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第四课时——求函数解析式、二次函数与二次方程（答案
卷）
知识点一：待定系数法求函数解析式：
1. 二次函数的三种形式：
一般式： 。
顶点式： 。
两点式： 。
2. 待定系数法求函数解析式的步骤：
（1）设函数解析式：根据已知条件设函数解析式。
特别说明：若已知条件为任意三点则设一般式。
若已知条件为顶点坐标或对称轴则设顶点式。
若已知条件为与x轴的交点坐标则设两点式。
（2）找点：找函数图像上的点。
（3）带入：把点带入函数解析式得到方程。
（4）求解方程。
（5）反带入：把求出的字母的值带入解析式。
【类型一：设一般式求函数解析式】
1．已知一个二次函数的图象过（﹣1，10）、（1，4）、（0，3），求这个二次函数的解析式．
【分析】先设所求二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），再把（﹣1，10）、（1，4）、（0，3）代入函数解析式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，解即可求a、b、c，进而可得函数解析式．
【解答】解：设所求二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
根据题意，得 ，
解得 ，
∴所求二次函数解析式为y＝4x2﹣3x+3．
2．二次函数y＝ax2+bx﹣3中的x，y满足如表
x … ﹣1 0 1 2 …
y … 0 ﹣3 m ﹣3 …
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求m的值．
【分析】（1）设一般式y＝ax2+bx﹣3，再取两组对应值代入得到关于a、b的方程组，然后解方程组即
可；
（2）把x＝1代入二次函数的解析式求解即可．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx﹣3，
把（﹣1，0），（2，﹣3）代入得 ，
解得： ，
所以解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）把x＝1代入y＝x2﹣2x﹣3，可得y＝1﹣2﹣3＝﹣4，
所以m＝﹣4．
3．一个二次函数的图象经过（﹣1，﹣1），（0，0），（1，9）三点（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若另外三点（x ，21），（x ，21），（x +x ，n）也在该二次函数图象上，求n的值．
1 2 1 2
【分析】（1）先设二次函数的一般关系式，然后将已知条件代入其中并解答即可；
（2）由抛物线的对称轴对称x +x ＝﹣ ，代入解析式即可求得n的值．
1 2
【解答】解：（1）设二次函数的关系式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵二次函数的图象经过点（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点，
∴ ，
解得 ，
所以这个函数关系式是：y＝4x2+5x；
（2）∵二次函数为y＝4x2+5x，
∴对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣ ，
∵三点（x ，21），（x ，21），（x +x ，n）也在该二次函数图象上，
1 2 1 2
∴ ＝﹣ ，
∴x +x ＝﹣ ，
1 2
∴n＝4×（﹣ ）2+5×（﹣ ）＝0．
4．已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点（﹣3，0），（2，﹣5）．
（1）试确定此二次函数的解析式；
（2）请你判断点P（﹣2，3）是否在这个二次函数的图象上？【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组，解方程组求出a，b，得到此二次函数的解析式；
（2）把x＝﹣2代入函数解析式计算，判断即可．
【解答】解：（1）由题意得， ，
解得， ，
则二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3，
∴点P（﹣2，3）在这个二次函数的图象上．
5．抛物线y＝ax2+bx+4的图象经过（2，4），（3，1）两点．
（1）求该抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）点（m，n）是该抛物线上一点，若m≤x≤4时，n的最小值为﹣4，最大值为5，请求出m的取值
范围．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，然后化成顶点式即可求得顶点坐标；
（2）根据（1）中求得的解析式可知抛物线开口向下，顶点为（1，5），即当x＝1时，函数有最大值
5，求得y＝﹣4时的x的值，根据二次函数的性质即可求得m的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4的图象经过（2，4），（3，1）两点，
∴ 解得
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+4．
∵y＝﹣（x﹣1）2+5，
∴顶点坐标为（1，5）．
（2）∵y＝﹣（x﹣1）2+5，
∴抛物线开口向下，顶点为（1，5），
∴当x＝1时，函数有最大值5，当y＝﹣4时，则﹣（x﹣1）2+5＝﹣4，
解得x＝﹣2或4，
∵点（m，n）是该抛物线上一点，m≤x≤4时，n的最小值为﹣4，最大值为5，
∴m的取值范围是﹣2≤m≤1．
【类型二：设顶点式求函数解析式】
6．一抛物线以（﹣1，9）为顶点，且经过x轴上一点（﹣4，0），求该抛物线解析式及抛物线与y轴交点
坐标．
【分析】设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，把（﹣1，9）和（﹣4，0）代入可得解析式，再把x＝0
代入可得与y轴的交点．
【解答】解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，
依题意得h＝﹣1，k＝9，
将（﹣4，0）代入y＝a（x+1）2+9中，
得0＝9a+9，
解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+9．
令x＝0，则y＝8，
∴抛物线与y轴交点为（0，8）．
7．已知二次函数图象的顶点坐标是（2，3），且经过点（﹣1，0），求这个二次函数的表达式、
