文档内容
第四课时——求函数解析式、二次函数与二次方程
知识点一：待定系数法求函数解析式：
1. 二次函数的三种形式：
一般式： 。
顶点式： 。
两点式： 。
2. 待定系数法求函数解析式的步骤：
（1）设函数解析式：根据已知条件设函数解析式。
特别说明：若已知条件为任意三点则设一般式。
若已知条件为顶点坐标或对称轴则设顶点式。
若已知条件为与x轴的交点坐标则设两点式。
（2）找点：找函数图像上的点。
（3）带入：把点带入函数解析式得到方程。
（4）求解方程。
（5）反带入：把求出的字母的值带入解析式。
【类型一：设一般式求函数解析式】
1．已知一个二次函数的图象过（﹣1，10）、（1，4）、（0，3），求这个二次函数的解析式．2．二次函数y＝ax2+bx﹣3中的x，y满足如表
x … ﹣1 0 1 2 …
y … 0 ﹣3 m ﹣3 …
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求m的值．
3．一个二次函数的图象经过（﹣1，﹣1），（0，0），（1，9）三点
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若另外三点（x ，21），（x ，21），（x +x ，n）也在该二次函数图象上，求n的值．
1 2 1 24．已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点（﹣3，0），（2，﹣5）．
（1）试确定此二次函数的解析式；
（2）请你判断点P（﹣2，3）是否在这个二次函数的图象上？5．抛物线y＝ax2+bx+4的图象经过（2，4），（3，1）两点．
（1）求该抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）点（m，n）是该抛物线上一点，若m≤x≤4时，n的最小值为﹣4，最大值为5，请求出m的取值
范围．
【类型二：设顶点式求函数解析式】
6．一抛物线以（﹣1，9）为顶点，且经过x轴上一点（﹣4，0），求该抛物线解析式及抛物线与y轴交点
坐标．7．已知二次函数图象的顶点坐标是（2，3），且经过点（﹣1，0），求这个二次函数的表达式、
8．若直线y＝x﹣2与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A（2，m）、B（n，3），抛物线对称轴为x＝3，求抛物
线解析式．
9．已知某二次函数，当x＝1时，y有最大值为5，且它的图象经过点（2，3）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点A（3，y ）、B（4，y ）在该抛物线上，试比较y 、y 的大小．
1 2 1 210．在平面直角坐标系中，一个二次函数的图象的顶点坐标是（2，1），与y轴的交点坐标是（0，5）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）在同一平面直角坐标系中，若该二次函数的图象与一次函数y＝x+n（n为常数）的图象有2个公
共点，求n的取值范围．【类型三：设两点式求函数解析式】
11．一个二次函数的图象经过（﹣1，0），（0，6），（3，0）三点．
求：这个二次函数的解析式．
12．二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（4，0），B（0，﹣3），C（﹣2，0），求它的解析式，直接
写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标．
13．若物线y＝﹣x2+bx+c经过（﹣1，0）和（5，0）．
（1）求抛物线对应的二次函数表达式．
（2）当0＜x＜5时，直接写出y的取值范围是 ．14．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（﹣1，0），点B（3，0）和点C．
（1）若点C（0，3），求二次函数表达式；
（2）若点C（m，n），证明：当a＞0时，总有am2+b m≥a+b．
知识点一：二次函数与一元二次方程
1. 求二次函数与x轴的交点坐标：
求二次函数 与x轴的交点坐标，令y= ，即 ，
解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
2. 二次函数 的交点与一元二次方程 根之间的关系：
△= 决定一元二次方程根的情况，也决定抛物线与x轴的交点个数。△= ＞0 一元二次方程两个不相等的实数根 抛物线与x轴有 个交点；
△= ＝0 一元二次方程两个相等的实数根 抛物线与x轴有 个交点；
△= ＜0 一元二次方程没有实数根 抛物线与x轴 。
特别说明：一元二次方程 的根就是二次函数 与x轴
交点的横坐标。
若点 与点 均在二次函数 的图像上，
若 ，则 的根一定在 与 之间。
【类型一：根据与x轴的交点求根】
15．如图，一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为 ．
第15题 第16题
16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）
的根为 ．
17．若二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c＝0的解为 ．
