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第一课时——一元二次方程及其相关概念
知识点一：一元二次方程的定义及其一般形式：
1. 一元二次方程的定义：
只含有 1 个未知数，且未知数的最高次数是 2 的整式方程是一元二次方程。
2. 一元二次方程的一般形式：
ax2 +bx+c=0(a≠0) ax2
二元一次方程的一般形式为 ，其中，二次项是 ，二
次
项系数是 a ，一次项是 bx ，一次项系数是 b ，常数项是 c 。
特别提示：①二元一次方程未知数的最高次数是2。
②二次项系数一定不能为0。
③在判断一个方程是否为一元二次方程时一定要先将其化成一般形式。
【类型一：判断方程是否为一元二次方程】
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
1
A．3（x+2）＝8 B．3x2+6x＝8 C．ax2+bx+c＝0 D． x+2 ＝1
2．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（ ）
A．x2﹣1＝0 B．x2﹣2＝（x+3）2
C．x+3y﹣5＝0 D．ax2+by+c＝0
3．下列方程中，是关于x的一元二次方程是（ ）
1 1
+
A．ax2+bx+c＝0 B．
x2 x
﹣2＝0
C．3x2＝2（x+1） D．x2+2x＝x2﹣1
【类型二：根据一元二次方程的定义求字母的值】
4．关于x的方程（a﹣1）x2+4x﹣3＝0是一元二次方程，则（ ）
A．a＞1 B．a＝1 C．a≠1 D．a≥0
xm2 +1
5．若方程（m﹣1） ﹣（m+1）x﹣2＝0是一元二次方程，m的值为（ ）
√3
A．1 B．± C．±1 D．﹣1
6．若（m+2）x|m|+（m﹣1）x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是 ．7．已知：（m﹣1）x|m+1|+6x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝ ．
【类型三：化一元二次方程的一般形式】
8．将方程x2+1＝2x化为一元二次方程的一般形式，正确的是（ ）
A．x2+2x+1＝0 B．x2﹣2x+1＝0 C．x2＝2x+1 D．x2＝2x﹣1
9．一元二次方程2x2+3x＝7的一般形式为（ ）
A．2x2﹣7＝﹣3x B．2x2+3x+7＝0 C．2x2+3x﹣7＝0 D．2x2＝7﹣3x
10．把一元二次方程x（3x+2）＝x﹣2化成一般形式是 ．
11．将方程2（x﹣1）2＝3﹣5x化为一般形式是 ．
【类型三：一般形式的认识及求值】
12．将一元二次方程﹣x2+4x＝8+2x化成一般形式后，一次项系数和常数项分别是（ ）
A．﹣1，4 B．﹣1，2 C．4，8 D．2，﹣8
13．将一元二次方程2x2+3x＝1化成一般形式时，它的二次项、一次项系数和常数项分别为（ ）
A．2x2，﹣3，1 B．2x2，3，﹣1 C．﹣2x2，﹣3，﹣1 D．﹣2x2，3，1
14．方程y（2y﹣3）﹣4y（y+1）＝0中，二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）
A．2，7，1 B．﹣2，0，﹣7 C．﹣2，7，0 D．﹣2，﹣7，0
15．若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的常数项等于0，则m的值为（ ）
A．0 B．3 C．﹣3 D．﹣3或3
xm2 +1
16．若（1﹣m） +3mx﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则该方程的一次项系数是（ ）
A．﹣1 B．±1 C．﹣3 D．±3
知识点一：一元二次方程的解（根）：
1. 使一元二次方程左右两边相等的 未知数 的值，叫做一元二次方程的解，又叫做根。
【类型一：利用一元二次方程的根求值】
17．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一根为0，则m＝ ．
18．若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+3x+m2﹣9＝0有一个根是0，则m＝ ．
19．若一元二次方程ax2+bx+c＝0有一个根为﹣1，则下列等式成立的是（ ）
A．a+b+c＝1 B．a﹣b+c＝0 C．a+b+c＝0 D．a﹣b+c＝1
20．已知方程x2﹣bx+a＝0有一个根是﹣a（a≠0），则下列代数式的值恒为常数的是（ ）a
b
A．ab B． C．a+b D．a﹣b
21．若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）的一个解是x＝1，则2017﹣a﹣b的值是 ．
22．若m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则m2﹣m+2020的值为（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
23．已知a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则a4﹣3a﹣2的值为 ．
一、选择题（10题）
1．下列方程属于一元二次方程的是（ ）
1
A．x2+y﹣2＝0 B．x+y＝5 C．x+ x ＝5 D．x2+2x＝3
2．关于x的一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．﹣2，4 B．﹣2，﹣1 C．2，4 D．2，﹣4
3．把方程x2+2（x﹣1）＝3x化成一般形式，正确的是（ ）
A．x2﹣x﹣2＝0 B．x2+5x﹣2＝0 C．x2﹣x﹣1＝0 D．x2﹣2x﹣1＝0
xm2 −7
4．关于x的方程（m﹣2） +x＝0是一元二次方程，则m的值是（ ）
A．﹣2 B．±2 C．3 D．±3
5．已知m是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则2021﹣m2+m的值为（ ）
A．2020 B．2019 C．2018 D．2017
6．把方程2x（x﹣1）＝3x化成一元二次方程的一般形式，则二次项系数、一次项系数、常数项分别是（
）
A．2，5，0 B．2，﹣5，0 C．2，5，1 D．2，3，0
7．若方程x2﹣4x+c＝0的一个实数根是3，则c的值是（ ）
A．c＝﹣3 B．c＝3 C．c＝5 D．c＝0
8．若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x+a2﹣4＝0有一个根为0，则a的值为（ ）
√2
A．﹣2 B．2 C．±2 D．±
9．若关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3ax+a﹣2＝0的常数项为0，则a的值为（ ）
A．0 B．﹣2 C．2 D．3
√3
10．已知2+ 是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的一个实数根，则实数m的值是（ ）
A．0 B．1 C．﹣3 D．﹣1
二、填空题（6题）11．一元二次方程3x2﹣6x﹣7＝0的二次项系数是 ，常数项是 ．
12．已知（m﹣1）x|m|+1﹣2x+1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝ ．
13．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝﹣1，那么代数式2021+a﹣b的值是．
14．方程（3x+2）（2x﹣3）＝5化为一般形式是 ；其中二次项系数是 ．
15．若关于x的一元二次方程ax2﹣bx+3＝0的一个根为x＝2，则代数式4b﹣8a﹣1的值是 ．
16．设 、 是方程x2+2020x﹣2＝0的两根，则（ 2+2020 ﹣1）（ 2+2020 +2）＝ ．
三、解 α 答题 β （4题）17．当k取何值时，关于x的α 方程（αk﹣5）x2 β+（k+2）βx+5＝0．
（1）是一元一次方程？
（2）是一元二次方程？
18．已知2x2﹣10x﹣1＝0，求代数式（x﹣1）（2x﹣1）﹣（x+1）2的值．
a−4 7
19．已知a是方程x2+4x﹣21＝0的根，求代数式 4a2 −12a ÷（a+3﹣ a−3 ）的值．
20．设a，b，c分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项，根据下列条件，写出该一元二
次方程．
（1）a：b：c＝3：4：5，且a+b+c＝36；
√c−6
（2）（a﹣2）2+|b﹣4|+ ＝0．
