文档内容
第 4 讲 探求多边形边数及角度问题（解析版）
第一部分 典例剖析+针对训练
类型一 剪去一个角问题
典例1（2021秋•余干县月考）如图，将六边形纸片ABCDEF沿虚线剪去一个角（∠BCD）后，得到
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝460°．
（1）求六边形ABCDEF的内角和；
（2）求∠BGD的度数．
思路引领：（1）由多边形的内角和公式，即可求得六边形ABCDEF的内角和；
（2）由∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝460°，即可求得∠GBC+∠C+∠CDG的度数，继而求得答案．
解：（1）六边形ABCDEF的内角和为：180°×（6﹣2）＝720°；
（2）∵六边形ABCDEF的内角和为720°，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝460°，
∴∠GBC+∠C+∠CDG＝720°﹣460°＝260°，
∴∠BGD＝360°﹣（∠GBC+∠C+∠CDG）＝100°．
即∠BGD的度数是100°．
解题秘籍：此题考查了多边形的内角和公式．解题的关键是根据多边形的内角和的计算公式求得多边形
的内角和．
典例2 （2021春•江都区期中）【课本引申】我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的
和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
【尝试探究】
（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的
数量关系？为什么？【拓展运用】
（2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，若∠1+∠2＝230°，则剪掉的∠C＝
；
（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图 3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、
∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请直接写出答案 ．
（4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，∠P与∠A、∠D有何数量关
系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由）
思路引领：（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠DBC+∠ECB，再利用
三角形内角和定理整理即可得解；
（2）根据（1）的结论整理计算即可得解；
（3）表示出∠DBC+∠ECB，再根据角平分线的定义求出∠PBC+∠PCB，然后利用三角形内角和定理
列式整理即可得解；
（4）延长BA、CD相交于点Q，先用∠Q表示出∠P，再用（1）的结论整理即可得解．
解：（1）∠DBC+∠ECB
＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB
＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝360°﹣（180°﹣∠A）
＝180°+∠A；
（2）∵∠1+∠2＝∠180°+∠C，
∴130°+∠2＝180°+∠C，
∴∠C＝50°；
（3）∠DBC+∠ECB＝180°+∠A，
∵BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，1 1
∴∠PBC+∠PCB= （∠DBC+∠ECB）= （180°+∠A），
2 2
1 1
在△PBC中，∠P＝180°− （180°+∠A）＝90°− ∠A；
2 2
1
即∠P＝90°− ∠A；
2
1
故答案为：50°，∠P＝90°− ∠A；
2
（4）延长BA、CD于Q，
1
则∠P＝90°− ∠Q，
2
∴∠Q＝180°﹣2∠P，
∴∠BAD+∠CDA＝180°+∠Q，
＝180°+180°﹣2∠P，
＝360°﹣2∠P．
解题秘籍：本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，
角平分线的定义，熟记性质并读懂题目信息是解题的关键．
针对训练1
1．（2021秋•韶关期末）探索归纳：
（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2＝ ．
（2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝ ．（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是 ．
（4）如图3，若没有剪掉∠A，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系，并说明理由．
思路引领：（1）利用了四边形内角和为360°和直角三角形的性质求解；
（2）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解；
（3）根据（1）（2）可以直接写出结果；
（4）根据折叠的性质，对应角相等，以及邻补角的性质即可求解．