【分析】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y＝a（x﹣2）2+3，然后把（﹣1，0）代入求出a
的值即可．
【解答】解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+3，
把（﹣1，0）代入得a•（x﹣1﹣2）2+3＝0，
解得a＝﹣ ．
所以抛物线解析式为y＝﹣ （x﹣2）2+3．8．若直线y＝x﹣2与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A（2，m）、B（n，3），抛物线对称轴为x＝3，求抛物
线解析式．
【分析】根据直线y＝x﹣2与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A（2，m）、B（n，3），先求出m，n的值，
再把A，B的坐标代入，利用抛物线对称轴为x＝3即可求出解析式．
【解答】解：∵直线y＝x﹣2过点A（2，m）、B（n，3），
∴m＝0，n＝5，
∴A（2，0）、B（5，3），分别代入y＝ax2+bx+c，抛物线对称轴为x＝3，
∴ ，
综合上述三式解得：a＝1，b＝﹣6，c＝8，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣6x+8．
9．已知某二次函数，当x＝1时，y有最大值为5，且它的图象经过点（2，3）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点A（3，y ）、B（4，y ）在该抛物线上，试比较y 、y 的大小．
1 2 1 2
【分析】（1）设函数解析式为y＝a（x﹣1）2+5，把点（2，3）代入解析式求出a即可．
（2）分别求出x＝3和x＝4时的函数值即可判断．
【解答】解：（1）设这个函数解析式为y＝a（x﹣1）2+5
把点（2，3）代入，3＝a（2﹣1）2+5，解得a＝﹣2，
∴这个函数解析式是y＝﹣2（x﹣1）2+5；
（2）由（1）知，y＝﹣2（x﹣1）2+5，
∴y ＝﹣2（3﹣1）2+5＝﹣3，y ＝﹣2（4﹣1）2+5＝﹣13，
1 2
则y ＞y ．
1 2
10．在平面直角坐标系中，一个二次函数的图象的顶点坐标是（2，1），与y轴的交点坐标是（0，5）．（1）求该二次函数的表达式；
（2）在同一平面直角坐标系中，若该二次函数的图象与一次函数y＝x+n（n为常数）的图象有2个公
共点，求n的取值范围．
【分析】（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+1，再将（0，5）代入即可求解；
（2）二次函数的图象与一次函数y＝x+n（n为常数）的图象有两个交点可列出方程 a（x﹣2）2+1＝
x+n，再利用Δ＞0，即可求出解．
【解答】解：（1）∵二次函数图象的顶点是（2，1），
∴设二次函数的表达式为y＝a（x﹣2）2+1，
将点（0，5）代入y＝a（x﹣2）2+1，
得5＝a（0﹣2）2+1，
解得：a＝1，
∴二次函数的表达式为：y＝（x﹣2）2+1．
（2）二次函数的图象与一次函数y＝x+n（n为常数）的图象有2个公共点，
∴ 得（x﹣2）2+1＝x+n，
化简得：x2﹣5x+5﹣n＝0，
∵有2个公共点，
∴Δ＞0，
∴25﹣4（5﹣n）＞0，
解得n＞ ．
∴n的取值范围为：n ．
【类型三：设两点式求函数解析式】
11．一个二次函数的图象经过（﹣1，0），（0，6），（3，0）三点．求：这个二次函数的解析式．
【分析】设一般式y＝ax2+bx+c，再把三个点的坐标代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求
出a、b、c即可．
【解答】解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
根据题意得： ，
解得： ，
所以抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6．
12．二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（4，0），B（0，﹣3），C（﹣2，0），求它的解析式，直接
写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【分析】通过待定系数法求出函数解析式，根据a的符号可得抛物线开口方向，根据x＝﹣ 求对称轴，
将x＝﹣ 的值代入函数解析式求抛物线顶点纵坐标．
【解答】解：将（4，0），（0，﹣3），（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c得 ，
解得 ，
∴y＝ x2﹣ x﹣3，
∵a＞0，
∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣ ＝1，
把x＝1代入y＝ x2﹣ x﹣3得y＝ + ﹣3＝﹣ ，
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣ ）．
13．若物线y＝﹣x2+bx+c经过（﹣1，0）和（5，0）．
（1）求抛物线对应的二次函数表达式．
（2）当0＜x＜5时，直接写出y的取值范围是 ．
【分析】（1）利用待定系数法可得二次函数表达式；
（2）把x＝0和x＝5代入表达式，再结合抛物线的顶点坐标可得y的取值范围．
【解答】解：（1）把（﹣1，0）和（5，0）代入y＝﹣x2+bx+c得，
，
解得b＝4，c＝5，
所以二次函数的表达式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）抛物线的对称轴是直线x＝2，顶点坐标（2，9），
当x＝0时，y＝5；当x＝5时，y＝0；当x＝2时，y＝9；
∴当0＜x＜5时，0＜y≤9，
故答案为：0＜y≤9．
14．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（﹣1，0），点B（3，0）和点C．
（1）若点C（0，3），求二次函数表达式；
（2）若点C（m，n），证明：当a＞0时，总有am2+b m≥a+b．
【分析】（1）由抛物线过点A（﹣1，0），点B（3，0）可得抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
进而求解．（2）由抛物线解析式可得抛物线对称轴，由a＞0可得当x＝1时，y取最小值，进而求解．
【解答】（1）设y＝a（x+1）（x﹣3），
把 （0，3）代入y＝a（x+1）（x﹣3）得3＝﹣3a，
