 ，
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值
是解题的关键．
【变式3-3】已知m是方程式 的一个实数根，求代数式 的值．
【答案】8
【分析】根据一元二次方程解的定义可得 ，从而得到 ， ，再代入计算，即可求解．
【详解】解：∵m是方程式 的一个实数根，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的
解是解题的关键．
题型四 解一元二次方程
【例7】解一元二次方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）利用公式法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】（1） ，
这里 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
（2） ，，
∴ 或 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．
【例8】解方程：
(1) ；（用配方法）
(2) ；（用公式法）
(3) ．（用适当的方法）
【答案】(1) ， ；
(2)无实数解；
(3) ， ．
【分析】（1）利用配方法求解一元二次方程即可；
（2）利用公式法求解一元二次方程即可；
（3）利用因式分解法求解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：
即 或
解得 ， ；
（2）
， ，，
方程无实数解；
（3）
即
解得 ， ．
【点睛】此题考查了一元二次方程的求解方法，涉及了公式法、配方法和因式分解法，解题的关键是熟练
掌握相关基础知识．
【变式4-1】选择合适的方法解下列一元二次方程：
(1)
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据配方法解一元二次方程，即可求解；
（2）先化为一般形式，然后因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）解： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ；
（2）解： ，
∴ ，
即 ，∴ ，
∴ 或 ，
解得： ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【变式4-2】用适当的方法解下列方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1) ，
(2) ，
(3) ，
(4) ，
【分析】（1）利用开平方的方法求解即可；
（2）利用配方法求解即可；
（3）采用因式分解法即可求解；
（4）采用因式分解法即可求解．
【详解】（1）
，即 ， ；
（2）
，
即 ， ；
（3）
即 ，或者 ，
∴ ， ；
（4）
，
即 ，或者 ，
∴ ， ．
【点睛】本题主要考查了求解一元二次方程的知识，掌握因式分解法、配方法，是解答本题的关键．
【变式4-3】按要求解一元二次方程：
(1) （配方法）；
(2) （因式分解法）；(3) （公式法）．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【分析】（1）根据配方法的步骤解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可；
（3）公式法解方程即可．
【详解】（1）解： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即： ，
∴ ，
∴ ；
（2） ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ ；
（3） ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查解一元二次方程．解题的关键是掌握解一元二次方程的方法，正确的计算．
题型五 解一元二次方程（换元法)
【例9】已知一元二次方程 的两根分别为 ，则方程
的两根分别为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用换元法令 ，可得到 的值，即可算出 的值，即方程 的两
根．
【详解】解：记 ，则 即 ，
∵方程 的两根分别为 ，
∴ 或 ，
故 ， ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查换元法和解一元二次方程．能根据已知方程的解得出 或 是
解此题的关键．
【例10】若关于 的方程 两个实根为 ， ，则 的根为 ．（用含 ， 的代数式表示）
【答案】 ，
【分析】根据换元法可知： 或 ，从而得出结论．
【详解】解：∵关于 的方程 两个实根为 ， ，
∴当 时， 或 ，
∴ 的根为 ， ，
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，利用整体思想是解体的关键．
【变式5-1】若实数x、y满足 ，则 的值是（ ）
A． 或1 B．2 C．2或 D．1
【答案】D
【分析】设 ，则方程为 ，解方程求出 或 ，由此得到答案．
【详解】解：设 ，则方程为
∴ 或 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
故选：D．
【点睛】此题考查了换元法解一元二次方程，正确掌握方程的特点选择简单的解法是解题的关键．
【变式5-2】已知a、b为实数，且满足 ，则代数式 的值为（ ）
A．3或－5 B．3 C．－3或5 D．5
【答案】B
【分析】设 ，则原方程换元为 ，可得 ， ，即可求解．
【详解】解：设 ，则原方程换元为 ，，
解得 ， （不合题意，舍去），
的值为3．
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键．
【变式5-3】若 ，则 的值为 ．
【答案】2或0/0或2
【分析】根据换元法，可得一元二次方程，解一元二次方程，可得答案．
【详解】解：设 ，原方程等价于 ．
解得 或 ，
∴ 或 ，
故答案为：2或0．
【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，利用 得出关于 的一元二次方程是解题关键，注意
平方都是非负数．
题型六 根的判别式与解的情况
【例11】关于x的一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的根的判别式解答即可．
【详解】解： ，
∵ ，
∴ ，即 ，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：B．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根与 有如下关系：当
时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数根．
【例12】关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是（ ）
A． B． 且 C． D． 且
【答案】D
【分析】由于所给方程有两个不相等的实数根，可知方程的 且 ，由此可得关于 的不等式，解
不等式即得答案．
【详解】解：∵一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，解得 且 ，
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次的根的判别式，属于常见题型，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与方程
