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培优专题 03 根的判别式的五种常见应用
◎应用一 判断一元二次方程根的情况
式子 b 2 -4a c 叫做方程 a x 2 +bx+c=0( a ≠ 0 ) 根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△ = b 2 -4ac .
1．（2022·辽宁大连·八年级期末）一元二次方程 的根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．两个相等的实数根 D．两个不相等的实数根
【答案】D
【分析】先计算判别式的意义，然后根据判别式的意义判断根的情况．
【详解】解：∵
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根与 有如下关系：当Δ
＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
2．（2022·新疆乌鲁木齐·二模）关于x的一元二次方程x2＋kx﹣2＝0（k为实数）根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．不能确定
【答案】C
【分析】利用一元二次方程的根的判别式即可求解．
【详解】解：由根的判别式得：Δ=b2-4ac=k2+8＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点睛】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（Δ=b2-4ac）可以判断
方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数
根；②当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0 时，方程无实数根．上述结论反过来也成立．
3．（2022·江苏·九年级专题练习）关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则
值为__________．
【答案】1
【分析】由题意知， ，计算求解即可．
【详解】解：由题意知， ，
解得 ，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的个数与判别式的关系．解题的关键在于明确当 时，一元二次
方程有两个相等的实数根．
4．（2022·江苏·九年级课时练习）关于x的一元二次方程 有实数根，则实数a的取值范围为
______．
【答案】 且 ## 且
【分析】根据一元二次方程实数根的情况与判别式的关系列不等式求解即可．
【详解】解：根据题意得， ，
解得： 且 ，
故答案为： 且 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程实数根的情况与根的判别式的关系．注意：一元二次方程存在的条件是
二次项系数不等于0．
5（2022·全国·九年级单元测试）已知关于 的方程 有两个不相等的实根，判断
关于 的方程 的根的情况．【答案】有两个不相等的实数根．
【分析】先根据一元二次方程根的判别式 结合第一个方程，可确定p的取值范围．再由不等式
的性质可求出第二个方程的根的判别式 的符号，即可确定其根的情况．
【详解】∵关于 的方程 有两个不相等的实根，
∴ ，且 ，
解得： 且 ．
∵关于 的方程 的根的判别式 ，
∴ ，且 ，
∴关于 的方程 ，有两个不相等的实数根．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式．解题的关键是掌握一元二次方程 的
根的判别式为 ，当 时，原方程有两个不相等的实数根；当 时，原方程有两个相等的
实数根；当 时，原方程没有实数根．
◎应用二 求字母的值或取值范围
根据判别式，确定与 0 的关系，直接代入解不等式即可
6．（2022·山东泰安·八年级期末）若关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范
围为（ ）
A． B． 且 C． D． 且
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义及判别式得出关于 的不等式组，求解即可得出 的取值范围．
【详解】解： 关于 的一元二次方程 有实数根，
且 ，解得 且 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是根据题意得出关于 的方程．
7．（2022·浙江杭州·八年级期中）对于一元二次方程 ，满足 ，且有两个相
等的实数根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据a−b＋c＝0可知b＝a＋c，因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式Δ＝
，求出a＝c即可得出答案．
【详解】解：∵a−b＋c＝0，
∴b＝a＋c，
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝ ，
∴a＝c，