解得a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3．
（2）方法一：
∵图象过A（﹣1，0），点B（3，0），
∴对称轴为直线x＝1，
∵a＞0，当x＝1时，图象有最小值，此时最小值为y＝a+b+c
∴当x＝m时，存在am2+bm+c≥a+b+c．
∴am2+bm≥a+b．
方法二：∵图象过A（﹣1，0），点B（3，0），
∴ ，则b＝﹣2a．
∴am2+bm﹣a﹣b＝am2﹣2am﹣a+2a＝am2﹣2am+a＝a（m2﹣2m+1）＝a（m﹣1）2≥0，
∴am2+bm≥a+b．
知识点一：二次函数与一元二次方程
1. 求二次函数与x轴的交点坐标：
求二次函数 与x轴的交点坐标，令y= 0 ，即
，
解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．2. 二次函数 的交点与一元二次方程 根之间的关系：
△= 决定一元二次方程根的情况，也决定抛物线与x轴的交点个数。
△= ＞0 一元二次方程两个不相等的实数根 抛物线与x轴有 2 个交点；
△= ＝0 一元二次方程两个相等的实数根 抛物线与x轴有 1 个交点；
△= ＜0 一元二次方程没有实数根 抛物线与x轴 没有交点 。
特别说明：一元二次方程 的根就是二次函数 与x轴
交点的横坐标。
若点 与点 均在二次函数 的图像上，
若 ，则 的根一定在 与 之间。
【类型一：根据与x轴的交点求根】
15．如图，一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为 ．
【分析】首先根据图象求出抛物线 y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点坐标，进而写出一元二次方程
ax2+bx+c＝0的解．
【解答】解：由图可知：抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（4，0），
则一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x ＝﹣1，x ＝4．
1 2
故答案为：x ＝﹣1，x ＝4．
1 2
16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根为 ．
【分析】关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根即为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与
x轴的交点．
【解答】解：根据图象知，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点是（﹣1，0），对称轴是直
线x＝1．
设该抛物线与x轴的另一个交点是（x，0）．则
＝1，
解得，x＝3，
即该抛物线与x轴的另一个交点是（3，0）．
所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根为x ＝﹣1，x ＝3．
1 2
故答案是：x ＝﹣1，x ＝3．
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17．若二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c＝0的解为 ．
【分析】二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），则当x＝﹣1时，y＝0，即ax2﹣2ax+c＝0
的解是x＝﹣1，据此求解．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），
∴当x＝﹣1时，ax2﹣2ax+c＝0成立，
∴方程ax2﹣2ax+c＝0的一个解是x ＝﹣1．
1
∴a+2a+c＝0，
∴c＝﹣3a，∴原方程可化为a（x2﹣2x﹣3）＝0，
∵a≠0．
∴x2﹣2x﹣3＝0，
∴x ＝﹣1，x ＝3．
1 2
故答案是：x ＝﹣1，x ＝3．
1 2
【类型二：根据与x轴的交点情况求字母的取值范围】
18．如果函数y＝x2+4x﹣m的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是（ ）
A．m≤4 B．m＜4 C．m≥﹣4 D．m＞﹣4
【分析】根据已知得出方程x2+4x﹣m＝0有两个的实数解，即△≥0，求出不等式的解集即可．
【解答】解：∵函数y＝x2+4x﹣m的图象与x轴有公共点，
∴方程x2+4x﹣m＝0有两个的实数解，即△＝42﹣4×1×（﹣m）≥0，
解得：m≥﹣4，
故选：C．
19．若抛物线y＝x2﹣（2k+1）x+k2+2与x轴有两个交点，则整数k的最小值是 ．
【分析】抛物线与x轴有两交点，则Δ＝b2﹣4ac＞0，列出不等式求得整数解即可．
【解答】解：由题意得：（2k+1）2﹣4（k2+2）＞0，解得k＞ ，故整数k的最小值是2．
20．已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k≤4且k≠3 B．k＜4且k≠3 C．k＜4 D．k≤4
【分析】由于不知道函数是一次函数还是二次函数，需对k进行讨论．当k＝3时，函数y＝2x+1是一次
函数，它的图象与x轴有一个交点；
当k≠3，函数y＝（k﹣3）x2+2x+1是二次函数，当△≥0时，二次函数与x轴都有交点，解△≥0，求
出k的范围．
【解答】解：当k＝3时，函数y＝2x+1是一次函数，它的图象与x轴有一个交点；当k≠3，函数y＝（k﹣3）x2+2x+1是二次函数，
当22﹣4（k﹣3）≥0，
k≤4
即k≤4时，函数的图象与x轴有交点．
综上k的取值范围是k≤4．
故选：D．
21．已知二次函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象与x轴没有交点，则k的取值范围为（ ）
A．k＞﹣ B．k≥﹣ 且k≠0 C．k＜﹣ D．k＞﹣ 且k≠0
【分析】根据二次函数的定义得到 k≠0，根据Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数得到（﹣7）2
﹣4k×（﹣7）＜0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得 ，
解得k＜﹣ ．
故选：C．
22．二次函数y＝ax2+bx+c对于x的任何值都恒为负值的条件是（ ）
A．a＞0，Δ＞0 B．a＞0，Δ＜0 C．a＜0，Δ＞0 D．a＜0，Δ＜0
