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培优专题 03 根的判别式的五种常见应用
◎应用一 判断一元二次方程根的情况
式子 b 2 -4a c 叫做方程 a x 2 +bx+c=0( a ≠ 0 ) 根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△ = b 2 -4ac .
1．（2022·辽宁大连·八年级期末）一元二次方程 的根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．两个相等的实数根 D．两个不相等的实数根
2．（2022·新疆乌鲁木齐·二模）关于x的一元二次方程x2＋kx﹣2＝0（k为实数）根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．不能确定
3．（2022·江苏·九年级专题练习）关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则
值为__________．
4．（2022·江苏·九年级课时练习）关于x的一元二次方程 有实数根，则实数a的取值范围为
______．
5（2022·全国·九年级单元测试）已知关于 的方程 有两个不相等的实根，判断
关于 的方程 的根的情况．◎应用二 求字母的值或取值范围
根据判别式，确定与 0 的关系，直接代入解不等式即可
6．（2022·山东泰安·八年级期末）若关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范
围为（ ）
A． B． 且 C． D． 且
7．（2022·浙江杭州·八年级期中）对于一元二次方程 ，满足 ，且有两个相
等的实数根，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·浙江湖州·八年级期末）若一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个相等的实数根，
则a的值是_____．
9．（2022·福建三明·九年级期末）若关于x的一元二次方程（x＋3）2＝c没有实数根，则c的值可以是
_____．（写出一个即可）
10．（2022·浙江金华·八年级期末）已知关于x的方程： 有两个不相等的实数根，
(1)求实数k的取值范围、
◎应用三 与三角形结合
一般会把根与三角形的边进行结合考察，考虑到三角形的三边关系能否构成三角形即可，有时候还会与等
腰三角形结合。
11．（2019·福建莆田·九年级阶段练习）已知△ABC的三边长分别是a，b，c，且关于x的一元二次方程
有两个相等的实数根，则可推断△ABC一定是（ ）．
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
12．（2018·浙江·九年级期中）已知关于x的一元二次方程 ，其中a、b、c分别为
三边的下列关于这个方程的解和 形状判断的结论错误的是（ ）．
A．如果 是方程的根，则 是等腰三角形
B．如果方程有两个相等的实数根，则 是直角三角形C．如果 是等边三角形，方程的解是 或
D．如果方程无实数解，则 是锐角三角形
13．（2017·江苏·盐城市实验高级中学九年级阶段练习）已知等腰三角形的两腰是关于x的一元二次方程
x2﹣kx+4=0的两根，则k=__．
14．（2020·四川师范大学附属中学九年级阶段练习）关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0，若等腰三
角形 ABC一边长为a＝6，另两边长b，c为方程两个根，则 ABC的周长为_____．
△ △
15．（2021·河南南阳·九年级期中）已知关于 的方程
(1)求证：无论 取何值，该方程总有实数根；
(2)若等腰 的一边长 ，另两边 、 恰好是该方程的两个根，求三角形另外两边的长．
◎应用四 与不等式结合
16．（2022·云南昆明·二模）若a满足不等式组 ，则关于x的方程
的根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不等的实数根 D．不能
确定
17．（2017·河北·模拟预测）若a满足不等式组 则关于x的方程(a－2)x2－(2a－1)x＋a＋ ＝0的
根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．以上三种
情况都有可能
18．（2015·山东聊城·九年级阶段练习）若ax2+x+1=0是关于x的一元二次方程且无实数根，则不等式
3a+6>0的解集是____
19．（2021·四川师范大学附属中学九年级阶段练习）若a满足不等式组 ，且关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a+ ＝0有实数根，则满足条件的实数a的所有整数和为_______．
20．（2022·北京·人大附中九年级开学考试）已知实数a满足不等式 ．
(1)求这个不等式的解集；
(2)若关于x的方程 有两个不相等的实数根，求所有满足条件的整数a的值．
◎应用五 与一次函数结合
通过一次函数与方程和不等式的关系，观察图像即可
21．（2022·河南南阳·二模）若一元二次方程 无实数根，则一次函数 的图
象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
22．（2022·全国·九年级课时练习）若一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，则一次函数y＝（m+1）x+m
﹣1的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
23．（2021·全国·八年级）若一元二次方程x2+2x﹣m＝0无实数根，则一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图
象不经过第_____象限．
24．（2021·江苏·淮安市黄集九年制学校一模）如图是一次函数y=kx+b的图象的大致位置，试判断关于x
的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0的根的判别式△________ 0（填：“＞”或“=”或“＜”）．
