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专项突破-根的判别式和根与系数的关系
◎突破一：根的判别式
【技巧】根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
专训1．（2021·湖南·长沙县安沙镇杨梓中学九年级期中）关于x的一元二次方程 的根的存在情
况是（ ）
A．此方程有两个不等实数根 B．此方程有两个相等实数根
C．此方程没有实数根 D．此方程只有一个实数根
专训2．（2021·湖南·长沙市华益中学三模）关于x的方程x2﹣mx﹣1＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
专训3．（2022·陕西汉中·九年级期末）一元二次方程 根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
专训4．（北京市延庆区2021-2022学年八年级下学期期末数学试题）已知关于 的一元二次方程
．
(1)如果该方程有两个相等的实数根，求m的值；
(2)如果该方程有一个根小于0，求m的取值范围．
专训5．（2022·湖南长沙·八年级期末）关于 的一元二次方程 有实数根．
(1)求 的取值范围；
(2)如果 ， 是方程的两个解，令 ，求 的最大值．
专训6．（2022·江西吉安·九年级期末）已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数
根．
(1)求k的取值范围；(2)若m，n是方程的两根，且 ，求k的值；
◎突破二：根与系数的关系
b
【技巧】根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=− ，x1x2
a
c
= ．
a
专训1．（2022·湖南益阳·中考真题）若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（
）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
专训2．（2022·贵州黔东南·中考真题）已知关于 的一元二次方程 的两根分别记为 ， ，
若 ，则 的值为（ ）
A．7 B． C．6 D．
专训3．（2022·山东威海·八年级期末）若关于x的一元二次方程 的两个实数根互为
倒数，则k=（ ）
A．1 B．-1
C． D．
专训4．（2022·全国·九年级课时练习）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣3＝0有实数根．
(1)求实数m的取值范围；
(2)当m＝2时，方程的根为x，x，求代数式（x2+2x）（x2+4x+2）的值．
1 2 1 1 2 2
专训5．（2022·广东·惠州一中八年级期末）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)求证：无论 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若该方程的两个实数根 满足 ，求 的值．
专训6．（2022·北京四中模拟预测）已知关于 的一元二次方程
(1)若这个方程有两个不相等的实数根， 求 的取值范围；(2)当 时， 求方程的两个根