根的个数的关系是解题关键．
【变式6-1】若关于x的方程 有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D．
【答案】A
【分析】由方程有实数根，得到判别式 ，即可求解．
【详解】解：①当 时，方程为 ，是一元一次方程，
解得 ，符合题意；
②当 时，方程是一元二次方程，
∵于x的方程 有实数根，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，∴方程为一元二次方程时，m的取值范围是 且 ，
综上所述：m的取值范围是 ．
故选：A．
【点睛】本题考查根的判别式及一元二次方程的定义，根据方程有实数根进行分类讨论是解题的关键．
【变式6-2】若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a的取值范围是( )
A． B． 且 C． D．
【答案】B
【分析】根据根的判别式即可列不等式，计算即可得答案，注意 ．
【详解】解：由题意可得： ，
且 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根与 有如下关系：当
时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数根．
【变式6-3】已知关于x的方程 ．
(1)当 时，求该方程的根
(2)当 时，请判断该方程根的情况，并说明理由
【答案】(1) ，
(2)有两个不相等的实数根
【分析】（1）将b，c代入得到方程，再解方程即可；
（2）由已知可得 ，代入方程，再求出根的判别式并配方，即可判断．
【详解】（1）解：当 时，
方程为： ，
整理得： ，
解得： ， ；
（2）当 时，即 ，方程为： ，即 ，
则 ，
∴该方程有两个不相等的实数根．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，根的判别式，解题的关键是熟练掌握方程的解法以及根的判别式的
运用．
题型七 根与系数的关系（求代数式）
【例13】已知 ， 分别是方程 的两个根，则代数式 的值为（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
【答案】B
【分析】由根与系数的关系得到 ， ，再把式子变形代入求值即可．
【详解】解：∵ ， 分别是方程 的两个根，
∴ ， ，
∴ ，
故选B．
【点睛】此题考查了根与系数的关系，掌握根与系数的关系和完全平方式是解答此题的关键．
【例14】 是方程 的两个根，则 的值为 ．
【答案】
【分析】若 是一元二次方程 的两个根，则 ，据此即可求解．
【详解】解：由题意得：
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记相关结论即可．
【变式7-1】若 ， 是方程 的两个实数根，则 的值是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】由 ， 是方程 的两个实数根，得 ， ，将所求式子变形
后整体代入即可．
【详解】解： ， 是方程 的两个实数根，
， ，
，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程根的定义，解题的关键是掌握一元二次方
程根与系数的关系．
【变式7-2】已知一元二次方程 的两个根为 、 ，则 的值为（ ）
A．－3 B． C．1 D．
【答案】D
【分析】由根与系数的关系得出两根之和，两根之积，然后把要求的式子变形，代入求值即可．
【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系得，
，
∴
，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的
解题方法．
【变式7-3】已知 ， 是方程 的两个实数根，求 的值．
【答案】9【分析】由根与系数的关系得出 ， ，通过方程的根求出 ，最后代入求值即可．
【详解】解：∵已知 ， 是方程 的两个实数根，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴
，
，
，
．
【点睛】此题考查了一元二次方程的根，根与系数的关系，熟记根与系数的关系是解本题的关键．
题型八 根与系数的关系（求参数）
【例15】已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根 ， ．若 ，
则k的值为______．
【答案】3
【分析】利用根与系数的关系结合 ，可得出关于k的方程，解之可得出k的值，由方程的系数
结合根的判别式 可得出关于k的不等式，解之即可得出k的取值范围，进而可确定k的值，此题得解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
解得： ， ．
∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，解得 ，
∴ 舍去．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合 来求出k值是
解题的关键．
【例16】已知关于 的一元二次方程为 有两个实数根 和 ．
(1)求实数 的取值范围；
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1) 的取值范围为
(2)
【分析】（1）根据根的判别式的意义得到 ，然后解不等式即可；
（2）先根据根与系数的关系得到 ，然后由 得到 ，
代入得到关于 的方程，解方程结合 的取值范围即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意得： ，
解得： ，
即 的取值范围为 ；
（2）解：根据根与系数的关系得 ，
，
，
即 ，
整理得 ，解得 ，
，
．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程 的根与 有
如下关系：① ，方程有两个不相等的实数根，② ，方程有两个相等的实数根，③ ，方程没
有实数根；两个实数根 ， 和系数 ， ， ，有如下关系： ， ．
【变式8-1】若 、 是关于 的方程 的两个根，且 求 的值．
【答案】 的值为
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得出 ， 变形后得出关于 的方程，
求出方程的解并检验，即可得出答案．
【详解】解： 、 是关于 的方程 的两个根，
， ，
，
，
，
解得： 或 ，
当 时，方程为 ，
，此时方程无解；
当 时，方程为 ，此方程有解；
综上所述， 的值为 ．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，根的判别式的应用，求出 的值后必须代入“ ”进行检验，注意：若 、 是一元二次方程 的两根时，则 ， ．
【变式8-2】已知关于x的方程 有两个实数根 ， ．
(1)求k的取值范围；
(2)若 ，求k的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据 ，列出不等式，解不等式即可；
（2）利用根与系数的关系，把问题转化为方程即可解决问题．
【详解】（1）解：由题意得： ，
，
．
（2） ， ， ，
，
解得 或 ，
，
．
【点睛】本题考查根与系数的关系，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识
解决问题，属于中考常考题型．
【变式8-3】关于x的一元二次方程 ．
(1)试判断该方程根的情况并说明理由：
(2)若 ， 是该方程的两个实数根，且 ，求m的值．
【答案】(1)有两个不相等的实数根；理由见解析
(2)
