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热点专题 02 二次函数（11 个热点）
考点一、二次函数的概念
一般地，形如 （ 是常数， ）的函数，叫做二次函数.
其中 是自变量， 分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项．
注意：二次函数的判断方法：
①函数关系式是整式；②化简后自变量的最高次数是2；③二次项系数不为0．
考点二、二次函数解析式
（1）一般式： （ 是常数， ）
（2）顶点式： （ 是常数， ），其中 为顶点坐标
（3）交点式： ( 是抛物线与 轴两交点的坐标，即一元二次方程的两个根 )。
考点三、 与 之间的关系
函数 平移到 的两种方法：
① （口诀:左加右减） （口
诀:上加下减）；
② （口诀:上加下减） （口诀:
左加右减）；
考点四、二次函数 的图像性质
的符号
开口方向 向上 向下
对称轴 直线 直线
b 4acb2 b 4acb2
顶点坐标 , ,
2a 4a 2a 4a
当 时， 随 的增大而减小﹔ 当 时 随 的增大而增大，
增减性
当 时 随 的增大而增大 当 时 随 的增大而减小
最值 当 时， 有最小值 当 时， 有最大值
考点五、二次函数图象与 轴的交点情况
判别式
有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根
一元二次方程
没有实数根
的根的情况
二次函数
的图
象抛物线与 轴的交点 ， 没有交点
考点六、二次函数与实际问题
解决此类问题的基本思路:
（1）理解问题;（2）分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系;
（3）利用公式或者关系列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围;
（4）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值;
（5）检验结果的合理性。
注意：最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定
题型一 二次函数的定义
【例1】下列各式中是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【例2】当 时， 是关于x的二次函数．
【变式1-1】下列函数一定是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】函数 为开口向上的抛物线，则 ．
【变式1-3】已知函数 （m为常数）．
(1)若这个函数是关于x的一次函数，求m的值．(2)若这个函数是关于x的二次函数，求m的取值范围．
题型二 求二次函数解析式
【例3】下表中y与x的数据满足我们初中学过的某种函数关系，其函数表达式为 ．
x … 0 1 3 …
y … 0 3 4 0 …
【例4】已知某抛物线的顶点坐标为 ，且经过点 ，求该抛物线的表达式．
【变式2-1】抛物线 关于原点对称的抛物线的解析式为 ．
【变式2-2】已知二次函数的图象经过点 ，且当 时，y有最小值 ，求二次函数的解析式．
【变式2-3】二次函数 过点 ， ， 三点，求 的值．
题型三 二次函数图象上点的坐标特征
【例5】已知点 在抛物线 上，且 ，则下列结论一定成立
的是（ ）
A． B． C． D．
【例6】 、 、 是抛物线 上三点， ， ， 的大小关系为
．
【变式3-1】若二次函数 ，当 时， 随 的增大而减小，则 应该满足（ ）A． B． C． D．
【变式3-2】在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与y轴交于正半轴，其图象上有三点
， ， ，则 、 、 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】若 ， ， 为二次函数 图象上三点，则 ， ， 的大
小关系为 ．（用 “>”号表示）
题型四 二次函数的几何变换
【例7】将抛物线 向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的解析式
是（ ）
A． B． C． D．
【例8】抛物线 可由 如何平移得到（ ）
A．先向右平移2个单位，再向下平移5个单位
B．先向右平移2个单位，再向上平移5个单位
C．先向左平移2个单位，再向下平移5个单位
D．先向左平移2个单位，再向上平移5个单位
【变式4-1】将抛物线 平移后得到抛物线 ，下列平移方法正确的是（ ）