解：（1）：∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°．
∴∠1+∠2等于270°．
故答案为：270°；
（2）∠1+∠2＝180°+40°＝220°，
故答案是：220°；
（3）∠1+∠2与∠A的关系是：∠1+∠2＝180°+∠A；
故答案为：180°+∠A；
（4）∵△EFP是由△EFA折叠得到的，
∴∠AFE＝∠PFE，∠AEF＝∠PEF
∴∠1＝180°﹣2∠AFE，∠2＝180°﹣2∠AEF
∴∠1+∠2＝360°﹣2（∠AFE+∠AEF）
又∵∠AFE+∠AEF＝180°﹣∠A，
∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A．
解题秘籍：主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．
（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．
（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．
2．（2020春•淮阳区期末）将一个凸n边形剪去一个角得到一个新的多边形，其内角和为1620°，求n的
值．
思路引领：根据多边形的内角和公式，分三种情况讨论：①当原多边形不过顶点剪去一个角时；②当
原多边形过一个顶点剪去一个角时；③当原多边形过两个顶点剪去一个角时．
解：当原多边形不过顶点剪去一个角时，
由[（n+1）﹣2]•180°＝1620°，解得：n＝10；
当原多边形过一个顶点剪去一个角时，
由（n﹣2）•180°＝1620°，解得：n＝11；当原多边形过两个顶点剪去一个角时，
由[（n﹣1）﹣2]•180°＝1620°，解得：n＝12．
∴n＝10或11或12．
解题秘籍：本题主要考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的内角和公式是解答本题的关键．
类型二 多算、漏算、错算一个角问题
典例3 （2022春•宝应县校级月考）小马虎同学在计算某个多边形的内角和时得到 1840°，老师说他算错
了，于是小马虎认真地检查了一遍
（1）若他检查发现其中一个内角多算了一次，求这个多边形的边数是多少？
（2）若他检查发现漏算了一个内角，求漏算的那个内角是多少度？这个多边形是几边形？
思路引领：（1）设这个多边形的边数是n，重复计算的内角的度数是x，根据多边形的内角和公式（n
﹣2）•180°可知，多边形的内角度数是180°的倍数，然后利用数的整除性进行求解
（2）设这个多边形的边数是n，没有计算在内的内角的度数是x，根据多边形的内角和公式（n﹣2）
•180°可知，多边形的内角度数是180°的倍数，然后利用数的整除性进行求解．
解：（1）设这个多边形的边数是n，重复计算的内角的度数是x，
则（n﹣2）•180°＝1840°﹣x，
n＝12…40°．
故这个多边形的边数是12．
（2）设这个多边形的边数是n，没有计算在内的内角的度数是x，
则（n﹣2）•180°＝1840°+x，
n＝12…40°．
180°﹣40°＝140°，
故漏算的那个内角是140度，这个多边形是十三边形．
解题秘籍：本题主要考查了多边形的内角和公式，利用多边形的内角和是180°的倍数是解题的关键．
典例4（2022•石家庄模拟）看图回答问题：
（1）内角和为2014°，小明为什么说不可能？
（2）小华求的是几边形的内角和？思路引领：（1）n边形的内角和是（n﹣2）•180°，因而内角和一定是180度的倍数，依此即可作出判
断；
（2）多边形的内角一定大于0，并且小于180度，因而内角和再加上一个内角的值，这个值除以180度，
所得数值比边数n﹣2要大，大的值小于1．则用2014除以180所得值，加上2，比这个数小的最大的整
数就是多边形的边数．
解：（1）∵n边形的内角和是（n﹣2）•180°，
∴内角和一定是180度的倍数，
∵2014÷180＝11…34，
∴内角和为2014°不可能；
（2）依题意有（x﹣2）•180°＜2014°，
17
解得x＜13 ．
90
因而多边形的边数是13，
故小华求的是十三边形的内角和．
解题秘籍：考查了多边形的内角与外角，解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式，是需要熟记
的内容．
针对训练2
3．（2021秋•海阳市期末）小东在计算多边形的内角和时不小心多计算一个内角，得到的和为1350°，则
这个多边形的边数是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
思路引领：根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列方程即可得解．
解：设多边形的边数为n，多加的内角度数为 ，
则（n﹣2）•180°＝1350°﹣ ， α
∵0°＜ ＜180°， α
α∴（1350﹣180）÷180＜n﹣2＜1350÷180，
1 1
∴6 ＜n−2＜7 ，
2 2
∵n为正整数，
∴n＝9，
∴这个多边形的边数n的值是9．
故选：C．
解题秘籍：本题考查了多边形的内角和公式，根据多边形的内角和公式判断出多边形的内角和公式是
180°的倍数是解题的关键．
4．（2021秋•通山县校级月考）某同学在计算多边形的内角和时，得到的答案是 1125°，老师指出他少加
了一个内角的度数，你知道这个同学计算的是几边形的内角和吗？他少加的那个内角的度数是多少？
