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专题22.1.6 二次函数与一元二次方程（知识解读1）
【直击考点】
【学习目标】
1. 会用图象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函数与一元二次方程的关系；
2. 经历探索验证二次函数 与一元二次方程的关系的过程，学会用
函数的观点去看方程和用数形结合的思想去解决问题．
【知识点梳理】
考点1 二次函数与一元二次方程的关系
1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况
求二次函数 (a≠0)的图象与 x 轴的交点坐标，就是令 y＝0，求
中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方
程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：
一元二次方程
判别式
二次函数
图象 与x轴的交点坐标 根的情况
一元二次方程
△＞0 抛物线 与 x
轴交于 ， 两
有两个不相等的实数根点，且 ，
此时称抛物线与x轴相交
一元二次方程
抛物线 与 x
△＝0 有两个相等的实数根
轴交切于 这一点，此时称
抛物线与x轴相切
一元二次方程
抛物线 与 x
△＜0
轴无交点，此时称抛物线与x轴相
在实数范围内无解（或
离
称无实数根）
注意：
二次函数图象与x轴的交点的个数由 的值来确定的.
(1) 当二次函数的图象与x轴有两个交点时， ，方程有两个不相等的实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时， ，方程有两个相等的
实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时， ，方程没有实根.
2. 抛物线与直线的交点问题
抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛
物线 (a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数 的交点
问题．
抛物线 (a≠0)与y轴的交点是(0，c)．抛物线 (a≠0)与一次函数 (k≠0)的交点个数由方程组
的解的个数决定．
（1） 当方程组有两组不同的解时 两函数图象有两个交点；
（2） 当方程组有两组相同的解时 两函数图象只有一个交点；
（3） 当方程组无解时 两函数图象没有交点．
总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题．
注意：
求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的
问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题．
考点2 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解
用图象法解一元二次方程 的步骤：
1.作二次函数 的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；
2. 确定一元二次方程 的根的取值范围．即确定抛物线
与x轴交点的横坐标的大致范围；
3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大
依次取值，用表格的形式求出相应的y值．
4.确定一元二次方程 的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的
x值即是一元二次方 的近似根．
注意：
求一元二次方程 的近似解的方法（图象法）：(1)直接作出函数 的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程
的根；
(2)先将方程变为 再在同一坐标系中画出抛物线 和直线
图象交点的横坐标就是方程的根；
(3)将方程化为 ，移项后得 ，设 和 ，
在同一坐标系中画出抛物线 和直线 的图象，图象交点的横坐标即为
方程 的根.
考点3 抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式
当△＞0时，设抛物线 与x轴的两个交点为A( ，0)，B( ，0)，则
、 是一元二次方程 的两个根．由根与系数的关系得 ，
．
∴
即 （△＞0）【典例分析】
【考点1 与x轴交点个数】
【例1】函数y＝kx2－6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0
【变式1-1】（2020九上·北京月考）抛物线 y=−x2+2kx+2 与 x 轴交点的个数为（
）
A．0 B．1 C．2 D．以上都不对
【变式1-2】（2021九上·大庆期中）抛物线y＝kx 2－7x－7的图象和x轴有交点，则k
的取值范围是( )
A．k>－ B．k≥－ 且k≠0
C．k≥－ D．k>－ 且k≠0
【变式1-3】下列关于二次函数y＝ax2－2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，下确
的是（ ）
A．没有交点
B．只有一个交点，且它位于y轴右侧
C．有两个交点，且它们均位于y轴左侧
D．有两个交点，且它们均位于y轴右侧
【例2】（2021九上·西城期中）已知抛物线y=（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取满足条件的最大整数时，求抛物线与x轴两个交点的坐标．【变式2-1】（2020九上·科尔沁左翼中旗期中）已知二次函数 y=x2−mx+m−2 ．求
证：不论 m 为何实数，此二次函数的图像与 x 轴都有两个不同交点．
【变式2-2】已知在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2x+2k﹣2的图象与x轴有两个交
点．
（1）求k的取值范围；
（2）当k取正整数时，请你写出二次函数y=x2+2x+2k﹣2的表达式，并求出此二次
函数图象与x轴的两个交点坐标．
【变式2-3】（2019九上·北京月考）如果抛物线 y=x2+2x+2k−4 与x轴有两个不同
的公共点．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k为正整数，且该抛物线与x轴的公共点的横坐标都是整数，求k的值．
【例3】（2021九上·渝中开学考）如图，抛物线 y=ax2 与直线 y=bx+c 的两个交点
坐标分别为 A(−2,4) ， B(1,1) ，则方程 ax2=bx+c 的解是 .【变式3-1】（2021九上·龙山期末）如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐
标分别为A(−2,4)，B(1,1)，则关于x的方程ax2−bx−c=0的解为
.