A．先向左平移1个单位，再向上平移1个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移1个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移1个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移1个单位【变式4-2】若抛物线 平移得到 ，则必须（ ）
A．先向左平移4个单位，再向下平移1个单位
B．先向右平移1个单位，再向上平移4个单位
C．先向左平移1个单位，再向下平移4个单位
D．先向右平移4个单位，再向上平移1个单位
【变式4-3】把 的图象向上平移 个单位，向左平移 个单位
(1)求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴；
(2)画出图象；
(3)求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的 的值．
题型五 一次函数与二次函数图象
【例9】在同一坐标系内，函数 和 的图象大致如图（ ）
A． B．C． D．
【例10】在平面直角坐标系中，二次函数 和一次函数 的大致图象可能
是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-1】函数 与 （ 且 ）在同一平面直角坐标系内的图象大致是（ ）
A． B． C． D．【变式5-2】在同一平面直角坐标系中，一次函数 和二次函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-3】函数 与 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
题型六 二次函数图象与系数关系
【例11】如图是二次函数 在平面直角坐标系中的图象，根据图象判断：① ；②；③ ；④ ；⑤ ．其中正确的结论序号是（ ）
A．①③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①②④⑤
【例12】如图，二次函数 的图象与 轴正半轴相交，其顶点坐标为 ，且抛物线与 轴
的一个交点的横坐标在 与 之间，下列结论① ；② ；③ ；④ ；⑤
．其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式6-1】已知二次函数 的图象如图所示，给出下列结论：① ；② ；
③ 为任意实数 ；④ ；其中正确的结论有（ ）A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【变式6-2】二次函数 的图象如图所示，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】二次函数 的图象如图，对称轴是直线 ，下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型七 二次函数与解不等式
【例13】已知二次函数 的图象如图所示，当 时， 的取值范围是 ．【例14】如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴交于点A，与 轴交于点 ．抛物线
的对称轴是 且经过 两点，与 轴的另一交点为点 ．
(1)求抛物线解析式．
(2)并直接写出 时， 的取值范围．
【变式7-1】如图，已知抛物线 与直线 交于 ， 两点．则关于x的不
等式 的解集是 ．
【变式7-2】如图，一次函数 与二次函数 的图象相交于 ，两点，则关于x的不等式 的解集为( )
A． B． C． D． 或
【变式7-3】如图，抛物线 与直线 交于 两点，则不等式
的解集是 ．
题型八 利用二次函数解决最值问题
【例15】在平面直角坐标系中，点C和点D的坐标分别为 和 ，抛物线
与线段 只有一个公共点，则m的取值范围 .
【例16】如图，抛物线 交x轴于点 ，交y轴于点B，对称轴是直线 ﹒(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使 的周长最小?若存在，求出点P的坐标：若
不存在，请说明理由；
【变式8-1】已知二次函数 ，当 时， 的最小值为 ，则a的值为
．
【变式8-2】已知二次函数 （ ）的图象经过点（ ， ）和（ ， ）．
(1)求二次函数的表达式和顶点坐标．
(2)当 时，y有最小值 ，求m的值．
【变式8-3】如图，抛物线 与 轴交于点 ， 与 轴交于点 ，点 的坐标为 ，点
的坐标为 ．(1)求抛物线的表达式；
(2)若点 是第四象限内抛物线上一动点，连接 ， ，求 的面积 的最大值；
(3)当 时，抛物线有最小值5，求 的值．
题型九 二次函数新定义问题
