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第四课时——因式分解法与整体法
知识点一：因式分解法：
1. 因式分解法：
利用因式分解求解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
2. 基本原理：
左边为整式的乘积的形式，右边等于0，则让左边的整式分别等于0即可求解。
即： ，则 或 。
3. 因式分解的方法：
① ；
② ；包含 和 。
③ 。
常用的因式分解法解方程的两种方法是 和 。
【类型一：直接利用等式等于0求解方程】
1．方程x（x﹣6）＝0的解是（ ）
A．x＝6 B．x ＝0，x ＝6 C．x＝﹣6 D．x ＝0，x ＝﹣6
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2．若关于x的一元二次方程的根分别为﹣5，7，则该方程可以为（ ）
A．（x+5）（x﹣7）＝0 B．（x﹣5）（x+7）＝0
C．（x+5）（x+7）＝0 D．（x﹣5）（x﹣7）＝0
3．一元二次方程（x﹣2）（x+3）＝0的根是 ．
【类型二：提公因式解方程】4．方程（x﹣1）（x+3）＝x﹣1的根是（ ）
A．x＝1 B．x ＝﹣3，x ＝1 C．x ＝﹣2，x ＝1 D．x ＝﹣3，x ＝0
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5．用因式分解法把方程5y（y﹣3）＝3﹣y分解成两个一次方程，正确的是（ ）
A．y﹣3＝0，5y﹣1＝0 B．5y＝0，y﹣3＝0
C．5y+1＝0，y﹣3＝0 D．5y＝1，y﹣3＝3﹣y
6．一元二次方程x（x+1）﹣2（x+1）＝0的根是 ．
7．解方程：（x+1）2＝5x+5．
【类型三：十字相乘法解方程】
8．方程x2+x﹣6＝0的两个根为（ ）
A．x ＝﹣3，x ＝﹣2 B．x ＝﹣3，x ＝2
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C．x ＝﹣2，x ＝3 D．x ＝2，x ＝3
1 2 1 2
9．如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程x2﹣13x+36＝0的两个实数根，那么这个三角形的周长
可能是（ ）
A．13 B．18 C．22 D．26
10．已知一元二次方程x2﹣10x+24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（ ）
A．6 B．10 C．12 D．24
11．菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为
（ ）
A．12 B．14 C．16 D．12或16知识点一：整体法（换元法）
1. 整体法：通过把一元二次方程中某一部分看做一个整体进行求解一元二次方程的方法
叫做整体法。通常会把看成整体的部分用其他未知数代替，所以又叫换元法。
2. 例题讲解：
解（2x+1）2+3（2x+1）+2＝0．
解：设2x+1＝y，
则原方程可化为：y2+3y+2＝0，
∴（y+1）（y+2）＝0，
解得：y＝﹣1或y＝﹣2，
即2x+1＝﹣1或2x+1＝﹣2，
解得x ＝﹣1，x ＝ ．
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【类型一：利用整体法求值】
12．若实数x、y满足（x+y+3）（x+y﹣1）＝0，则x+y的值为（ ）
A．1 B．﹣3 C．3或﹣1 D．﹣3或1
13．若实数x，y满足（x+y+2）（x+y﹣1）＝0，则x+y的值为 ．
14．若实数x，y满足（x2+y2+2）（x2+y2﹣2）＝0．则x2+y2的值为（ ）
A．1 B．2 C．2 或﹣1 D．﹣2或﹣1
15．若（x2+y2）2+3（x2+y2）﹣4＝0，则x2+y2＝ ．
16．已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+4（x2﹣2x+1）﹣5＝0，那么x2﹣2x+1的值为（ ）
A．﹣5或1 B．﹣1或5 C．1 D．5【类型一：利用整体法解方程】
17．解方程（x﹣x2）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，若设y＝x2﹣x，则原方程可化为 ．
18．解下列方程：
（1）2（x2﹣7x）2﹣21（x2﹣7x）+10＝0；
（2）（2x2+3x）2﹣4（2x2+3x）﹣5＝0．
【类型一：利用合适的方法解方程】
19．选择适当的方法解下列一元二次方程
（1）（3y﹣2）2＝（2y﹣3）2 （2）2（1﹣x）2＝x﹣1
（3）﹣3x2+4x+1＝0 （4）（x+1）2﹣7（x+1）﹣18＝0．20．解方程：
（1）（x﹣4）2＝（5﹣2x）2． （2）3x2﹣6x+1＝0．
（3）3x2+5（2x+1）＝0． （4）（x﹣1）2﹣2（x﹣1）﹣8＝0．
一．选择题（共10小题）
1．一元二次方程x（x﹣2）＝2﹣x的根是（ ）A．x＝﹣1 B．x＝2 C．x ＝1，x ＝2 D．x ＝﹣1，x ＝2
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2．方程（x﹣3）（x+4）＝0的解是（ ）
