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2022-2023学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）
一元二次方程与二次函数重点检测卷
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（2022·甘肃武威·中考真题）用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【详解】解：x2-2x=2，
x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
2．（2022·江苏·九年级专题练习）抛物线 经过点（m，3），则代数式 的值为
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】将点（m，3）代入代数式中即可得到结果．
【详解】解：将点（m，3）代入 中得，
，
故代数式 的值为3，
故选：D．
【点睛】本题考查代数式的值，根据函数图象经过的点求函数解析式，能够掌握属性结合思想是解决本题
的关键．
3．（2021·广东揭阳·九年级阶段练习）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的概念（只含一个未知数，并且含有未知数的项的次数最高为2次的整式方程
是一元二次方程）逐一进行判断即可得．
【详解】解：
A、 ， 当 时，不是一元二次方程，故不符合题意；
B、 ，是一元二次方程，符合题意；
C、 ，不是整式方程，故不符合题意；
D、 ，整理得： ，不是一元二次方程，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．
4．（2022·全国·九年级专题练习）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根x，x，
1 2
则x2+x2的值是（ ）
1 2
A．﹣7 B．7 C．2 D．﹣2
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得x+x＝3，xx＝1，再把代数式x2+x2化为
1 2 1 2 1 2
，再整体代入求值即可.
【详解】解：根据根与系数的关系得x+x＝3，xx＝1，
1 2 1 2
所以x2+x2＝（x+x）2﹣2xx＝32﹣2×1＝7．
1 2 1 2 1 2
故选：B．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，熟练的利用根与系数的关系求解代数式的值是解
本题的关键.
5．（2021··九年级专题练习）一元二次方程 的解是（ ）
A． ， B． ， C． D． ，
【答案】B【分析】利用提公因式分进行因式分解，再解方程，即可得到答案．
【详解】解：x（5x-2）=0，
x=0或5x-2=0，
所以 或 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这
种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
6．（2019·黑龙江·九年级学业考试）二次函数 的顶点坐标为 ，图象如图所示，
有下列四个结论：① ；② ；③ ④ ，其中结论正确的个数为（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】A
【分析】根据二次函数的性质和已知条件，对每一项逐一进行判断即可．
【详解】解：由图像可知a＜0，c＞0，
∵对称轴在正半轴，
∴ ＞0，
∴b＞0，
∴ ，故①正确；
当x=2时，y＞0，故 ，故③正确；
函数解析式为：y=a（x-1）2+2=ax2-2ax+a+2
假设 成立，
结合解析式则有a+2＜ ，解得a＜ ，故②，④正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，结合图象，运用所学知识是解题关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（2021·西藏·柳梧初级中学九年级阶段练习）抛物线 是二次函数，则m=___．
【答案】3
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如 （a、b、c是常数且a≠0）的函数叫做二次函
数，进行求解即可．
【详解】解：∵抛物线 是二次函数，
∴ ，
∴ ，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键在于能够熟知二次函数的定义．
8．（2020·浙江丽水·八年级期中）已知关于 的方程 的一个根是 ，则 ____．
【答案】
【分析】根据一元二次方程解的定义将x=1代入即可求出a的值．
【详解】解：∵关于 的方程 的一个根是
∴
解得：a=-1
故答案为： ．
【点睛】此题考查的是根据一元二次方程的解，求参数的值，掌握一元二次方程解的定义是解决此题的关
键．
9．（2022·山东日照·中考真题）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x，x，且
1 2
，则m=__________．【答案】 ##-0.125
【分析】根据根与系数的关系得到x+x=-2m，xx= ，再由x2+x2= 变形得到（x+x）2-2xx= ，即
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
可得到4m2-m= ，然后解此方程即可．
【详解】解：根据题意得x+x=-2m，xx= ，
1 2 1 2
∵x2+x2= ，
1 2
∴（x+x）2-2xx= ，
1 2 1 2
∴4m2-m= ，
∴m=- ，m= ，
1 2
∵Δ=16m2-8m＞0，
∴m＞ 或m＜0时，
∴m= 不合题意，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x，x 是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，
1 2
， ．
10．（2022·江苏盐城·中考真题）若点 在二次函数 的图象上，且点 到 轴的距离小
于2，则 的取值范围是____________．
【答案】
【分析】先判断 ，再根据二次函数的性质可得： ，再利用二次函数
的性质求解n的范围即可．
【详解】解： 点 到 轴的距离小于2，
，点 在二次函数 的图象上，
，
当 时， 有最小值为1．
当 时， ，
的取值范围为 .