【例17】新定义： 为二次函数 （ ，a，b，c为实数）的 “图像数”，如：
的“图像数”为 ，若“图像数”是 的二次函数的图像与x轴只有一
个交点，则m的值为（ ）
A． B． C． 或2 D．2
【例18】定义：如果两个二次函数的图像的开口大小相同，方向相反且顶点的横坐标、纵坐标都互为相反
数，则称其中一个二次函数为另一个二次函数的美丽函数．如 与 互为美丽函
数．
(1)求 的美丽函数的表达式；
(2)若 的图像的顶点为P，且经过它的美丽函数 的图像的顶点Q．
①求证：这两个函数的图像的交点为P，Q；
②点M是 在P，Q之间的图像的动点， 轴交 的图像于点N，求MN
长度的最大值．
【变式9-1】我们定义一种新函数：形如 （ 且 ）的函数叫做“绝对值“函数．
小明同学画出了“绝对值”函数 的图象（如图所示），并写出下列五个结论：
①图象与坐标轴的交点为 ， 和 ；
②图象具有对称性，对称轴是直线 ；③当 或 时，函数值y随x的增大而减小；
④当 或 时，函数的最小值是9；
⑤当 与 的图象恰好有3个公共点时 或
其中结论正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式9-2】我们定义：若点 在某一个函数的图象上，且点 的横纵坐标相等，我们称点 为这个函数
的“好点” 若关于 的二次函数 对于任意的常数 ，恒有两个“好点”，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【变式9-3】定义 为函数 的“特征数”．如函数 的特征数为 ，函
数 的特征数为 ，若特征数为 的函数图象与x轴只有一个交点，则a的值为 ．
题型十 二次函数的实际应用
【例19】某学校根据地形情况，要对景观带中一个长 ，宽 的长方形水池 进行加长
改造（如图①，改造后的水池 仍为长方形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为12m的矩
形水池 （如图②，以下简称水池2）.如果设水池 的边AD加长长度DM为 ，加长
后水池1的总面积为 ，设水池2的边 的长为 ，水池2的面积为 .(1)直接写出 ， 关于x的函数解析式.
(2)当水池1与水池2的面积相等时，求此时x的值.
(3)当 时，设 ，求W的最大值和此时x的值.
【例20】某商场购进一种每件成本为80元的新商品，在商场试销发现：销售单价x（元/件）与每天销售
量y（件）之间满足如图所示的关系：
(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)疫情期间，有关部门规定每件商品的利润率不得超过 ，那么将售价定为多少，来保证每天获得的总
利润最大，最大总利润是多少？
(3)在试销过程中，受国家扶持，每销售一件新产品，国家补贴商场a元（ ），并要求包含补贴后
每件的利润不高于36元，通过销售记录发现：每件补贴经费a元后，每天销售的总利润仍随着售价的增大
而增大，求出a的取值范围．
【变式10-1】某水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过讨价还价，实际价格每千克比
原来少2元，发现原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克．(1)现在实际购进这种水果每千克多少元？
(2)王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量 （千克）与销售单价 （元/千克）满足如图所示
的一次函数关系．
①求 与 之间的函数关系式；
②请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？
【变式10-2】如图，小朋友燃放--种手持烟花，这种烟花每隔1.6秒发射一发花弹，每一发花弹的飞行路径，
爆炸时的高度均相同．小朋友发射出的第一发花弹的飞行高度h（米）随飞行时间t（秒）变化的规律如下
表．
t/秒 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 …
h/米 1.8 7.3 11.8 15.3 17.8 19.3 19.8 19.3 17.8 …
(1)根据这些数据选择适当的函数表示h（米）与t（秒）之间的关系．直接写出相应的函数表
达式__________；
(2)当第一发花弹发射2.2秒后，第二发花弹达到的高度为多少米？
(3)为了安全，要求花弹爆炸时的高度不低于19米．小朋友发现在第一发花弹爆炸的同时，第二发花弹与
它处于同一高度，请分析花弹的爆炸高度是否符合安全要求？
【变式10-3】如图，在 中， ， ， ，动点 从点 开始沿边 向终点 以