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式即可求解．（2）利用一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【详解】（1）解：有两个不相等的实数根，理由如下：
，
，
，
原方程有两个不相等的实数根．
（2）由题意得： ， ，
，
解得： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系
及根的判别式是解题的关键．
题型九 一元二次方程的应用（增长率问题）
【例17】某商品原价200元，连续两次降价 后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程．
【详解】解：由题意可得，
，
故选：B．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
【例18】某公司销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元．已知2月份和3月份利润的月增长率相同，设2、3月份利润的月增长率为 ，根据题意列方程
为 ．
【答案】
【分析】根据1月份获得的利润和月增长率为 ，表示出2、3月份的利润，再根据一季度共获利36.4万元
得出方程．
【详解】解：设2、3月份利润的月增长率为 ，则2月份的利润为 ，3月份的利润为 ，
由题意得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式9-1】某公司今年销售一种新产品，1月份获得利润20万元，由于该产品畅销，利润逐月增加，3月
份的利润达到 万元，假设该产品利润每月的增长率相同，则每月增长率为( )
A．20% B．22% C．30% D．44%
【答案】A
【分析】设两次平均增长率为x， （ ）；据此模型列方程即可求解．
【详解】解：设每月的增长率为x，由题意得
解得： ， (舍去)，
每月的增长率 ；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的在增长率中的实际应用，掌握典型应用模型，找出等量关系式是
解题的关键．
【变式9-2】为了提高富民社区居民对“垃圾分类”的知晓率，街道工作人员用了两个月的时间在该社区
加强了宣传，若社区的知晓人效的平均月增长率为 ，两个月前社区对“垃圾分类”的知晓人数为a万
人，现在的知晓人数为b万人，则（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】直接利用增长率表示方法进而表示出b即可．
【详解】解：设社区的知晓人数的平均月增长率为 ，
由题意可得： ，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确得出等量关系是解题关键．
【变式9-3】随着冬奥会的临近，冬奥特许商品销售逐渐火爆．甲、乙两家冬奥商品专卖店十月份销售额
分别为 万元和 万元，十二月份销售额甲店比乙店多 万元．已知甲店十一、十二月份销售额的月平
均增长率是乙店十一、十二月份月平均增长率的 倍，求甲店、乙店这两个月的月平均增长率各是多少？
【答案】甲、乙两店的平均增长率分别为 ，
【分析】设乙店二、三月份的平均增长率为 ，则甲店二、三月份的平均增长率为 ，则甲店三月份的销
售额为 ，乙店三月份的销售额为 ，根据三月份销售额甲店比乙店多 万元建立等量关
系求解即可．
【详解】解：设乙店这两个月的平均增长率为 ，则甲店这两个月的平均增长率为
，
解得： ， （舍）
答：甲店的月平均增长率是 ；乙店的月平均增长率是 ．
【点睛】本题考查一元二次方程增长率问题，根据题意找出等量关系构建方程是解题关键．
题型十 一元二次方程的应用（销售问题）
【例19】水果店店主张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干，以每斤4元的价格出售，每天可售出
100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低 元，每天可多售出20斤．张阿姨决定降价销售．
设这种水果每斤的售价降低 元．
(1)每天的销售量为___________斤（用含 的代数式表示）；
(2)为尽量减少天气炎热带来的损耗，最大化减少库存，如果销售这种水果每天盈利300元，张阿姨需将每
斤的售价降低多少元？【答案】(1)
(2)1元
【分析】（1）销售量＝原来销售量＋增加销售量，列式即可得到结论；
（2）根据销售量×每斤利润＝总利润列出方程求解，再根据“为了最大化减少库存”判断即可得到结论．
【详解】（1）将这种水果每斤的售价降低x元，
则每天的销售量是 斤
故答案为：
（2）根据题意，得： ，
解得： 或 ．
当 时，每天销售量 （斤），
当 时，每天销售量 （斤），
为了最大化减少库存，应取 ．
答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．
【点睛】本题考查一元二次方程解决实际问题，读懂题意，掌握利用一元二次方程解决实际问题是解题的
关键．
【例20】已知某商品的进价每件是40元，现在的售价每件是60元，每周可卖出300件．市场调查反映，
若调整价格，每涨价1元，每周可少卖出10件．设该商品每件涨价 元 ．
(1)根据题意填写下表：
售价（元/件） 每件利润（元） 每周销量（件） 每周利润（元）
现在 60 20 300
涨价后
(2)若计划每周的利润为6160元，该商品每件应涨价多少？
【答案】(1)答案见解析
(2)该商品每件应涨价 元或 元
【分析】（1）根据题意，直接填表即可得到答案；（2）根据（1）中数据列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可得
售价（元/件） 每件利润（元） 每周销量（件） 每周利润（元）
现在 60 20 300
涨价
后
（2）解：由（1）可得 ，
即 ，则 ，解得 或 ，
答：若计划每周的利润为6160元，该商品每件应涨价 元或 元．
【点睛】本题考查一元二次方程解实际应用题，熟练掌握销售问题的求解方法是解决问题 的关键．
【变式10-1】中国是世界上最大的茶叶种植国，拥有全球最多的饮茶人口，并发展出独具民族特色的茶文
化，茶叶产业作为绿色经济的重要组成部分，某茶商购进一批茶叶，进价为80元/盒，销售价为120元/盒
时，每天可售出20盒，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每盒茶叶每降价1元，那么平
均每天可多售出2盒．在让利于顾客的情况下，每盒茶叶降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？
【答案】20元
【分析】设每盒茶叶降价 元，则销售量为 盒，根据总利润=每件利润 销售数量，即可得出关于
一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【详解】解：设每盒茶叶降价x元，则每盒的销售利润为 元，平均每天的销售量为 盒，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ．
又∵需要让利于顾客，
∴ ．
∴每盒茶叶降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式10-2】某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量 （个）与销售
单价 （元）之间满足如图所示的一次函数关系．(1)求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
(2)若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元?