故答案为：
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握“二次函数的增减性”是解本题的关键．
11．（2022·上海·中考真题）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长
率相同，则增长率为_____．
【答案】20%
【分析】根据该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x结合5月、7月营业额即可得出关于x的一元二
次方程，解此方程即可得解．
【详解】解：设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，根据题意得，
解得， （舍去）
所以，增长率为20%
故答案为：20%
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的
关键．
12．（2022·全国·九年级单元测试）若等腰三角形的一边长为6，另两边的长是关于 的一元二次方程
的两个根，则 的值为_______．
【答案】12或16
【分析】分6为等腰三角形的腰长和6为等腰三角形的底边长两种情况，再利用一元二次方程根的定义、
根的判别式求解即可得．其中，每种情况下都要根据三角形三边关系定理（两边之和大于第三边，两边之
差小于第三边）检验三边长是否满足三角形的三边关系．
【详解】解：由题意，分以下两种情况：
（1）当6为等腰三角形的腰长时，则关于 x 的方程 x2−8x+m=0的一个根x=6
1
代入方程得，36-48+m=0
解得m=12
则方程为 x2−8x+12=0
解方程，得另一个根为x=2
2
∴等腰三角形的三边长分别为 6，6，2，经检验满足三角形的三边关系定理；
（2）当6为等腰三角形的底边长时，则
关于x的方程 x2−8x+m=0 有两个相等的实数根
∴根的判别式
解得，m=16
则方程为x2−8x+16=0
解方程，得 x=x=4
1 2
∴等腰三角形的三边长分别为4，4，6，经检验满足三角形的三边关系定理．
综上，m的值为12或16．
故答案为：12或16．
【点睛】本题考查一元二次方程根的定义，根的判别式，等腰三角形的定义，三角形的三边关系定理等知
识点．正确分两种情况讨论是解题关键．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（2022·广东·九年级单元测试）解方程： ．
【答案】 ．
【分析】整理后，运用配方法即可求解．
【详解】解： ，
，
．
【点睛】本题考查解一元二次方程——配方法．能利用完全平方公式正确变形是解题关键．
14．（2022·江苏·九年级专题练习）用适当的方法解下列方程：
(1)(2)
【答案】(1)x＝ ，x＝2
1 2
(2)：x＝﹣3，x＝2
1 2
【分析】（1）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
（2）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
(1)
解：（1）（x﹣2）2＝4x﹣2x2，
（x﹣2）2+2x（x﹣2）＝0，
（x﹣2+2x）（x﹣2）＝0，
x﹣2+2x＝0或x﹣2＝0，
解得：x＝ ，x＝2；
1 2
(2)
解：（x﹣1）（x+2）＝4，
整理，得x2+x﹣6＝0，
（x+3）（x﹣2）＝0，
x+3＝0或x﹣2＝0，
解得：x＝﹣3，x＝2．
1 2
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法求解是解此题的关键，解一元二次方程的方法有
直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
15．（2022·江苏·九年级专题练习）已知二次函数 ．
（1）求抛物线开口方向及对称轴．
（2）写出抛物线与y轴的交点坐标．
【答案】（1）开口向上，直线 ；（2）
【分析】（1）根据二次函数的顶点式进行解答即可；
（2）令x=0，求出y的值即可．
【详解】（1）∵ ，
∴抛物线开口向上，∵ = ，
∴对称轴是直线 ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴与y轴交点坐标是 ．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．
16．（2022·吉林·安图县第三中学九年级阶段练习）二次函数 中的x，y满足如表
x … ﹣1 0 1 2 …
y … 0 ﹣3 m ﹣3 …
(1)该抛物线的顶点坐标为 ；
(2)①求m的值．
②当x＞1时，y随值的x增大而 （填“增大”或“减小”）．
【答案】(1)（1，-4）；
(2)①m=-4；②增大
【分析】（1）设一般式 ，再取两组对应值代入得到关于a、b的方程组，然后解方程组即可；
（2）①把x=1代入二次函数的解析式求解即可；
②根据二次函数的性质即可写出答案．
（1）
解：设抛物线解析式为 ，
把（-1，0），（2，-3）代入得 ，
解得： ，
∴解析式为： ，∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当x=1时，y=-4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）．
故答案为：（1，-4）；
（2）
解：①把x=1代入 ，可得y=1-2-3=-4，
所以m=-4；
②∵ ，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，