【分析】函数值恒为负值要具备两个条件：①开口向下：a＜0，②与x轴无交点，即Δ＜0．
【解答】解：如图所示，
二次函数y＝ax2+bx+c对于x的任何值都恒为负值的条件是：a＜0，Δ＜0；
故选：D．【类型三：二次函数与直线的交点问题】
23．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过（0，﹣3），对称轴为直线x＝﹣1，关于x的方程﹣x2+bx+c﹣n＝0在﹣4＜
x＜1的范围内有实数根，则n的取值范围为（ ）
A．﹣11＜n＜﹣2 B．﹣6＜n＜﹣3 C．﹣11＜n≤﹣2 D．﹣11＜n＜﹣6
【分析】x＝﹣4比x＝1离对称轴远，故关于x的方程﹣x2+bx+c﹣n＝0在﹣4＜x＜1的范围内有实数根，
则n在y＝﹣11和顶点之间，进而求解．
【解答】解：由题意得 ，解得 ，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x﹣3，
则抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣2），
函数的大致图象如下：
当x＝﹣4时，y＝﹣x2﹣2x﹣3＝﹣11，
∵x＝﹣4比x＝1离对称轴远，故关于x的方程﹣x2+bx+c﹣n＝0在﹣4＜x＜1的范围内有实数根，
则n在y＝﹣11和顶点之间，
即﹣11＜n≤﹣2，故选：C．
24．抛物线y＝x2+bx+2的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx+2﹣t＝0（t为实数）在﹣1
＜x＜5的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）
A．t≥0 B．5≤t＜17 C．1≤t＜17 D．3≤t＜19
【分析】一元二次方程x2+bx+2﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜5的范围内有实数根，则y ＝x2﹣2x+2和y
1
＝t有交点，进而求解．
【解答】解：x＝1＝﹣ ，解得b＝﹣2，
设y ＝x2+bx+2＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，
1
则该函数的开口向上，顶点坐标为（1，1），
则x＝5比x＝﹣1离函数的对称轴远，
当x＝5时，y ＝x2﹣2x+2＝25﹣10+2＝17，
1
而一元二次方程x2+bx+2﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜5的范围内有实数根，
则y ＝x2﹣2x+2和y＝t有交点，
1
故1≤t＜17，
故选：C．
25．将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直
线y＝x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（ ）
A．－ 或﹣3 B．－ 或﹣3 C． 或﹣3 D． 或﹣3
【分析】分两种情形：如图，当直线y＝x+b过点B时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，当直线y＝x+b与抛物线y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3）相切时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共
点，分别求解即可．
【解答】解：二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点坐标为（1，4），
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x ＝﹣1，x ＝3，
1 2
则抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的交点为A（﹣1，0），B（3，0），
把抛物线y＝﹣x2+2x+3图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为 y＝
（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3），顶点坐标M（1，﹣4），
如图，当直线y＝x+b过点B时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，
∴3+b＝0，解得b＝﹣3；
当直线y＝x+b与抛物线y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3）相切时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公
共点，
即（x﹣1）2﹣4＝x+b有相等的实数解，整理得x2﹣3x﹣b﹣3＝0，△＝32﹣4（﹣b﹣3）＝0，解得b＝
﹣ ，
所以b的值为﹣3或﹣ ，
故选：A．
26．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝﹣x2+x+6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余
部分不变，将这个新函数的图象记为G（如图所示），当直线y＝﹣x+m与图象G有4个交点时，则m
的取值范围是（ ）A．﹣ ＜m＜3 B．﹣ ＜m＜2 C．﹣2＜m＜3 D．﹣6＜m＜﹣2
【分析】如图，解方程﹣x2+x+6＝0得A（﹣2，0），B（3，0），再利用折叠的性质求出折叠部分的解
析式为y＝（x+2）（x﹣3），即y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），然后求出直线•y＝﹣x+m经过点A（﹣2，
0）时m的值和当直线y＝﹣x+m与抛物线y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时m的值，从而得到
当直线y＝﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围．
【解答】解：如图，当y＝0时，﹣x2+x+6＝0，解得x ＝﹣2，x ＝3，则A（﹣2，0），B（3，0），
1 2
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝（x+2）（x﹣3），
即y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），