【变式3-2】（2021九上·定海期末）如图,将二次函数y=x2−m(其中m>0)的图象在x轴
下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,形成新的图象记为y ,另有一次函数
1
y=x+2的图象记为y ,若y 与y 恰有两个交点时,则m的范围是 .
2 1 2
【变式3-3】（2018九上·绍兴期中）已知二次函数y=﹣x2+x+6及一次函数y=﹣x+m，将
该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个
新函数（如图所示），当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（）
25 25
A．− ＜m＜3 B．− ＜m＜2
4 4C．﹣20
D．方程 ax2+bx+c=0 的正根在3与4之间专题22.1.6 二次函数与一元二次方程（知识解读1）
【直击考点】
【学习目标】
3. 会用图象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函数与一元二次方程的关系；4. 经历探索验证二次函数 与一元二次方程的关系的过程，学会用
函数的观点去看方程和用数形结合的思想去解决问题．
【知识点梳理】
考点1 二次函数与一元二次方程的关系
1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况
求二次函数 (a≠0)的图象与 x 轴的交点坐标，就是令 y＝0，求
中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方
程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：
一元二次方程
判别式
二次函数
图象 与x轴的交点坐标 根的情况
抛物线 与 x 一元二次方程
轴交于 ， 两
△＞0 有两个不相等的实数根
点，且 ，
此时称抛物线与x轴相交
一元二次方程
抛物线 与 x
△＝0 有两个相等的实数根
轴交切于 这一点，此时称
抛物线与x轴相切
一元二次方程
抛物线 与 x
△＜0
轴无交点，此时称抛物线与x轴相
离
在实数范围内无解（或称无实数根）
注意：
二次函数图象与x轴的交点的个数由 的值来确定的.
(2) 当二次函数的图象与x轴有两个交点时， ，方程有两个不相等的实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时， ，方程有两个相等的
实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时， ，方程没有实根.
2. 抛物线与直线的交点问题
抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛
物线 (a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数 的交点
问题．
抛物线 (a≠0)与y轴的交点是(0，c)．
抛物线 (a≠0)与一次函数 (k≠0)的交点个数由方程组
的解的个数决定．
（1） 当方程组有两组不同的解时 两函数图象有两个交点；
（2） 当方程组有两组相同的解时 两函数图象只有一个交点；
（3） 当方程组无解时 两函数图象没有交点．
总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题．
注意：
求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的
问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题．考点2 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解
用图象法解一元二次方程 的步骤：
1.作二次函数 的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；
2. 确定一元二次方程 的根的取值范围．即确定抛物线
与x轴交点的横坐标的大致范围；
3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大
依次取值，用表格的形式求出相应的y值．
4.确定一元二次方程 的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的