【答案】(1)
(2)当天玩具的销售单位是40元或20元
【分析】（1）设一次函数的关系式为 ，采用待定系数法即可求解；
（2）设当天玩具的销售单位是x元，由题意得， ，解方程即可求解．
【详解】（1）设一次函数的关系式为 ，
由题图可知，函数图象过点 和点 把这两点的坐标代入一次函数 ，得 ，
解得 ，
∴一次函数的关系式为 ．
（2）设当天玩具的销售单位是x元，
由题意得， ，
解得： ， ，
∴当天玩具的销售单位是40元或20元．
【点睛】本题考查了一次函数以及一元二次方程的应用，明确题意，列出一元二次方程，是解答本题的关
键．
【变式10-3】直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在某APP上对一款成本价为每件8元的小商品进行
直播销售．如果按每件10元销售，每天可卖出200件．通过市场调查发现，每件小商品的售价每上涨1元，
每天的销售件数就减少20件．将每件小商品的售价定为多少元时，才能使每天的利润为640元？【答案】将每件小商品的售价定为12元或16元时，才能使每天的利润为640元
【分析】设每件小商品的售价定为 元，则每件的销售利润为 元，每天的销售量为
件，利用总利润=每件的销售利润×每天的销售量，即可得出关于 的一元二
次方程，解之即可得出每件商品的售价．
【详解】解：设每件小商品的售价定为 元，则每件的销售利润为 元，每天的销售量为
件．
依题意，得 ，
整理，得 ，
解得： ， ．
答：将每件小商品的售价定为12元或16元时，才能使每天的利润为640元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
题型十一一元二次方程的应用（面积问题）
【例21】如图，在一块长为30米，宽为24米的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的小路，其余部
分建成花园，已知小路的占地面积为50平方米，设小路的宽为x米，则可列方程为 ．
【答案】
【分析】由两条小路的重合部分是边长为x米的正方形，可得出小路的占地面积 矩形空地的长 小路的宽
矩形空地的宽 小路的宽 ，此题得解．
【详解】解：依题意得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关
键．
【例22】某公园要在一个足够大的草地上规划出一个矩形草坪 ，矩形草坪 的长 为 米，宽 为 米，并计划在草坪 上种植两条宽均为 米的两条互相垂直的花带（阴影部分），且两条花
带与矩形的边分别平行，余下的四块矩形草坪改为种植景观树．
(1)已知 ， ，且种植景观树的总面积为 平方米，每条花带的宽为多少米？
(2)若 ，每条花带的宽均为 米，且种植景观树的总面积为 平方米，求 ， 的值．
【答案】(1) 米
(2) ，
【分析】（1）将四块矩形场地拼成一个长方形，表示出长和宽，根据面积为 平方米，列一元二次方程，
解方程即可；
（2）由题意，四块矩形场地可拼合成一个长为 米，宽为 米的矩形，根据面积为 平方米，
列一元二次方程，解方程即可；
【详解】（1）解：依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， （不合题意，舍去）．
∴每条花带的宽均为2米．
（2）解：∵ ，
∴ ，
又∵花带的宽度 米，
∴四块矩形场地可合成长为 米，宽为 米的矩形．
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， （不合题意，舍去），
∴ ．
∴ ， ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．【变式11-1】如图，在一块长92m宽60m的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成
面积均为 的6个矩形小块，水渠应挖的宽为 ．
【答案】1
【分析】挖过水渠后的6个矩形小块可以拼成长为( ) ，宽为( ) 的矩形，据此列出方程，即
可求解．
【详解】解：设水渠应挖的宽为 ，由题意得
，
整理得： ，
解得： ， (舍去)，
水渠应挖的宽为 ，
故答案： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程在图形面积中的应用，找出变化后的长和宽是解题的关键．
【变式11-2】用 长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形场地，使场地的面积为 ，并且在垂直于墙的
一边开一个 长的小门（该门用其他材料），若墙长 ，则该长方形场地的长为 ．
【答案】4
【分析】设长方形场地垂直于墙一边长为 ，可以得出平行于墙的一边的长为 ．根据长方形
的面积公式建立方程即可．
【详解】解：设长方形场地垂直于墙一边长为 ，
则平行于墙的一边的长为 ，
由题意得 ，解得： ， ，
当 时，平行于墙的一边的长为 ，故不合题意；
∴该长方形场地的长为 米，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，长方形的面积公式的运用，正确寻找题目的等量
关系是解题的关键．
【变式11-3】寿春农场（文蔬苑）深受广大同学喜爱．如图所示，农场内有一长方形的空地．长为x米，
宽为12米，学生部把它分成甲、乙、丙三部分，甲和乙为正方形，现计划甲种植小青菜，乙种植花卉，丙
开辟成池塘．
(1)请用含x的代数式表示花区域的边长：_______米；
(2)若池塘的面积为32平方米，请求出x的值．
【答案】(1)
(2)x的值20或16
【分析】（1）由甲和乙为正方形，且该地长为x米，宽为12米，可得出丙的长，也即乙的边长．
（2）由（1）已求得丙的长，再求出丙的宽，即可得出丙的面积，由此列出方程，求解x即可．
【详解】（1）解：因为甲和乙为正方形，结合图形可得丙的长为： 米．