当直线•y＝﹣x+m经过点A（﹣2，0）时，2+m＝0，解得m＝﹣2；
当直线y＝﹣x+m与抛物线y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时，方程x2﹣x﹣6＝﹣x+m有相等
的实数解，解得m＝﹣6，
所以当直线y＝﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围为﹣6＜m＜﹣2．
故选：D．
【类型四：利用函数图像求一元二次方程的近似根】27．如图，点A（2.18，﹣0.51），B（2.68，0.54），在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，则方程
ax2+bx+c＝0的一个近似值可能是（ ）
A．2.18 B．2.68 C．﹣0.51 D．2.45
【分析】根据自变量两个取值所对应的函数值是﹣0.51和0.54，可得当函数值为0时，x的取值应在所
给的自变量两个值之间．
【解答】解：∵图象上有两点分别为A（2.18，﹣0.51）、B（2.68，0.54），
∴当x＝2.18时，y＝﹣0.51；x＝2.68时，y＝0.54，
∴当y＝0时，2.18＜x＜2.68，
只有选项D符合，
故选：D．
28．表给出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值：那么方程ax2+bx+c＝0
的一个根的近似值可能是（ ）
x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 …
y … ﹣1 ﹣0.49 0.04 0.59 1.16 …
A．1.08 B．1.18 C．1.28 D．1.38
【分析】观察表中数据得到抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点在（1.1，0）和点（1.2，0）之间，更
靠近点（1.2，0），然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程ax2+bx+c＝0一个根的近似值．
【解答】解：∵x＝1.1时，y＝ax2+bx+c＝﹣0.49；x＝1.2时，y＝ax2+bx+c＝0.04；
∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点在（1.1，0）和点（1.2，0）之间，更靠近点（1.2，0），∴方程ax2+bx+c＝0有一个根约为1.2．
故选：B．
29．如表是二次函数y＝ax2+bx+c的几组对应值：
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y＝ax2+bx+c ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04
根据表中数据判断，方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质进行解答即可．
【解答】解：由表可以看出，当x取6.18与6.19之间的某个数时，y＝0，即这个数是ax2+bx+c＝0的一
个根．
ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围为6.18＜x＜6.19．
故选：C．
30．如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程
ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（ ）
A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6
【分析】先根据图象得出对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围，再利用对称轴x＝1，可以算出
右侧交点横坐标的取值范围．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点为（1，﹣4），
∴对称轴为x＝1，
而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是﹣3＜x＜﹣2，∴右侧交点横坐标的取值范围是4＜x＜5．
故选：C．
一．选择题（共10小题）
1．若抛物线y＝x2+2x+k与x轴只有一个交点，则k的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】根据抛物线y＝x2+2x+k与x轴只有一个交点，可知Δ＝0，从而可以求得k的值．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+2x+k与x轴只有一个交点，
∴Δ＝22﹣4×1×k＝0，
解得，k＝1，
故选：C．
2．若二次函数 y＝x2+x+a的图象与 x轴交于A（x ，0），B（x ，0）两点，且 ，则a＝
1 2
（ ）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0或﹣1
【分析】由根与系数的关系得x +x ＝﹣1，x •x ＝a，将式 变形代入即可．
1 2 1 2
【解答】解：y＝x2+x+a的图象与x轴交于A（x ，0）、B（x ，0）两点，
1 2
∴x +x ＝﹣1，x •x ＝a，
1 2 1 2∵ + ＝ ＝ ＝ ＝3，
∴3a2+2a﹣1＝0
解得a＝﹣1或a＝ ；
∵y＝x2+x+a的图象与x轴有两个交点，
∵Δ＝1﹣4a＞0，
∴a＜ ，
∴a＝﹣1，
故选：B．
3．抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x ﹣2 ﹣1 0 1
y 0 4 6 6
下列结论不正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的对称轴为直线x＝
C．抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0）
D．函数y＝ax2+bx+c的最大值为
【分析】根据表格中的数据，可以求出抛物线的解析式，然后化为顶点式和交点式，即可判断各个选项
中的说法是否正确．
【解答】解：由表格可得，，
解得 ，
∴y＝﹣x2+x+6＝﹣（x﹣ ）2+ ＝（﹣x+3）（x+2），
∴该抛物线的开口向下，故选项A正确，不符合题意；
该抛物线的对称轴是直线x＝ ，故选项B正确，不符合题意，
∵当x＝﹣2时，y＝0，
∴当x＝ ×2﹣（﹣2）＝3时，y＝0，故选项C错误，符合题意；