∴b＝2a＝2c，
∴ ，
故选项B、C、D错误，选项A正确，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
8．（2022·浙江湖州·八年级期末）若一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个相等的实数根，
则a的值是_____．
【答案】1
【分析】根据已知条件“一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个相等的实数根”可知根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝
0，据此可以求得a的值．
【详解】解：∵一元二次方程x2﹣2x+a＝0的二次项系数a＝1，一次项系数b＝﹣2，常数项c＝a，且一元
二次方程x2﹣2x+a＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝0，即Δ＝（﹣2）2﹣4×1×a＝0，
解得a＝1．
故答案是：1．【点睛】本题考查了一元二次方程 ( 为常数)的根的判别式 ，理解
根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方
程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根．
9．（2022·福建三明·九年级期末）若关于x的一元二次方程（x＋3）2＝c没有实数根，则c的值可以是
_____．（写出一个即可）
【答案】-1（答案不唯一）
【分析】根据非负数的性质可得当 时，一元二次方程（x＋3）2＝c没有实数根，于是只要使c的值为
负数即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程（x＋3）2＝c没有实数根，
则 ，所以 的值可以是-1（答案不唯一）．
故答案为：-1（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，正确理解题意、掌握非负数的性质是关键．
10．（2022·浙江金华·八年级期末）已知关于x的方程： 有两个不相等的实数根，
(1)求实数k的取值范围、
(2)已如方程的一个根为5，求方程的另一个根．
【答案】(1)
(2)-1
【分析】（1）根据根的判别式求出 ，再求出不等式的解集即可；
（2）设方程的另一个根为a，根据根与系数的关系列方程求解即可．
（1）
解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得： ；
（2）
解：设方程的另一个根为a，
∴ ，
解得： ，
∴方程的另一个根为-1．
【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，熟练堂握根的判别式及根与系数的关系的相关知识是解题的关键．
◎应用三 与三角形结合
一般会把根与三角形的边进行结合考察，考虑到三角形的三边关系能否构成三角形即可，有时候还会与等
腰三角形结合。
11．（2019·福建莆田·九年级阶段练习）已知△ABC的三边长分别是a，b，c，且关于x的一元二次方程
有两个相等的实数根，则可推断△ABC一定是（ ）．
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
【答案】C
【分析】根据判别式的意义得到 ，然后根据勾股定理的逆定理判断三角形为直角
三角形.
【详解】根据题意得： ，
所以 ，
所以 为直角三角形， .
故选： .
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根与 有如下关系：当
时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数根.
也考查了勾股定理的逆定理.
12．（2018·浙江·九年级期中）已知关于x的一元二次方程 ，其中a、b、c分别为
三边的下列关于这个方程的解和 形状判断的结论错误的是（ ）．
A．如果 是方程的根，则 是等腰三角形
B．如果方程有两个相等的实数根，则 是直角三角形
C．如果 是等边三角形，方程的解是 或
D．如果方程无实数解，则 是锐角三角形
【答案】D
【分析】A. 将 代入方程中即可判断；
B. 根据方程有两个相等的实数根，使 即可判断；
C. 根据 是等边三角形，故a=b=c代入方程求解即可；D. 根据方程无实数解，使 即可判断；
【详解】A.将 代入方程中，得： ，解得：a=b，故A正确；
B.因为方程有两个相等的实数根，所以 ，解得： ，所以 是直
角三角形，故B正确；
C.因为 是等边三角形，所以a=b=c，所以此方程为： ，解得： 或 ，故C正
确；
D. 因为方程无实数解，所以 ，解得： ，为钝角三角形，故D错误；
故选D.
【点睛】此题考查的是一元二次方程的解与系数之间的关系，掌握根与系数a、b、c和 之间的关系是解
决此题的关键.
13．（2017·江苏·盐城市实验高级中学九年级阶段练习）已知等腰三角形的两腰是关于x的一元二次方程
x2﹣kx+4=0的两根，则k=__．
【答案】4
【详解】试题解析：由题意可知：方程 有两个相等的实数根.
即
解得：
当 时，方程得两根为 不符合，故舍去.