每秒2个单位长度的速度移动，动点 从点 开始沿边 以每秒4个单位长度的速度向终点 移动，如果
点 ， 分别从点 ， 同时出发，(1)写出 的面积关于出发时间 的函数解析式及 的取值范围；
(2)四边形 的面积随出发时间 如何变化？写出函数解析式及 的取值范围．
题型十一二次函数的综合应用
【例21】已知，抛物线 经过点 和 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使 的值最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存
在，请说明理由；
(3)设点B是抛物线与x轴的另一个交点，点M是直线 上方的抛物线上的一点，当 的面积最大时，
求点M的坐标．
【例22】如图，抛物线 与x轴交于点A和点B，与 轴交于点C．(1)在抛物线的对称轴上找一点D，使 最短，求出D点坐标；
(2)P是y轴正半轴上一点，且 是以 为腰的等腰三角形，试求P点坐标．
【变式11-1】综合与探究
如图，二次函数 的图像与 轴交于 两点，与 轴交于点 ，点 的坐标为 ，且
， 是线段 上的一个动点，过点 作直线 垂直于 轴交直线 和抛物线分别于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点 的横坐标为 ．当 为何值时，线段 有最大值，并写出最大值为多少；
(3)若点 是直线 上的一个动点，在坐标平面内是否存在点 ，使以点 为顶点的四边形是
菱形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式11-2】如图，抛物线l的顶点C在y轴上，点A，B为抛物线上关于y轴对称的两点，线段 交y
轴于点D， ， ， ．(1)求抛物线l的函数表达式；
(2)将抛物线l平移到抛物线 ，设平移后点A，B的对应点为 ， ，若点A落在直线 上，且以A、
B、 、 为顶点的四边形是菱形，试确定平移后抛物线 的表达式．
【变式11-3】如图，抛物线 经过 ， 两点，与 轴交于点 ，直线
与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2) 为抛物线上的点，连接 交直线 于 ，当 是 中点时，求点 的坐标；
(3) 在直线 上，当 为直角三角形时，求出点 的坐标．
一、单选题
1．（2022秋·福建福州·九年级校考期中）已知二次函数 ，下列叙述错误的是（ ）
A．图象开口向上 B．图象的对称轴为直线
C．函数有最小值 D． 时，函数值y随自变量x的增大而减小2．（2022秋·福建龙岩·九年级校联考期中）将抛物线 向左平移2个单位，再向下平移3个单位，
得到抛物线解析式为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·陕西延安·九年级校考期末）如图，二次函数 的图象与 轴相交于 和
两点，当函数值 时，自变量 的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 或
4．（2022春·黑龙江绥化·八年级统考期末）图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，
拱顶（拱桥洞的最高点）离水面 ，水面宽 ，如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是
（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·江西南昌·九年级校考期中）下表中列出的是一个二次函数的自变量 与函数 的两组对应值：
… 0 …
… …
下列各选项中可能错误的是（ ）A．这个函数的图象开口方向无法确定
B．这个函数的图象对称轴是直线
C．如果 时，函数y的值算 的增大而或小，那么这个函数有最大值
D．二次函数与 轴一定有两个交点
6．（2023秋·新疆伊犁·九年级校考期末）已知抛物线 的顶点为 ，与x轴的一个交点
在 和 之间，其部分图象如图，则以下结论：① ；② ；③ ；④
方程 一定有实数根，其中正确的结论为（ ）
A．②③ B．①③ C．①②③ D．①②
7．（2023秋·云南昭通·九年级统考期末）直线l过点 且与y轴垂直，若二次函数 （其
中x是自变量）的图像与直线l有两个不同的交点，且其对称轴在y轴右侧，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级校考期中）如图，正方形 边长为4，E、F、G、H分别是
上的点，且 ．设A、E两点间的距离为x，四边形 的面积为
y，则y与x的函数图象可能是（ ）A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2022秋·福建龙岩·九年级校联考期中）二次函数 的图象如图，则一次函数 的