函数y＝ax2+bx+c的最大值为 ，故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
4．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴只有一个交点，且经过点A
（2﹣m，c），B（m+2，c），则△AOB的面积为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．4
【分析】根据A、B的坐标求得抛物线的对称轴，从而求得 b＝﹣4，由Δ＝0，求得c＝4，根据题意求
得AB＝4，然后根据三角形面积公式即可求得△AOB的面积．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（2﹣m，c），B（m+2，c），
∴对称轴为直线x＝ ＝2，
∴﹣ ＝2，
∴b＝﹣4，
∵点A或点B在y轴上，∴AB＝4，
∵二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴只有一个交点，
∴b2﹣4c＝0，即16﹣4c＝0，
∴c＝4，
∴△AOB的面积为： ＝8．
故选：A．
5．已知点M为二次函数y＝x2+2kx+k﹣2图象的顶点，则以下结论错误的是（ ）
A．该函数图象与x轴总有两个交点
B．若该函数图象的顶点M的坐标为（a，b），则b与a的关系满足b＝﹣a2﹣a﹣2
C．无论k取何值，顶点M总在x轴的上方
D．直线y＝k﹣2与该函数图象交于点C、D，则当 时，△MCD是等边三角形
【分析】令x2+2kx+k﹣2＝0，由Δ的符号可判断选项A，C．将二次函数解析式化为顶点式可判断选项
B，由抛物线的对称性可得C，D的坐标，根据等边三角形的性质可判断选项D．
【解答】解：令x2+2kx+k﹣2＝0，则Δ＝4k2﹣4（k﹣2）＝4k2﹣4k+8＝4（k﹣ ）2+7＞0，
∴抛物线与x轴有2个交点，选项A正确．
∵y＝x2+2kx+k﹣2＝（x+k）2﹣k2+k﹣2，
∴抛物线顶点坐标为（﹣k，﹣k2+k﹣2），
∴a＝﹣k，b＝﹣k2+k﹣2＝﹣a2﹣a﹣2，选项B正确．
∵抛物线开口向上，抛物线与x轴有2个交点，
∴抛物线顶点在x轴下方，选项C错误．
∵点M坐标为（﹣k，﹣k2+k﹣2），
∴抛物线对称轴为值x＝﹣k，∴点C，D坐标为（0，k﹣2），（﹣2k，k﹣2）．
∵△MCD是等边三角形，
∴k﹣2﹣（﹣k2+k﹣2）＝ |k|，
当k＝ 时， ﹣2﹣（﹣3+ ﹣2）＝3，符合题意，选项D正确．
故选：C．
6．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如表所示，
x … 0 4 …
y … 0.32 ﹣2 0.32 …
则方程ax2+bx+2.32＝0的根是（ ）
A． 或 B． 或 －2 C．0或4 D．1或5
【分析】利用抛物线经过点（0，0.32）得到c＝0.32，根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线
x＝2，抛物线经过点（ ，﹣2），由于方程 ax2+bx+2.32＝0 变形为 ax2+bx+0.32＝﹣2，则方程
ax2+bx+2.32＝0的根理解为函数值为﹣2所对应的自变量的值，所以方程ax2+bx+2.32＝0的根为x ＝
1
，x ＝4﹣ ．
2
【解答】解：由抛物线经过点（0，0.32）得到c＝0.32，
因为抛物线经过点（0，0.32）、（4，0.32），
所以抛物线的对称轴为直线x＝2，
而抛物线经过点（ ，﹣2），
所以抛物线经过点（4﹣ ，﹣2），
所以二次函数解析式为y＝ax2+bx+0.32，
方程ax2+bx+2.32＝0变形为ax2+bx+0.32＝﹣2，
所以方程ax2+bx+0.32＝﹣2的根理解为函数值为﹣2所对应的自变量的值，
所以方程ax2+bx+2.32＝0的根为x ＝ ，x ＝4﹣ ．
1 2故选：A．
7．已知关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+2m＝0有两个不相等的实数根x ，x ，且有x ＜2＜x ，那么
1 2 2 1
实数m的取值范围是（ ）
A．m＜2 B．m＞2 C．m＜﹣2 D．m＞﹣2
【分析】先用求根公式和x ＜2＜x ，求出x ＝﹣2，x ＝﹣m，根据x ＞2求出m的取值范围．
2 1 2 1 1
【解答】解：∵x2+（m+2）x+2m＝0，
∴x＝ ＝ ，
∵x ＜2＜x ，
2 1
∴x ＝﹣2，x ＝﹣m，
2 1
∴﹣m＞2，
∴m＜﹣2，
故选：C．
8．若二次函数y＝ax2﹣6ax+3（a＜0），当2≤x≤5时，8≤y≤12，则a的值是（ ）
A．1 B．﹣ C．﹣ D．﹣1
【分析】根据二次函数解析式判断出开口方向和对称轴，再根据当2≤x≤5时，8≤y≤12，可得到x在
顶点处取得最大值，即可求出a值．
【解答】解：在y＝ax2﹣6ax+3，a＜0，开口向下，对称轴为x＝3，
∵当2≤x≤5时，8≤y≤12，
∴x＝3时，y取得最大为12，
∴12＝9a﹣18a+3，
∴a＝﹣1．
故选：D．
9．如图，若抛物线y＝ax2+2x+a2﹣1经过原点，则抛物线的解析式为（ ）A．y＝﹣x2+2x B．y＝x2+2x
C．y＝﹣x2+2x+1 D．y＝﹣x2+2x或y＝x2+2x
【分析】把原点的坐标代入y＝ax2+2x+a2﹣1，求得a＝﹣1，即可求得抛物线的解析式．
【解答】解：把（0，0）代入y＝ax2+2x+a2﹣1得，0＝a2﹣1，
∴a＝±1，
∵抛物线开口向下，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x，
故选：A．
10．在平面直角坐标系中，如果点M的横坐标与纵坐标相等，则称点M为和谐点，比如：点M（﹣1，﹣
1）、M（2，2）、M（0.3，0.3）…，都是和谐点，若二次函数y＝ax2+7x+c（a≠0）的图象上有且只有
一个和谐点M（1，1），则这个二次函数的解析式为（ ）
A．y＝﹣5x2+7x﹣1 B．y＝﹣x2+7x﹣5
C．y＝﹣2x2+7x﹣4 D．y＝﹣3x2+7x﹣3
【分析】由题意可得和谐点所在直线为y＝x，由抛物线经过（1，1）可得a与c的数量关系，联立直线
与抛物线方程，根据Δ＝0求解．
【解答】解：由题意可得和谐点所在直线为y＝x，
把（1，1）代入y＝ax2+7x+c得1＝a+7+c，
∴c＝﹣a﹣6，
∴y＝ax2+7x﹣a﹣6．
令x＝ax2+7x﹣a﹣6，整理得ax2+6x﹣a﹣6＝0，
∵抛物线与直线y＝x只有1个公共点，∴Δ＝62﹣4a（﹣a﹣6）＝0，
解得a ＝a ＝﹣3，
1 2
∴y＝﹣3x2+7x﹣3．