∴当x＞1时，y随值的x增大而增大．
故答案为：增大．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法，求出二次函数的解析式．
17．（2022·云南·会泽县以礼中学校九年级阶段练习）关于x的一元二次方程
(1)求证：方程总有两个实数根．
(2)若方程的一个根为1，求方程的另一个根．
【答案】(1)证明见解析
(2)m=3，另一根为2
【分析】（1）根据方程表示出根的判别式，判断根的判别式大于等于0即可得证；
（2）把x=1代入方程求出m的值，进而确定出方程，求出另一根即可．
（1）
证明：∵
，
∴方程总有两个实数根
（2）
解：把x=1代入方程得：1-m+2m-4=0
解得：m=3，把m=3代入得： ，
解得： ，
所以另一根为x=2．
【点睛】本题考查了根的判别式以及方程的解，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解答本题
的关键．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（2022·湖北随州·中考真题）已知关于x的一元二次方程 有两个不等实数根 ，
．
(1)求k的取值范围；
(2)若 ，求k的值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式大于0建立不等式，解不等式即可得；
（2）先利用一元二次方程的根与系数的关系可得 ，再结合（1）的结论即可得．
（1）
解： 关于 的一元二次方程 有两个不等实数根，
此方程根的判别式 ，
解得 ．
（2）
解：由题意得： ，
解得 或 ，由（1）已得： ，
则 的值为2．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的相关知识
是解题关键．
19．（2021·江苏·沭阳县修远中学九年级阶段练习）根据下列条件，求二次函数的解析式．
（1）图象经过（0，1），（1，﹣2），（2，3）三点；
（2）图象的顶点（2，3），且经过点（3，1）；
【答案】（1）y＝4x2﹣7x+1；（2）y＝﹣2（x﹣2）2+3．
【分析】（1）先设出抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，再将点（0，1），（1，−2），（2，3）代入解析
式中，即可求得抛物线的解析式；
（2）由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y＝a（x−2）2＋3，然后把（3，1）代入求出a的值即可．
【详解】解：（1）设出抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
将（0，1），（1，﹣2），（2，3）代入解析式，
得： ，解得： ，
∴抛物线解析式为：y＝4x2﹣7x+1；
（2）设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+3，
把（3，1）代入得：a（3﹣2）2+3＝1，
解得a＝﹣2，
所以抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣2）2+3．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，
用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；
当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
20．（2022·河南·南阳市第十九中学九年级阶段练习）如图，矩形ABCD中， 厘米， 厘米，
点P从点A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速
度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发．(1)经过几秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米？
(2)在运动过程中，△PBQ的面积能否等于矩形ABCD的面积的四分之一？若存在，求出运动的时间；若不
存在，说明理由．
【答案】(1)经过2秒或4秒时， 的面积等于8平方厘米
(2)不存在，理由见详解
【分析】（1）设经过x秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米，则 厘米， 厘米，根据三
角形的面积公式，结合△PBQ的面积等于8平方厘米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结
论；
（2）设经过 秒时， 的面积等于矩形 面积的四分之一，则 厘米， 厘米，
根据三角形的面积公式和矩形的面积公式，列出方程，求出方程无解，进而得出不存在 的面积能否
等于矩形 的面积的四分之一．
（1）
解：设经过x秒时， 的面积等于8平方厘米，则 厘米， 厘米．
根据题意，得 ，
整理，得 ，
解得 ， ．
答：经过2秒或4秒时， 的面积等于8平方厘米；
（2）
解：不存在，理由如下：
设经过 秒时， 的面积等于矩形 面积的四分之一，则 厘米， 厘米，
根据题意，得 ，
整理，得 ，
∵ ，
∴原方程无实数解，
∴不存在 的面积等于矩形 的面积的四分之一．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解本