思路引领：先设出少加的内角的度数，再把所求角的度数分成180°与一个正整数的积再减去一个小于
180°的角的形式，即可求出少加的内角的度数，再由多边形的内角和定理求解即可．
解：设少加的度数为x°此多边形为n边形．
∵1125+x＝（n﹣2）×180，
∴x＝180（n﹣2）﹣1125，
∵0＜x＜180，
∴0＜180（n﹣2）﹣1125＜180，
∴8.25＜n＜9.25，
∴n＝9，
∴x＝135°．
∴此多边形是九边形，少加的那个内角的度数是135°．
解题秘籍：本题考查的是多边形的内角和公式．解答此题的关键是把所求的角正确的分解为180°与一个
正整数的积再减去一个小于180°的角的形式，再根据多边形的内角和公式即可求解．
第二部分 专题提优训练
1．（2022•河北）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分
别为 ， ，则正确的是（ ）
α βA． ﹣ ＝0 B． ﹣ ＜0
C．α﹣β＞0 D．α无法β比较 与 的大小
思路α引领β：利用多边形的外角和都等于360°，即可得出结论α． β
解：∵任意多边形的外角和为360°，
∴ ＝ ＝360°．
∴α﹣β＝0．
故α选：βA．
解题秘籍：本题主要考查了多边形的内角与外角，正确利用任意多边形的外角和为360°解答是解题的关
键．
2．（2021秋•寻乌县期末）将一个四边形ABCD的纸片剪去一个三角形，则剩下图形的内角和为（ ）
A．180° B．180°或360°
C．360°或540° D．180°或360°或540°
思路引领：分为三种情况，画出图形，根据多边形的内角和公式求出内角和即可．
解：如图①，剩余的部分是三角形，其内角和为180°，
如图②，剩余的部分是四边形，其内角和为360°，如图③，剩余的部分是五边形，其内角和为540°．
综上所述，剩下图形的内角和为180°或360°或540°．
故选：D．
解题秘籍：本题考查了多边形的内角与外角，能画出符合的所有情况是解此题的关键．
3．（2021秋•黄石期末）将一长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不
可能是（ ）
A．360° B．540° C．720° D．730°
思路引领：根据多边形的内角和公式解决此题．
解：设将一长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形的边数分别为x、y．
∴这两个多边形的内角和之和为180°（x﹣2）+180°（y﹣2）＝180°（x+y﹣4）．
∴180°整除这两个多边形的内角和之和．
∵360°＝180°×2，540°＝180×3，720°＝180°×4，180°不整除730°，
∴这两个多边形的内角和之和不可能是730°．
故选：D．
解题秘籍：本题主要考查多边形的内角和公式，熟练掌握多边形的内角和公式是解决本题的关键．
4．（2021秋•通道县期中）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（
）
A．135° B．270° C．300° D．315°
思路引领：利用了四边形内角和为360°和直角三角形的性质求解．
解：∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°，
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°．故选：B．
解题秘籍：本题是一道根据四边形内角和为360°和直角三角形的性质求解的综合题，有利于锻炼学生综
合运用所学知识的能力．
5．（2021春•兴化市期中）将一个五边形沿着某条直线剪开，得到两个新多边形，如果两个新多边形的内
角和分别为 ， ，那么 + ＝ °．
思路引领：如α 图β，一条直α线β将该五边形ABCDE分割成两个多边形（含三角形）的情况有5种，分别求
出每一个图形的两个多边形的内角和即可作出判断．
解：图①中， + ＝180°+720°＝900°；
图②中， + ＝α1β80°+360°＝540°；
图③中，α+β＝180°+540°＝540°；
图④中，α+β＝360°+540°＝900°；
图⑤中，α+β＝360°+360°＝720°．
α β
故 + 可能是540°或540°或900°．
故答α案β为：540或720或900．
解题秘籍：此题考查了多边形的内角和外角，分类讨论的思想，解题关键是分类讨论，每一个图形都要
利用多边形的内角和公式．
6．（2021秋•交城县期中）已知一个包装盒的底面是内角和为720°的多边形，它是由另一个多边形纸片剪
掉一个角以后得到的，则原多边形是 边形．
思路引领：首先求得内角和为720°的多边形的边数，再根据截去一个角后边数增加1，不变，减少1，
即可确定原多边形的边数．
解：设内角和为720°的多边形的边数是n，则（n﹣2）•180＝720，
解得：n＝6．
∵截去一个角后边数可能增加1，不变或减少1，∴原多边形的边数为五或六或七．
故答案为：五或六或七．
解题秘籍：本题考查了多边形的内角和定理，解题时注意：一个多边形截去一个角后它的边数可能增加
1，可能减少1，或不变．
7．（2021春•常熟市期中）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝120°，若沿图中虚线剪去∠D，则
∠1+∠2＝ °．
思路引领：由平行线的性质可得，∠D＝60°，再运用三角形内角和定理、邻补角的定义可得∠1+∠2＝
240°．
解：如图，