x值即是一元二次方 的近似根．
注意：
求一元二次方程 的近似解的方法（图象法）：
(1)直接作出函数 的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程
的根；
(2)先将方程变为 再在同一坐标系中画出抛物线 和直线
图象交点的横坐标就是方程的根；
(3)将方程化为 ，移项后得 ，设 和 ，
在同一坐标系中画出抛物线 和直线 的图象，图象交点的横坐标即为
方程 的根.考点3 抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式
当△＞0时，设抛物线 与x轴的两个交点为A( ，0)，B( ，0)，则
、 是一元二次方程 的两个根．由根与系数的关系得 ，
．
∴
即 （△＞0）
【典例分析】
【考点1 与x轴交点个数】
【例1】函数y＝kx2－6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0
【答案】C
【解答】解：∵函数y＝kx2－6x+3的图象与x轴有交点，
∴当k≠0时，△＝(－6)2－4k×3≥0，解得：k≤3，
当k＝0时，函数y＝kx2－6x+3为一次函数，则它的图象与x轴有交点，
综合上述：k的取值范围是k≤3，
故答案为：C
【变式1-1】（2020九上·北京月考）抛物线 y=−x2+2kx+2 与 x 轴交点的个数为（
）
A．0 B．1 C．2 D．以上都不对
【答案】C【解答】因为 △=b2−4ac=4k2+8 ＞0，所以抛物线 y=−x2+2kx+2 与 x 轴有2
个交点，故答案为：C．
【变式1-2】（2021九上·大庆期中）抛物线y＝kx 2－7x－7的图象和x轴有交点，则k
的取值范围是( )
A．k>－ B．k≥－ 且k≠0
C．k≥－ D．k>－ 且k≠0
【答案】B
【解答】解：因为 y=kx2-7x-7为抛物线，所以k≠0；
因为
y=kx2-7x-7和图像有交点，
所以b2-4ac≥0
即(-7)2-4k·(-7)≥0
7
所以k≥- 。
4
7
综上，k≥- 且k≠0。
4
故答案为：B
【变式1-3】下列关于二次函数y＝ax2－2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，下确
的是（ ）
A．没有交点
B．只有一个交点，且它位于y轴右侧
C．有两个交点，且它们均位于y轴左侧
D．有两个交点，且它们均位于y轴右侧
【答案】D
【解答】解：当y＝0时，ax2－2ax+1＝0，
∵a＞1，∴△＝4a2－4a＝4a(a－1)＞0，
∴方程ax2－2ax+1＝0有两个实数根，则抛物线与x轴有两个交点，
2a±√4a(a−1)
∵x＝ ＞0，
2a∴抛物线与x轴的两个交点均在y轴的右侧，
故答案为：D
【例2】（2021九上·西城期中）已知抛物线y=（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取满足条件的最大整数时，求抛物线与x轴两个交点的坐标．
4
【答案】（1）m＜6且m≠2． （2）（﹣2，0），（ − ，0）
3
【解答】（1）解：∵抛物线y=（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点，
∴y=0时，（m﹣2）x2+2mx+m+3=0，则△=（2m）2﹣4×（m﹣2）×（m+3）＞0，m
﹣2≠0，
解得m＜6且m≠2．即m的取值范围是：m＜6且m≠2．
（2）解：∵m＜6且m≠2，∴m满足条件的最大整数是m=5．
4
∴y=3x2+10x+8．当y=0时，3x2+10x+8=0．解得 x =−2,x =− ．
1 2 3
4
即抛物线与x轴有两个交点的坐标是：（﹣2，0），（ − ，0）．
3
【变式2-1】（2020九上·科尔沁左翼中旗期中）已知二次函数 y=x2−mx+m−2 ．求
证：不论 m 为何实数，此二次函数的图像与 x 轴都有两个不同交点．
【答案】略
【解答】解： Δ=(−m) 2−4(m−2)=m2−4m+8=(m−2) 2+4 ，不论 m 为何值时，
都有 Δ>0 ，此时二次函数图象与 x 轴有两个不同交点．
【变式2-2】已知在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2x+2k﹣2的图象与x轴有两个交
点．
（1）求k的取值范围；
（2）当k取正整数时，请你写出二次函数y=x2+2x+2k﹣2的表达式，并求出此二次
函数图象与x轴的两个交点坐标．
3