【类型二：根据与x轴的交点情况求字母的取值范围】
18．如果函数y＝x2+4x﹣m的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是（ ）
A．m≤4 B．m＜4 C．m≥﹣4 D．m＞﹣4
19．若抛物线y＝x2﹣（2k+1）x+k2+2与x轴有两个交点，则整数k的最小值是 ．
20．已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）A．k≤4且k≠3 B．k＜4且k≠3 C．k＜4 D．k≤4
21．已知二次函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象与x轴没有交点，则k的取值范围为（ ）
A．k＞﹣ B．k≥﹣ 且k≠0 C．k＜﹣ D．k＞﹣ 且k≠0
22．二次函数y＝ax2+bx+c对于x的任何值都恒为负值的条件是（ ）
A．a＞0，Δ＞0 B．a＞0，Δ＜0 C．a＜0，Δ＞0 D．a＜0，Δ＜0
【类型三：二次函数与直线的交点问题】
23．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过（0，﹣3），对称轴为直线x＝﹣1，关于x的方程﹣x2+bx+c﹣n＝0在﹣4＜
x＜1的范围内有实数根，则n的取值范围为（ ）
A．﹣11＜n＜﹣2 B．﹣6＜n＜﹣3 C．﹣11＜n≤﹣2 D．﹣11＜n＜﹣6
24．抛物线y＝x2+bx+2的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx+2﹣t＝0（t为实数）在﹣1
＜x＜5的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）
A．t≥0 B．5≤t＜17 C．1≤t＜17 D．3≤t＜19
25．将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直
线y＝x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（ ）
第25题 第26题
A．－ 或﹣3 B．－ 或﹣3 C． 或﹣3 D． 或﹣3
26．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝﹣x2+x+6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余
部分不变，将这个新函数的图象记为G（如图所示），当直线y＝﹣x+m与图象G有4个交点时，则m
的取值范围是（ ）A．﹣ ＜m＜3 B．﹣ ＜m＜2 C．﹣2＜m＜3 D．﹣6＜m＜﹣2
【类型四：利用函数图像求一元二次方程的近似根】
27．如图，点A（2.18，﹣0.51），B（2.68，0.54），在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，则方程
ax2+bx+c＝0的一个近似值可能是（ ）
A．2.18 B．2.68 C．﹣0.51 D．2.45
28．表给出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值：那么方程ax2+bx+c＝0
的一个根的近似值可能是（ ）
x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 …
y … ﹣1 ﹣0.49 0.04 0.59 1.16 …
A．1.08 B．1.18 C．1.28 D．1.38
29．如表是二次函数y＝ax2+bx+c的几组对应值：
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y＝ax2+bx+c ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04
根据表中数据判断，方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
30．如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程
ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（ ）A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6
一．选择题（共10小题）
1．若抛物线y＝x2+2x+k与x轴只有一个交点，则k的值为（ ）A．﹣1 B．0 C．1 D．2
2．若二次函数 y＝x2+x+a的图象与 x轴交于A（x ，0），B（x ，0）两点，且 ，则a＝
1 2
（ ）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0或﹣1
3．抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x ﹣2 ﹣1 0 1
y 0 4 6 6
下列结论不正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的对称轴为直线x＝
C．抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0）