∵AD∥BC，∠C＝120°，
∴∠D＝180°﹣120°＝60°，
∴∠3+∠4＝120°，
∵∠1+∠3＝180°，∠2+∠4＝180°，
∴∠1+∠2＝2×180°﹣120°＝240°．
故答案为：240．
解题秘籍：本题考查了多边形的内角、平行线的性质及邻补角，熟练掌握多边形的内角和定理及邻补角
定义是解题的关键．
8．（2021春•嵩县期末）如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°
的新多边形，则原多边形的边数为 ．
思路引领：根据多边形内角和公式，可得新多边形的边数，根据新多边形比原多边形多1条边，可得答案．
解：设新多边形是n边形，由多边形内角和公式得：
（n﹣2）180°＝2340°，
解得n＝15，
原多边形是15﹣1＝14，
故答案为：14．
解题秘籍：本题考查了多边形内角与外角，多边形的内角和公式是解题关键．
9．（2021秋•鲁甸县期中）一个多边形沿一条对角线剪去一个内角后，得到一个内角和为1080°的新多边
形，求原多边形的边数．
思路引领：首先设原来多边形的边数为x，则剪去一个内角后，边数为（x﹣1），可得方程（x﹣1﹣2）
⋅180°＝1080°，即可求得答案．
解：设原来多边形的边数为x，则沿一条对角线剪去一个内角后，边数为（x﹣1），
由条件可得：（x﹣1﹣2）•180°＝1080°，
解得：x＝9，
原来多边形的边数为9．
解题秘籍：本题主要考查了多边形的内角和公式，解题的关键是掌握多边形的内角和公式．
10．（2020秋•临西县月考）如图1，四边形MNBD为一张长方形纸片．
（1）如图 2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（∠ BAE、∠AEC、∠ECD），则
∠BAE+∠AEC+∠ECD＝ °．
（2）如图 3，将长方形纸片剪三刀．剪出四个角（∠BAE、∠AEF、∠EFC、∠FCD），则
∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD＝ °．
（3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD），则
∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD＝ °．
（4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪n刀，剪出（n+1）个角，那么这（n+1）个角的
和是 °．
思路引领：（1）过点E作EF∥AB，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于 180°的2倍；
（2）分别过E、F分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°
的三倍；
（3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于
180°的四倍；
（4）根据前三问个的剪法，剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度．
解：（1）过E作EF∥AB（如图②）．
∵原四边形是长方形，
∴AB∥CD，
又∵EF∥AB，
∴CD∥EF（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．
∵EF∥AB，
∴∠A+∠1＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵CD∥EF，
∴∠2+∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°，
又∵∠1+∠2＝∠AEC，
∴∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；
（2）分别过E、F分别作AB的平行线，如图③所示，
用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD＝540°；
（3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，如图④所示，用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD＝720°；
（4）由此可得一般规律：剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度．
故答案为：（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n．
解题秘籍：本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关
键，总结规律求解是本题的难点．
11．（2021春•常州期末）如图，从四边形ABCD的纸片中只剪一刀，剪去一个三角形，剩余的部分是几
边形，请画出示意图，并在图形下方写上剩余部分多边形的内角和．
思路引领：分为三种情况，画出图形，根据多边形的内角和公式求出内角和即可．
解：如图①，剩余的部分是三角形，其内角和为180°，
如图②，剩余的部分是四边形，其内角和为360°
如图③，剩余的部分是五边形，其内角和为540°．解题秘籍：本题考查了多边形的内角与外角，能画出符合的所有情况是解此题的关键．