同样乙的边长也为 米，
故答案为： ；
（2）解：结合（1）得，丙的宽为 ，
所以丙的面积为：列方程得：
解方程得： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是表示出有关的线段的长．
题型十二一元二次方程的应用（动态几何问题）
【例23】如图，在 中， ， ，点 从 点出发，沿射线 方向以 的速度
移动，点 从 点出发，沿射线 方向以 的速度移动．如果 、 两点同时出发，问：经过
秒后 的面积等于 ．
【答案】1或7或
【分析】过点 作 于点 ，则 ，当运动时间为 秒时， ， ，
， ，根据 的面积等于 ，即可得出关于 的一元二次方程，解方程即可得
到答案．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，
，
，
，
当运动时间为 秒时，， ， ， ，
根据题意得： ，
当 时， ，
解得： ， ，
当 时， ，
解得： （不符合题意，舍去）， ，
经过1或7或 秒后， 的面积为 ，
故答案为：1或7或 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，含 角的直角三角形的性质，找准等量关系，正确列出一元
二次方程是解题的关键．
【例24】如图，等腰直角三角形 中， ，点P从点A开始沿 边向点B运动，过点P
作 ， ，分别交 于R，Q．
(1)四边形 的形状是______；若设 ，则四边形 的面积可表示为______；
(2)四边形 的面积能为 吗？能为 吗？如果能，请求出P点与A点之间的距离；如果不能，
请说明理由．
【答案】(1)平行四边形，(2)能等于 ，不能等于 ，理由见解析
【分析】（1）根据两组对边分别平行证明四边形 是平行四边形，利用等腰直角三角形的性质推出
，根据面积和差计算求出四边形 的面积；
（2）利用（1）列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵等腰直角三角形 中， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴
∴四边形 的面积为
∴
故答案为：平行四边形， ；
（2）能等于 ，不能等于 ．
设当平行四边形 的面积为 时，即 ，
解得 ．
即P点与A点之间的距离为4cm时，平行四边形 的面积为 ．
当平行四边形 面积为 时．即 ，此方程无解．
所以平行四边形 面积不能为 ．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定，求图形面积，解一元二次方程，正确理解平行四边形的判定定理
及图形面积的求法是解题的关键．
【变式12-1】如图，在 中， ， ， ，动点 从点 出发，沿 方
向运动，动点 从点 出发，沿 方向运动，如果点 ， 同时出发， ， 的运动速度均为 ．(1)那么运动几秒时，它们相距 ？
(2) 的面积能等于60平方厘米吗？为什么？
【答案】(1)9秒或12秒
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）设运动 秒时， ， 两点相距15厘米，利用勾股定理结合 ，可得出关于 的一元
二次方程，解之即可得出结论；
（2）设运动 秒时， 的面积等于60平方厘米，利用三角形的面积公式可得出关于 的一元二次方
程，由根的判别式 可得出原方程无解，即 的面积不能等于60平方厘米．
【详解】（1）解：设运动 秒时， ， 两点相距15厘米，
依题意，得： ，
解得： ， ，
运动9秒或12秒时， ， 两点相距15厘米；
（2） 的面积不能等于60平方厘米，理由如下：
设运动 秒时， 的面积等于60平方厘米，
依题意，得： ，
整理，得： ，
，
原方程无解，即 的面积不能等于60平方厘米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式12-2】如图， 中， ， ， ， ， 两点分别从 ， 出发，分别以
每秒 个单位， 个单位的速度沿边 ， 向终点 ， 运动，（有一个点达到终点则停止运动）．
(1)在运动的过程中， 是否能够等于 ？为什么？
(2)求经过多长时间后 ？
【答案】(1) 秒
(2) 秒
【分析】（1）设运动时间为 ，经过 秒后 ，则 ， ，根据题意可建立关于 的一
元一次方程，求解即可；
（2）设经过 秒后 ，则 ， ，利用勾股定理建立关于 的一元二次方程，求解即可．
【详解】（1）解：设运动时间为 ，
∵ ， ， ， ， 两点分别从 ， 出发，分别以每秒 个单位， 个单位的速度沿
边 ， 向终点 ， 运动（有一个点达到终点则停止运动），
∴点 到达终点 的运动时间为 （秒），
点 到达终点 的运动时间为 （秒），
∴ 的取值范围是： ，
∵ ， ，
根据题意得： ，
解得： ，
∴经过 秒后， 能够等于 ；（2）设经过 秒后 ，则 ， ，
由题意得： ，
解得： ， （舍去），
∴经过 秒后 ．
【点睛】本题考查一元二次方程和一元一次方程的实际运用，勾股定理，根据题意找到等量关系是解题的
关键．
【变式12-3】如图所示，在 中， ， ， ， ．
(1)点P从点A开始沿 向C点以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿 向A点以2cm/s的速度移动．
如果P、Q同时出发，经过t秒后， 的长度为______， 的长度为______．
(2)在（1）的背景下，经过几秒 的面积等于 ．
(3)点P从点A开始沿 向B点以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿 向C点以2cm/s的速度移动．
如果 ， 同时出发，经过几秒 的面积等于 ．
【答案】(1) ， ；
(2)当t为 或 时， 的面积等于
(3)经过 秒， 的面积等于 ．