故答案为
14．（2020·四川师范大学附属中学九年级阶段练习）关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0，若等腰三
角形 ABC一边长为a＝6，另两边长b，c为方程两个根，则 ABC的周长为_____．
【答△案】16或22． △
【分析】首先判定方程是否有实数根，利用求根公式得到x=2k，x= k+1，根据等腰三角形的性质分类讨
1 2
论，分别计算k的值，从而求出b、c的值，然后根据三角形三边的关系和三角形周长的定义求解即可．
【详解】解：Δ=b2-4ac= = ，无论k取何实数值都有Δ = ≥0，
，
则x=2k，x= k+1，
1 2
①在等腰三角形 ABC中，当边长b，c相等时，
即2k=k+1时，解△得k=1，
此时x=x=2，即b，c的长为2，而2+2＜6（不满足任意两边之和大于第三边，故舍去），
1 2
②在等腰三角形 ABC中，当边长a与x 相等时，
1
即2k=6时，解得△k=3，
此时x=6，x= 4，
1 2
此时 ABC的周长为6+6+4=16，
③在△等腰三角形 ABC中，当边长a与x
2
相等时，
即k+1=6时，解得△ k=5，
此时x=10，x= 6，
1 2
此时 ABC的周长为6+6+10=22，
综上△所述： ABC的周长为16或22；
故答案为16△或22．
【点睛】本题考查了根的判别式、三角形三边关系以及等腰三角形的性质， ABC为等腰三角形分a为腰
长以及底边长两种情况，a为腰长又可分为两种情况考虑是解题的关键． △
15．（2021·河南南阳·九年级期中）已知关于 的方程
(1)求证：无论 取何值，该方程总有实数根；
(2)若等腰 的一边长 ，另两边 、 恰好是该方程的两个根，求三角形另外两边的长．
【答案】(1)见解析
(2)三角形另外两边长为2，2
【分析】（1）检验根的判别式的正负情况即可得证．
（2）△ABC是等腰三角形，若b=c，即 =0，解出k后代入方程，解方程可得另外两边长；若a是腰，则
a＝1是方程的根，把1代入方程解出k后，再解出方程另一个解，检验是否符合三角形三边关系即可．
（1）
证明：所以此方程总有实根．
（2）
解：①若 ，则此方程有两个相等实根
此时 ，则 ，
原方程为： ， ，
∴另外两边长为2和2，
②若 ，则 是方程 的根，
∴ ，
∴ ，
原方程为 ，
解得： ， ，
而1、1、2为边不能构成三角形．
所以，三角形另外两边长为2，2．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、等腰三角形存在性、三角形三边关系等
知识点，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．
◎应用四 与不等式结合
16．（2022·云南昆明·二模）若a满足不等式组 ，则关于x的方程
的根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不等的实数根 D．不能
确定
【答案】A
【分析】首先解关于a的不等式组求出a的取值范围，结合a的范围和根的判别式 =b2-4ac，判断出b2-4ac的取值范围，从而可判断出一元二次方程的根的情况，得出答案．
【详解】解不等式组 ，得a＜-3，
∴ ，
根据a＜-3可知 ，
方程 没有实数根．
∴
故选：A．
【点睛】本题考查了解不等式组以及一元二次方程根的判别式的运用.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根
的情况与判别式 =b2-4ac的关系： ＞0，则方程有两个不相等的实数根； =0，则方程有两个相等
的实数根； ＜0，则方程没有实①数根. ②
③
17．（2017·河北·模拟预测）若a满足不等式组 则关于x的方程(a－2)x2－(2a－1)x＋a＋ ＝0的
根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．以上三种
情况都有可能
【答案】C
【分析】首先解关于a的不等式组求出a的取值范围，结合a的范围和根的判别式△=b2-4ac，判断出b2-
4ac的取值范围，从而可判断出一元二次方程的根的情况，得出答案.
【详解】解不等式组 ，得a＜-3，
∴△=(2a-1)2-4(a-2)(a+ )=2a+5＜0，
∴方程(a-2)x2-(2a-1)x+a+12=0没有实数根.
故选C.
【点睛】本题考查了解不等式组以及一元二次方程根的判别式的运用.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根
的情况与判别式△=b2-4ac的关系：① ＞0，则方程有两个不相等的实数根；② =0，则方程有两个相等
的实数根；③ ＜0，则方程没有实数△根. △
△18．（2015·山东聊城·九年级阶段练习）若ax2+x+1=0是关于x的一元二次方程且无实数根，则不等式
3a+6>0的解集是____
【答案】a＞ .
【详解】试题分析：本题根据一元二次方程的定义和解不等式来解答；
试题解析：∵3a+6＞0，
∴3a＞-6，
解得：a＞-2；
根据一元二次方程的定义，a≠0；
又方程无实数根
∴1-4a＜0
即：a＞ .
所以：则不等式3a+6>0的解集是a＞ .
