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专题 04 二次函数与一元二次方程（综合题）
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易错点拨
知识点01：二次函数与一元二次方程的关系
1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况
求二次函数 (a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求 中x
的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与 x轴的交
点的个数，它们的关系如下表：
判别式 一元二次方程
二次函数图象 与x轴的交点坐标 根的情况
抛物线 与 x 一元二次方程
△＞0 轴交于 ， 两
点，且 ，
有两个不相等的实数根
此时称抛物线与x轴相交
一元二次方程
抛物线 与 x
△＝0
轴交切于 这一点，此
时称抛物线与x轴相切 有两个相等的实数根
一元二次方程
抛物线 与 x
△＜0
轴无交点，此时称抛物线与x轴相
离 在实数范围内
细节剖析:
二次函数图象与x轴的交点的个数由 的值来确定的.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时， ，方程有 的实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时， ，方程有 的实
根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时， ，方程 实根.
2.抛物线与直线的交点问题
抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线(a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数 的交点问题．
抛物线 (a≠0)与y轴的交点是(0，c)．
抛物线 (a≠0)与一次函数 (k≠0)的交点个数由方程组 的
解的个数决定．
当方程组有两组不同的解时 两函数图象有 交点；
当方程组有两组相同的解时 两函数图象 点；
当方程组无解时 两函数图象 ．
总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题．
细节剖析:
求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求
方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题．
知识点02：利用二次函数图象求一元二次方程的近似解
用图象法解一元二次方程 的步骤：
1.作二次函数 的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；
2. 确定一元二次方程 的根的取值范围．即确定抛物线
与x轴交点的 ；
3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表
格的形式求出 ．
4.确定一元二次方程 的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二
次方 的 ．
细节剖析:求一元二次方程 的近似解的方法（图象法）：
(1)直接作出函数 的图象，则图象与 就是方程 的
根；
(2)先将方程变为 再在同一坐标系中画出抛物线 和直线 图象交点的
横坐标就是 ；
(3)将方程化为 ，移项后得 ，设 和 ，在同一坐标
系中画出抛物线 和直线 的图象， 即为方程 的
根.
知识点03：抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式
当△＞0时，设抛物线 与x轴的两个交点为A( ，0)，B( ，0)，则 、 是一元
二次方程 的两个根．由根与系数的关系得 ， ．
∴
即 （△＞0）．
知识点04：抛物线与不等式的关系
二次函数 (a≠0)与一元二次不等式 (a≠0)及 (a≠0)
之间的关系如下 ：
判别式抛物线 与 不等式 的解
不等式 的解集
x轴的交点 集
△＞0
或
△＝0 无解
（或 ）
△＜0 全体实数 无解
注：a＜0的情况请同学们自己完成．
细节剖析:
抛物线 在x轴上方的部分点的 都为正，所对应的 就是不
等式 的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为 ， 所对应的x的所有值就是
不等式 的 ．不等式中如果带有等号，其 也相应带有等号．
易错题专训
一．选择题
1．（2022•海曙区校级开学）已知抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+mx＝n2+1的
根可能是（ ）
A．0，4 B．1，5 C．1，﹣5 D．﹣1，52．（2022•双流区模拟）在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝ax2（a≠0）不动，把x轴向上平移2个单
位长度，y轴向右平移2个单位长度，那么关于新坐标系下的抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．新坐标系下的抛物线的对称轴为直线x＝
B．新坐标系下的抛物线与y轴的交点纵坐标为4a+2
C．新坐标系下的抛物线的顶点在第三象限
D．新坐标系下的抛物线与x轴一定有两个交点
3．（2021秋•南关区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，可知方程ax2+bx+c＝0的所
有解的积为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣5 D．5
4．（2021秋•房县期末）二次函数y＝﹣x2+2x+1与坐标轴交点情况是（ ）
A．一个交点 B．两个交点 C．三个交点 D．无交点
5．（2022•宝安区校级模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A（﹣1，0），点B（m，
0），点C（0，﹣m），其中 2＜m＜3，下列结论：① ＞0，② 2a+c＜0，③ 2a+b＞0，④方程