12．（2021秋•孝昌县期中）小明计算一个多边形的内角和时误把一个外角加进去了，得其和为2620°．
（1）求这个多加的外角的度数；
（2）求这个多边形的边数．
思路引领：根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°可知，多边形的内角和是180°的倍数，然后求出多
边形的边数以及多加的外角的度数即可得解．
解：设多边形的边数为n，多加的外角度数为 ，则
（n﹣2）•180°＝2620°﹣ ， α
∵2620°＝14×180°+100°，α内角和应是180°的倍数，
∴小明多加的一个外角为100°，
∴这是14+2＝16边形的内角和．
故这个多加的外角的度数为100°，这个多边形的边数是16．
解题秘籍：本题考查了多边形的内角和公式，根据多边形的内角和公式判断出多边形的内角和公式是
180°的倍数是解题的关键．
13．（2021秋•荣昌区校级期中）小马虎同学在计算某个多边形的内角和时得到 1840°，老师说他算错了，
于是小马虎认真地检查了一遍发现漏算了一个内角，求漏算的那个内角是多少度？这个多边形是几边形？
思路引领：设这个内角是x度，这个多边形是n边形，然后根据多边形的内角和公式列出方程，再根据
0＜x＜180°，n是正整数求解．
解：设这个内角是x度，这个多边形是n边形，则0＜x＜180°，
由题意得，（n﹣2）•180°﹣x＝1840°，
∵n为正整数，
∴1840°+x必为180的倍数，
又∵0＜x＜180，
∴n＝13，x＝140°．
答：漏算的那个内角是140度，这个多边形是十三边形．解题秘籍：本题考查了多边形内角与外角，涉及到整式方程，难点在于考虑多边形的边数是正整数．
14．（2021春•耒阳市校级期中）某同学在计算多边形的内角和时少加了一个内角的度数，得到的答案是
1125°，求这个多边形的边数是多少？少加的那个内角的度数是多少？
思路引领：先设出少加的内角的度数，然后依据多边形的内角和公式列出方程，然后根据 0°＜x＜180°
列出不等式，从而可求得n的值，然后可求得x的值．
解：设少加的度数为x°此多边形为n边形．
∵1125°+x＝（n﹣2）×180°，
∴x＝180°×（n﹣2）﹣1125°，
∵0°＜x＜180°，
∴0＜180°×（n﹣2）﹣1125°＜180，
∴8.2＜n＜9.3，
∴n＝9，
∴x＝180°×（9﹣2）﹣1125°＝135°．
∴此多边形是九边形，少加的那个内角的度数是135°．
解题秘籍：本题考查的是多边形的内角和公式．解答此题的关键是把所求的角正确的分解为180°与一个
正整数的积再减去一个小于180°的角的形式，再根据多边形的内角和公式即可求解．
15．（2021春•桥西区期末）[尝试探究]
如图1，在一张三角形纸片上，剪去△ABC，得到四边形BCHG，∠1与∠2分别为△ABC的两个外角
（1）请你试着说明：∠1+∠2＝180°+∠A
（2）如图2，如果沿着EF再剪一刀，∠3与∠4分别为△AEF的两个外角，那么∠1+∠2和∠3+∠4的
数量关系为
（3）如图3，EP，FP分别平分外角∠FEG、∠EFH，求∠EPF与∠A的数量关系：
[拓展提升]
如图4，在四边形BCFE中，EP、FP分别平分外分∠FEG、∠EFH，请写出∠EPF，∠1、∠2这三个
角的数量关系，并说明理由．思路引领：（1）根据外角的性质得到∠1＝180°﹣∠ABC，∠2＝180°﹣∠ACB，求得∠1+∠2＝360°﹣
（∠ABC+∠ACB），根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）由（1）得，∠1+∠2＝180°﹣∠A，同理得到∠3+∠4＝180°﹣∠A，于是得到结论；
（3）由（1）得，∠GEF+∠HFE＝180°﹣∠A，根据角平分线的定义即可得到结论；
（4）由（3）得到∠A+2∠P＝180°，由（1）得到∠1+∠2＝180°+∠A，于是得到结论．
解：（1）∵∠1与∠2分别为△ABC的两个外角，
∴∠1＝180°﹣∠ABC，∠2＝180°﹣∠ACB，
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠ABC+∠ACB），
∵三角形的内角和为180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠1+∠2＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A；
（2）由（1）得，∠1+∠2＝180°+∠A，
同理，∠3+∠4＝180°+∠A，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4，
故答案为：∠1+∠2＝∠3+∠4；（3）由（1）得，∠GEF+∠HFE＝180°+∠A，
∵EP，FP分别平分外角∠FEG、∠EFH，
1 1
∴∠PEF= ∠GEF，∠PFE= ∠HFE，
2 2
1 1
∴∠PEF+∠PFE= （∠GEF+∠HFE）= （180°+∠A），
2 2
1 1
∴∠P＝180°﹣（∠PEF+∠PFE）＝180°− （180°+∠A）＝90°− ∠A；
2 2
（4）解：数量关系：∠1+∠2+2∠P＝360°，
理由：如图，由（3）可知，∠A+2∠P＝180°，
由（1）可知，∠1+∠2＝180°+∠A，
∴（∠1+∠2﹣180°）+2∠P＝180°
∴∠1+∠2+2∠P＝360°．
解题秘籍：本题考查的是角平分线的定义、三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关
键．