题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（2022·甘肃·武威第九中学九年级阶段练习）如图，已知抛物线 与x轴的交点坐标A(﹣
4，0)，B(2，0)，并过点C(﹣2，﹣2)，与y轴交于点D．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)求出△ABD的面积；
(3)在抛物线对称轴上是否存在一点E，使BE+DE的值最小，如果有，写出点E的坐标；如果没有，说明
理由．
【答案】(1)y＝
(2)△ABD的面积为6
(3)存在，点E的坐标为(﹣1，﹣ )【分析】（1）利用待定系数法将A，B，C三点坐标代入抛物线解析式，解方程组即可求得结论；
（2）利用抛物线解析式求得点D坐标，利用点的坐标表示出线段OA，OB，OD的长度，根据三角形的面
积公式即可求得结论；
（3）连接AD交对称轴于点E，则此时BD+BE最小；分别求得对称轴方程和直线AD的解析式，联立后解
方程组即可求得点E坐标．
（1）
∵物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣4，0），B（2，0），C（﹣2，﹣2），
∴ ，
解得： ．
∴抛物线的解析式为y＝ ．
（2）
令x＝0，则y＝﹣2，
∴D（0，﹣2）．
∴OD＝2．
∵A（﹣4，0），B（2，0），
∴OA＝4，OB＝2，
∴AB＝OA+OB＝6．
∴ AB•AD＝ ×6×2＝6．
∴△ABD的面积为6．
（3）
在抛物线对称轴上存在一点E，使BE+DE的值最小，理由：
∵y＝ ＝ ＝ ，
∴抛物线y＝ 的对称轴为直线x＝﹣1．连接AD交对称轴于点E，则此时BD+BE最小，如图，
设直线AD的解析式为y＝kx+m，由题意得：
，
解得： ．
∴直线AD的解析式为y＝﹣ x﹣2．
∴ ．
解得： ．
∴E（﹣1，﹣ ）．
∴抛物线对称轴上存在一点E，使BE+DE的值最小，点E的坐标为（﹣1，﹣ ）
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数图象的性质，二
次函数图象上点的坐标的特征，一次函数图象的性质，轴对称的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长
度是解题的关键．
22．（2022·山东·祥城中学九年级阶段练习）如图，某养鸡户利用25m长的篱笆围建一个矩形鸡棚ABCD，鸡棚的一边靠墙（墙长16m），在与墙平行的一边开一个1m宽的门．
(1)若鸡棚面积是 ，求鸡棚的长和宽．
(2)问鸡棚的面积能否达到 ？请说明理由．
【答案】(1)鸡棚的长为10m，宽为6m
(2)鸡棚的面积不能达到 ，理由见解析
【分析】（1）根据等量关系“鸡棚的面积=鸡棚的长×鸡棚的宽”列出方程求解即可；
（2）根据等量关系“鸡棚的面积=鸡棚的长×鸡棚的宽”列出方程判断是否有解．
（1）
解：设与墙平行的一边长xm（x≤16），则与墙垂直的一边长为 ，根据题意得：
，
解得： ， ，
∵x≤16，
∴x=6，
∴ ，
答：鸡棚的长为10m，宽为6m；
（2）
解：鸡棚的面积不能达到 ，理由如下：
设与墙平行的一边长xm（x≤16），则与墙垂直的一边长为 ，根据题意得：，
整理得： ，
∵ ，
∴该方程无实数根，
即鸡棚的面积不能达到 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
六、（本大题共12分）
23．（2021·湖北孝感·九年级阶段练习）如图，二次函数 的图象交 轴于 、 两点，
交 轴于点 ，点 的坐标为 ，顶点 的坐标为 ．
求二次函数的解析式和直线 的解析式；
点 是直线 上的一个动点，过点 作 轴的垂线，交抛物线于点 ，当点 在第一象限时，求线段
长度的最大值；
在抛物线上是否存在异于 、 的点 ，使 中 边上的高为 ？若存在求出点 的坐标；若
不存在请说明理由．
【答案】 ； 有最大值 ； 存在满足条件的点 ，其坐标为或
【分析】 可设抛物线解析式为顶点式，由 点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得 点坐标，利用
待定系数法可求得直线 解析式；
设出 点坐标，从而可表示出 的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；
过 作 轴，交 于点 ，过 和 于 ，可设出 点坐标，表示出 的长度，由条
件可证得 为等腰直角三角形，则可得到关于 点坐标的方程，可求得 点坐标．
【详解】解： 抛物线的顶点 的坐标为 ，
可设抛物线解析式为 ，
点 在该抛物线的图象上，
，解得 ，
抛物线解析式为 ，即 ，
点 在 轴上，令 可得 ，
点坐标为 ，
可设直线 解析式为 ，
把 点坐标代入可得 ，解得 ，
直线 解析式为 ；
设 点横坐标为 ，则 ， ，
，
当 时， 有最大值 ；
如图，过 作 轴交 于点 ，交 轴于点 ，作 于 ，设 ，则 ，
，
是等腰直角三角形，
，
，
当 中 边上的高为 时，即 ，
，
，
当 时， ，方程无实数根，
当 时，解得 或 ，
或 ，
综上可知存在满足条件的点 ，其坐标为 或 ．
【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质及方程
思想等知识．在 中主要是待定系数法的考查，注意抛物线顶点式的应用，在 中用 点坐标表示出
的长是解题的关键，在 中构造等腰直角三角形求得 的长是解题的关键．本题考查知识点较多，
综合性较强，难度适中．