【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间，再列代数式即可；
（2）根据三角形的面积公式列出方程，求解即可求出答案；
（3）画出图形，根据 ，求出 边上的高，根据面积列方程即可得到答案．【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）∵ 的面积等于 ，
∴ ，
整理得： ，
解得： ， ，
∴当t为 或 时， 的面积等于 ；
（3）∵ ， ， ，
∴ ，
∴最长运动时间为 ，
如图，连结 ，过Q作 于点H，
同理可得： ， ， ，
∵ ，
∴ ，
当 的面积等于 时，
∴ ，
∴ ，整理得： ，
解得： （不合题意，舍去）， ．
答：经过 秒， 的面积等于 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，含30度角的直角三角形的性质，根据路程=速度×时间求出各
个线段的长度是解题的关键．
一、单选题
1．（2022秋·四川成都·九年级成都实外校考期中）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是
的整式方程，叫做一元二次方程，即可一一判定．
【详解】解： 、 为是一元二次方程，故此选项符合题意；
、 是分式方程，故此选项不符合题意；
、 为二元二次方程，故此选项不符合题意；
、当 时，方程 不是一元二次方程，故此选项不符合题意．
故选： ．
【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握和运用一元二次方程的定义是解题的关键．
2．（2023秋·广西南宁·九年级三美学校校考期中）一元二次方程 的一根为 ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将 代入原方程，得到关于 的一元一次方程，求解即可．
【详解】解：把 代入 得： ，
解得： ，
故选：A．【点睛】本题主要考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值，是方程的解．
3．（2022秋·北京海淀·九年级校考期中）用配方法解方程 时，下列配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数 的一半的平方即可解答．
【详解】解：把方程 的常数项移到等号的右边可得： ，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到 ，
配方得 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法．配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二
次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
4．（2023秋·云南红河·九年级统考期末）一元二次方程 有两个相等的实数根，则
m等于（ ）
A． 或1 B．1 C． D．4或1
【答案】A
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根 列式求解即可得到答案；
【详解】解：∵一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ 且 ，
解得： ， ，
故选：A；
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
5．（2023秋·广东佛山·九年级期末）三角形边长分别为6和5，第三边是方程 的解，则此三
角形的周长是（ ）
A．15 B．13 C．15或13 D．15或17
【答案】C【分析】先求解一元二次方程，再利用构成三角形的条件及三角形的周长即可求解．
【详解】解： ，
解得： ， ，
，且 ，
6、5、2能构成三角形，
，且 ，
6、5、4能构成三角形，
三角形的周长是 或 ，
故选C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程、构成三角形的条件及三角形的周长，熟练掌握构成三角形的条件是
解题的关键．
6．（2023秋·河北石家庄·九年级统考期中）若 ， 是一元二次方程 的两个实数根，则
的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】根据根与系数的关系得出 ，再将所求式子变形，代入计算即可求出答案．
【详解】解：∵ ， 是一元二次方程 的两个实数根，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系定理，完全平方公式，熟练掌握定理和灵活进行公式变
形是解题的关键．
7．（2023秋·山东济宁·九年级校考期末）已知一元二次方程 中，下列说法：①若
，则 ； ②若方程两根为 和2，则 ； ③若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相等的实根；④若 ，则方程有两个不相等的实根．其中
正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的解的定义，判别式与根的个数的关系，根与系数的关系逐一进行判断即可．
【详解】解：①若 ，则1为方程的一个根，∴ ，故①正确；
②若方程两根为 和2，则： ，∴ ，②正确；
③若方程 有两个不相等的实数根，则： ，
当 时， ，满足题意，
但此时方程 无实数解，故③错误；
④若 ，则 ，
即方程有两个不相等的实数根，④正确；
正确的为：①②④，
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程解的定义，根的判别式，根与系数的关系．熟练掌握相关知识点是解题的
关键．