故选：D．
二．填空题（共6小题）
11．已知二次函数y＝x2+2x﹣3a的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是 ．
【分析】根据抛物线与x轴的交点问题，利用根的判别式的意义得到22﹣4×（﹣3a）＞0，然后解不等
式即可．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+2x﹣3a的图象与x轴有两个交点，
∴Δ＝22﹣4×（﹣3a）＞0，
解得a＞﹣ ，
即a的取值范围为a＞﹣ ．
故答案为：a＞﹣ ．
12．已知抛物线 y ＝ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴的两个交点的横坐标分别是﹣3 和 1，若抛物线 y ＝
1 2
ax2+bx+c+m（m＞0）与x轴有两个交点A，B，点A的坐标是（4，0），则点B的坐标是 ．
【分析】由抛物线与x轴两交点横坐标求出抛物线对称轴，进而求解．
【解答】解：∵抛物线y ＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标分别是﹣3和1，
1
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
抛物线y ＝ax2+bx+c+m（m＞0）是由抛物线向上移动m个单位，抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
2
∵A，B关于对称轴对称，A坐标为（4，0），
∴点B坐标为（﹣6，0）．
故答案为：（﹣6，0）．13．已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2022的值为 ．
【分析】将（m，0）代入函数解析式可得m2﹣m的值，进而求解．
【解答】解：将（m，0）代入y＝x2﹣x﹣1得m2﹣m﹣1＝0，即m2﹣m＝1，
∴m2﹣m+2022＝1+2023，
故答案为：2023．
14．抛物线y＝ax2﹣2x﹣1的对称轴为直线x＝1．
（1）a＝ ；
（2）若抛物线y＝ax2﹣2x﹣1+m在﹣1＜x＜4内与x轴只有一个交点，则m的取值范围是
．
【分析】（1）抛物线y＝ax2﹣2x﹣1的对称轴为直线x＝1，由﹣ ＝1即可求得；
（2）先根据抛物线与x轴有交点，由Δ≥0得出m≤2．再分①抛物线的顶点在x轴上和②当x＝﹣1
和x＝4时，对应的函数值异号两种情况讨论即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x﹣1的对称轴为直线x＝1，
∴﹣ ＝1，
∴a＝1；
故答案为：a＝1；
（2）由（1）知：a＝1，
∴抛物线y＝ax2﹣2x﹣1+m为y＝x2﹣2x﹣1+m，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣1+m）＝8﹣4m≥0，
∴m≤2，
∵对称轴为直线x＝1，
∴抛物线y＝x2﹣2x﹣1+m在﹣1＜x＜4内与x轴只有一个交点，分两种情况：
①抛物线y＝x2﹣2x﹣1+m的顶点是（1，0），∴0＝1﹣2×1﹣1+m，
解得m＝2，
②当x＝﹣1和x＝4时，对应的函数值异号，
而当x＝﹣1时，y＝2+m，
x＝4时，y＝7+m，
∴ 或 ，
解得﹣7＜m＜﹣2，
当m＝﹣7时，抛物线y＝x2﹣2x﹣1+m＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣4）（x+2），
∴抛物线与x轴的交点为（﹣2，0）和（4，0），
∴抛物线y＝x2﹣2x﹣1+m在﹣1＜x＜4没有交点，
当m＝﹣2时，抛物线y＝x2﹣2x﹣1+m＝y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1），
∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）和（3，0），
∴抛物线y＝x2﹣2x﹣1+m在﹣1＜x＜4有一个交点（3，0），符合题意，
综上所述，m取值范围是m＝2或﹣7＜m≤﹣2，
故答案为：m＝2或﹣7＜m≤﹣2．
15．二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线 x＝2 若 x ，x 是一元二次方程
1 2
ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，且x ＜x ，﹣1＜x ＜0，则x 的取值范围是 ．
1 2 1 2
【分析】由抛物线对称性及对称轴为直线x＝2可得 ＝2，根据﹣1＜x ＜0可得x 的取值范围．
1 2【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x＝2，
∴ ＝2，
∴x ＝4﹣x ，
2 1
∵﹣1＜x ＜0，
1
∴4＜x ＜5，
2
故答案为：4＜x ＜5．
2
16．物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）的对称轴为x＝m，且a+b+c＝0．
下列四个结论：
①c＜0；
②x＝2m﹣1是方程ax2+bx+c＝0的根；
③不等式am2﹣a3≥ab﹣b m一定成立；
④若P（x ，y ），P （x ，y ）在抛物线上，且当x ＜x ＜2时，y ＜y ，则c≤3a．
1 1 2 2 2 1 2 1 2
其中正确的是 （填写序号）．
【分析】根据题意抛物线开口向下，经过点（1，0），当m≤0时，c＞0，即可判断①结论错误；根据
抛物线的对称性即可判断②正确；根据二次函数的最值即可判断③正确；根据二次函数的性质得出﹣
≥2，即b≥﹣4a，由a+b+c＝0，得出b＝﹣a﹣c，从而得到4a≤﹣a﹣c，进一步得到c≤3a，即可
判断④正确．
【解答】解：①∵a+b+c＝0，
∴抛物线经过点（1，0），
∵a＜0，
∴当m≤0时，c＞0，故结论错误；
②抛物线经过点（1，0），对称轴为x＝m，
∴点（1，0）关于直线x＝m的对称点为（2m﹣1，0），∴x＝2m﹣1是方程ax2+bx+c＝0的根，故结论正确；
③a＜0，对称轴为x＝m，
∴函数的最大值为y＝am2+bm+c，
∴am2+bm+c≥a3+ab+c，
∴am2﹣a3≥ab﹣bm，故结论正确；
④若P（x ，y ），P （x ，y ）在抛物线上，且当x ＜x ＜2时，y ＜y ，
1 1 2 2 2 1 2 1 2
∴﹣ ≥2，
∴b≥﹣4a，
∵a+b+c＝0，
∴b＝﹣a﹣c，
∴﹣4a≤﹣a﹣c，
∴c≤3a，故结论正确．
故答案为：②③④．
三．解答题（共4小题）