图象不经过第 象限．
10．（2022秋·内蒙古呼伦贝尔·九年级校考期中）抛物线 如图所示，则一元二次方程
的解为 ．
11．（2022秋·河北邯郸·九年级校考期中）如图，一段抛物线： ，记为 ，它与轴交于点 ， ；将 绕点 旋转 得 ，交 轴于点 ；将 绕点 旋转 得 ，交 轴于点 ；
如此进行下去．
（1）点 的坐标是 ．
（2）若 在第 段抛物线 上，则 ．
12．（2022秋·福建福州·九年级校考期中）一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离
（单位： ）之间的关系是 ，则铅球推出的距离为 m．
13．（2022秋·陕西西安·九年级校考期中）若 ， ， 是抛物线 上的
三点，则 ， ， 的大小关系为 ．（用“＜”连接）
14．（2021秋·福建莆田·九年级统考期中）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称
为“梦之点”，例如点 ， ， ，…都是“梦之点”．已知关于 的方程
的两根分别为 ，2，若二次函数 （ ， 是常数， ）的图象上存在
两个不同的“梦之点”，则“梦之点”是 ．
15．（2023春·山东淄博·九年级统考期中）若关于 的一元二次方程 （ 为实数）在
的范围内有解，则 的取值范围是 ．16．（2020秋·福建龙岩·九年级龙岩初级中学校考期中）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，
是以点 为圆心，2为半径的 上的一个动点， 是线段 的中点，连接 ．则线段 的最大
值是_________．
三、解答题
17．（2023秋·北京朝阳·九年级和平街第一中学校考期中）已知二次函数 .
(1)在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象；
(2)当 时，结合函数图象，直接写出y的取值范围.
18．（2023春·河北沧州·九年级校考期中）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象
与 轴交于 、 两点， 点在原点的左侧， 点的坐标为 ，与y轴交于 点，点 是直线
下方的抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式；
(2)当点 运动到什么位置时，四边形 的面积最大并求出此时 点的坐标和四边形 的最大面积．
19．（2022秋·江西南昌·九年级校考期中）某滨江公园一处喷水景观，喷出的水柱的轨迹呈抛物线形状，
数学小组对此展开测量：测得喷水头P距地面1.1m，水柱轨迹点在距喷水头P水平距离5m处达到最高，
最高点距地面3.6m；将收集到数据建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为
，其中 是水柱轨迹点到喷水头的水平距离， 是水柱轨迹点到地面的高度．
(1)求抛物线的表达式．
(2)现有另一水柱从距点P高0.2m的Q处喷出，其轨迹的解析式为 ，落点恰好为A点
右边的B点处．
①求 ；
②水柱 ， 两者的最大高度相差多少？
20．（2021秋·陕西渭南·九年级校考期中）如图，已知抛物线 与 轴交于 、 两点（点
在点 的左侧），与 轴交于点 ，连接 ．(1)求 、 、 三点的坐标；
(2)若点 为线段 上的一点（不与 、 重合）， 轴，且 交抛物线于点 ，当线段 的长
度最大时，求点 的坐标．
21．（2022春·福建福州·八年级校考期末）已知抛物线 ．
(1)求证：该抛物线与x轴总有交点；
(2)若抛物线与x轴交于A、B两点，且 ，对于该抛物线上的任意两点 ， ，当
时，总有 ．
①求该抛物线的函数解析式；
②若直线 与抛物线交于P，Q两点（P，Q都不与A，B重合），直线 ， 分别与y轴交
于点M，N，设M，N两点的纵坐标分别为m，n，求证： 为定值．
22．（2022秋·福建福州·九年级校考期中）某超市销售一款洗手液，这款洗手液成本为每瓶16元，当销售
单价定为每瓶20元时，每天可售出60瓶．市场调查反应，销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶．若
设这款洗手液的销售单价上涨x元，每天的销售利润为y元．
(1)每天的销售量为________瓶，每瓶洗手液的利润是________元．（用含x的代数式表示）；
(2)若这款洗手液的日销售利润y达到300元，则销售单价应上涨多少元？
(3)当销售单价上涨多少元时（物价部门规定销售单价不得高于23元），这款洗手液每天的销售利润最大，
最大利润为多少元？