ax2+bx+c+m＝0有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数为（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2022•槐荫区一模）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …从表中可知，下列说法中正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴是直线x＝0
B．抛物线与x轴的一个交点为（3，0）
C．函数y＝ax2+bx+c的最大值为6
D．在对称轴右侧，y随x增大而增大
7．（2022•娄底一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（3，0）两点，关于x的方程
ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是5．则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有两个
整数根，这两个整数根是（ ）
A．﹣2或4 B．﹣2或0 C．0或4 D．﹣2或5
二．填空题
8．（2022春•仓山区校级月考）若抛物线y＝mx2﹣6x+1与x轴有公共点，则m的取值范围是 ．
9．（2021秋•拜泉县校级月考）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（m﹣2，0）和点B，与y轴
相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为（m，c），则点B的坐标是 ．
10．（2022•大庆）已知函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为 ．
11．（2022•合肥一模）直线y＝﹣x+3与x轴交于点A、与y轴交于点B，经过A、B两点的二次函数y＝﹣
x2+2x+c的图象与x轴的另一个交点为点C，P是抛物线上第一象限内的点，连接OP，交直线AB于点Q，
设点P的横坐标为m，PQ与OQ的比值为n．
（1）c＝ ；
（2）n的最大值为 ．
12．（2020•长春模拟）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝x2﹣2x与x轴正半轴交于
点A，点B的坐标为（0，3）．C是该抛物线第一象限图象上的一点，A，B，C三点均在某一个正方形的
边上，且该正方形的任何一条边均与某条坐标轴平行，设点C的横坐标为m，若这个正方形的面积最小，
则m的取值范围是 ．13．（2019秋•温州期中）如图，抛物线y的顶点在y轴上，y由y平移得到，它们与x轴的交点为A、
1 2 1
B、C，且2BC＝3AB＝4OD＝6，若过原点的直线被抛物线y、y所截得的线段长相等，则这条直线的解析
1 2
式为 ．
三．解答题
14．（2021秋•玄武区期末）已知二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣2）（a为常数，且a≠﹣1）．
（1）求证：无论a取何值，二次函数的图象与x轴总有两个交点；
（2）点P（m，y），Q（m+3，y）在二次函数的图象上，且y＞y，直接写出m的取值范围．
1 2 1 2
15．（2021秋•鄞州区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ x+2与x轴交于点A，与y轴交
于点C，抛物线y＝﹣ x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一个交点为点B．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点，连接BC，CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为
S，△BCE的面积为S，求 的最大值．
1 216．（2021秋•南昌期中）（1）解一元二次方程：x2+20x﹣21＝0；
（2）已知抛物线y＝（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．求△ABC的面积．
17．（2022•碑林区模拟）已知抛物线L：y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B点（A点在B点的左侧），与y
轴交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）把抛物线L关于y轴对称，得到抛物线L'，在抛物线L'上是否存在点P，使得S ＝S ？若存
△ABP △BCP
在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．18．（2022秋•齐齐哈尔月考）已知：如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A
点坐标为（﹣1，0），点C（0，5），抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△MCB的面积．
19．（2022•虞城县一模）如图，平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点为A（2，4），B（2，2），C（5，
2），D（5，4），抛物线y＝ax2+bx交x轴正半轴于点E．
（1）若抛物线经过A，C两点，求抛物线的解析式．
（2）若a＝﹣1；
①抛物线交直线CD于点M，当△OME面积为5时，求b的值；
②当抛物线与矩形ABCD的边有交点时，直接写出b的取值范围．20．（2022•曲靖模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A
在点B的左边），与y轴交于点C，直线y＝﹣x+3经过B，C两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一个动点，过点P且垂直于x轴的直线与BC及x轴交于点D，M，设M（m，
0）．点P在抛物线上运动，若P，D，M三点中恰有一点是其他两点所连线段的中点（三点重合除外），
请求出符合条件的m的值．