8．（2023秋·广东揭阳·九年级校考期末）如图是某月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出 个
位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积
为192，设这个最小数为 ，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【分析】由圈出的9个数可知最大数与最小数的差为16，设这个最小数为 ，则圈出的9个数中最大数为
，由“最大数与最小数的积为192”即可列出方程，得到答案．
【详解】解：由圈出的9个数可知：最大数与最小数的差为： ，
设这个最小数为 ，则圈出的9个数中最大数为 ，
根据题意得： ，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意得出圈出的9个数中最大数与最小数的差
为16是解题的关键．
二、填空题
9．（2023秋·河南郑州·九年级河南省实验中学校考期末）若关于x的一元二次方程 的一个
根是1，则 ．
【答案】2
【分析】将 代入题目中的方程，即可求得 的值，本题得以解决．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有一个根为1，
∴ ，
解得， ，
故答案为：2．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确一元二次方程的解得含义．
10．（2023秋·天津北辰·九年级校考期中）若m是方程 的一个实数根，则多项式
的值是 ．
【答案】2016
【分析】根据一元二次方程解的意义将m代入求出 ，进而将 代入 得
出答案．
【详解】解： m是方程 的一个实数根，
，即 ，
，故答案为：2016．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的应用及求代数式的值，能理解一元二次方程的解的定义是解此题
的关键．
11．（2022秋·四川成都·九年级成都实外校考期中）已知关于 的二次方程 的两
根为 ， ，且 ，则 ．
【答案】1
【分析】根据根与系数的关系可得 和 的值，然后根据 ，即可求得 的值．
【详解】解： 关于 的二次方程 的两根为 ， ，
， ，
，
，
解得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程 的两个实
数根 ， 和系数 ， ， ，有如下关系： ， ．
12．（2022秋·四川成都·九年级成都实外校考期中）若 ， （ ）为菱形 的两条对角线，且
a，b为一元二次方程 的两根，则菱形的周长为 ．
【答案】20
【分析】利用根与系数的关系可得出 ， ，进而可得出 的值，利用勾股定理及
菱形的性质，可求出菱形的边长，再利用菱形的周长计算公式，即可求出菱形的周长．【详解】解：∵a、b为一元二次方程 的两根，
∴ ， ，
∴ ，
∴菱形的边长为 ，
∴菱形的周长为 ．
故答案为：20．
【点睛】本题考查了根与系数的关系、菱形的性质以及勾股定理，利用根与系数的关系及勾股定理，求出
菱形的边长是解题的关键．
13．（2023秋·云南红河·九年级统考期末）任意写出一个以 ，5为根的一元二次方程是 ．
【答案】
【分析】根据一医院二次方程根与系数的关系直接求解即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
， ，
以 ，5为根的一元二次方程是： （答案不唯一），
故答案为： ；
【点睛】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握： ， ．
14．（2023秋·江西南昌·九年级统考期末）如图，在矩形 中， ，点M、N分别在边 、
上，连接 、 ．若四边形 是菱形，则 等于 ．
【答案】
【分析】证明 ， ，设 ， ，则 ，（x、y均为正数）．结合在中， ，即 ，可得得 ，再计算即可．
【详解】解：∵四边形 是菱形，
∴ ．
∵四边形 是矩形，
∴ ．
设 ， ，则 ，（x、y均为正数）．
在 中， ，即 ，
解得 ，（不符合题意的根舍去）
∴ ，
∴ ．
故答案是： ．
【点睛】本题考查的是矩形的性质，菱形的性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，熟练的利用勾
股定理建立方程是解本题的关键．
15．（2022秋·山东菏泽·九年级菏泽市牡丹区第二十二初级中学校考期中）若关于 的一元二次方程
有两个相等的实数根，则m的值为 ．
【答案】
【分析】根据当 时，方程有两个相等的实数根；据此对方程进行求解即可．
【详解】解：由题意得
， ， ，
，
原方程有两个相等的实数根，
，解得： ， ，
，
；
故答案： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握判别式与根的关系是解题的关键．
16．（2022秋·山西阳泉·九年级校联考期末）某校为改善校园环境，加大对绿化的投入，2021年对绿化投
入资金10万元，2023年对绿化投入资金 万元．现假定每年投入绿化资金的增长率相同，则该校投入
绿化资金的年平均增长率为 ．
【答案】
【分析】设该校投入绿化资金的年平均增长率为x，利用2021年投入资金金额=2023年投入资金金额(1+年
平均增长率)，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设该校投入绿化资金的年平均增长率为x，
由题意得：
解得： （舍）。
∴该校投入绿化资金的年平均增长率为 ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是找到正确的等量关系．
三、解答题
17．（2022秋·贵州毕节·九年级校考期中）已知 ， ， 且 是方程 的一个
解，求 的值.
