文档内容
专题22.2.2 二次函数与一元二次方程（2）
（专项训练）
1．（2021秋•昌邑区校级期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣
2，0），对称轴为直线 x＝2，其部分图象如图所示，当 y＞0时，x的取值范围是
（ ）
A．x＞﹣2 B．x＜6 C．﹣2＜x＜6 D．x＜﹣2或x＞6
2．（2021秋•长春期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+bx+c（a＜0）经过
点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．若y＜0，则x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x＜﹣1 C．﹣1＜x＜1 D．x＜﹣1或x＞3
3．（2021秋•宽城区期末）在平面直角坐标系中，将二次函数 y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴
上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示（实线部分）．若直线y＝b与新
函数的图象有3个公共点，则b的值是（ ）
A．0 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣54．（2021秋•江岸区期中）如图，已知二次函数y＝ax2+2x+3的图象与x轴交于点A（﹣
1，0）和点B，与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式和点B的坐标；
（2）直接写出y的最大值为 ．
5．（2022•庐江县一模）已知抛物线y＝ax2+2ax+a﹣7（a≠0）经过点A（4，﹣2），顶点
为B．
（1）求a的值及顶点B的坐标；
（2）求直线AB的函数表达式；
（3）若P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为m（﹣1≤m≤4），△PAB的面积为
S，求S的最大值．
6．（2021秋•蓬安县期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线y＝﹣x²+bx+c与x轴的正半轴相交于点 C
（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线AB的方程；
（3）若P为线段AB上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于M，求线段PM长的最
大值．
7．（2021•大渡口区自主招生）如图，若抛物线 y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y
轴相交于点C，直线y＝x﹣3经过点B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点M，
连接PC．
①线段PM是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由；
②在点P运动的过程中，是否存在点M，恰好使△PCM是以PM为腰的等腰三角形？
如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
8．（2020秋•香洲区校级期中）如图所示，已知抛物线经过点 A（﹣2，0）、B（4，
0）、C（0，﹣8），抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝x﹣4交于B、D两点．（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）求D点坐标；
（3）点P为抛物线上的一个动点，且在直线BD下方，试求出△BDP面积的最大值及
此时点P的坐标．
9．（2021秋•崆峒区期末）如图，抛物线y＝﹣ x2﹣x+4与x轴交于A，B两点（A在B的
左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A，点B的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）P为第二象限抛物线上的一个动点，求△ACP面积的最大值．
专题22.2.2 二次函数与一元二次方程（2）
（专项训练）1．（2021秋•昌邑区校级期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣
2，0），对称轴为直线 x＝2，其部分图象如图所示，当 y＞0时，x的取值范围是
（ ）
A．x＞﹣2 B．x＜6 C．﹣2＜x＜6 D．x＜﹣2或x＞6
【答案】C
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（6，0），
∵抛物线开口向下，
∴当﹣2＜x＜6时，y＞0，
故选：C．
2．（2021秋•长春期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+bx+c（a＜0）经过
点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．若y＜0，则x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x＜﹣1 C．﹣1＜x＜1 D．x＜﹣1或x＞3
【答案】D
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一交点为（3，0），
由图象可知，y＜0时，x的取值范围是x＜﹣1或x＞3．
故选：D．3．（2021秋•宽城区期末）在平面直角坐标系中，将二次函数 y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴
上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示（实线部分）．若直线y＝b与新
函数的图象有3个公共点，则b的值是（ ）
A．0 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5
【答案】C
【解答】解：原二次函数y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点C（1，4），
翻折后点C对应的点为D（1，﹣4），
∴当直线y＝b与新函数的图象有3个公共点，直线y＝b过点D，
此时b＝﹣4．
故选：C．
4．（2021秋•江岸区期中）如图，已知二次函数y＝ax2+2x+3的图象与x轴交于点A（﹣
1，0）和点B，与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式和点B的坐标；
（2）直接写出y的最大值为 ．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3， B（3，0）（2）4
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+2x+3经过点A（﹣1，0），
∴a﹣2+3＝0，
解得：a＝﹣1，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
令y＝0，得﹣x2+2x+3＝0，
解得：x ＝3，x ＝﹣1，
1 2
∴B（3，0）；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴当x＝1时，y最大值 ＝4．