考点：1.一元二次方程的定义；2.解一元一次不等式．
19．（2021·四川师范大学附属中学九年级阶段练习）若a满足不等式组 ，且关于x的一元二次方
程（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a+ ＝0有实数根，则满足条件的实数a的所有整数和为_______．
【答案】-3
【分析】先解不等式组求出解集，再根据一元二次方程根判别式求出解集，由此得到a的取值范围得到满
足条件的整数，计算和即可．
【详解】解：解不等式组 得a<1，
∵一元二次方程（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a+ ＝0有实数根，
∴ ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
满足条件的实数a的所有整数为-2，-1,0，
∴满足条件的实数a的所有整数和为-2-1+0=-3，
故答案为：-3．
【点睛】此题考查解不等式组，一元二次方程的根的判别式，正确掌握解不等式组的方法及一元二次方程
的根的判别式的计算公式是解题的关键．
20．（2022·北京·人大附中九年级开学考试）已知实数a满足不等式 ．
(1)求这个不等式的解集；
(2)若关于x的方程 有两个不相等的实数根，求所有满足条件的整数a的值．
【答案】(1)
(2)-1，0
【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤：云分母、云括号、移项、合并同类项、系数化为1求解即可；
（2）根据方程 有两个不相等的实数根求出a的取值范围，结合（1）确定a的取值范围，从而
可得结论．
(1)
去分母得，
去括号得，
移项得，
合并得，
系数化为1，得：
(2)
∵关于x的方程 有两个不相等的实数根，
∴
∴∴
∴整数a的值为：-1，0．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，一元二次方程根的判别式以及一元一次不等式的整数解，正确解
不等式，求出解集是解答本题的关键，解不等式应根据不等式的基本性质
◎应用五 与一次函数结合
通过一次函数与方程和不等式的关系，观察图像即可
21．（2022·河南南阳·二模）若一元二次方程 无实数根，则一次函数 的图
象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根据判别式的意义得到△ ，解得 ，然后根据一次函数的性质可得到一次函数
图象经过的象限．
【详解】解： 一元二次方程 无实数根，
△ ，
△ ，
，
，即 ，
，即 ，
一次函数 的图象不经过第一象限，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程 的根的判别式△ ：当△ ，方程有两
个不相等的实数根；当△ ，方程有两个相等的实数根；当△ ，方程没有实数根．也考查了一次函数
图象与系数的关系．
22．（2022·全国·九年级课时练习）若一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，则一次函数y＝（m+1）x+m
﹣1的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A
【分析】根据判别式的意义得到△ ，解得 ，然后根据一次函数的性质可得到一次函数
图象经过的象限．
【详解】解： 一元二次方程 无实数根，
△ ，
△ ，
，
，即 ，
，即 ，
一次函数 的图象不经过第一象限，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程 的根的判别式△ ：当△ ，方程有两
个不相等的实数根；当△ ，方程有两个相等的实数根；当△ ，方程没有实数根．也考查了一次函数
图象与系数的关系．
23．（2021·全国·八年级）若一元二次方程x2+2x﹣m＝0无实数根，则一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图
象不经过第_____象限．
【答案】一
【分析】根据方程无实数根得出b2﹣4ac＜0，代入数据即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可
得出m的取值范围，再根据m的取值范围来确定一次函数系数k、b的符号，由此即可得出一次函数经过
的象限，此题得解．
【详解】解：由已知得： ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣m）＝4+4m＜0，
解得：m＜﹣1． △
∵一次函数y＝（m+1）x+m﹣1中，k＝m+1＜0，b＝m﹣1＜0，
∴该一次函数图象在第二、三、四象限，不经过第一象限．
故答案为一．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和一次函数的图象与性质，解答关键是应用数形结合思想解
决问题．
24．（2021·江苏·淮安市黄集九年制学校一模）如图是一次函数y=kx+b的图象的大致位置，试判断关于x
的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0的根的判别式△________ 0（填：“＞”或“=”或“＜”）．【答案】＞
【详解】根据一次函数图像可得： ，
则 ，
．
故答案为：>