A．x＝3 B．x＝﹣4 C．x ＝3，x ＝﹣4 D．x ＝﹣3，x ＝4
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3．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣6x+8＝0的两根．则该等腰三角形的周长是（ ）
A．2 B．8 C．10 D．10或8
4．三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程x2﹣16x+60＝0一个实数根，则该三角形的面积
是（ ）
A．24 B．48 C．24或8 D．8
5．已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，那么x2﹣2x+1的值为（ ）
A．﹣1或3 B．﹣3或1 C．3 D．1
6．用换元法解方程（x2+x）2+（x2+x）＝12时，如果设x2+x＝y，那么原方程可变形为（ ）
A．y2+y+12＝0 B．y2﹣y﹣12＝0 C．y2﹣y+12＝0 D．y2+y﹣12＝0
7．若2x2+1与4x2﹣2x﹣5的值互为相反数，则x的值是（ ）
A．﹣1或 B．1或﹣ C．1或﹣ D．1或
8．定义一种新运算：a♣b＝a（a﹣b），例如，4♣3＝4×（4﹣3）＝4，若x♣2＝3，则x的值是（ ）
A．x＝3 B．x＝﹣1 C．x ＝3，x ＝1 D．x ＝3，x ＝﹣1
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9．已知y ＝a2+b2，y ＝y ﹣3，且y •y ＝4，则y 的值为（ ）
1 2 1 1 2 1
A．4 B．﹣1 C．﹣4或1 D．﹣1或4
10．方程x2﹣4|x|+3＝0的解是（ ）
A．x＝±1或x＝±3 B．x＝1和x＝3 C．x＝﹣1或x＝﹣3 D．无实数根
二．填空题（共6小题）
11．小明在解一元二次方程x2＝2x时，只得到一个根x＝2，则被他漏掉的一个根是x＝ ．12．已知x y≠0，且3x2﹣2xy﹣8y2＝0，则 ＝ ．
13．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值为 ．
14．若（x+y）2﹣2x﹣2y+1＝0，则（x+y）999＝ ．
15．等腰（非等边）三角形的边长都是方程x2﹣6x+8＝0的根，则此三角形的面积为 ．
16．关于x的代数式x2+（m+2）x+（4m﹣7）中，当m＝ 时，代数式为完全平方式．
三．解答题（共4小题）
17．解方程
（1）x2+4x﹣5＝0 （2）3x（x﹣2）＝2（x﹣2）
18．阅读下列材料：已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值
解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，∴t＝±9
因为2m2+n2≥0，所以2m2+n2＝9．
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的
运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
（1）已知实数x，y满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值．
（2）若四个连续正整数的积为11880，求这四个连续正整数．19．阅读下面的例题，
范例：解方程x2﹣|x|﹣2＝0，
解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x ＝2，x ＝﹣1（不合题意，舍去）．
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（2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x ＝﹣2，x ＝1（不合题意，舍去）．
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∴原方程的根是x ＝2，x ＝﹣2
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请参照例题解方程x2﹣|x﹣1|﹣1＝0．
20．解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0 ①，
解得y ＝1，y ＝4．
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当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；
∴原方程有四个根：x ＝1，x ＝﹣1，x ＝2，x ＝﹣2．
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（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到 的目的，体现了数学的转化思想．
（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0．
（3）解方程 x2﹣3|x|＝18．