D．函数y＝ax2+bx+c的最大值为
4．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴只有一个交点，且经过点A
（2﹣m，c），B（m+2，c），则△AOB的面积为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．4
5．已知点M为二次函数y＝x2+2kx+k﹣2图象的顶点，则以下结论错误的是（ ）
A．该函数图象与x轴总有两个交点
B．若该函数图象的顶点M的坐标为（a，b），则b与a的关系满足b＝﹣a2﹣a﹣2
C．无论k取何值，顶点M总在x轴的上方
D．直线y＝k﹣2与该函数图象交于点C、D，则当 时，△MCD是等边三角形
6．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如表所示，x … 0 4 …
y … 0.32 ﹣2 0.32 …
则方程ax2+bx+2.32＝0的根是（ ）
A． 或 B． 或 －2 C．0或4 D．1或5
7．已知关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+2m＝0有两个不相等的实数根x ，x ，且有x ＜2＜x ，那
1 2 2 1
么实数m的取值范围是（ ）
A．m＜2 B．m＞2 C．m＜﹣2 D．m＞﹣2
8．若二次函数y＝ax2﹣6ax+3（a＜0），当2≤x≤5时，8≤y≤12，则a的值是（ ）
A．1 B．﹣ C．﹣ D．﹣1
9．如图，若抛物线y＝ax2+2x+a2﹣1经过原点，则抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣x2+2x B．y＝x2+2x
C．y＝﹣x2+2x+1 D．y＝﹣x2+2x或y＝x2+2x
10．在平面直角坐标系中，如果点M的横坐标与纵坐标相等，则称点M为和谐点，比如：点M（﹣1，﹣
1）、M（2，2）、M（0.3，0.3）…，都是和谐点，若二次函数y＝ax2+7x+c（a≠0）的图象上有且只有
一个和谐点M（1，1），则这个二次函数的解析式为（ ）
A．y＝﹣5x2+7x﹣1 B．y＝﹣x2+7x﹣5
C．y＝﹣2x2+7x﹣4 D．y＝﹣3x2+7x﹣3
二．填空题（共6小题）11．已知二次函数y＝x2+2x﹣3a的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是 ．
12．已知抛物线 y ＝ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴的两个交点的横坐标分别是﹣3 和 1，若抛物线 y ＝
1 2
ax2+bx+c+m（m＞0）与x轴有两个交点A，B，点A的坐标是（4，0），则点B的坐标是 ．
13．已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2022的值为 ．
14．抛物线y＝ax2﹣2x﹣1的对称轴为直线x＝1．
（1）a＝ ；
（2）若抛物线y＝ax2﹣2x﹣1+m在﹣1＜x＜4内与x轴只有一个交点，则m的取值范围是
．
15．二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线 x＝2 若 x ，x 是一元二次方程
1 2
ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，且x ＜x ，﹣1＜x ＜0，则x 的取值范围是 ．
1 2 1 2
16．物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）的对称轴为x＝m，且a+b+c＝0．
下列四个结论：
①c＜0；
②x＝2m﹣1是方程ax2+bx+c＝0的根；
③不等式am2﹣a3≥ab﹣b m一定成立；
④若P（x ，y ），P （x ，y ）在抛物线上，且当x ＜x ＜2时，y ＜y ，则c≤3a．
1 1 2 2 2 1 2 1 2
其中正确的是 （填写序号）．
三．解答题（共4小题）17．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当0＜x＜3时，求y的取值范围．
18．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当0＜x＜3时，求y的取值范围；
（3）点P为抛物线上一点，若S△PAB ＝10，求出此时点P的坐标．19．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（1，0）、B（5，0）、C（0，5）三点．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）求抛物线的顶点坐标、对称轴；
（3）若过点C的直线与抛物线相交于点E（4，m），请连接CB，
BE并求出△CBE的面积S的值．
20．已知抛物线y＝﹣x2+2x+m．抛物线过点A（3，0）和点C，与y轴交于点B．直线AB与这条抛物线的
对称轴交于点P．
（1）求抛物线的解析式及点B、C的坐标；
（2）求直线AB的解析式和点P的坐标；
（3）在第一象限内的该抛物线有一点 D（x，y），且 S△ABD ＝
S△ABC ，求点D的坐标．
