文档内容
第一章 三角形的证明
1.1 三角形内角和定理
第 1 课时 三角形内角和定理
【素养目标】
1. 探索并证明三角形的内角和定理。(重、难点)
2. 学会解决与求角度有关的实际问题，体会转化的数学思想。
3. 复习全等三角形的性质和判定。
【复习导入】
我们已经知道三角形三个内角的和为 180∘ . 以前探索三角形三个内角的和
是用什么方法，你还记得吗？
思考： 通过剪拼法拼成了一个什么角？如何用推理的方法去验证呢？
【合作探究】
探究点一、三角形内角和定理的证明
探究：通过活动的启发，我们在纸上任意画一个三角形， 将它的内角剪下拼合
在一起，就得到一个平角。从这个操作过程中，你能发现证明的思路吗？
想一想，直线 CE 与 △ABC 的边 AB 有什么关系？ 你学过哪些与 180∘ 有关
的结论？
第 1 页已知：如图，△ABC . 求证： ∠A+∠B+∠C=180∘ .
三角形内角和定理
三角形的内角和等于180∘ .
几何语言：
在△ABC中，
∠A+∠B+∠C=180∘ .
【思考交流】
(1) 如图，在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个内角“凑”到点
A 处，过点 A 作直线 PQ ，使 PQ//BC ，他的想法可行吗？ 如果可行， 你
能写出证明过程吗？
还有其他的证明方法吗？
已知： 如图， △ABC .求证： ∠A+∠B+∠C=180∘
.
证法2:
证法3:
第 2 页思考 以上多种方法的证明思路是什么？
除了构造平角得到 180∘ 外，还有其他方式吗？
【典例精析】
例 1 如图，在△ABC中， ∠B=38∘ ， ∠C=62∘ ，AD是△ABC的角平分线，求
∠ADB的度数。
【变式题】如图，CD是∠ACB 的平分线，DE // BC ， ∠A=50∘,∠B=70∘ ，
求 ∠EDC,∠BDC 的度数。
第 3 页探究点二、全等三角形的判定和性质
【尝试思考】我们已经证明了 SSS, ASA, SAS 的成立，怎么用这些定理证明
AAS 成立呢 ?
已知： 在 △ABC 和 △DEF 中，∠A=∠D ，∠B =∠E , BC = EF .
求证： △ABC≌△DEF .
问题1: AAS 和 ASA 有什么联系？
问题2: AB 和 DE 有什么关系？ AC 和 DF 呢？
【知识要点】
定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。 ( AAS )
根据全等三角形的定义，我们可以得到
全等三角形的对应边相等、对应角相等。
例2 如图，已知 ∠1=∠2 ，则不一定能使 △ABD≌△ACD 的条件是 ( )
A. BD = CD
B. AB = AC
C. ∠B =∠C
D. ∠BAD =∠CAD
例3 如图所示的两个三角形全等， 则 ∠a 的度数是 _________ .
第 4 页当堂反馈
1.在△ABC中，∠A＝72°，∠B＝49°，则∠C的度数为( )
A.49° B.59° C.69° D.79°
2.如图为撕去了一个角后的三角形纸片，其中∠A＝30°，∠B＝70°，则撕去的
角的度数是( )
A.100° B.80° C.70° D.90°
第2题图 第3题图 第5题图
3.如图，在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶7∶9，则△ABC是_______三角形.
4.在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，则∠B的度数为_________.
5.如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，则∠DBC的
度数为________.
6.如图，在△ABC 中，∠BAC＝60°，BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACB，求
∠BPC的度数.
第 5 页参考答案
复习导入
方法一：测量法 45∘+79∘+56∘=180∘
方法二： 剪拼法
探究点一、三角形内角和定理的证明
探究：证明：如图，延长 BC 到 D , 过点 C 作射线 CE ，使 CE//BA ,
则 ∠1=∠A,∠2=∠B .
∵ 点 B,C,D 在同一条直线上，
∵∠1+∠2+∠ACB = 180∘ .
∴∠A+∠B+∠ACB = 180∘ .
【思考交流】证法2: 过点 A 作 l // BC ,
则 ∠B=∠1,∠C=∠2 .
∴∠BAC+∠1+∠2=180∘ ,
∴∠BAC+∠B+∠C=180∘ .
证法3: 过 D 作 DE∥AC,DF∥AB . ∴∠C=∠EDB,∠B=∠FDC ,
∠A+∠AED=180∘,∠EDF+∠AED=180∘ . ∴∠A=∠EDF .
∵∠EDF+∠FDC+∠EDB=180∘ ,
∴∠A+∠B+∠C=180∘ .
例1 解： 在 △ABC 中， ∠B+∠C+∠BAC=180∘ (三角形内角和定理).
∵∠B=38∘,∠C=62∘ ,∴∠BAC=180∘−38∘−62∘=80∘ .
∵AD 平分 ∠BAC ，
1 1
∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC= ×80∘=40∘ .
2 2
在 △ADB 中，
∠B+∠BAD+∠ADB=180∘
(三角形内角和定理).
∵∠B=38∘,∠BAD=40∘ ,
∴∠ADB=180∘−38∘−40∘=102∘ .
【变式题】解： ∵∠A=50∘,∠B=70∘ ,
∴∠ACB=180∘−∠A−∠B=60∘ .
又 CD 是 ∠ACB 的平分线，
1
∴∠BCD= ∠ACB=30∘ .
2
∵DE//BC ,∴∠EDC=∠BCD=30∘ .
在 △BDC 中，
∠BDC=180∘−∠B−∠BCD=80∘ .
第 6 页探究点二、全等三角形的判定和性质
【尝试思考】
证明： 在 △ABC 中， ∠A+∠B+∠C=180∘ ,
∴∠C=180∘−∠A−∠B .
同理， ∠F=180∘−∠D−∠E .
又 ∵∠A=∠D,∠B=∠E ,
{∠B=∠E,
在 △ABC 和 △DEF 中， BC=EF,
∠C=∠F,
∴△ABC≅△DEF (ASA).
问题1: 根据三角形内角和定理， 已知两个角可以推出另外一个角的大小， 因
此证明 AAS 成立可以转化为 ASA 的证明。
问题2: AB=DE,AC=DF
例2 B
例3 72∘ .
当堂反馈
1. B.
2. B.
3. 直角
4. 67.5°.
5. 18° .
6. 解：在△ABC中，∵∠BAC＝60°，∴∠ABC＋∠ACB＝120°.
1 1
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC＝ ∠ABC，∠PCB＝ ∠ACB.
2 2
1
∴∠PBC＋∠PCB＝ (∠ABC＋∠ACB)＝60°.
2
∵∠PBC＋∠PCB＋∠BPC＝180°，
∴∠BPC＝180°－60°＝120°.
第 7 页