【答案】（1）k< （2）（﹣2，0）和（0，0）
2
【解答】（1）解：∵图象与x轴有两个交点，
∴方程 x2+2x+2k−2=0 有两个不相等的实数根，
3
∴△=b2−4ac>0， 即 4−4(2k−2)>0， 解得 k< ．
23
（2）解：∵k为正整数， k< ．
2
∴k=1．
∴y=x2+2x 令y=0，得 x2+2x=0, 解得 x =−2，x =0，∴交点为（﹣2，0）和
1 2
（0，0）
【变式2-3】（2019九上·北京月考）如果抛物线 y=x2+2x+2k−4 与x轴有两个不同
的公共点．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k为正整数，且该抛物线与x轴的公共点的横坐标都是整数，求k的值．
5
【答案】（1）k< （2）2
2
【解答】（1）解：根据题意得 △=22−4(2k−4)>0 ，
5
解得 k< ；
2
5
（2）解： ∵k< ，
2
∴ 正整数k的值为1，2，
当 k=1 时，抛物线解析式为 y=x2+2x−2 ，当 y=0 时， x2+2x−2=0 ，解得
x =−1+√3 ， x =−1−√3 ，该抛物线与x轴的公共点的横坐标不是整数；
1 2
当 k=2 时，抛物线解析式为 y=x2+2x ，当 y=0 时， x2+2x=0 ，解得 x =0 ，
1
x =−2 ，该抛物线与x轴的公共点的横坐标为0和 −2 ，
2
∴k 的值为2．
【例3】（2021九上·渝中开学考）如图，抛物线 y=ax2 与直线 y=bx+c 的两个交点
坐标分别为 A(−2,4) ， B(1,1) ，则方程 ax2=bx+c 的解是 .【答案】x =−2 ， x =1
1 2
【解答】解： ∵ 抛物线 y=ax2 与直线 y=bx+c 的两个交点坐标分别为 A(−2,4)
， B(1,1) ，
{ y=ax2 {x =−2 {x =1
∴ 方程组 的解为 1 ， 2 ，
y=bx+c y =4 y =1
1 2
即关于 x 的方程 ax2−bx−c=0 的解为 x =−2 ， x =1 .
1 2
所以方程 ax2=bx+c 的解是 x =−2 ， x =1
1 2
故答案为： x =−2 ， x =1.
1 2
【变式3-1】（2021九上·龙山期末）如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐
标分别为A(−2,4)，B(1,1)，则关于x的方程ax2−bx−c=0的解为
.
【答案】x=-2，x=1
1 2
【解答】解：∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(−2,4)，
B(1,1)，
{ y=ax2 {x =−2 {x =1
∴方程组 的解为 1 ， 2 ，
y=bx+c y =4 y =1
1 2
即关于x的方程ax2−bx−c=0的解为x =−2，x =1.
1 2
故答案为：x=-2，x=1.
1 2
【变式3-2】（2021九上·定海期末）如图,将二次函数y=x2−m(其中m>0)的图象在x轴
下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,形成新的图象记为y ,另有一次函数
1
y=x+2的图象记为y ,若y 与y 恰有两个交点时,则m的范围是 .
2 1 27
【答案】04
4
【解答】解:二次函数y=x2−m(其中m>0)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折得到的抛
物线解析式为:y=−x2+m,
∵直线y=x+2,当x=0时,y=2,当y=0时,x=−2,∴直线y=x+2与x轴交点为(−2,0),与
y轴的交点为(0,2),
(1)如下图,当抛物线经过点(−2,0)时,0=4−m,解得m=4,
观察图象可知,当m>4时,y 与y 恰有两个交点,
1 2
{ y=x+2 7
(2)由 得x2+x+2−m=0,当Δ=1−8+4m=0时,解得:m= ,
y=−x2+m 4
7
观察图象可知,当00
D．方程 ax2+bx+c=0 的正根在3与4之间
【答案】D
【解答】解：由图表可得，
0+3 3
该函数的对称轴是直线x= = ，有最大值，
2 2
∴抛物线开口向下，故A选项错误；
抛物线与y轴的交点为（0，1），故B选项错误；
x=-1和x=4时的函数值相等，则x=4时，y=-3＜0，故C选项错误；
x=3时，y=1，x=4时，y=-3，方程ax2+bx+c=0的正根在3与4之间，故D选项正确.
故答案为：D.