故答案为：4．
5．（2022•庐江县一模）已知抛物线y＝ax2+2ax+a﹣7（a≠0）经过点A（4，﹣2），顶点
为B．
（1）求a的值及顶点B的坐标；
（2）求直线AB的函数表达式；
（3）若P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为m（﹣1≤m≤4），△PAB的面积为
S，求S的最大值．
【答案】（1）a＝ B（﹣1，﹣7）；（2）y＝x﹣6；（3）
【解答】解：（1）将点A（4，﹣2）代入y＝ax2+2ax+a﹣7得，
16a+8a+a﹣7＝﹣2，
解得a＝ ，
∴y＝ x2+ x﹣ ，∴x＝﹣ ＝﹣1，y＝﹣7，
∴B（﹣1，﹣7）；
（2）设直线AB的函数解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得， ，
∴直线AB的函数解析式为：y＝x﹣6；
（3）如图，过点P作PC∥y轴，交AB于C，
则P（m， m2+ m﹣ ），C（m，m﹣6），
∴PC＝m﹣6﹣（ m2+ m﹣ ）＝﹣ + + ，
∴S＝ ×（﹣ + + ）×5＝﹣ m2+ m+2，
当m＝﹣ ＝ 时，S最大值为﹣ × + +2＝ ．
6．（2021秋•蓬安县期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3分别交x轴、y
轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线y＝﹣x²+bx+c与x轴的正半轴相交于点 C
（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线AB的方程；
（3）若P为线段AB上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于M，求线段PM长的最大值．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3； （2）y＝x+3（3）当t＝﹣ 时，PM取最大值，最大值
为 ．
【解答】解：（1）在y＝kx+3中，令x＝0得y＝3，
∴B（0，3），
把B（0，3），C（1，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）在y＝﹣x2﹣2x+3中，令y＝0得﹣x2﹣2x+3＝0，
解得x＝﹣3或x＝1，
∴A（﹣3，0），
将A（﹣3，0）代入y＝kx+3得：
﹣3k+3＝0，解得k＝1，
∴直线AB的方程为：y＝x+3；
（3）设P（t，t+3）（﹣3≤t＜0），则M（t，﹣t2﹣2t+3），
∴PM＝（﹣t2﹣2t+3）﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t＝﹣（t+ ）2+ ，
∵﹣1＜0，
∴当t＝﹣ 时，PM取最大值，最大值为 ．
7．（2021•大渡口区自主招生）如图，若抛物线 y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y
轴相交于点C，直线y＝x﹣3经过点B，C．
（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点M，
连接PC．
①线段PM是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由；
②在点P运动的过程中，是否存在点M，恰好使△PCM是以PM为腰的等腰三角形？
如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3； （2）① 当x＝ 时，PM最大值为： ② （2，﹣
3）或（3﹣ ，2﹣4 ）．
【解答】解：（1）对于y＝x﹣3，令x＝0，y＝﹣3，y＝0，x＝3，
故点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），
将点B、C的坐标代入抛物线表达式得： ，解得： ，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设：点M（x，x﹣3），则点P（x，x2﹣2x﹣3），
①有，理由：PM＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣ ）2+ ，
∵﹣1＜0，故PM有最大值，当x＝ 时，PM最大值为： ；
②存在，理由：
PM2＝（x﹣3﹣x2+2x+3）2＝（﹣x2+3x）2；
PC2＝x2+（x2﹣2x﹣3+3）2；
MC2＝（x﹣3+3）2+x2；
（Ⅰ）当PM＝PC时，则（﹣x2+3x）2＝x2+（x2﹣2x﹣3+3）2，
解得：x＝0或2（舍去0），故x＝2，故点P（2，﹣3）；
（Ⅱ）当PM＝MC时，则（﹣x2+3x）2＝（x﹣3+3）2+x2，
解得：x＝0或3± （舍去0和3+ ），
故x＝3﹣ ，则x2﹣2x﹣3＝2﹣4 ，
故点P（3﹣ ，2﹣4 ）．
综上，点P的坐标为：（2，﹣3）或（3﹣ ，2﹣4 ）．
8．（2020秋•香洲区校级期中）如图所示，已知抛物线经过点 A（﹣2，0）、B（4，
0）、C（0，﹣8），抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝x﹣4交于B、D两点．
（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）求D点坐标；
（3）点P为抛物线上的一个动点，且在直线BD下方，试求出△BDP面积的最大值及
此时点P的坐标．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣8；（1，-9）（2）D（﹣1，﹣5） （3）P（ ，﹣ ）．
【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），
故﹣8a＝﹣8，解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣8；
（2）联立y＝x﹣4和y＝x2﹣2x﹣8并解得：x＝4或﹣1（舍去4），
故点D（﹣1，﹣5）；（3）过点P作y轴的平行线交BD于点H，
设点P（x，x2﹣2x﹣8），则点H（x，x﹣4）
△BDP 面积＝ PH×（x ﹣x ）＝ ×（x﹣4﹣x2+2x+8）×（4+1）＝ （﹣
B D
x2+3x+4），
∵ 0，故面积有最大值为： ；此时，x＝ ，
即点P（ ，﹣ ）．
9．（2021秋•崆峒区期末）如图，抛物线y＝﹣ x2﹣x+4与x轴交于A，B两点（A在B的
左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A，点B的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）P为第二象限抛物线上的一个动点，求△ACP面积的最大值．
【答案】（1）A（﹣4，0），B（2，0） （2）12 （3）当x＝﹣2时，△ACP最大面积
4
【解答】解：设y＝0，则0＝﹣ x2﹣x+4
∴x ＝﹣4，x ＝2
1 2
∴A（﹣4，0），B（2，0）
（2）令x＝0，可得y＝4
∴C（0，4）∴AB＝6，CO＝4
∴S△ABC ＝ ×6×4＝12
（3）如图：作PD⊥AO交AC于D
设AC解析式y＝kx+b
∴
解得：
∴AC解析式y＝x+4
设P（t，﹣ t2﹣t+4）则D（t，t+4）
∴PD＝（﹣ t2﹣t+4）﹣（t+4）＝﹣ t2﹣2t＝﹣ （t+2）2+2
∴S△ACP ＝ PD×4＝﹣（t+2）2+4
∴当x＝﹣2时，△ACP最大面积4