【答案】5
【分析】先将此代数式进行分解因式化简．化简后为 ，再将 代入方程 中求出
，代入计算即可．
【详解】解： ，
将 代入方程 中可得 ，
解得 ，则 ．
【点睛】本题综合考查了分式的化简与方程解的定义．解这类题的关键是利用分解因式的方法化简分式，
将已知量与未知量联系起来．
18．（2022秋·陕西西安·九年级西安市东方中学校联考期中）已知关于 的方程 是
一元二次方程，求 的值．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义进行求解即可．
【详解】解：∵关于 的方程 是一元二次方程，
∴ 且 ，
解得 且 ，
∴ 的值为 ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如 ，其中a、b、c都是常数且
的方程叫做一元二次方程．
19．（2023秋·云南红河·九年级统考期末）解方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】（1）利用求根公式直接求解即可得到答案；
（2）利用因式分解法求解即可得到答案；
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴
∴ ，∴ ， ；
（2）解：原方程变形得，
，
因式分解得，
，
∴ ， ；
【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是选择适当的方法求解．
20．（2022秋·北京海淀·九年级清华附中校考期末）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程有一个根小于1，求k的取值范围．
【答案】(1)见详解；
(2)
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得 ，由此可证出方程总有两个实数根；
（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出 、 , 根据方程有一根小于1 ，即可得出关于
的一元一次不等式，解之即可得出 的取值范围；
【详解】（1）证明：∵在方程 中，
，
∴方程总有两个实数根；
（2）∵ ，
∴ ，
∵方程有一根小于 1 ，
∴ ，∴ 的取值范围为 ；
【点睛】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的 关键是
（1）牢记“当 时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根小于
1 ， 找出关于 的一元一次不等式
21．（2022秋·福建三明·九年级校考期中）某商场销售一批小家电，平均每天可售出20台，每台盈利40
元．为了去库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，在一定范围内，小家电的单价每降1元，
商场平均每天可多售出2台．如果商场将这批小家电的单价降低x元，据此规律，请回答：
(1)每天的销售量是 台（用含x的代数式表示）；
(2)如果商场通过销售这批小家电每天要盈利1050元，那么单价应降多少元？
(3)若这批小家电的单价有三种降价方式：降价10元、降价20元、降价30元，如果你是商场经理，你准备
采取哪种降价方式？说说理由．
【答案】(1)
(2)单价应降25元
(3)采取20元的降价方式，理由见详解
【分析】（1）根据题意可直接进行解答；
（2）由（1）及题意得 ，然后解方程即可；
（3）分别算出降价10元、降价20元、降价30元所得利润，然后进行比较即可．
【详解】（1）根据题意，得每天销售量为 台；
（2）根据题意，每天盈利： 元．
即有
解得 ， ．
当 时，销量为： （台），
当 时，销量为： （台），
∵为了去库存，
∴ ．
答：单价应降25元．（3）选择降价20元的方式．理由如下：
当降价10元时，利润 （元）
当降价20元时，利润 （元）
当降价30元时，利润 （元）
∵ ，且要去库存，
∴选择降价20元的方式．
答：采取20元的降价方式．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
22．（2022秋·陕西宝鸡·九年级校考期末）如图，在 中， ，点Q从
点A开始沿 边向点B以1cm/s的速度移动，点P从点B开始沿 边向点C以2cm/s的速度移动，两点
同时出发．
(1)出发几秒后，线段 的长为 ？
(2) 的面积能否等于 ？若能，求出时间；若不能，说明理由．
【答案】(1)出发 秒或2秒后，线段 的长为 ；
(2)不能，见解析
【分析】（1）点Q从点A开始沿 边向点B以1cm/s的速度移动，点P从点B开始沿 边向点C以
2cm/s的速度移动，表示出 和 的长度，利用勾股定理可列方程求解；
（2）利用三角形面积公式列出方程，根据根的判别式来判断该方程的根的情况．
【详解】（1）解：设 秒后，线段 的长为 ，由题意，得： ，
∴ ，
∴ ，
解得： 或 ，
∴出发 秒或2秒后，线段 的长为 ；
（2）解：不能，理由如下：
设 秒后， 的面积等于 ，
，
∴ ，
∴ 的面积 ，
整理，得： ，
∵ ，
∴方程无解，
∴ 的面积不能等于 ．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．解题的关键是正确的识图，准确的列出一元二次方程．