17．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当0＜x＜3时，求y的取值范围．
【分析】（1）把A、B两点坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法可求
得其解析式，再化为顶点式即可求得其顶点坐标；
（2）由解析式可求得其对称轴，再结合函数的增减性分0＜x＜1和1＜x＜3分别求y的最大值和最小值
即可求得y的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴ ，解得 ，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）∵y＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴当0＜x＜1时，当x＝0时，y有最大值为﹣3，当x＝1时，y有最小值为﹣4，
当1＜x＜3时，当x＝3时，y有最大值为0，当x＝1时，y有最小值为﹣4，
∴当0＜x＜3时，﹣4≤y＜0．
18．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当0＜x＜3时，求y的取值范围；
（3）点P为抛物线上一点，若S△PAB ＝10，求出此时点P的坐标．
【分析】（1）由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再
利用配方法即可求出抛物线顶点坐标；
（2）结合函数图象以及A、B点的坐标即可得出结论；
（3）设P（x，y），根据三角形的面积公式以及S△PAB ＝10，即可算出y的值，代入抛物线解析式即可
得出点P的坐标．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）分别代入y＝x2+bx+c中，
得： ，解得： ，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点坐标为（1，﹣4）．
（2）由图可得当0＜x＜3时，﹣4≤y＜0．
（3）∵A（﹣1，0）、B（3，0），
∴AB＝4．
设P（x，y），则S△PAB ＝ AB•|y|＝2|y|＝10，
∴|y|＝5，
∴y＝±5．
①当y＝5时，x2﹣2x﹣3＝5，解得：x ＝﹣2，x ＝4，
1 2
此时P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）；
②当y＝﹣5时，x2﹣2x﹣3＝﹣5，方程无解；
综上所述，P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）．
19．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（1，0）、B（5，0）、C（0，5）三点．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）求抛物线的顶点坐标、对称轴；
（3）若过点C的直线与抛物线相交于点E（4，m），请连接CB，BE并求出△CBE的面积S的值．
【分析】（1）设抛物线y＝ax2+bx+c＝a（x﹣1）（x﹣5），把C的坐标代入求出即可；
（2）把抛物线的解析式化成顶点式，求得对称轴，根据抛物线的性质即可求得x的取值；（3）求出E的坐标，把C（0，5），E（4，﹣3）代入y＝kx+b得到方程组，求出方程组的解即可得到
一次函数的解析式，求出直线与X轴的交点，根据三角形的面积公式求出即可；
【解答】解：（1）∵A（1，0），B（5，0），
设抛物线y＝ax2+bx+c＝a（x﹣1）（x﹣5），
把C（0，5）代入得：5＝a（0﹣1）（0﹣5），
解得：a＝1，
∴y＝（x﹣1）（x﹣5）＝x2﹣6x+5，
即抛物线的函数关系式是y＝x2﹣6x+5．
（2）∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为x＝3，
又∵二次函数y＝x2﹣6x+5的二次项系数为1＞0，
∴抛物线的开口向上，
∴当x≥3时y随x的增大而增大；
（3）把x＝4代入y＝x2﹣6x+5得：y＝﹣3，
∴E（4，﹣3），
把C（0，5），E（4，﹣3）代入y＝kx+b得： ，
解得：k＝﹣2，b＝5，
∴y＝﹣2x+5，
设直线y＝﹣2x+5交x轴于D，
当y＝0时，0＝﹣2x+5，
∴x＝ ，
∴OD＝ ，BD＝5﹣ ＝ ，
∴S△CBE ＝S△CBD +S△EBD ＝ × ×5+ × ×|﹣3|＝10．
20．已知抛物线y＝﹣x2+2x+m．抛物线过点A（3，0）和点C，与y轴交于点B．直线AB与这条抛物线的
对称轴交于点P．
（1）求抛物线的解析式及点B、C的坐标；
（2）求直线AB的解析式和点P的坐标；
（3）在第一象限内的该抛物线有一点 D（x，y），且 S△ABD ＝
S△ABC ，求点D的坐标．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得解析式，令x＝0，求得y的值，即可求得B的坐标，求得对称
轴，根据抛物线的对称性即可求得C的坐标；
（2）根据待定系数法即可求得直线AB的解析式，把x＝1代入求得的直线解析式即可求得P的坐标；
（3）过D点作DE⊥x轴，交直线AB与E，表示出DE，然后根据三角形内接公式得到关于x的方程，
解方程求得x的值，进而求得D的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+2x+m过点A（3，0），
∴﹣9+6+m＝0，解得m＝3，
∴抛物线为y＝﹣x2+2x+3，
令x＝0，则y＝3，
∴B（0，3），
∵对称轴为直线x＝﹣ ＝1，
∴点A（3，0）关于对称轴的对称点为（﹣1，0），
∴C（﹣1，0）；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（3，0），B（0，3）代入得 ，解得 ，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3，
把x＝1代入y＝﹣x+3得，y＝2，
∴P的坐标为（1，2）；
（3）∵抛物线有一点D（x．y），
∴D（x，﹣x2+2x+3），
过D点作DE⊥x轴，交直线AB与E，
∴E（x，﹣x+3），
∵A（3，0），B（0，3），C（﹣1，0），
∴S△ABC ＝ （3+1）×3＝6，
∴S△ABD ＝ S△ABC ＝ ，
∵S△ABD ＝S△ADE +S△BDE ，
∴ （﹣x2+2x+3+x﹣3）×3＝ ，
解得x＝ ，
∴y＝﹣x2+2x+3＝ ，
∴D（ ， ），（ ， ）．
